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C�lculo A/Apostilas/Apostila_Modulo1.pdf PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Numérico A MMMóóóddduuulllooo 111 TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 1 - Formulário Módulo 1 1 2 - Teoria dos Erros 2 3 - Equações Algébricas e Transcendentes 22 4 - Sistemas de Equações Lineares 38 5 - Interpolação 56 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 1 PUCRS - Faculdade de Matemática Formulário de Cálculo Numérico A Módulo 1 NOME: _______________________________________________________ DATA: _____ OBS: Você pode utilizar o verso desta folha, escrito de próprio punho, para consulta durante as provas P1, PS1 e G2 e entregá-la ao professor juntamente com a folha de questões. Nesta folha não são permitidas impressões, colagens, cópias xerográficas, ampliações ou reduções. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 0n1n2100210000 n 0 n 1n210 2 0 2 1000 0 n ij 1j j i i i iiij i ' i ' i i1i 012n1nn 01 2 2 3 3 1-n 1-n n n 1i i1i9 i 12 1n 21 y)x(x)x)(xx)(xx(x y∆)x)(xx(xy)x(xyxP hn! y∆ )x(x)x)(xx)(xx(x h2! y∆ )x)(xx(x h y )x(x yxP n , 2, 1, i a a n , 2, 1, j , i com b B e x X , a A sendo B XA 0xf e , 2 1, 0,i , xf xf x x a xa xa xaxaxP axaxaxaxaxaxP Seja x xx 10*0.5Log0.3xASC 11eeb 1b 2F#,e,en,b,FF ∆−−−−++−−+∆−+= −−−− ++ −− + ∆− += => ===== ≠=−= ++++= ++++++= − ++−= ++−−== − − ≠ = + −− + + − − ∑ LL L L L L L LL L :divididas diferençaspor Newton deor Interpolad Polinômio :finitas diferençaspor Newton deor Interpolad Polinômio Polinomial ãoInterpolaç :estrita dominante Diagonal lineares equações n de Sistema :Raphson-Newton :Horner entes Transcende Algébricas Equações Erros dos Teoria CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 2 TTTeeeooorrriiiaaa dddooosss EEErrrrrrooosss A matemática computacional é um ramo da matemática construtiva que estuda algoritmos implementáveis em máquinas digitais. Consiste na formulação precisa do problema, na idealização ou aproximação de um modelo matemático, na análise do problema matemático e no cálculo da solução do problema. Trata de resolução construtiva, isto é, algorítmica, de problemas através do uso de máquinas digitais. De maneira geral, pode ser dividida em quatro áreas: ● Matemática Numérica: trata da resolução de problemas matemáticos através do computador. Atualmente, é uma ciência de grande importância e engloba várias disciplinas (análise numérica, aritmética computacional, álgebra numérica, estatística numérica, etc.). O cálculo numérico do problema deve ser feito por um algoritmo numérico eficiente, em uma máquina digital conveniente para se obter o resultado dentro da faixa de aceitação, dentro do critério de exatidão, e com a impressão dos dados. ● Matemática Simbólica: trata dos dados de forma literal, indexados ou não, preocupando-se em obter a solução exata (fórmula fechada), para problemas matemáticos. ● Matemática Gráfica: trabalha com dados de forma gráfica, entendendo-se por dados gráficos tanto figuras planas e espaciais, como cores e sombras. Os problemas abordados pela Matemática Gráfica estão relacionados com a computação gráfica, que trata das técnicas e métodos computacionais de converter dados gráficos de e para um dispositivo gráfico. ● Matemática Intervalar: trata com dados na forma de intervalos numéricos, com o objetivo de automatizar a análise do erro computacional. A matemática intervalar iniciou e trouxe uma nova técnica que permite um controle de erros com limites confiáveis, além das provas de existência e não existência da solução de diversas equações. Matemática Computacional Mat. Numérica Mat. Simbólica Mat. Gráfica Mat. Intervalar CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 3 Olivetti – Modelo Divisumma 24 Fabricada no Brasil em 1964 museu.boselli.com.br Representação de números As pessoas costumam utilizar o sistema de numeração decimal (= base 10) para representar os números. Isto provavelmente se deve ao fato dos seres humanos possuírem dez dedos nas mãos. A palavra dígito é um sinônimo de algarismo e vem do latim digitus (= dedo). Já os computadores normalmente utilizam um sistema de numeração binário (= base 2) para representação dos números. Ambos os sistemas citados – decimal e binário – são sistemas posicionais, ou seja, os números são formados por somas de potências convenientemente multiplicadas pelos algarismos. Exemplo: ( ) 210123 10 10*210*610*510*110*010*4 02.06.051040004015.62 −− +++++= ++++= O número acima é representado no sistema decimal como uma soma de potências de 10. A principal característica de um sistema posicional é a necessidade da representação do zero por um símbolo. No sistema decimal o zero é necessário para diferenciar números ( Ex: 405 e 45 ), servindo efetivamente como um separador dos algarismos em termos de potências de 10. Conversões de bases É importante saber como converter um número decimal para sua representação binária e vice-versa. ●●●● Binário →→→→ Decimal A conversão de um número binário para sua forma decimal é feita desenvolvendo-se a soma de potências de 2. CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 4 Exemplo: ( ) ( )10 3210123 2 625.11 8 1 2 1128 2*12*02*12*12*12*02*11011.101 = ++++= ++++++= −−− ●●●● Decimal →→→→ Binário A conversão de um número real decimal para sua forma binária é feita convertendo-se separadamente as partes inteira e fracionária e posteriormente compondo a representação binária pela reunião dos dois resultados obtidos separados por um ponto. Exemplo: ( ) ( )210 ???8125.53 = Parte inteira: O processo é formado por sucessivas divisões inteira por 2 , cujo resultado é, necessariamente, 0 ou 1. No caso do exemplo acima, temos que a transformação do número ( )1053 é obtida, inicialmente, dividindo-se 53 por 2, cujo quociente é 26 e o resto 1. O número 26 é então novamente dividido por 2 gerando quociente 13 e resto 0. O processo é repetido até que seja obtido quociente 1. A representação binária é formada, então, pelo último quociente e pelos restos, tomados na ordem inversa a que foram obtidos, ou seja, do final para o início. A figura abaixo ilustra o processo total para o exemplo dado. 53 2 1 26 2 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 Assim, ( ) ( )210 11010153 = Parte fracionária: Este processo é dado por sucessivas multiplicações da parte fracionária decimal por 2. Para o exemplo considerado multiplicamos 0.8125 por 2, resultando em 1.625. O dígito à esquerda do ponto decimal ( 1 ) será o primeiro dígito da representação binária fracionária. A seguir, tomamos apenas a parte fracionária do produto anteriormente efetuado ( 0.625 ) e efetuamos uma nova multiplicação por 2. O resultado é tratado da mesma forma e o procedimento repetido sucessivamente até que o número resultante da multiplicação seja 1. Os dígitos à direita do ponto decimal obtidos ao longo do processo formam a representação binária fracionária, na mesma ordem em que foram obtidos. 0.8125 0.625 0.25 0.5 x 2 x 2 x 2 x 2 1.625 1.25 0.5 1 Assim, ( ) ( )210 1101.08125.0 = Logo, ( ) ( )210 1101.1101018125.53 = CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 5 No exemplo anterior a parte decimal fracionária possui representação limitada nos binários, mas isto nem sempre ocorre. Neste caso realiza-se o processo de multiplicações até encontrar-se zero, um período que se repita, ou simplesmente algum número de dígitos desejado. Representação decimal Representação binária ( )106.0 ( )210011001.0 L ( )1012.15 ( )20001111.1111 L ( )102.16 ( )200110011.10000 L ✔✔✔✔ Exercício de aula Efetuar a conversão de base correspondente. Representação decimal Representação binária ( )101.0 ( )105.0 ( )201.101 ( )21001.0 Sistema Numérico do Computador A representação de números reais nas máquinas pode ser feita basicamente de três maneiras diferentes: racional, por ponto fixo e ponto flutuante. Representação de números reais em ponto flutuante Esta representação é baseada na notação científica, ou seja, um número x é expresso na forma: ebmx ×= Sendo: m : mantissa; b : base; e : expoente Um número real x encontra-se em notação científica normalizada se o primeiro dígito após o ponto decimal é diferente de zero. As informações referentes aos sistemas de ponto flutuante são representadas da forma ( )21 e,en,b,FF = , onde: n : representa o número de dígitos da mantissa n321 ddd0.dm L±= , sendo que: ( )1bd1 1 −≤≤ e ( ) n,3,2,i,1bd0 i L=−≤≤ 1e : menor expoente, sendo 0e1 ≤ e inteiro 2e : maior expoente, sendo 1e2 ≥ e inteiro 21 eee ≤≤ A união de todos os números de ponto flutuante com o zero, representado por e1 vezesn b0000.00 ×= 43421 L é chamado de Sistema de Ponto Flutuante Normalizado. CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 6 Exemplos: Modelo sistema HP 25 ( )10098,9,10,FF −= Texas SR 50 e HP 41C ( )10098,,1010,FF −= Texas SR 52 ( )10098,,1210,FF −= IBM 360/370 ( )63,64,616,FF −= Burroughs B6700 ( )77,51,138,FF −= HP 50G ( )499,499,1510,FF −= Regiões de Overflow e Underflow Vamos considerar o sistema de ponto flutuante ( )2,1,3,2FF −= cuja base é 2; mantissa formada por 3 dígitos, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Sendo este sistema bastante pequeno podemos analisar, um a um, todos os números possíveis de serem representados. ● Formação de mantissas ( )m Sendo a base 2, os dígitos a serem utilizados para a formação das mantissas são 0 e 1, e as possíveis mantissas são 111.0 110.0 101.0 100.0 ● Base e expoentes ( )eb O sistema gera as seguintes combinações de base com expoentes: − 2 1 0 1 2 2 2 2 Ao formarmos todos os números ebmx ×= possíveis obtemos o seguinte quadro de possibilidades para representações: m be ( )2100.0 ( )2101.0 ( )2110.0 ( )2111.0 12− 02 12 22 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 7 Apesar do sistema proposto apresentar base 2, os números foram escritos na base decimal para facilitar uma posterior representação dos mesmos na reta real. A tabela acima mostra todas as representações positivas possíveis de serem obtidas pelo sistema. Desta forma, considerando-se que o sistema ainda gera os mesmos resultados negativos e, além disto, o próprio zero, concluímos que o sistema completo é formado por 33 resultados ( 16 positivos + 16 negativos + “zero” ). Este número de representações recebe a denominação especial de cardinal do sistema ( )F# . A análise dos valores representados na tabela ainda mostra que um sistema de ponto flutuante sempre possui uma limitação de representação de números reais. Isto naturalmente gera problemas sempre que tentamos representar algum número que não possui representação exata correspondente. Observe esta limitação no esquema abaixo, onde todos os números obtidos na tabela construída (positivos e negativos) além do zero, estão indicados com uma barra na reta real. Podemos verificar que os números não estão uniformemente distribuídos quando colocados na reta dos números reais no intervalo [ ]3.53.5;I −= . Na verdade só podemos representar alguns pontos porque o conjunto de possibilidades é discreto. A representação mostra que é possível identificar uma região entre o zero e o menor número de ponto flutuante positivo ( ) 0.25 , e simetricamente entre menor número em módulo de ponto flutuante negativo ( )0.25 - e o zero. Se durante os cálculos houver a necessidade de representação de algum número cujo valor esteja nesta área, ou seja, cuja representação é menor que a capacidade mínima da máquina, então ocorrerá um erro de underflow, e esse número será ajustado para zero. Analogamente podemos verificar que se durante os cálculos houver a necessidade de representação de algum número cujo valor seja maior que 3.5 ou menor que - 3.5 , ou seja, cuja representação é maior que a capacidade máxima da máquina, então ocorrerá um erro de overflow, e isto normalmente leva a uma falha na computação. Para o sistema ( )2,1,3,2FF −= podemos identificar as seguintes regiões: Região de Underflow: ( ) { }025.0;25.0 −− Região de Overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;5.35.3; OBS: Os intervalos são abertos em 0.25± e em 3.5± porque estes números ainda tem representação no sistema. Propriedades do sistema de ponto flutuante ( )21 e,en,b,FF = ❶ Menor número (em módulo) do sistema: e1b0.1m ×= ❷ Maior número (em módulo) do sistema: ( )( ) ( ) e2 vezesn b1b1b1b0.M ×−−−= 444 3444 21 L ❸ Região de Underflow: ( ) { } 0 m;m −− ❹ Região de Overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;MM; 3.5 0 3 2.5 2 1 1.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 8 ❺ Cardinalidade (número de elementos) do sistema: ( ) ( )( ) 11eeb1-b2F# 121n ++−×××= − ✔✔✔✔ Exercícios de aula ① Considere os sistemas de ponto flutuante ( ) ( )7,6-,102,F e 4,3-,310,F 21 . ⒜ Qual dos sistemas possui maior cardinalidade ? ⒝ Determine a região de underflow de 2F , indicando os extremos deste intervalo na base 10. ⒞ O aumento exclusivamente de “n” no sistema 1F é capaz de modificar sua região de overflow ? Justifique sua resposta através de um exemplo. ② O percurso da TI (Texas Instruments) cruza inevitavelmente com o da família HP (Hewlett Packard) a nível de concorrência de equipamentos. Em 1974 a HP lançou a HP 65, ao qual a TI respondeu com a SR 56 e ainda atacou com a SR 52. A HP se recompôs com a 67, mas a TI apresentou a 58 e ainda a 59. Dois anos depois a HP reage com a 41 fazendo recuar a TI que nem chegou a experimentar a 88. A guerra passou então para as calculadoras gráficas. CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 9 Considerando os sistemas das calculadoras: HP 65 ( )9999,-,1010,FF = e Texas SR 52 ( )10098,-,1210,FF = ⒜ Verifique qual das calculadoras é capaz de efetuar mais representações numéricas. Calcule ainda qual é esta diferença. ⒝ Identifique as regiões de underflow e de overflow da SR 52. Algarismos Significativos No sistema decimal um dígito é dito significativo se: ● assumir qualquer um dos valores: 1, 2, …, 9 ● zero é significativo quando está entre dois significativos, ou seja, este dígito deixa de ser significativo quando é usado para fixar o ponto decimal ou preencher o lugar de dígitos descartados. Exemplos: Representação decimal Forma normalizada Algarismos significativos 0.0004312 0.0540 1.000 4096 38500 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 10 Tipos de arredondamento Existem diferentes formas de se efetuar arredondamentos de tal maneira que um número que apresente mais de n dígitos possa ser representado por apenas n dígitos. Arredondamento por corte ou truncamento ( )x∇ : Para se ter um número com n dígitos, trunca-se o número na posição do dígito n. Arredondamento para número mais próximo de máquina ou simétrico ( )Ox : Para se ter um número com n dígitos soma-se 5 à posição n+1 e trunca-se o número na posição do dígito n. Exemplos: Representação de diferentes números no sistema ( )100,98,4,10FF −= utilizando os dois tipos de arredondamento acima descritos, quando necessário. ✔✔✔✔ Exercício de aula Representar os números abaixo indicados no sistema ( )5,43,10FF −= . x ∇x Ox 0.444444 0.329558 37.778777… 0.1234 1.234,6 124.537,12 x ∇x Ox 33.47521 5439157.21 0.000004777... 3005.1 95674.374 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 11 Propagação Catastrófica de Erros As operações de adição ( )+ e multiplicação ( )∗ com os números reais satisfazem a propriedade associativa, isto é: ( ) ( )zyxzyx ++=++ e ( ) ( )zyxzyx ∗∗=∗∗ No sistema de ponto flutuante, no entanto, estas propriedades deixam de ser válidas. Ao efetuar-se um grande número de operações com ponto flutuante todo o cuidado é pouco. A magnitude do erro de arredondamento pode ser maior do que a resposta desejada. Exemplos: ❶ 1 3 1 3 1 3 1 =++ , em ℝ ( )reais números dos conjunto Usando n = 4 e arredondamento ∇x ou Ox, vem: 1 0.9999 0.3333 0.3333 0.3333 ≠=++ ❷ 3 1 3 1 3 2 =− Usando n = 4 e arredondamento Ox, vem: 3334.03333.06667.0 3 1 3 2 =−=− Sendo 3333.0 3 1 = , neste caso 3 1 apresentou duas representações distintas !! ✔✔✔✔ Exercício de aula Verificar a validade das igualdades a seguir considerando n = 3 dígitos e arredondamento Ox. ⒜ ( ) ( )51.511111351.5111113 +−+=+− ⒝ ( ) ( )04.524.926.404.524.926.4 ++=++ ⒞ ( ) 97.7 9.84123.09.84 97.7 123.0 ∗ =∗ CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 12 Precisão e Exatidão de Máquinas Para cada máquina há um sistema de ponto flutuante associado. Este sistema automaticamente define a precisão da máquina. É importante destacarmos a diferença do conceito de precisão e de exatidão Precisão: É definida como o número de dígitos da mantissa da máquina. Fator dependente: máquina utilizada Exatidão: Medida de perfeição de uma aproximação. Qualifica uma aproximação com boa ou ruim. Fatores dependentes: Precisão da máquina utilizada e algoritmo ( método ) utilizado para obtenção de um resultado. Medidas de Exatidão Ao operarmos com um certo número real x em uma calculadora, estamos na verdade operando com um valor aproximado x~ . Este valor aproximado, operado inúmeras vezes, gera um erro de aproximação no resultado final. Assim, no resultado final devemos calcular a exatidão desse número, isto é, o número de dígitos da mantissa que estão corretos. ● Erro Absoluto: x ~xEA −= ● Erro Relativo: x ~ -xER x= Exemplos: ❶ Sendo x = 0.00005 e x~ = 0.00006, então: EA = 0.00001 ER = 0.2 ou seja 20%. Neste caso, o EA é muito pequeno, mas o ER não deixa dúvidas de que a diferença é da ordem de 20%. Os erros relativos são mais usados que os erros absolutos. ❷ Sendo ( ) 1.53.2x6.1xxxf 23 ++−= tem-se ( ) 263899.144.71f −= . No entanto, vamos verificar o erro relativo cometido ao avaliarmos ( )4.71f utilizando n = 3 e diferentes tipos de arredondamentos. Assim, ⒜ para arredondamentos ∇x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13.5 1.515.0134104 1.515.01344.7122.1 1.515.022.16.14.714.71 1.54.713.24.716.171.44.71f 2 23 −= ++−= ++−×= ++×−×= +×+×−= Neste caso o erro relativo é: ( ) 05.0 263899.14 5.13263899.14ER ≅ − −−− = CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 13 ⒝ para arredondamentos Ox: Neste caso o erro relativo é: Genericamente podemos afirmar que funções polinomiais, ou seja, escritas da forma ( ) 011-n1-nnn axaxaxaxP ++++= L exigem n adições e 2 nn 2 + multiplicações para serem avaliados em algum ponto. Aproximação alternativa: forma reagrupada (Algoritmo de Horner) Como uma aproximação alternativa, os polinômios podem ser expressos de forma reagrupada, antes de serem avaliados, pois esta representação minimiza o número de cálculos aritméticos. Ocorrendo então uma diminuição no número de operações capazes de produzirem erros, o resultado tende a ser mais próximo do valor exato. Genericamente, tem-se: ( ) ( )( )( )( ) 0122-n1-nn 01 1-n 1-n n n axaxaxaxaxa axaxaxaxP +++++= ++++= LL L A avaliação de polinômios escritos de forma reagrupada exige n adições e n multiplicações. Retomando-se o exemplo anterior, tem-se que ( ) 1.53.2x6.1xxxf 23 ++−= pode ser reescrita como: ( ) ( )( ) 1.5x3.2x6.1xxf ++−= Neste caso, se novamente avaliarmos ( )4.71f utilizando n = 3 e utilizando os dois tipos de arredondamento podemos verificar que os resultados já se aproximam bem mais do valor exato, ou seja, ( ) 263899.144.71f −= , já que: ⒜ usando arredondamentos ∇x: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2.14 5.17.15 5.171.434.3 5.171.42.354.6 5.171.42.371.439.1 1.571.43.271.46.171.44.71f −= +−= +×−= +×+−= +×+×−= +×+×−= Neste caso o erro relativo é: ( ) 0045.0 263899.14 2.14263899.14ER ≅ − −−− = CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 14 ⒝ usando arredondamentos Ox: Neste caso o erro relativo é: CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 15 Desenvolvimento de séries O número e é definido por ∑ ∞ = = 0 i ! i 1 e , onde ( ) 121iii! ×××−×= L para 0i ≠ e 10!= . Calcule ∑ = ≈ 7 0 i ! i 1 e considerando precisão de cinco dígitos e arredondamento Ox. Avalie ainda ( )eASC em cada iteração. Observe que o desenvolvimento desta série é feito de acordo com o valor máximo considerado para i, pois desta forma estará sendo indicado o número de termos a serem tomados para a formação do número e. Assim: Algarismos Significativos Corretos (ASC) ou Dígitos Significativos Exatos (DIGSE) Na prática, quando obtemos o resultado de uma expressão numérica avaliada numa máquina e não podemos saber seu valor exato torna-se impossível calcular o erro absoluto ou relativo cometido. No entanto, é necessário avaliarmos o resultado. O número de dígitos significativos exatos pode ser obtido pela avaliação do logaritmo decimal do erro relativo. Como normalmente não temos o valor exato para fazermos as comparações é utilizada a seguinte fórmula: ( ) x x-x10 0.5log 3.0 - xASC 1 i i1 i9- i +×+= + + A parte inteira do número resultante desta avaliação indica o número de dígitos significativos exatos da aproximação ix em relação a 1 ix + . i ti e ( )eASC 0 1 2 3 4 5 6 7 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 16 ✔✔✔✔ Exercícios de aula Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox ① Sendo ( ) ( ) 1i 112ln 0i i + −= ∑ ∞ = avalie ( )2ln através do desenvolvimento desta série até i = 6 e calcule o erro relativo obtido na última iteração efetuada em comparação ao resultado apresentado em sua calculadora para ( )2ln . i ti ( )2ln 0 1 2 3 4 5 6 ② Sendo ( ) L+−+−= + −= ∑ ∞ = + 7! x 5! x 3! x x 1)!(2i x1)(xsen 753 0i 12i i avalie 3 π sen tendo como critério de parada i = 4 e sendo 0472.1 3 π = . Calcule 3 π senASC a cada iteração. i ti 3 π sen 3 π senASC 0 1 2 3 4 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 17 Erros Computacionais Existem pelo menos quatro fontes de erros que influenciam a resolução de um problema computacionalmente e que colocados juntos ou isoladamente podem se propagar afetando o resultado final. ● Erros inerentes aos dados de entrada: As fórmulas matemáticas contém parâmetros (distância, tempo, temperatura,...) cujos valores são obtidos por aparelhos limitados ( pela construção do aparelho, regulagem, mudança de temperatura, … ) ou por enganos humanos. Estes erros não podem ser evitados. ● Erros de modelagem: Provenientes das simplificações das situações reais que fazemos através de modelos. Em geral, usam-se modelos matemáticos que associam parâmetros e processos do mundo real com expressões em uma estrutura matemática. Esta abstração admite que se ignore todos os aspectos do mundo real, os quais não são de interesse. Com isto, um certo erro é introduzido no cálculo. ● Erros de truncamento: Introduzidos pela substituição de qualquer processo ou fórmula infinita por uma finita, onde considera-se o desenvolvimento até um número finito de n termos e despreza-se um número infinito de termos pelo truncamento do modelo real. ● Erros de arredondamento: São produzidos quando uma calculadora ou computador é utilizado para realizar cálculos com números reais. Os erros ocorrem porque a aritmética utilizada pelas máquinas utiliza apenas números com um número finito de dígitos, o que faz com que os cálculos sejam executados com valores aproximados dos números envolvidos. ✔✔✔✔ Exercício de aula Se o valor de xe for calculado por ∑ = = 3 0i i x i! x e num computador hipotético que usa a representação dos números em ponto flutuante com 5 algarismos significativos na base 10, poderemos identificar dois tipos de erros na implementação de xe . Quais são estes erros ? CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 18 Lista de Exercícios ① Efetue, para cada um dos casos, arredondamentos por truncamento (∇x) e para número mais próximo de máquina (Ox) utilizando o sistema ( )5,54,10FF −= e indicando o resultado na forma normalizada. ⒜ 21080.00054776 × ⒝ - 77.4031566... ⒞ 1872215.111... ⒟ 0.6241 ⒠ 2.3412 ⒡ 3100.00011333 −×− ② Represente os números que se seguem em ponto flutuante normalizado com 5 algarismos significativos na base 10. Se a representação não for exata efetue arredondamento por truncamento (∇x) e para número mais próximo de máquina (Ox). ⒜ 3 ⒝ 1 9 ⒞pi ⒟ 1 7 ⒠ 100 71 ⒡ e ③ Calcule o valor das expressões que se seguem utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos e arredondamento Ox. ⒜ ( ) 3.1007.13.19 −+ ⒝ ( ) ( )0.00251 327- 1.3 27.2 ∗∗ ⒞ 22.309.71.14 2.81.31.10 ∗+ ∗− ⒟ 1 3 1 3 1 3 + + ⒠ ( )0.50.7 365 ++ ⒡ ( ) 5.07.0365 ++ ⒢ ( ) 02.099.44210 −− ⒣ ( )0.024.99 -4210 + ④ Dado o sistema ( )10,104,10FF −= , verifique a validade da propriedade: ( ) ( )cbacba ++=++ sendo 0.6472=a -4100.4685×=b -4100.3297 ×=c utilizando: ⒜ arredondamento por truncamento (∇x) ⒝ arredondamento para número mais próximo de máquina (Ox). ⑤ Dado o número 105.47 na base 10, determine sua representação na base 2 usando 12 algarismos. Esta representação é exata? ⑥ Sendo ( ) 0.472.2xxxP 2 +−= e ( )10,102,10FF −= e arredondamento Ox calcule, passo a passo: ⒜ as raízes de P(x)=0 ⒝ o valor de P(1.9) ⒞ o valor de P(1.9) utilizando o algoritmo de Horner CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 19 ⑦ Verifique o valor lógico das sentenças abaixo, justificando sua resposta; ⒜ Para diminuir a região de underflow é preciso aumentar o número de dígitos da mantissa do sistema de ponto flutuante. ⒝ Aumentando-se em valor absoluto os expoentes e1 e e2 de um sistema de ponto flutuante a região de underflow será aumentada. ⑧ Para cada um dos sistemas de pontos flutuante abaixo determine seu cardinal e regiões de underflow e overflow, indicando os extremos dos intervalos na base 10. ⒜ ( )2,2,2,2FF −= ⒝ ( )2,1,3,2FF −= ⒞ ( )1,1,4,2FF −= ⑨ Sendo ( ) ∑∞ = −= 0i 2i i (2i)! x1)(xcos avalie ( )πcos tendo como critério de parada i = 5. Use 3.1416π = . Respostas ① Item ∇∇∇∇X OX ⒜ -1100.5477 × -1100.5478× ⒝ 2100.774- × 2100.774- × ⒞ Overflow Overflow ⒟ 0.6241 0.6241 ⒠ 100.2341× 100.2341× ⒡ Underflow Underflow ③ Item ∇∇∇∇X OX ⒜ 100.1732× 100.17321× ⒝ 0.11111 0.11111 ⒞ 100.31415× 100.31416× ⒟ 0.14285 0.14286 ⒠ 100.14084× 100.14085× ⒡ 100.27182× 100.27183× CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 20 ③ ⒜ 10.1 ⒝ 34.6 ⒞ - 0.177 ⒟ 0.999 ⒠ 366 ⒡ 367 ⒢ 4210 ⒣ 4200 ④ ⒜ ( ) ( ) 0.6472cbacba =++=++ ⒝ ( ) 6472.0cba =++ e ( ) 0.6473cba =++ ⑤ ( ) ( )210 01111.110100147.105 L= A representação obtida não é exata. ⑥ ⒜ P(x) = 0 determina x1 = 2 e x2 = 0.25 ⒝ P(1.9) = - 0.13 ⒞ P(1.9) = - 0.1 ⑦ ⒜ (F), a região de underflow é influenciada somente pela modificação do valor de e1. O aumento do número de dígitos da mantissa (n) só irá influenciar na densidade do sistema de ponto flutuante. ⒝ (F), aumentando-se os valores absolutos de e1 e e2 de um sistema de ponto flutuante a região de underflow será diminuída, já que o menor numero de máquina, em valor absoluto, será deslocado para uma posição mais próxima de zero. ⑧ ⒜ #F = 21 Região de underflow: { } 0 - 8 1 ; 8 1 − Região de overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;3 3; ⒝ #F = 33 Região de underflow: { } 0 - 4 1 ; 4 1 − Região de overflow: ∞+∪ −∞− ; 2 7 2 7 ; ⒞ #F = 49 Região de underflow: { } 0 - 4 1 ; 4 1 − Região de overflow: ∞+∪ −∞− ; 8 15 8 15 ; CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 21 ⑨ OBS: ( ) 1πcos −= (resultado de máquina) i ti ( )πcos 0 1 1 1 -4.9348 -3.9348 2 4.0588 0.124 3 -1.3353 -1.2113 4 0.23534 -0.97596 5 -0.025807 -1.0018 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 22 EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss AAAlllgggééébbbrrriiicccaaasss eee TTTrrraaannnsssccceeennndddeeennnttteeesss O problema de cálculo de raízes é considerado um dos mais importantes das aproximações numéricas. Encontrar os zeros de uma função ( )xf significa determinar as raízes, ou soluções, de uma equação da forma ( ) 0xf = . Para equações algébricas de 1º e 2º grau e algumas de 3º e 4º grau e transcendentes existem métodos analíticos para calcular suas raízes. Para grau superior a 4 e a grande maioria de equações transcendentes tem-se a resolução obtida por métodos numéricos que aproximam as soluções. Equações Algébricas São aquelas em que a ( )xf só contém operações algébricas, repetidas um número finito de vezes. Exemplos: 01-9x3x-x 57 =+ ( Polinomial ) 0 x 2 x 2 =− Equações Transcendentes São aquelas em que a incógnita x aparece submetida a alguma operação não algébrica em pelo menos um termo da função ( )xf , ou seja, envolve funções transcendentais como: xe , ( )xcos , ( ) L, xln Exemplos: ( ) ( ) 0xxlogxtan 2 =++ ( ) 0xsenex =+ Equações Polinomiais de grau n (n ≥≥≥≥ 1) Forma genérica: ( ) 011n1nnnn axaxaxaxP ++++= −− L onde os coeficientes são números reais e 0a n ≠ . Teorema Fundamental da Álgebra Uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes reais e/ou complexas, contando sua multiplicidade. Para polinômio reais as raízes complexas aparecem aos pares conjugados. Exemplos: ( )xP Raízes 1x 2 + i± ( par conjugado ) 168xx 2 +− 4 ( multiplicidade 2 ) 9-x 2 3± CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 23 Enumeração de raízes ● Enumerar as raízes de um polinômio ( )xP é dizer quantas raízes possui o polinômio e de que tipo elas são (reais ou complexas). O grau do polinômio ( )xP indica o número de raízes que ele possui, porém determinar de que tipo são as raízes ( reais positivas, negativas, simples, múltiplas ou complexas ), já não é tão fácil. ● Enumerar as raízes de funções transcendentes, em geral, não é fácil. Técnicas de Separação de Raízes ● Análise Gráfica O processo consiste em representar no plano cartesiano alguns pontos ( )( )xf ,x . Os valores para os quais ( ) 0xf ≅ são aproximações das raízes da função. Exemplos: ❶ Seja ( ) x-e 5 - xxf = . Gráfico: ( )xf Gráfico: xe5x −= Gráfico: xe 5 x − = Intervalo com raiz de ( )xf : [ ]2,1R ∈ CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 24 ✔✔✔✔ Exercício de aula Seja ( ) ( ) 1xlnx xf −= . Localize graficamente a(s) raiz(es) reais de ( )xf . Gráfico: ( )xf Gráfico: ( ) x 1 xln = Intervalo com raiz de ( )xf : ● Procedimento Analítico Seja ( )xf uma função contínua num intervalo [ ]b ; a . ⑴⑴⑴⑴ Se ( ) ( ) 0 b f a f <× então existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo ( )L 7, 5, 3, 1, ⑵⑵⑵⑵ Se ( ) ( ) 0 b f a f >× então existe um número par de raízes reais neste intervalo ( )L 6, 4, 2, 0, ⑶⑶⑶⑶ Supondo que as funções ( )xf e ( )xf ' sejam contínuas em [ ]b ; a , e o sinal de ( )xf ' seja constante em [ ]b ; a , então: ⒜⒜⒜⒜ Se ( ) ( ) 0 b f a f <× então existe uma única raiz real neste intervalo ⒝⒝⒝⒝ Se ( ) ( ) 0 b f a f >× então não existem raízes reais neste intervalo CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 25 Métodos para cálculo de Raízes ● Método da Bissecção Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a onde ( ) ( ) b fe a f possuem sinais contrários e existindo apenas uma raiz no intervalo. O método consiste em dividir o intervalo [ ]b ; a em duas partes, calculando-se então o valor médio 2 ba x m + = e originando dois novos intervalos: [ ]m x; a e [ ]b ; x m . Um destes intervalos dará origem ao novo intervalo [ ]b ; a , sendo que esta escolha é feita em função de uma pesquisa de sinais. Se ( ) ( ) xfe a f m possuem sinais contrários, então o intervalo [ ]m x; a assume a condição de novo [ ]b ; a . Caso contrário, o intervalo [ ]b ; x m assume a condição de novo [ ]b ; a . Características do Método da Bissecção O método da bissecção, ainda que conceitualmente bastante simples e claro, apresenta vantagens e desvantagens. Apresenta a importante propriedade de sempre convergir para uma solução, apesar desta convergência ser sempre muito lenta. Justamente a garantia de convergência justifica sua freqüente utilização como ponto de partida para uma posterior utilização de métodos mais eficientes. Exemplos de utilização do método da bissecção: ❶ ( ) ( ) 4x-xsenxf 2 += Localização das Raízes: Gráfico: ( ) 4xxsen 2 −= Raízes de ( )xf : [ ] 1- , 2- R1 ∈ [ ] 3 ,2R 2 ∈ Objetivo: Calcular uma aproximação para 1R Precisão: 5 dígitos Arredondamentos: Ox Critério de Parada: 10i = Calcular ( )mxASC obtido na iteração i = 9. Intervalo inicial: [ ] [ ]1,2b ; a −−= ( ) ( ) 0 909.02-faf <−== e ( ) ( ) 0 159.21fbf >=−= CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 26 1º Passo: Cálculo do ponto médio do intervalo: ( ) ( ) 5.1 2 12 2 ba x m −= −+− = + = Sendo ( ) 075251.01.5-f >= então mx assume a posição à direita no novo intervalo, já que inicialmente verificamos ( ) ( ) 0 159.21fbf >=−= , ou seja, o mx sempre assume a posição que possui mesmo sinal de imagem. É importante observar que não existe, necessariamente, uma alternância de posicionamentos na formação dos intervalos. 2º Passo: [ ] [ ]5.1,2b ; a −−= Cálculo do ponto médio do intervalo: ( ) ( ) 75.1 2 5.12 2 ba x m −= −+− = + = Fazendo-se a escolha pela verificação dos sinais de imagens, tem-se ( ) 0046486.01.75-f <−= . Neste caso verifica-se que mx assume a posição à esquerda no novo intervalo, já que ( ) ( ) 0 909.02faf <−=−= . As demais etapas do processo seguem o mesmo tratamento, e os resultados representados numa tabela abaixo até que o critério de parada escolhido seja atendido. i a b mx ( )mxf ( )mxASC 0 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.2406 10 -1.7359 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 27 ❷ ( ) 20-24x4xxxf 24 −+= Gráfico: 2024x4xx 24 ++−= Raízes reais de ( )xf : [ ] 0 , 1- R1 ∈ [ ] 3 ,2R 2 ∈ Objetivo: Calcular uma aproximação para 1R Precisão: 6 dígitos Arredondamentos: Ox Critério de Parada: 7i = Intervalo inicial: [ ] [ ]0,1b ; a −= i a b mx ( )mxf 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.730469 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 28 ❸ CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 29 ● Método de Newton-Raphson O método de Newton é uma técnica de iteração funcional, ou seja, é um processo no qual a cada iteração um novo resultado é obtido tendo por base o resultado obtido na iteração anterior. Fórmula iterativa: Vamos considerar os pontos ( )( )nn xf ,x e ( )0,x 1n+ e determinar a equação da reta que passa por estes pontos, sendo o coeficiente angular ( )n' xfα = . Assim, ( ) ( ) ( ) ⇒−×=− +1nnn'n xxxf 0xf ( )( ) ( )1nnn' n xx xf xf +−= ( ) ( )n' n n1n xf xf x x −=+ O método de Newton é uma técnica extremamente poderosa, mas com o inconveniente de ser necessário conhecer o valor da derivada da função em cada aproximação, sendo que não pode ser executado se ( ) 0xf n' = para qualquer n. Frequentemente o cálculo de ( )n' xf apresenta mais dificuldades e necessita de mais operações aritméticas do que ( )nxf . CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 30 Convergência do método de Newton-Raphson Em condições razoáveis o método de Newton apresenta convergência, desde que seja escolhida uma aproximação inicial com precisão suficiente. Na prática, uma aproximação inicial é selecionada e são geradas aproximações sucessivas. Estas aproximações, em geral, vão convergir rapidamente para a raiz ( convergência quadrática ), ou vai ficar claro que a convergência é improvável oscilando indefinidamente. Exemplos de problemas de convergência do método de Newton: Se ( ) 0xf n' = , não há ponto de intersecção para definir 1nx + O método pode não convergir, indo de 0x para 1x e voltando para 0x , nunca se aproximando da raiz r. ① Sendo ( ) ( ) 1xsenxf += CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 31 ● aproximação inicial 4,5x 0 = Resultado das iterações: , , , , ,4.5 4.6066 4.6595 4.6860 4.6993 4.7062 ● aproximação inicial 6x 0 = Resultado das iterações: , , , , ,6 5.2495 4.9743 4.8426 4.7774 4.7449 ● aproximação inicial 8x 0 = Resultado das iterações: , , , , ,8 21.673 23.055 23.314 23.439 23.501 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 32 ② Sendo ( ) xxxf 3 −= ● aproximação inicial -0,4x 0 = Resultado das iterações: , , , ,-0.4 0.24615 -0.03646 0.000098 0. ● aproximação inicial 5,0x 0 −= Resultado das iterações: ,-0.5 1.0000 Exemplos de utilização do método de Newton: ❶ ( ) 35xxxf 3 +−= Raízes de ( )xf : [ ] 2- , 3- R1 ∈ [ ] 1 , 0 R 2 ∈ [ ] 2 , 1 R 3 ∈ Objetivo: Calcular uma aproximação para 3R Precisão: 6 dígitos Arredondamentos: Ox Critério de Parada: ( ) 4xASC i ≥ Aproximação inicial: 5.1 2 21 x 0 = + = (Ponto médio do intervalo) i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixASC 0 1 2 3 4 4.66241 5 1.83424 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 33 ❷ A função ( ) ( )xcosxxf = possui a seguinte representação gráfica: Analise a sequência de resultados gerados pelo método de Newton-Raphson com valor inicial 3x 0 = para determinação de uma aproximação para a raiz [ ]5,4r ∈ 3x 0 = 89863,0x1 = 8522,7x 2 = 854,7x 3 = 854,7x 4 = O objetivo foi atingido ? Justifique sua resposta e indique uma sugestão, em caso negativo, para reverter a situação, não sendo necessário efetuar cálculos. CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 34 Listas de Exercícios Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox ① Considerando as funções abaixo, efetue a separação gráfica para localização de raízes reais. ⒜ ( ) ( )xlnxxf 2 += ⒝ ( ) ( )x2cosxxf += ② Sendo ( ) 3x9xxf 3 +−= uma função com raízes reais nos seguintes intervalos: [ ] 3- , 4- R1 ∈ [ ] 1 , 0 R 2 ∈ e [ ] 3 , 2 R 3 ∈ , use o método da bissecção para calcular uma aproximação para a raiz real negativa com precisão de 6 dígitos e arredondamentos Ox. Calcule o ( )mxASC obtido na iteração i = 5. ③ Sendo ( ) ( ) 1xlnxxf −= uma função com um raiz real [ ] 2 , 1 R ∈ , use o método da bissecção para calcular uma aproximação para esta raiz real com precisão de 6 dígitos e arredondamentos Ox. Use como critério de parada i = 5. ④ Sendo ( ) ( ) 4x-xsenxf 2 += utilize o método da bissecção para calcular uma aproximação para a raiz real positiva utilizando como critério de parada 6i = e calcule ( )mxASC obtido na iteração i = 5. ⑤ Sendo ( ) 20-24x4xxxf 24 −+= utilize o método da bissecção para calcular uma aproximação para a raiz real positiva utilizando como critério de parada 7i = . ⑥ Sendo ( ) 2xxxf 24 −−= uma função com raízes reais nos intervalos: [ ] 1- , 2- R1 ∈ e [ ] 2 , 1 R 2 ∈ , use o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 2R com precisão de 6 dígitos e arredondamentos Ox e tendo como critério de parada o erro absoluto ( ) 0005.0xEA i ≤ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. ⑦ Sendo ( ) ( )xcosxxf 2 −= uma função com raízes reais nos intervalos: [ ] 0, 1- R1 ∈ e [ ] 1 , 0 R 2 ∈ use o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 1R tendo como critério de parada i = 5. Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. ⑧ Sendo ( ) 2117x5xxxf 23 ++−= uma função com uma raiz real no intervalo [ ] 0 , 1- , use o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para esta raiz tendo como critério de parada ( ) 001.0xER i ≤ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. ⑨ Sendo ( ) 15x35xxxf 23 +−−= uma função com raízes reais nas seguintes condições: [ ] 1- , 2- R1 ∈ [ ] 2 , 1 R 2 ∈ 5R 3 = CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 35 Utilize o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 1R tendo como critério de parada ( ) 3xASC i ≥ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. Respostas ① ⒜ [ ] 1 , 0 R ∈ ⒝ [ ] 1- , 2- R ∈ ② i a b mx ( )mxf ( )mxASC 0 1 2 3 4 5 2.30544 6 -3.15625 -3.14063 -3.14844 0.126499 ③ i a b mx ( )mxf 0 1 2 3 4 5 1.75 1.78125 1.76563 0.00377402 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 36 ④ ( ) ( ) 0 909.02faf >== e ( ) ( ) 0 859.43fbf <−== i a b mx ( )mxf ( )mxASC 0 1 2 3 4 5 2.1494 6 2.1954 ⑤ i a b mx ( )mxf 0 1 2 3 4 5 6 7 2.73048 ⑥ i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixEA 0 1 2 0.00009 3 1.41421 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 37 ⑦ i ix ( )ixf ( )i' xf 0 1 2 3 4 5 -0.824132 ⑧ i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixER 0 1 2 0.0009119 3 -0.93212 ⑨ i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixASC 0 1 2 2.3937 3 -1.7289 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 38 SSSiiisssttteeemmmaaasss dddeee EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss LLLiiinnneeeaaarrreeesss Representação usual Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas é usualmente escrito da forma: =++++ =++++ =++++ nnnn3n32n21n1 2n2n323222121 1n1n313212111 bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa L LLLLLLLLLLLLLLLLL L L Sendo: jia : coeficientes das incógnitas ix : incógnitas ib : termos independentes n : número de incógnitas Representação Matricial: = × n 3 2 1 n 3 2 1 nnn3n2n1 3n333231 2n232221 1n131211 b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa LL L LLLLL L L L Sendo A : matriz nxn dos coeficientes das incógnitas X : vetor de n incógnitas B : vetor de n termos independentes A X B CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 39 Classificação de sistemas quanto ao número de soluções ● Compatível ( existe solução ) ( )( ) • • soluções infinitas única solução adoIndetermin oDeterminad ● Incompatível ( não existe solução ) Exemplos: ❶ =+ =+ 03yx- 52y x = = 1 3 y x X Classificação: Sistema compatível determinado ❷ =− =− 1yx 0y x existenão: y x X = Classificação: Sistema incompatível ❸ =+ =+ 0y63x 0y2 x = = 2 x- x y x X Classificação: Sistema compatível indeterminado CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 40 Para um sistema de duas equações (duas incógnitas) podemos, genericamente, ter os gráficos: Classificação dos Métodos para Resolução de Sistemas ● Diretos : um método é direto quando, na ausência de erros de arredondamento, determina a solução exata do sistema por um número finito de passos previamente conhecidos. O custo computacional em termos de tempo de processamento num método direto pode ser estimado por meio do número de operações que ele envolve. Exemplos: método de Gauss sem pivotamento e Gauss com pivotamento. ● Iterativos : a solução do problema é obtida através do limite de sucessivas aproximações. Exemplos: método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Método de Gauss sem pivotamento Método direto para resolução de sistemas de equações na forma BXA = . O vetor X é obtido em duas etapas: ⑴⑴⑴⑴ Triangularização : obtida por operações elementares nas linhas da matriz e zerando-se todos os elementos abaixo da diagonal principal. ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição : cálculo de cada um dos valores do vetor X. O número total de operações envolvidas no método de eliminação de Gauss é igual a ( ) 6 7n9n4n 23 −+ . Assim, se o sistema tiver 50 equações, têm-se que realizar 87.025 operações, e supondo-se que uma operação numa determinada máquina possa ser efetuada em 1210− segundos, o tempo de processamento para resolver o sistema será de aproximadamente 8108,7 −× segundos. A viabilidade de utilização deste método fica assim evidenciada. No algoritmo do método de eliminação de Gauss é necessário que 0a i i ≠ . Esse elemento é denominado pivô. Se ocorrer 0a i i = , então antes de se dar seqüência ao método, deve-se efetuar a troca desta linha por outra abaixo dela, de modo que o elemento que fará o papel de pivô seja não-nulo. Sistema bem condicionado Sistema singular Det (A) = 0 Sistema mal condicionado CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 41 Exemplos: Determine a solução para o problema a seguir pelo método de Gauss utilizando precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox. ❶ =−+− −=−+− =+−+ =++ 184x3x8xx3 61x8x4x6 64x3x8x9x 3x2x3x 4321 321 4321 421 ⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 3 2 0 1 3 9 8 -3 4 6 -6 4 -8 0 -16 3 -8 3 -4 18 ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 42 ❷ =+− =−+ =+ 33z-9y6x 23zyx 42z6y-4x ❸ =+ −=++ =+ 3z3y-x4 14zyx 3 2z32y-5x CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 43 ❹ =− =++ =++ 02z11x 03z3y4x 0zyx Problemas com o método de Gauss: Determine a solução para o problema a seguir pelo método de Gauss utilizando precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox. =+ =+ 62y 2x 5y2x0002.0 ⑴⑴⑴⑴ Triangularização: ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 44 Método de Gauss com pivotamento Para assegurar a estabilidade numérica no método de eliminação de Gauss, frequentemente é necessário trocar linhas e/ou colunas não somente quando o pivô é nulo, mas também quando ele é próximo de zero ou, o que é mais comum, deve-se a cada passo procurar levar para a posição i i a para ser pivô, o elemento de maior valor absoluto. Este procedimento de trocas de linhas e colunas denomina-se pivotamento. Quando a estratégia de pivotamento é usada os erros de arredondamento que ocorrem no decorrer dos cálculos são desprezíveis. Intuitivamente pode-se dizer que o erro de arredondamento é minimizado quando o pivô é o maior possível em módulo. Exemplos: Nos exemplos a seguir use precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox a cada operação efetuada. ❶ Calcule a solução do sistema anteriormente proposto através do método de Gauss com pivotamento. =+ =+ 62y 2x 5y2x0002.0 ⑴⑴⑴⑴ Triangularização: ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 45 ❷ Calcule a solução do sistema abaixo pelos métodos de Gauss sem pivotamento e também com pivotamento. Substitua os resultados obtidos em cada caso no sistema original. =+ =+ 321.5yx 4321.0 343.12y34.12x0003.0 Gauss sem pivotamento: ⑴⑴⑴⑴ Triangularização: ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: Gauss com pivotamento: ⑴⑴⑴⑴ Triangularização: ⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 46 ❸ Calcule a solução do sistema abaixo pelo método de Gauss com pivotamento. Substitua os resultados obtidos no sistema original. =++ −=+ =+ 4.210.832z0.987y1.09x 3.091.12z-10.2y4.01x 2.010.921z4.21y-2.11x CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 47 Métodos iterativos Obtém-se cada variável isolando-as nas equações. Para o cálculo, usa-se ● as variáveis de iteração anterior, no caso do método de Gauss-Jacobi ● as variáveis atualizadas no método de Gauss-Seidel Exemplos: Nos exemplos a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox a cada resultado inserido na tabela. ❶ Considere: −− = +− = + = ⇒ =++ =−+ −=+− 3 yx10 z 4 zx4y 3 z-y2- x 103zyx 4z4yx 2zy3x com vetor inicial ( ) = 0 0 0 X 0 GAUSS-JACOBI n x y z 0 0 0 0 1 2 3 4 5 GAUSS-SEIDEL n x y z 0 0 0 0 1 2 3 4 5 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 48 ❷ Conside um sistema e suas variáveis isoladas da seguinte forma: −= −= ⇒ = =+ 12xy 2y3x 1y-2x 32yx Utilize o vetor inicial nulo para aproximar a solução do sistema pelos métodos iterativos. GAUSS-JACOBI n x y 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 GAUSS-SEIDEL n x y 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 49 Teorema da convergência Critério das linhas: é condição suficiente para que o método apresente convergência para a solução do sistema se n,2,1,i, n ji 1j jiìi aa L=> ∑ ≠ = A matriz que satisfaz as hipóteses acima é chamada diagonal dominante estrita. Critério das colunas: análogo ao critério das linhas, considerando-se as colunas. Exemplos: ❶ É possível destacar a diagonal dominante a partir do sistema abaixo, pois: 113 114 113 103zyx 4z4yx 2zy3x +> −+> +−> ⇒ =++ =−+ −=+− Neste caso a convergência é garantida ao isolarmos x na 1ª equação, y na 2ª e z na 3ª equação. ❷ O sistema abaixo, na forma como está escrito, não é possível destacar a diagonal dominante, pois: 21 21 1y-2x 32yx <− < ⇒ = =+ Desta forma, não é possível garantir a convergência para a solução do sistema ao isolarmos x na 1ª equação e y na 2ª equação. No entanto, trocando-se as linhas do sistema obtém-se: 12 12 32y x 1y-x2 < −> ⇒ =+ = Neste caso a convergência é garantida ao isolarmos x na 1ª equação equação e y na 2ª equação. CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 50 Exemplos: Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox ❶ Sendo 157z3y 9z2yx5 103z9y x −=− =+− =−+ com solução exata = 3 2 1 X , é possível garantir a convergência da forma abaixo ? ( ) 7 3y15 ze92z5xy 3z;9y10 x +=−+=+−= Efetue cálculos pelo método de Gauss-Seidel tendo como vetor inicial : ( ) [ ] T0 131X = GAUSS-SEIDEL n x y z 0 1 2 É possível reescrever o sistema da forma diagonal dominante estrita ? Em caso afirmativo refaça os cálculos pelo mesmo método e com o mesmo vetor inicial. GAUSS-SEIDEL n x y z 0 1 2 3 4 5 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 51 ❷ Calcule uma aproximação para a solução do sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel, utilizando o vetor nulo como aproximação inicial. 1x2x 1.5x0.5x -32xx 2x4xx 41 31 43 421 =+ =+ =+− −=−+ Considerar precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox e vetor inicial : ( ) [ ] T0 0000X = GAUSS-SEIDEL n x1 x2 x3 x4 0 1 2 3 4 5 6 7 1 -1 1 -1 ❸ =− =− −=++− 10z2y - 02z 4x 102zy 2x Considerar precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox e vetor inicial : ( ) [ ] T0 000X = GAUSS-SEIDEL n x y z 0 1 2 3 4 ┉ ┉ ┉ ┉ 85± -5 0 -10 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 52 Lista de Exercícios ① Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss (sem pivotamento) usando o precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox. ⒜ =++ =++ =++ 3282y 4x 15 zy 5x 2 9 zy 4x z ⒝ Seja cba ++= xxf(x) 2 . Determinar a, b e c sabendo que 04)f( =− , 31)f( −=− e 12f(2) = . ② Utilize métodos iterativos ( Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel ) e aproximação inicial ( ) = 1 1 1 X 0 para calcular o vetor ( )5X para o sistema =++− −=++ =+− 514zyx 2z2y7x 102z3y ③ lassifique o sistema abaixo quanto à solução utilizando para tal o método de Gauss ( sem pivotamento ). =+ = =+ 020z10y-5x 0z-5y-3x 08z4y-2x ④ Utilize o método de Gauss com pivotamento para obter a solução do sistema a seguir. Considere precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox. −=+− =− =+ 46z8y5x 35z9x 37z6y-3x ⑤ Utilize os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para determinar aproximações para a solução dos sistemas a seguir. Considere precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox para obter o vetor ( )4X em cada caso, a partir do vetor inicial proposto. ⒜ =−+ =−+ =+− 80.08z0.24y 4x 90.15z3y 0.09x 204z 0.08y 0.04x com ( ) = 0 0 0 X 0 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 53 ⒝ 72x7x3x 3310x3x2x2x 5x2xx 5x 264x3x9xx 432 4321 4321 4321 −=+− =+−+− =−+− =+−+ com ( ) = 3 1 3 1 X 0 Respostas ① ⒜ = 3 2 1 X ⒝ ( ) 4xxxf 2 += ( a = 1 ; b = 4 ; c = 0 ) ② Gauss-Jacobi : ( ) − = 10.869 3.6425 9466.2 X 5 Gauss-Seidel : ( ) − = 11.001 4.0143 9817.2 X 5 ③ Sistema compatível indeterminado, = z 13z z22 X CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 54 ④ = 3 4 2 X CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 55 ⑤ ⒜ GAUSS-JACOBI n x y z 0 1 2 3 4 1.9092 3.1949 5.0448 GAUSS-SEIDEL n x y z 0 1 2 3 4 1.9092 3.195 5.0448 ⒝ GAUSS-JACOBI n x1 x2 x3 x4 0 1 2 3 4 0.83764 2.1359 2.8584 4.1477 GAUSS-SEIDEL n x1 x2 x3 x4 0 1 2 3 4 0.99456 1.9971 3.0003 3.9996 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 56 IIInnnttteeerrrpppooolllaaaçççãããooo NNNuuummmééérrriiicccaaa A interpolação é uma técnica antiga do cálculo numérico. Antigamente era muito utilizada para o cálculo dos valores de funções transcendentais. A partir de uma tabela com valores de tais funções para um conjunto de argumentos era utilizada a interpolação para avaliação de outros não tabelados. Hoje este fim não se justifica, pois calculadoras simples avaliam funções trigonométricas, hiperbólicas, exponenciais, etc para qualquer valor dentro do domínio de definição de tais funções. Atualmente a interpolação é utilizada para casos onde é difícil calcular o valor da função ou ainda quando não é conhecida a expressão da função, mas é conhecido um conjunto de valores obtidos através de experimentos. O problema da interpolação pode ser definido da seguinte forma: dada uma série de pontos ( )ii y , x com i = 0 , 1 ,..., n podemos associar uma função ( )xfy = . Para avaliarmos pontos intermediários aos conhecidos constrói-se uma função polinomial ( )xP tal que ( ) ii yxP = para i = 0 , 1 ,..., n. Interpolação Polinomial Uma das classes de funções mais conhecidas e úteis entre as que mapeiam o conjunto dos números reais em si mesmos é a classe dos polinômios algébricos, que possuem a forma ( ) 011n1nnnn axaxaxaxP ++++= −− L onde n é um número inteiro não negativo e n0 a,,a L são constante reais. A classe dos polinômios algébricos é importante porque eles aproximam de maneira uniforme funções contínuas. Dada qualquer função, definida e contínua em um intervalo limitado e fechado, existe um polinômio que é tão próximo da função desejada quanto desejado. Por razões práticas e históricas, a classe de funções mais usadas na interpolação são os polinômio, pois possuem a vantagem de serem fáceis de derivar, integrar e calcular. Para um conjunto de ( )1n + pontos determina-se um polinômio interpolador de grau menor ou igual a n. ● Interpolação Linear Consiste em passar segmentos de retas, ( polinômios de primeiro grau ) através de cada par de pontos da tabela. Assim, dados dois pontos distintos de uma função ( )xfy = ( )( ) ( )( )( )1100 xf , x exf , x , deseja-se calcular o valor de y para um determinado valor de x, sendo 10 xxx << usando interpolação linear, ou seja, determinando os coeficiente 0a e 1a do polinômio ( ) 011 axaxP += CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 57 Exemplos: ❶ Determinar o valor aproximado de ( )0.73f considerando a função ( )xfy = definida pelos dados abaixo: i ix ( )ixf 0 0 1.35 1 1 2.94 ❷ Dada a função ( ) 12x10xxf 4 ++= utilizar os valores de ( )0.1f e ( )0.2f para determinar um polinômio interpolador e avaliar ( )0.15P1 . i ix ( )ixf 0 1 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 58 ● Interpolação Quadrática Consiste em passar um polinômio de segundo grau através de um conjunto de três pontos, ou seja, se de uma função são conhecidos os pontos ( )( )00 xf , x , ( )( )11 xf , x e ( )( )22 xf , x , então o polinômio interpolador será obtido usando interpolação quadrática, ou seja, determinando os coeficientes 0a , 1a e 2a do polinômio ( ) 01222 axaxaxP ++= Exemplo: Avaliar ( )0.2f aplicando a interpolação quadrática no cálculo deste valor e utilizando os dados abaixo, n = 2 e arredondamento Ox. i ix ( )ixf 0 0.5 0.25 1 0.3 0.49 2 0.1 0.81 ● Generalização para grau n ( ) 01221n1nnnn axaxaxaxaxP +++++= −− L CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 59 ✔✔✔✔ Exercícios de aula ❶ Determinar o valor aproximado de ( )1.2f por interpolação polinomial a partir dos valores expressos na tabela abaixo: i ix ( )ixf 0 1 -1 1 1.5 -1.25 ❷ Avaliar ( )1.15f por interpolação quadrática e utilizando os dados abaixo. i ix ( )ixf 0 1 1 1 1.1 0.9091 2 1.25 0.8 ❸ A tabela abaixo apresenta a demanda máxima diária de energia elétrica numa cidade. Determine o polinômio que interpole os pontos e avalie a demanda no dia 05/02. Data 21/01 31/01 10/02 Demanda pico (MW) 10 25 20 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 60 Interpolação de Gregory-Newton ● Diferenças Divididas Seja ( )xfy = uma função calculável em pontos n10 x,,x,x L distintos diferentemente espaçados. Neste caso define-se o polinômio interpolador ( ) 0n1n2100210000 y)x(x)x)(xx)(xx(x y∆)x)(xx(xy)x(xyxP ∆−−−−++−−+∆−+= −LL onde ik y∆ é uma diferença dividida de ordem k, sendo: Ordem 1 : iy∆ Ordem 2 : i2 y∆ ┋ Ordem k : ik y∆ Para facilitar a determinação dos valores ik y∆ pode-se construir uma tabela como a que segue: i ix iy iy∆ i 2 y∆ i 3 y∆ i 4 y∆ 0 0x 0y 01 01 0 xx yy y∆ − − = 02 01 0 2 xx yy y∆ − ∆−∆ = 03 0 2 1 2 0 3 xx yyy∆ − ∆−∆ = 04 0 3 1 3 0 4 xx yyy∆ − ∆−∆ = 1 1x 1y 12 12 1 xx yyy∆ − − = 13 12 1 2 xx yyy∆ − ∆−∆ = 14 1 2 2 2 1 3 xx yyy∆ − ∆−∆ = ─ 2 2x 2y 23 23 2 xx yy y∆ − − = 24 23 2 2 xx yy y∆ − ∆−∆ = ─ ─ 3 3x 3y 34 34 3 xx yy y∆ − − = ─ ─ ─ 4 4x 4y ─ ─ ─ ─ CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 61 Exemplos: Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox ❶ Determinar o polinômio interpolador ( )xP de Gregory-Newton com base nos dados apresentados na seguinte tabela: i xi yi 0 0 0 1 2 8 2 3 27 3 5 125 4 6 216 i xi yi iy∆ i 2 y∆ i 3y∆ i 4 y∆ 0 0 0 1 2 8 2 3 27 3 5 125 4 6 216 - - - - ❷ Seja ( ) ( )xcosxf = . Estime o valor de ( )1.07cos utilizando interpolação de Gregory-Newton sobre os valores de x apresentados na tabela abaixo. i xi yi iy∆ i 2 y∆ i 3y∆ 0 0.8 1 0.9 2 1.1 3 1.2 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 62 ✔✔✔✔ Exercícios de aula Resolva os problemas abaixo utilizando interpolação de Gregory-Newton por diferenças divididas com precisão de 6 dígitos e arredondamentos Ox. ❶ Um automóvel percorreu 58 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, uma hora. A tabela abaixo apresenta o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades. Tempo ( min ) Distância ( km ) 0 0 10 8 30 27 60 58 Determinar qual foi, aproximadamente, a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos da viagem. i xi yi iy∆ i 2 y∆ i 3y∆ 0 0 0 1 10 8 2 30 27 3 60 58 ❷ A velocidade v (m/s) de um foguete lançado do solo foi medida 4 vezes, t segundos após o lançamento, e os dados registrados abaixo. Calcular a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos de lançamento. Tempo (s) Velocidade (m/s) iy∆ i2 y∆ i3y∆ i4 y∆ 0 0 8 52.032 20 160.450 30 275.961 45 370.276 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 63 ● Diferenças Finitas Sejam os valores ( )xfy = dados através da tabela ( ) n,1,0,iparay,x ii L= onde os valores de x são eqüidistantes, isto é, hxx i1i =−+ . Assim define-se o polinômio interpolador ( ) n 0 n 1n210 2 0 2 1000 0 hn! y∆ )x(x)x)(xx)(xx(x h2! y∆ )x)(xx(x h y )x(x yxP − −−−− ++ −− + ∆− += L L onde ik y∆ é uma diferença simples de ordem k, calculada da seguinte forma: Ordem 1 : i1ii yy∆y −= + Ordem 2 : i1ii2 yyy∆ ∆−∆= + ┋ Ordem k : i1k1i1-kik y∆y∆y∆ −+ −= Para facilitar a determinação dos valores ik y∆ pode-se construir uma tabela como a que segue: i ix iy iy∆ i 2 y∆ i 3y∆ i 4 y∆ 0 0x 0y 0y∆ 0 2 y∆ 0 3y∆ 0 4 y∆ 1 1x 1y 1y∆ 1 2 y∆ 1 3y∆ ─ 2 2x 2y 2y∆ 2 2 y∆ ─ ─ 3 3x 3y 3y∆ ─ ─ ─ 4 4x 4y ─ ─ ─ ─ Exemplos: As interpolações abaixo foram efetuadas utilizando diferenças finitas. ❶ Avaliar ( )0.5P com base nos dados apresentados na seguinte tabela: i xi yi 0 0.2 1.22 1 0.4 1.49 2 0.6 1.82 3 0.8 2.23 4 1 2.72 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 64 i xi yi ∆yi ∆2yi ∆3yi ∆4yi 0 0.2 1.22 1 0.4 1.49 2 0.6 1.82 3 0.8 2.23 4 1 2.72 ❷ Sendo ( ) 12x10xxf 4 ++= determinar o polinômio interpolador ( )xP e calcular ( )0.15P considerando os seguintes valores de x: 0.1 e 0.2. Neste caso a tabela de diferenças finitas é dada por: i xi yi ∆yi 0 0.1 1 0.2 - Sendo 0.1h = obtém-se o seguinte valor para ( )xP : CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 65 ❸ A tabela abaixo apresenta a demanda máxima diária de energia elétrica numa cidade. Determine o polinômio que interpole os pontos e avalie a demanda no dia 05/02. Data 21/01 31/01 10/02 20/02 Demanda pico (MW) 10 15 20 13 Observar que neste caso os dados em relação a “x” devem ser reorganizados porque envolvem datas em diferentes meses. Listas de Exercícios Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox ① Utilize diferenças divididas para efetuar as interpolações abaixo e determinar: ⒜ o valor de ( )0.2P a partir dos dados abaixo tabelados: i xi yi 0 0 1 1 0.1 2.001 2 0.3 4.081 3 0.6 8.296 4 1 21 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 66 ⒝ o polinômio ( )xP correspondente aos dados: i xi yi 0 -1 4 1 0 1 2 2 -1 ② Utilize diferenças finitas para interpolar os pontos abaixo apresentados e determinar o polinômio ( )xP correspondente. i xi yi 0 -1 7 1 0 9 2 1 5 3 2 6 4 3 8 ③ Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60Mw, a qual é determinada por três geradores de respectivamente 30Mw, 15Mw e 15Mw. A demanda de energia varia num ciclo de 24 horas e é em função dela que o engenheiro operacional distribui as tarefas dos geradores. Sabe-se que a demanda mínima ocorre no intervalo 2 - 5h e a demanda máxima no intervalo 13 - 17h. Determine os polinômios que interpolam os pontos correspondentes a estas demandas máximas e mínimas. OBS: Divida os dados em dois grupos conforme o horário das demandas máxima e mínima já mencionado. Horário 2 3 4 5 13 14 15 16 17 Demanda ( MW ) 16.4 15.2 14.9 16 28 36.5 43 34 31.2 CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 67 Respostas ① ⒜ ( ) 3.0160.2P = ⒝ ( ) 12.3333x0.66667xxP 2 +−= ② ( ) 94.0833x2.375x3.0833x0.625x- xP 234 +−−+= ③ Polinômio interpolador para demanda mínima: ( ) 19.51.2833x0.3x0.083333xxP 23 +−−= Polinômio interpolador para demanda máxima: ( ) 6994219064.18x1940.03x87.317x-1.4667xxP 234 +−+= C�lculo A/Apostilas/Apostila_Modulo2.pdf PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Numérico A MMMóóóddduuulllooo 222 TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 1 – Formulário Módulo
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