Matemática financeira

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Matemática Financeira 
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Matemática Financeira 
Qual o campo de aplicação de 
Matemática Financeira? 
– Trata dos instrumentos de cálculo de 
valores e taxas de juros relacionadas 
com aplicação de capitais e com 
empréstimos e financiamentos 
contraídos por PF e PJ. 
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Matemática Financeira 
 Sob um enfoque teórico, podemos defini-la 
como o estudo da evolução do dinheiro ao 
longo do tempo. 
 Ao longo do tempo o valor do dinheiro 
muda, quer em função de sua 
desvalorização devido a inflação, quer em 
função da existência de alternativa de 
alternativas de investimentos que 
possibilitarão o recebimento de alguma 
remuneração sobre a quantidade envolvida. 
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Símbolos 
C – Capital 
M – Montante 
J – Juro 
 i - Taxas de juro 
n – Prazo 
N – Valor Nominal 
D - Desconto 
 
 
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Capital - C 
Denomina-se Capital ou Principal o valor 
monetário que originou a transação. 
Ou ainda entende-se por capital, qualquer 
valor expresso em moeda e disponível em 
determinada época, que um indivíduo tem 
disponível e concorda em ceder a outro, 
temporariamente. 
 Aquele que cede é chamado de investidor e 
aquele que recebe é chamado tomador. 
 
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Montante - M 
A soma do Capital com os Juros. 
O montante também é conhecido como 
Valor Futuro. 
– Em língua inglesa, usa-se Future Value, 
indicado nas calculadoras financeiras pela 
tecla FV. 
O montante é dado por uma das 
fórmulas: 
 M = C + J 
 
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Juros - J 
É a remuneração ganha ou paga pela 
aplicação ou utilização de 
determinado Capital durante um 
certo prazo. 
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Taxa de Juros 
Taxa de Juros é a relação entre o 
valor da remuneração paga ou 
recebida e o valor do capital 
emprestado ou aplicado, referente ao 
período da operação. 
 
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Taxa de Juros - i 
i = Remuneração do Período 
 Capital aplicado ou resgatado 
i = R$90 
 R$1.000 
i = 9% am 
 
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Juros e Taxa de Juros 
Qual a diferença? 
– Dinheiro e Percentual 
– Os juros são a remuneração recebida ou 
paga pelo uso do capital por um prazo 
definido. 
– A taxa de juros é o índice utilizado para 
se calcular essa remuneração. 
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Juros e Taxa de Juros 
Apartamento – 
400.000 
Aluguel – 4.000 
reais 
Taxa de aluguel – 
1% do valor do 
imóvel 
Empréstimo – 
40.000 
Taxa de juros – 
10% ao mês 
 Juros mensais – 
4.000 reais 
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Prazo - n 
O tempo medido em dias, meses ou anos. 
– Sempre deve estar em sintonia com o prazo da 
taxa de juros. 
Fluxo Financeiro: 
 
 
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Valor Nominal - N 
 O valor de resgate de um titulo em sua data 
de vencimento, representa o valor do 
montante da operação. 
 
– O título financeiro refere-se à participação 
financeira em uma determinada empresa pública 
ou privada através de um título. 
– Os títulos de crédito contêm no mínimo dois 
sujeitos envolvidos: o emitente (devedor) ou 
sacador e o beneficiário (credor). 
 
 
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Capitalização 
Remuneração de determinado capital 
durante um intervalo de tempo. 
Chamaremos de Regime de Capitalização 
demonstram como os juros são formados e 
sucessivamente incorporados ao capital no 
decorrer do tempo. 
Regimes de Capitalização 
– Simples – Linear 
– Composta – Exponencial 
 
 
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Fórmulas Juros Simples 
J = C.i.n C = J/i.n 
 
i = J/C.n n = J/C.i 
 
J = C x i x n 
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Ex – Juros Simples 
Complemento: 
Montante 
 
M = C + J 
M = 80.000 + 6.000 
M = $86.000,00 
1. Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao 
mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor 
dos juros acumulados neste período? 
 
Solução: 
C - $80.000,00 
i – 2,5% ao mês – (0,025) 
n – 3 meses 
J - ? 
J = C x i x n 
J = 80.000 x 0,025 x 3 
J = $6.000,00 
 
 
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Juros Simples 
Exercícios: 
17 
18 
1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. 
Determine o valor dos juros acumulados neste período; 
 
 
2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao 
mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total dos 
juros incorridos. Determinar o valor do empréstimo; 
 
 
3) Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, 
produzindo um rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros 
oferecida por esta operação; 
 
 
4) Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao 
final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da 
aplicação. 
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5) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o 
valor acumulado ao final deste período; 
 
 
6) Uma dívida de $900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um 
desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. 
Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida; 
 
 
7) Calcular o montante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo 
prazo de 1 ano e 5 meses; 
 
 
8) Uma dívida de $30.000,00 a vencer dentro de 1 ano é saldada 3 meses antes. Para a sua 
quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da 
dívida a ser pago antecipadamente. 
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9) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira $18.000,00 resgatando 
$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida 
nesta aplicação; 
 
 
10) Se uma pessoa necessitar de $100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela 
depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao 
ano? 
 
 
11) Um título com valor nominal de $7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de 
juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título: 
 
 
12) Uma pessoa deve dois títulos no valor de $25.000,00 e $56.000,00 cada. O 
primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor 
deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao 
final do 5° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, 
determinar o valor deste pagamento único, considerando como data focal o final 
do 5º mês. 
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13) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: 
 a) $35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses; 
 b) $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. 
 Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas 
 financeiras aplicando-as em uma conta de poupança que rende 66% ao 
 ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser 
 aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores 
 devidos em suas respectivas datas de vencimento sem deixar saldo final na 
 conta, considerando como data focal o momento atual; 
 
 
14) Uma pessoa, ao comprar um apartamento cujo preço à vista é de $600.000,00 
deu 20% de sinal concordando em pagar 8% ao mês de juros simples sobre o 
saldo devedor. Se o comprador pagar $200.000,00 2 meses após a compra e 
$280.000,00 3 meses mais tarde, que pagamento teria que efetuar no fim de 9 
meses contados da data da compra, considerando como data de comparação o 
momento atual? 
Fórmula Juros Composto 
 Para melhor desenvolver este conceito e definir suas 
fórmulas de cálculos, admita ilustrativamente uma 
aplicação de $1.000 a taxa composta de 10% ao mês. 
– Final do 1º mês. 
• J = Cxixn – 1.000x0,10x1 = 100 
• M = C + J 
• M = 1.000 + 1.000x0,10x1 
• M = 1.100 
– Final do 2º mês. 
• M = 1.000 x (1+0,10) x (1+0,10) 
• M = 1.000 x (1+ 0,10)^2 
• M = 1.21022 
Fórmula Juros Composto 
M = C x (1 + i )^n 
 
VF = VP x (1 + i) ^n 
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Juros Composto 
Exercícios: 
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1) Calcular o montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo-se os 
seguintes prazos e taxas: 
 
 a) i = 5,5% a.m. e n = 2 anos; 
 b) i = 9% a.b. e n = 1 ano e 8 meses; 
 c) i = 12% a.a. e n = 108 meses. 
 
 
2) Determinar o juro de uma aplicação de $100.000,00 nas seguintes condições de taxa e 
prazo: 
 a) i = 1,5% a.m. e n = 1 ano; 
 b) i = 3,5% a.t. e n = 2 anos e 6 meses; 
 c) i = 5% a.s. e n = 3 anos; 
 d) i = 4,2% a.q. e n = 84 meses. 
 
 
3) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um 
montante de $7.385,81 ao final de 7 meses; 
 
4) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 60% ao ano. 
Determinar o custo efetivo anual desta operação, admitindo que os juros sejam 
capitalizados: a) mensalmente; b) trimestralmente; c) semestralmente. 
 
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Calculadora HP 12c 
 Juros Simples 
FV = PV x i x n 
 
 Juros Composto 
 FV = VP x (1+i)^n 
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Juros Simples X Juros Composto 
Mês 00 Mês 01 Mês 02 Mês 03 Final 
C 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 
i 10% 10% 10% 10% 10% 
n 0 1 1 1 3 
J 100 100 100 300 
M 1.300 
Mês 00 Mês 01 Mês 02 Mês 03 Final 
C 1.000 1.000 1.100 1.210 1.000 
i 10% 10% 10% 10% 10% 
n 0 1 1 1 3 
J 100 110 121 331 
M 1.331 
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Ex – Juros Composto 
 Se uma pessoa deseja obter $27.500 dentro de uma 
ano, quanto ela deverá depositar hoje numa 
alternativa de poupança (antiga) que rende 0,6% de 
juros composto ao mês? 
Solução: 
M - $27.500,00 
n – 1 ano – 12 meses 
i – 0,6%a.m. 
C - ? 
C = 27.500/(1+0,006)^12 
C= $25.595,10 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Matemática Financeira 
 
– Ao longo do tempo o valor do dinheiro muda, 
quer em função de sua desvalorização devido a 
inflação, quer em função da existência de 
alternativa de alternativas de investimentos 
que possibilitarão o recebimento de alguma 
remuneração sobre a quantidade envolvida. 
 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Matemática Financeira 
 
– VF = VP x (1 + i)^n 
 
– HP12c – n / i / PV / FV / CHS 
 
 
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Valor do Dinheiro do Tempo 
Fluxo Financeiro 
 
 
 
 
33 
Logaritmo / Lg Neperiano 
ln – 2,7182818284 
lg a^m = m x lg a 
lg 3^5 = 5 x lg 3 
ln a^m = m x ln a 
ln 3^5 = 5 x ln 3 
 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Um cliente depositou em uma 
aplicação, R$10.000,00, que paga 
taxas de juros de 0,80%am, que 
será resgatado em 3 anos. Quanto a 
cliente receberá deste investimento? 
VF? 
35 
Valor do Dinheiro no Tempo 
Quanto um cliente precisa aplicar 
hoje, para receber o valor de 
R$13.500,00 em 3 anos, a uma taxa 
de juros de 0,80%am? 
VP? 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Um cliente depositou em uma 
aplicação, R$10.000,00, e vai 
receber em 3 anos o valor de 
R$13.450,00. Qual a taxa de juros 
que será paga nesta aplicação? 
i? 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Por quanto tempo uma cliente 
precisa aplicar em um investimento, 
hoje o valor de R$10.000,00, que 
paga taxas de juros de 0,80%am, e 
recebera o valor de R$14.000,00? 
n? 
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Um Capital dobra de valor, ao ser 
aplicado a juros compostos de 
10%aa. Qual o tempo da aplicação? 
n? 
39 
Valor do Dinheiro no Tempo 
Qual a taxa de aplicação que em 10 
anos o capital e triplicado? 
i? 
 
40 
Matemática Financeira 
41 
 
 
 
 
Série Uniforme HP 
HP12c – n / i / PV / PMT / FV / CHS 
Matemática Financeira 
Postecipado 
 FV = PMT _________ 
 
Antecipado 
 
 FV = PMT ________ 
 
 
42 
(1+i) - 1 
n 
 i 
(1+i) - 1 
n 
(1+i) - i 
n-1 
(1+i) 
Matemática Financeira 
Postecipado 
 PV = PMT _________ 
 
Antecipado 
 
 PV = PMT _________ 
 
 
43 
(1+i) - 1 
n 
(1+i) . i 
n 
(1+i) - 1 
n 
(1+i) . i 
n-1 
Matemática Financeira 
Perpetuidade 
– A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e 
iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série 
uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um 
dividendo anual etc. O valor presente de uma perpetuidade VP, 
deduzido a partir do cálculo do limite da expressão abaixo, com n 
tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula 
 
PV = ____ 
 
 
 
 
44 
PMT 
i