AD1 - Gabarito

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Questão 1 [2,0 pts]: 
(a) Supondo somente a atuação da força da gravidade, qual deveria ser a distância entre um elétron e um 
próton (supondo-os um par isolado) para que a aceleração sofrida pelo elétron tivesse módulo igual ao 
da aceleração da gravidade da Terra (𝑔 = 9,80m s2⁄ )? [𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
(b) Suponha que a Terra fosse composta apenas por prótons, mantendo o mesmo tamanho e massa atuais. 
Qual seria o módulo da aceleração de um elétron solto próximo à superfície? Seria necessário 
considerar tanto a força elétrica quanto a gravitacional? Por quê? [𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
Solução: 
(a) Se 𝑚𝑒 é a massa do elétron, 𝑚𝑝 é a massa do próton e 𝑟 a separação entre eles, o módulo 𝐹𝑔 da força 
gravitacional que o próton exerce sobre o elétron será 
𝐹𝑔 = 𝐺
𝑚𝑝𝑚𝑒
𝑟2
, (1.1) 
onde 𝐺 ≅ 6,672 × 10−11 N ∙ m2 kg2⁄ é a constante universal de Newton. Se a força gravitacional 
exercida pelo próton fosse a única força atuando sobre o elétron, então, pela Segunda Lei de Newton, 
teremos 
𝐹𝑔 = 𝑚𝑒𝑎𝑒 , (1.2) 
onde 𝑎𝑒 é o módulo da aceleração do elétron. Combinando (1.1) com (1.2) e considerando 𝑎𝑒 = 𝑔, 
a distância 𝑟 entre o elétron e o próton será 
𝑚𝑒𝑔 = 𝐺
𝑚𝑝𝑚𝑒
𝑟2
⟹ 𝑟 = (𝐺𝑚𝑝 𝑔⁄ )
1 2⁄
. (1.3) 
Usando os valores numéricos do problema, teremos 
𝑟 = √
6,672 × 10−11 N ∙ m2 kg2⁄ ∙ 1,673 × 10−27kg
9,80m s2⁄
≅ 1,07 × 10−19m 
(b) Neste problema consideramos a força eletrostática (de módulo 𝐹𝑒) exercida pela “Terra de prótons” 
sobre um elétron: 
𝐹𝑒 = 𝑘𝑒
𝑄𝑒
𝑅2
, (1.4) 
GABARITO DA PRIMEIRA AVALIAÇÃO A DISTÂNCIA 
Princípios e Fenômenos Eletromagnéticos – 
2014.1 
Escola de Ciências e Tecnologia – UFRN 
20-02-2014 
24-08-2011 
 
onde 𝑅 é o raio da Terra e 𝑄 é a que a Terra teria se fosse composta apenas de prótons. Se 𝑀 é a 
massa da Terra, a carga 𝑄 é dada por 
𝑄 = 𝑁𝑒 =
𝑀
𝑚𝑝
𝑒, (1.5) 
onde 𝑁 = 𝑀 𝑚𝑝⁄ é o número total de prótons. Inserindo (1.5) em (1.4) e usando os dados numéricos 
(no CGS) correspondentes, teremos 
𝐹𝑒 = 𝑘𝑒
𝑀
𝑚𝑝
𝑒2
𝑅2
=
5,972 × 1027g
1,673 × 10−24g
(4,803 × 10−10stC)2
(6,368 × 108cm)2
≅ 2,031 × 1015dyn = 2,031 × 1010N. (1.6) 
Já a força gravitacional sobre o elétron seria 
𝐹𝑔 = 𝐺
𝑀𝑚𝑒
𝑅2
= 𝑚𝑒𝑔 = 9,109 × 10
−31kg ∙ 9,80m s2⁄ ≅ 8,93 × 10−30N. (1.7) 
Comparando (1.6) com (1.7) concluímos que 𝐹𝑔 ≪ 𝐹𝑒 , de maneira que a força gravitacional não 
precisa ser levada em consideração. Logo, o módulo 𝑎𝑒 da aceleração do elétron seria dado por 
𝐹𝑒 = 𝑚𝑒𝑎𝑒 ⟹ 𝑎𝑒 =
𝐹𝑒
𝑚𝑒
≅
2,031 × 1010N
9,109 × 10−31kg
≅ 2,229 × 1040 m s2⁄ ≅ 2,27 × 1039𝑔. (1.8) 
A aceleração sofrida pelo elétron seria da ordem de 1039 vezes maior que a aceleração da gravidade! 
Questão 2 [3,0 pts]: 
Duas cargas 𝑞1 e 𝑞2 estão dispostas como indicado na figura abaixo. O módulo da carga 𝑞1 é 9,00 stC. Calcule 
o módulo do campo elétrico �⃗⃗� (que aponta para a esquerda) no ponto 𝑃 indicado na figura. 
 
 
 
 
Solução: 
Os campos �⃗⃗� 1 e �⃗⃗� 2 produzidos pelas cagas 𝑞1 e 𝑞2, respectivamente, no ponto 𝑃 (no sistema de coordenadas 
escolhido) são dados por 
 �⃗⃗� 1 = 𝑘𝑒
𝑞1
𝑟𝑃1
2 �̂�𝑃1 = 𝑘𝑒
𝑞1
𝑟𝑃1
2
[(�̂� ∙ �̂�𝑃1)�̂� + (𝒋̂ ∙ �̂�𝑃1)𝒋̂] =
𝑘𝑒𝑞1
𝑎2 sen2 𝜃
(�̂� sen 𝜃 + 𝒋̂ cos 𝜃), (2.1)
�⃗⃗� 2 = 𝑘𝑒
𝑞2
𝑟𝑃2
2 �̂�𝑃2 = 𝑘𝑒
𝑞2
𝑟𝑃2
2
[(�̂� ∙ �̂�𝑃2)�̂� + (𝒋̂ ∙ �̂�𝑃2)𝒋̂] =
𝑘𝑒𝑞2
𝑎2 cos2 𝜃
(−�̂� cos 𝜃 + 𝒋̂ sen 𝜃), (2.2)
 
onde �̂�𝑃1(2) é o vetor unitário que aponta da carga 𝑞1(2) para o ponto 𝑃 e 𝑟𝑃1(2) é a distância da carga 𝑞1(2) 
ao ponto 𝑃 e 𝑎 é a distância entre as cargas. Pelo Princípio da Superposição, o campo total �⃗⃗� em 𝑃 será 
�⃗⃗� = �⃗⃗� 1 + �⃗⃗� 2 =
𝑘𝑒
𝑎2
[(
𝑞1
sen 𝜃
−
𝑞2
cos 𝜃
) �̂� + (
𝑞1
sen 𝜃
cot 𝜃 +
𝑞2
cos 𝜃
tan 𝜃) 𝒋̂] = −𝐸�̂�, (2.3) 
�̂� 
𝒋̂ 
𝑞2 𝑞1 
𝑃 �⃗⃗� 
12,0 cm 
. 
𝜃 
�̂�𝑃2 
�̂�𝑃1 
onde 𝐸 é o módulo do campo e onde usamos o fato de que o campo em 𝑃 é horizontal e aponta para a 
esquerda, como ilustrado na figura. De (2.3) obtemos o seguinte sistema de equações: 
𝑘𝑒
𝑎2
(
𝑞1
sen 𝜃
−
𝑞2
cos 𝜃
) = −𝐸, (2.4)
𝑞1
sen 𝜃
cot 𝜃 +
𝑞2
cos 𝜃
tan 𝜃 = 0. (2.5)
 
De (2.5) podemos encontrar 𝑞2 em termos de 𝑞1 e 𝜃: 
𝑞2
cos 𝜃
tan 𝜃 = −
𝑞1
sen 𝜃
cot 𝜃 ⟹ 𝑞2 = −𝑞1 cot
3 𝜃. (2.6) 
Inserindo o resultado (2.6) em (2.4), teremos 
𝐸 = −
𝑘𝑒
𝑎2
(
𝑞1
sen 𝜃
−
𝑞2
cos 𝜃
) = −
𝑘𝑒𝑞1
𝑎2 sen 𝜃
(1 + cot2 𝜃) = −
𝑘𝑒𝑞1
𝑎2 sen3 𝜃
. (2.7) 
Como 𝐸 > 0 (já que é o módulo do vetor campo elétrico), de (2.7) temos necessariamente 𝑞1 < 0, o que 
implica |𝑞1| = −𝑞1. Dos dados do problema, temos ainda sen 𝜃 = 6,00 cm 12,0 cm⁄ = 0,500, 𝑎 = 12,0 cm 
e |𝑞1| = 9,00 stC. Inserindo esses dados em (2.7), poderemos enfim calcular o módulo 𝐸 do campo elétrico 
em 𝑃: 
𝐸 =
𝑘𝑒|𝑞1|
𝑎2 sen3 𝜃
=
9,00 stC
(12,0 cm)2(0,500)3
= 0,500 dyn stC⁄ = 15,0 kN C⁄ . 
Questão 3 [2,0 pts]: 
Um diodo consiste, basicamente, em dois eletrodos no interior de um tudo no qual se faz um vácuo elevado. 
Um dos eletrodos, o catodo, é mantido a uma alta temperatura e emite elétrons de sua superfície. Uma 
diferença de potencial é mantida entre o catodo e o outro eletrodo, chamado de anodo, sendo o potencial deste 
último o mais elevado. Devido ao acúmulo de cargas nas vizinhanças do catodo (em razão do fluxo de elétrons 
que deixa a superfície do catodo), o potencial elétrico entre os eletrodos não é uma função linear da posição 
(mesmo para a simetria planar), sendo dado por 
𝑉(𝑥) = 𝐶𝑥4 3⁄ , (3.1) 
onde 𝑥 é a distância entre o ponto ondo o potencial é calculado e o catodo, e 𝐶 é uma constante característica 
do diodo. Suponha que a distância entre o catodo e o anodo seja de 1,27 cm e que a diferença de potencial 
entre eles seja de 243 V. 
a) Determine a constante 𝐶. [𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
b) Calcule a força sobre um elétron quando ele está na metade da distância entre os eletrodos. [𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
Solução: 
a) O catodo é o eletrodo negativo (já que possui um excesso de elétrons) enquanto o anodo é o eletrodo 
positivo. Logo, tomando-se o catodo em 𝑥 = 0 e o anodo em 𝑥 = 𝑎, de (3.1) temos que os potenciais 
𝑉c e 𝑉a no catodo e anodo, respectivamente, serão 
𝑉c = 𝑉(0) = 0,
𝑉a = 𝑉(𝑎) = 𝐶𝑎
4 3⁄ .
 (3.2) 
 Usando os dados do problema na última equação, teremos 
𝑉a = 𝐶𝑎
4 3⁄ ⟹ 𝐶 = 𝑉a𝑎
−4 3⁄ = 243 V ∙ (0,0127 m)−4 3⁄ ⟹ 𝐶 ≅ 82,0 kV ∙ m−4 3⁄ . (3.3) 
b) A força �⃗⃗� sobre uma carga 𝑞 num campo eletrostático �⃗⃗� é dada por 
�⃗⃗� = 𝑞�⃗⃗� = −𝑞𝛁𝑉(�⃗� ), (3.4) 
onde 𝑉 é o potencial eletrostático e �⃗� é a posição da carga 𝑞. No presente caso, o potencial 𝑉 é dado 
por (3.1) e a carga 𝑞 é um elétron, ou seja, 𝑞 = −𝑒 = −1,602 × 10−19C. Logo, 
�⃗⃗� = 𝑒𝛁𝑉(𝑥) = 𝑒𝛁(𝐶𝑥4 3⁄ ) = 𝑒�̂�
𝜕
𝜕𝑥
(𝐶𝑥4 3⁄ ) =
4
3
𝑒𝐶𝑥1 3⁄ �̂�. (3.5) 
Calculando a força para 𝑥 = 𝑎/2 (metade da distância entre os eletrodos), teremos 
�⃗⃗� =
4
3
𝑒𝐶(𝑎 2⁄ )1 3⁄ �̂� =
4
3
∙ 1,602 × 10−19C ∙ 82,0 kV ∙ m−4 3⁄ ∙ (
0,0127 m
2
)
1 3⁄
�̂� ⟹ 
�⃗⃗� ≅ (3,24 × 10−15N)�̂�. (3.6) 
A força tem módulo 3,24 × 10−15N e aponta do catodo para o anodo. 
Questão 4 [3,0 pts]: 
 
 
 
Solução: 
a) A energia eletrostática 𝑈 armazenada no dipolo será 
𝑈 = −�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� (4.1) 
onde �⃗⃗� é o campo produzido pelo aro carregado, que é dado por (ver problema 1 da aula 2) 
�⃗⃗� = 𝑘𝑒
𝑄𝑧
(𝑅2 + 𝑧2)3 2⁄
�̂�, (4.2) 
onde 𝑧 é a coordenada sobre o eixo de simetria do aro de raio 𝑅. Combinando (4.1) com (4.2), 
fazendo 𝑧 = ℎ e usando o CGS, teremos𝑈 = −
𝑄ℎ�̂� ∙ �⃗⃗� 
(𝑅2 + ℎ2)3 2⁄
= −
𝑝ℎ𝑄 cos 𝜃
(𝑅2 + ℎ2)3 2⁄
. (4.3) 
b) O torque �⃗� exercido sobre o dipolo será 
Um dipolo de intensidade 2,50 × 10−4stC ∙ cm localizado sobre o eixo de 
simetria de um aro circular muito fino e orientado de um ângulo 𝜃 = 30,0° 
com a direção vertical, está a uma distância ℎ = 4,00 cm do plano do aro (ver 
figura). O aro está uniformemente carregado com uma carga 𝑄 = +12,0 stC. 
a) Determine a energia eletrostática armazenada no dipolo. [𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
b) Determine o módulo e a orientação do torque exercido sobre o dipolo. 
[𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
c) Determine o módulo e a orientação da força resultante sobre o dipolo. 
[𝟏, 𝟎 𝐩𝐭] 
ℎ 
𝑄 
�⃗⃗� 
 
�̂� 
�̂� 
𝒋̂ 
𝜃 
�⃗� = �⃗⃗� × �⃗⃗� =
𝑄ℎ�⃗⃗� × �̂�
(𝑅2 + ℎ2)3 2⁄
=
𝑝ℎ𝑄 sen𝜃
(𝑅2 + ℎ2)3 2⁄
�̂�. (4.4) 
O módulo do torque é 𝑝ℎ𝑄(𝑅2 + ℎ2)−3 2⁄ sen 𝜃 e sua orientação é a mesma do vetor �̂� (como indicado 
na figura). 
c) A força resultante �⃗⃗� sobre o dipolo será 
�⃗⃗� = (�⃗⃗� ∙ 𝛁)�⃗⃗� = (𝑝 cos 𝜃
𝜕
𝜕𝑧
) (
𝑄𝑧
(𝑅2 + 𝑧2)3 2⁄
�̂�)|
𝑧=ℎ
= �̂�𝑝𝑄 cos 𝜃 (
1
(𝑅2 + ℎ2)3 2⁄
−
(3ℎ 2⁄ )(2ℎ)
(𝑅2 + ℎ2)5 2⁄
) ⟹ 
�⃗⃗� = 𝑝𝑄 cos 𝜃
(𝑅2 − 2ℎ2)�̂�
(𝑅2 + ℎ2)5 2⁄
. (4.5) 
O módulo da força é 𝑝𝑄 cos 𝜃 |𝑅2 − 2ℎ2|(𝑅2 + ℎ2)−5 2⁄ e sua orientação é a mesma do vetor �̂� para 
𝑅2 > 2ℎ2, e tem sentido contrário ao do vetor �̂� para 𝑅2 < 2ℎ2 (para 𝑅2 = 2ℎ2 a força sobre o 
dipolo é nula). 
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DISCUSSÃO COMPLEMENTAR 
Como na questão não é dado o valor numérico do raio do aro, consideremos o caso limite 𝑅 ≪ ℎ. Neste caso, 
os resultados (4.3) a (4.5) ficam 
𝑈 ≈ −
𝑝𝑄
ℎ2
cos 𝜃, (𝑖)
�⃗� ≈ �̂�
𝑝𝑄
ℎ2
sen 𝜃 ≅ −�̂�𝑈 tan 𝜃, (𝑖𝑖)
�⃗⃗� ≈ −�̂�
2𝑝𝑄
ℎ3
cos 𝜃 ≈
2𝑈
ℎ
�̂�. (𝑖𝑖𝑖)
 
Usando os dados numéricos do problema nas equações (𝑖) a (𝑖𝑖𝑖), teremos 
𝑈 ≅ −
2,50 × 10−4stC ∙ cm ∙ 12,0 stC
(4,00 cm)2
cos 30,0° ≅ −1,62 × 10−4erg. 
�⃗� ≅ �̂� ∙ 1,62 × 10−4erg ∙ tan 30,0° ≅ (9,38 × 10−5dyn ∙ cm)�̂�. 
�⃗⃗� ≅
2 ∙ (−1,62 × 10−4erg)
4,00 cm
�̂� ≅ −(8,12 × 10−5dyn)�̂�. 
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