probabilidade

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Probabilidade
Sumário
17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
17.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Unidade 17
Introdução
17.1 Introdução
Iniciamos, nesta unidade, o estudo de Probabilidade, cuja parte mais ele-
mentar é uma das aplicações da Combinatória. A Teoria de Probabilidade, como
diz o nome, é o estudo de fenômenos que envolvem a incerteza e se originou
como instrumento para modelar jogos de azar, como cartas e dados.
Probabilidade é a base para a Estatística, ciência utilizada nas mais diversas ati-
vidades humanas, sendo fundamental em várias áreas, como Ciências Humanas,
Ciências da Saúde, Economia e Finanças, Ecologia e Teoria dos Jogos, entre
muitos outros. Do ponto de vista teórico, atualmente, a Teoria de Probabili-
dade é utilizada como ferramenta em algumas áreas da Física e, cada vez mais,
em áreas da própria Matemática. Por esse motivo, o ensino de Probabilidade
no Ensino Médio é importante e atual.
Esse assunto é muito vasto, mas aqui só trataremos de alguns conceitos básicos
e suas aplicações. Definem-se o conjunto espaço amostral e a noção de proba-
bilidade como sendo uma função numérica com domínio no conjunto das partes
desse espaço. Os subconjuntos do espaço amostral são os chamados eventos.
As propriedades básicas da função probabilidade são dadas no Teorema 3, que
bastarão para resolver os problemas dessa unidade.
17.2 Conceitos Básicos
Experiências que repetidas sob as mesmas condições produzem geralmente
resultados diferentes são chamadas de aleatórias. Por exemplo, retira-se uma
carta de um baralho e verifica-se se ela é ou não um curinga; compra-se uma
lâmpada e verifica-se se ela queima ou não antes de 100h de uso; joga-se um
dado até se obter um seis e conta-se o número de lançamentos.
Definição 1
Espaço Amostral
Chamaremos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis
de uma experiência aleatória. Representaremos o espaço amostral por S e
só vamos considerar aqui o caso de S ser finito ou infinito enumerável. Os
subconjuntos de S serão chamados de eventos. Diremos que um evento ocorre
quando o resultado da experiência pertence ao evento.
2
Unidade 17Probabilidade
Exemplo 1
Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O
espaço amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos:
∅, A = {cara}, B = {coroa} e S.
∅ é um evento que não ocorre nunca e é chamado de evento impossível.
O evento A ocorre se e somente se o lançamento resulta em cara. S ocorre
sempre e é chamado de evento certo.
Exemplo 2
Lança-se um dado e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço
amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e há 64 eventos. Alguns desses eventos são:
∅, que não ocorre nunca; S, que ocorre sempre; A = {2, 4, 6}, que ocorre se e
somente se o resultado do lançamento for par. Se o resultado do lançamento
for seis, ocorrem os eventos {6}, {5, 6}, {2, 4, 6}, etc.
Exemplo 3
Se A e B são eventos em um mesmo espaço amostral S, A∪B é o evento
que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B, isto é,
ocorre pelo menos um dos eventos A e B; A ∩ B é o evento que ocorre se e
somente se ocorrem ambos os eventos A e B; A \ B é o evento que ocorre
se e somente se ocorre o evento A mas não ocorre o evento B; A, chamado
de evento oposto a A, é o evento que ocorre se e somente se o evento A não
ocorre.
Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de probabilidade
do evento e que traduzirá nossa confiança na capacidade do evento ocorrer.
Definição 2
Probabilidade
Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número
P (A) de forma que:
i) Para todo evento A, 0 6 P (A) 6 1.
ii) P (S) = 1
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, eventos que não
podem ocorrer simultaneamente (isto é, A ∩B = ∅) então
P (A ∪B) = P (A) + P (B).
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Unidade 17
Conceitos Básicos
Exemplo 4
Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O
espaço amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos: ∅ , A = {cara}, B =
{coroa}, S. Uma probabilidade que pode ser definida é
P1(∅) = 0, P1(A) = P1{cara} = 0, 5, P1(B) = P1{coroa} = 0, 5 P1(S) = 1.
Verifique que as três condições da definição de probabilidade são satisfeitas.
Outra probabilidade que pode ser definida é
P2(∅) = 0, P2(A) = P2{cara} = 0, 3, P2(B) = P2{coroa} = 0, 7 P2(S) = 1.
Verifique que as três condições da definição de probabilidade são satisfeitas.
É claro que se desejamos que a probabilidade traduza nossa confiança na
capacidade do evento ocorrer, P1 constitui um modelo adequado quando acre-
ditamos ser o resultado cara tão provável quanto o resultado coroa. P2, por sua
vez seria mais adequado se tivéssemos lançado a moeda um número grande de
vezes e obtido o resultado cara em 30% dos lançamentos.
Encerrando o exemplo, um breve comentário a respeito de notação. Deve-
ríamos ter escrito P ({cara}) e não P{cara}. Entretanto, quando não houver
risco de confusão daremos preferência à notação mais simples.
Os modelos probabilísticos que usamos mais frequentemente são exatamente
os apresentados no exemplo anterior.
Um é o modelo equiprobabilístico. Se temos n elementos no espaço amostral
e queremos que todos os eventos unitários tenham a mesma probabilidade,
devemos atribuir a cada evento unitário a probabilidade
1
n
. Não poderia ser de
outra forma pois se S = {x1, x2, . . . , xn} e P (x1) = P (x2) = · · · = P (xn) = k,
temos, por iii),
1 = P (S) = P{x1, x2, . . . , xn} = P ({x1} ∪ {x2} ∪ · · · ∪ {xn})
= P ({x1}) + P ({x2}) + · · ·+ P ({xn})
= k + k + · · ·+ k = nk e k = 1
n
.
Analogamente, é fácil ver que, nesse modelo, se um evento X é formado
por j elementos então P (X) =
j
n
. Ou seja, a probabilidade de um evento é a
razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos
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Unidade 17Probabilidade
possíveis. Foi esse o modelo adotado por vários matemáticos como Cardano
1
,
Pascal e Laplace
2
entre outros, no estudo dos jogos de azar.
Outro é o modelo frequencial. Se repetimos a experiência n vezes e o evento
A ocorreu em j dessas experiências, adotamos para P (A) a frequência relativa
do evento A, isto é, o número de vezes que o evento A ocorreu dividido pelo
número total de repetições da experiência, ou seja, P (A) =
j
n
.
O teorema a seguir contém as propriedades das probabilidades.
Teorema 3
Propriedades da
probabilidade
Se A e B são eventos, então:
i) P (A) = 1− P (A).
ii) P (∅) = 0.
iii) P (A \B) = P (A)− P (A ∩B).
iv) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
v) Se A ⊃ B então P (A) > P (B).
Demonstração
i) 1 = P (S) = P (A ∪ A) = P (A) + P (A). Daí, P (A) = 1− P (A).
ii) P (S) = P (S∪∅) = P (S)+P (∅), pois S e ∅ são mutuamente excludentes.
Daí, P (∅) = 0.
iii) P (A) = P [(A \B)∪ (A∩B)] = P (A \B)+P (A∩B) pois A \B e A∩B
são mutuamente excludentes. Daí, P (A \B) = P (A)− P (A ∩B).
iv) P (A ∪ B) = P [(A \ B) ∪ B] = P (A \ B) + P (B) pois A \ B e B
são mutuamente excludentes. Como P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B), resulta
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
v) Como P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B), se A ⊂ B resulta P (A \ B) =
P (A)− P (B). Como P (A \B) > 0, temos P (A) > P (B).
Exemplo 5
Em um grupo de r pessoas, qual é a probabilidade de haver pelo menos
duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia?
Solução. Vamos determinar a probabilidade disso não acontecer. O número de
1
Cardano, Jerônimo (1501-1576), matemático italiano.
2
Laplace, Pierre Simon (1749-1827), matemático francês.
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Unidade 17
Conceitos Básicos
casos possíveis para os aniversários das r pessoas é 365r. O número de casos
favoráveis a que todas aniversariem em dias diferentes é 365 × 364 × · · ·×
(366 − r), havendo r fatores nesse produto. Portanto, a probabilidade de não
haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia é de
365× 364× · · · × (366− r)
365r
e a de haver pelo menos duas pessoas que tenham o mesmo dia de aniversário
é de
1− 365× 364× · · · × (366− r)
365r
.
A tabela abaixo dá, para alguns valores de r, a probabilidade de haver
coincidência de aniversários.
r Probabilidade
5 0, 03
10 0, 12
15 0, 25
20 0, 41
23 0, 51
25 0, 57
30 0, 71
40 0, 89
45 0, 94
50 0, 97
O resultado é surpreendente. Em um grupo de 23 pessoas, é mais provável
haver duas pessoas com o mesmo aniversário do que todas aniversariarem em
dias diferentes.
Exemplo 6
Em uma loteria de N números há um só prêmio. Salvador compra n
(1 < n < N) bilhetes para uma só extração e Sílvio compra n bilhetes, um para
cada uma de n extrações. Qual dos dois jogadores tem mais chance de ganhar
algum prêmio?
Solução. A probabilidade de Salvador ganhar algum prêmio é
n
N
.
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Unidade 17Probabilidade
A probabilidade de Sílvio não ganhar nenhum prêmio é
(N − 1)n
Nn
.
Logo, a probabilidade de Sílvio ganhar algum prêmio é
1− (N − 1)
n
Nn
.
Afirmamos que Salvador tem mais chance de ser premiado, isto é, afirmamos
que
n
N
> 1− (N − 1)
n
Nn
,
ou, equivalentemente, afirmamos que
(N − 1)n
Nn
> 1− n
N
.
A prova dessa afirmação faz-se por indução.
Para n = 2 temos
(N − 1)n
Nn
=
(N − 1)2
N2
= 1− 2
N
+
1
N2
> 1− 2
N
= 1− n
N
.
Se
(N − 1)n
Nn
> 1− n
N
multiplicando por
N − 1
N
obtemos
(N − 1)n+1
Nn+1
> 1− n
N
− 1
N
+
n
N2
> 1− n+ 1
N
.
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Unidade 17
Conceitos Básicos
Exercícios Recomendados
1. Lançam-se dois dados não-tendenciosos. Qual a probabilidade da soma
dos pontos ser igual a 7 ?
2. 24 times são divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual é a proba-
bilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo?
3. Mostre que
P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)−
P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C).
4. Se P (A) =
2
3
e P (B) =
4
9
, mostre que:
a) P (A ∪B) > 2
3
;
b)
2
9
6 P (A ∩B) 6 5
9
;
c)
1
9
6 P (A ∩B) 6 4
9
.
5. Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de
se obter:
a) um par;
b) dois pares;
c) uma trinca;
d) uma quadra;
e) uma quina;
f) uma sequência;
g) um �full hand�, isto é, uma trinca e um par.
6. Um polígono regular de 2n+1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-
se três dos seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabili-
dade do centro do círculo ser interior ao triângulo.
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Unidade 17Probabilidade
7. Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade
de duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?
8. Em um grupo de 4 pessoas, qual é a probabilidade de haver alguma
coincidência de signos zodiacais?
9. Em um armário há 5 pares de sapatos. Escolhem-se 4 pés de sapatos.
Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos?
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