P2 ANTIGA

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ME-100 (Fundamentos de Ca´lculo) — Prova 2
1. Sejam z = 2 + 3i, w = 1− i, u = 3√2(cos 5pi
4
+ i sen 5pi
4
).
(a) Calcule (i.e., represente na forma a + bi) z + iw, zw, zw¯, z
w
.
(b) Calcule |z|, |w|2, |u|.
(c) Qual e´ a representac¸a˜o polar de w?
(d) Escreve u na forma a+bi (sem deixar func¸o˜es trigonomeˆtricas na resposta).
2. Considere a func¸a˜o f : R→ R,
f(x) =
{
1
x−1 , se x 6= 1,
0, se x = 1.
Esta func¸a˜o e´ injetora? sobrejetora? bijetora? Justifique a resposta. Se f for
bijetora, calcule tambe´m a func¸a˜o inversa.
3. Considere a func¸a˜o g : R2 → R2 dada por g(x, y) = (2x+ |y|, |y|). Esta func¸a˜o
e´ injetora? sobrejetora? Justifique a resposta. Ache a pre´-imagem de (1, 1).
4. Calcule (pode usar as propriedades elementares do limite para justificar o
ca´lculo)
lim
k→∞
k2 + 3k − 31
3k2 + 1
.
5. Considere a func¸a˜o f : R \ {0} → R, f(x) = cos 2
x
. Deˆ exemplo de duas
sequeˆncias (an), (bn), tais que
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = 0,
e
lim
n→∞
f(an) = 0, lim
n→∞
f(bn) = 1.