3 escoamento uniforme

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34 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
3. ESCOAMENTO UNIFORME 
 
 
 
 Para que ocorra o escoamento uniforme nos condutos livres, a profundidade 
da água, a área molhada da seção transversal e a velocidade são constantes ao 
longo do conduto, conforme é mostrado na Figura 3.1no trecho CD do canal. A 
profundidade associada ao escamento constante é denominada de profundidade 
normal (yo). 
 
 Figura 3.1: Tipos de escoamento que ocorrem em condutos livres. 
 
 
 Como observado na Figura 3.1 às mudanças de regime de escoamento pode 
ocorrer com: 
• Mudança de declividade, 
• Variação na seção transversal, 
• Eventuais obstáculos no escoamento. 
No trecho AC o regime de escoamento é variado (acelerado) onde a altura de 
lâmina de água y varia, bem como a velocidade. 
Já no trecho BC ocorre uma aceleração devido a componente gravitacional 
ser maior que a resistência ao escoamento. O aumento de velocidade é 
acompanhado de aumento da resistência ao escoamento até tornar-se igual no 
ponto C. 
Para o trecho CD observa-se que o escoamento tornou-se estabelecido e 
uniforme, ou seja, y torna-se constante, assim como a velocidade de escoamento. 
 
35 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
No trecho DE o escoamento é variado bruscamente, pois sofre desaceleração 
rápida devida à diminuição da declividade entre D e E. Depois ocorre a formação de 
remanso para atravessar o obstáculo. 
 
 
3.1 Indicadores Adimensionais 
O escoamento em condutos livres pode, também, ser caracterizado pelo 
Número de Reynolds, 4Re v Rhy
υ
⋅ ⋅
= , que traduz a ação de forças de viscosidade 
mas é melhor representado pelo Número de Froude, vFr
g y
=
⋅
, que incorpora a 
ação da gravidade. 
 
 
3.2 Energia Específica ou Carga Específica 
 
A energia correspondente a uma seção transversal de um canal é dada pela 
soma de três cargas: cinética, potencial e piezométrica conforme demostrado na 
Figura 3.2. 
 Figura 3.2: Energia específica 
 
 
1 2
2 2
1 2
1 1 2 22 2
H H E
v v
z y z y E
g g
= + ∆
+ + = + + + ∆
 
 
Como efetuado por Bakhmeteff, em 1912 (Chow, 1959), pode-se considerar a 
quantidade de energia medida a partir do fundo do canal, obtendo-se a expressão 
 
36 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
da energia específica, que corresponde apenas à soma das cargas cinética e 
piezométrica: 
 
2
1
1 1 2
vE y
g
α= + 
 
 Adotando α = 1 e substituindo a velocidade média pela vazão através da 
equação da continuidade, pode-se escrever: 
 
2
1 1 2
12
QE y
A g
= +
⋅
 
 Como a área é função da profundidade, a energia específica torna-se uma 
função da profundidade y, para um determinado valor de vazão. Desta forma: 
 
2
1 1 2
12 ( )
QE y
gf y
= + 
 
Assim, fixando-se uma determinada vazão, a energia específica é a distância vertical 
entre o fundo do conduto livre e a linha de energia, correspondendo a soma de duas 
parcelas, ambas as funções da profundidade y da lâmina líquida. Portanto: 
1 2 1 2 2 2
2
 E = y E = E=y+ 
2 ( ) 2 ( )
Q QE E E
gf y gf y
= +
 
 A partir da simples inspeção da Figura 3.3 pode-se observar que a Energia 
Específica não é uma função monótona crescente com y. De fato, existe um valor 
mínimo de energia (Energia Crítica, Ec) que corresponde a certa profundidade 
denominada profundidade crítica yc. 
 
 Figura 3.3: curva de energia específica 
 
Fonte: Batista. M e Lara M.(2003). 
 
 
37 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
Portanto, para uma dada vazão Q poderemos ter três situações em termos de 
regime de escoamento: 
• Escoamento Crítico 
• Escoamento Supercrítico 
• Escoamento Subcrítico 
Como a vazão é a mesma, o que irá determinar o regime do escoamento será 
a declividade do fundo do canal. Assim, para uma vazão constante escoando em 
canal prismático com profundidade superior à crítica, teremos um escoamento 
subcrítico. 
Ao aumentarmos a declividade do fundo do canal observa-se um aumento da 
velocidade do escoamento. De acordo com a equação da continuidade, a esse 
aumento da velocidade corresponderá uma redução na profundidade do 
escoamento, podendo-se chegar a um ponto em que a profundidade atinge o seu 
valor crítico. 
 
 
3.3 Caracterização do Regime de Escoamento 
 
A caracterização dos regimes de escoamento em função da energia é 
realizada através do Número de Froude, um número adimensional obtido a partir da 
equação da Energia Específica. 
Derivando-se a equação 2
QE = y+
2gf(y) obtém-se 
2
22
dE Qd y dy
dy gA
 
= + 
 
 
2
21 2
dE Q dA
dy gA dy
 
∴ = + ⋅ 
 
 como dA Bdy= tem-se: 
2
31
dE Q B
dy gA
⋅
= − reescrevendo a 
equação a partir da aplicação da equação da continuidade tem-se: 3
( ) B1dE Am v
dy gA
⋅ ⋅
= − 
e, fazendo AB
y
= tem-se 
2
1dE v
dy gy
= − . 
 O número de Froude (Fr) é definido a partir da seguinte expressão vFr
gy
= . 
 Combinando as duas últimas expressões, obtém-se: 21dE Fr
dy
= − . 
 No escoamento crítico, a energia específica é mínima 0 1dE Fr
dy
= ∴ = , 
portanto, escoamento crítico. 
 
 
38 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
Avaliando-se a variação de dE
dy
 e as diferentes profundidades de 
escoamento, pode-se escrever: 
 
 
20 1 0 1c
dEy y Fr Fr
dy
< ⇒ < ⇒ − < ⇒ > ∴ Escoamento Supercrítico 
 
 
20 1 0 1c
dEy y Fr Fr
dy
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ > ∴ Escoamento Subcrítico 
 
Como visto anteriormente, o escoamento crítico é caracterizado pelo número 
de Froude igual a um. 
 1c
c
vFr
gy
= = 
Assim, pode-se escrever que o regime crítico tem velocidade crítica igual a 
c cv gy= . 
 
 Como Qv
Am
= e, tem-se h
Amy
Sm
= 
2 2 3
2
Q Am Q Amg
Am Sm g Sm
= ⋅ ∴ = . 
 
 Sabendo que a A= f(y) e B= f(y), o valor de y que satisfaz a equação 
corresponde à profundidade crítica yc. Dessa forma, para seções de geometria 
conhecida analiticamente, pode-se obter uma expressão para yc. Para seções não 
parametrizáveis, a determinação da profundidade crítica é mais trabalhosa, exigindo 
um cálculo interativo. 
 Para seções retangulares, por exemplo, com A= By, obtém-se a partir da 
equação: 
 
2 3
2
3
2
( )c
c
A B g By
Qy
B g
=
=
 
 Frequentemente, por razões de ordem prática, trabalha-se com a vazão por 
unidade de largura. Nestas condições, com a vazão específica ,( )Qq q B= , expressa 
em [m3/s.m], a equação anterior pode ser escrita da seguinte forma 
2
3
c
qy
g
= . 
 Pode-se definir ainda 
2 2 2
2
2 2 3
v Q qFr
gy B gy y gy
= = = 
 
 
39 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
A expressão anterior é bastante utilizada para análise e cálculo das seções 
retangulares, incluindo as seções retangulares largas, definidas no capítulo anterior. 
Em condições de escoamento crítico pode-se definir ainda a partir da equação: 
 
2
22c c c
qE y
gy
= + 
A partir das duas últimas equações pode-se escrever: 
2
c
c c
yE y Fr= + 
No escoamento crítico Fr é igual à unidade, vem 3
2c c
E y= . 
 
 
Exemplo 3.1: Um canal retangular com largura de 8,0m transporta uma vazão de 
35000L/s. Pede-se: 
A) A profundidade crítica; 
B) A velocidade crítica. 
 
Vazão unitária(q): 35,0 4,4
8,0
Qq
B
= = = m3/s.m. 
 
Profundidade crítica (yc): 
2 2
33
4,4 1,25
9,81c
qy
g
= = = m 
 
 
Velocidade crítica (vc): 9,81 1,25 3,5c cv gy= = ⋅ = m/s 
 
 
Exemplo 3.2: Traçar a curva de Energia Específica para um canal, se seção 
retangular com 10 m de largura, transportando 35 m2/s. 
 
 
 
 
Q= 35000 L/s = 35 m3/s 
B= 8,0m 
yc=?? vc= ?? 
 
Resolução: 
Resolução: 
Q= 35 m3/s y=?? m 
Vazão unitária (q): 35,0 3,5
10,0
Qq
B
= = = m3/s.m 
 
Profundidade crítica (yc): 
2 2
33
3,5 1,08
9,81c
qy
g
= = = m 
 
 
40 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
Equação da energia crítica (Ec): 3 3 1,08 1,62
2 2c c
E y= = ⋅ = m 
 
Equação da energia específica (E): 
2
22
qE y
gy
= + atribuir valores para y, menores e 
maiores que yc para traçar a curva de energia específica. 
 
 
2
2
3,50,6 2,33m
2 9,81 0,6
E = + =
⋅ ⋅
 
 
 
 
 
É possível observar os dois regimes de escamento no gráfico. Tem-se o 
regime de escoamento subcrítico para valores maiores que 1,08 m de lâmina de 
água, ou seja, maior que a altura crítica e, escoamento supercrítico para alturas de 
lâmina de água menores que a altura crítica. 
 
 
Exemplo 3.3: Determinar a profundidade crítica de um canal triangular, com taludes 
2:1, transportando uma vazão de 20 m3/s. 
 
 
 
 
 
 
Profundidade crítica: 
 ( )2 3 62 3 2 15(2 ) 820,0 40,77 20,38 1,839,81 4 4c c c cc c
y yQ Am y y
g Sm y y
= ⇒ = ⇒ = ∴ = ∴ = m 
y 
(m) 
2
22
qE y
gy
= + 
(m) 
0,6 2,33 
0,8 1,77 
0,9 1,67 
1,08 1,61 
1,3 1,67 
1,6 1,84 
1,9 2,07 
Resolução: 
m=2yc 
Área molhada: 24 2
2
c c
c
y yAm y⋅= = 
Superfície molhada: Sm=4yc 
 
41 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
Exemplo 3.4: Calcular a vazão e a velocidade crítica para um canal trapezoidal com 
largura da base igual a 5,0 m e taludes 3:1, supondo que a profundidade crítica é de 
1,8m. 
Resolução: 
 
 
 
 
Vazão crítica (vc) 
2 3 2 318,7 4060,1 63,72
9,81 15,8
Q Am Q Q
g Sm
= ⇒ = ∴ = = m3/s 
 
 
 
3.4 Transições Verticais 
Podem-se definir duas situações distintas: 
1) Elevação do fundo do canal, ou seja, para 0dz
dx
> , vem 2(1 ) <0dyFr
dx
− . Assim, 
se Fr<1, vem que 0dy
dx
< para satisfazer a condição de 0dz
dx
> positivo. Logo a 
profundidade de escoamento diminui. Por outro lado, se Fr>1, vem que, ou 0dy
dx
> , 
ou seja, a profundidade de escoamento aumenta. 
2) Rebaixamento do fundo do canal, ou seja, 0dz
dx
< , vem 2(1 ) <0dyFr
dx
− . 
Assim, se Fr<1, vem que 0dy
dx
> ,ou seja, a profundidade de escoamento 
aumenta. Por outro lado, se Fr>1, vem que 0dy
dx
< , ou seja, a profundidade de 
escoamento diminui. O conjunto dessas duas situações pode ser visualizado na 
Figura 3.4, observando os deslocamentos sobre as curvas de energia, referentes às 
alterações dos valores de energia específica em função das variações no fundo do 
canal. 
Conforme pode ser visto através da Figura 3.4, a análise das transições 
verticais é bastante facilitada pelas curvas de energia específica. Com efeito, todas 
as alterações de cota de fundo do canal refletem em mudanças nos valores da 
Resolução: 
Área molhada (Am): ( )Am b my y= + 
Superfície molhada (Sm): 2 5,0 2 3 1,8 15,8Sm b my= + = + ⋅ ⋅ = m 
Velocidade crítica (vc): 9,81 1,8 4,2c cv gy= = ⋅ = m 
 
 
42 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
energia específica. Na hipótese de perda de carga nula, estas alterações ficam 
restritas à curva traçada, que corresponde ao escoamento nas condições 
estabelecidas. 
Figura 3.4: Transições verticais 
 
 
Fonte: Batista. M e Lara M.(2003). 
A Figura 3.5 ilustra a situação de implantação de uma soleira, de altura ∆Z em 
um canal de condições subcríticas. 
 
Figura 3.4: Soleira em canal subcrítico 
 
Fonte: Batista. M e Lara M.(2003). 
 
 Nestas condições, E2= E1 – ∆Z. A profundidade de escoamento reduz-se de 
y1 para y2 . Pela curva de Energia Específica percebe-se que a altura da soleira 
estaria limitada ao valor ∆Z = E1 - Ec para que o escoamento permaneça ocorrendo 
nas mesmas condições. Caso a altura da soleira supere este valor, as condições de 
escoamento alteram-se, tornando necessário um ganho de energia para a 
superação do obstáculo. Isto é conseguido através da elevação do NA a montante 
 
43 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
da soleira e a ocorrência do regime crítico sobre esta, que passa então, a funcionar 
como uma seção de controle. Diz-se, nesta situação, que ocorreu um 
estrangulamento de fluxo. 
 
Exemplo 3.5: Um canal retangular com largura de 60 m transporta uma vazão de 
250 m3/s com uma profundidade de escoamento inicial de 2,2 m. Após uma 
mudança de declividade, a profundidade passa a ser de 0,80 m. Supondo ausência 
de perda de carga, pede-se: 
A) Construir a curva de energia específica; 
B) Determinar a energia crítica; 
C) Determinar a energia específica no segundo trecho; 
D) Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,30 m implantada no 
primeiro trecho do canal; 
E) Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,20 m implantada no 
segundo trecho do canal; 
F) Determinar a altura máxima de uma soleira implantada no primeiro trecho do 
canal para que não ocorra mudança de regime de escoamento. 
 
 
 
 
Profundidade crítica (yc): 
2 2
33
4,2 1,22
9,81c
qy
g
= = = m 
 
A) Energia específica (E): 
2
22
qE y
gy
= + 
Profundidade crítica (yc): 
2 2
33
4,2 1,22
9,81c
qy
g
= = = m com y > yc, portanto, 
regime de escoamento subcrítico. 
 
 
 
Resolução: 
Vazão unitária (q): 
250,0 4,2
60,0
Qq
B
= = = m3/s.m 
 
44 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
 
 
 
 
 
B) Equação da energia crítica (Ec): 3 3 1,22 1,83
2 2c c
E y= = ⋅ = m 
C) Energia específica no segundo trecho. 
 
 
 
 
Como y <yc, o regime de escoamento passou a ser supercrítico ou turbulento. 
 
D) Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,30 m implantada no 
primeiro trecho do canal. 
 
 
 
2 2
2
2 2 2 2
4,2 0,902,08 2,38
2 2 9,81s s s s ss s s
qE y y y y
gy y y
= + ⇒ = + ⇒ = +
⋅ ⋅
2 32,08 0,90s sy y⇒ = + 
y 
(m) 
2
22
qE y
gy
= + 
(m) 
0,9 2,0 
1,0 1,9 
1,1 1,84 
1,22 1,82 
1,4 1,85 
1,5 1,9 
1,8 2,08 
 
Resolução: 
Energia específica (E) 
2
22
qE y
gy
= + 
 
2
2 22
4,20,80 2,2
2 9,81 0,8
E E= + ∴ =
⋅ ⋅
 m 
 
 
2 2
1 1 2 2
1
4,22,20 2,38
2 2 9,81 2,20
qE y
gy
= + = + =
⋅ ⋅
m 
 1 2,38 0,30 2,08s sE E Z E= − ∆ = − ∴ = m 
 
45 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
 
Para encontrar o valor de y será necessário aplicar Newton Raphson na 
equação de terceiro grau: 
 
1
1 '
1
( )
( )
n
n n
n
f yy y
f y
−
−
−
= − 
3 2
2
2,08 0,90
3 4,16n
y yy y
y y
 − + −
= −  
− + 
 
 
 
 
Substituindo o valor de y na equação acima, o novo valor encontrado é 
substituído na mesma equação, até que a diferença entre o valor sucessor menos o 
antecessor o valor é menor que 0,05 (ponto de parada para os alunos que não estão 
utilizando a HP. A HP resolve o sistema de equação de terceiro grau fornecendo as 
três raízes, que dará o valor exato). 
Portanto, o valor da lâmina de água em cima da soleira será de 1,80 m e com 
y > yc o regime de escoamento permanece o subcrítico. 
 
E) Determinar a profundidade sobre uma soleira com altura de 0,20 m implantada no 
segundo trecho do canal.2 2,20 0,20 2,0s sE E Z E= − ∆ = − ∴ =
 
 
2 2
2
2 2 2 2 22 2 2
2 2 2
4,2 0,902,0 2,0
2 2 9,81
qE y y y y
gy y y
= + ⇒ = + ⇒ = +
⋅ ⋅
 
1
1 '
1
( )
( )
n
n n
n
f yy y
f y
−
−
−
= − 
 
3 2
2
2,0 0,90
3 4,0n
y yy y
y y
 
− + −
= −  
− + 
 
 
 
y 
(m) 
3 2
2
2,08 0,90
3 4,16n
y yy y
y y
 − + −
= −  
− + 
 
2,20 1,92 
2,10 1,88 
1,88 1,81 
1,81 1,80 
y 
(m) 
3 2
2
2,0 0,90
3 4,0n
y yy y
y y
 
− + −
= −  
− + 
 
0,80 0,90 
0,90 0,91 
0,91 0,91 
 
46 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
 O valor da lâmina de água sobre a soleira é de 0,91m. 
 
F) Determinar a altura máxima de uma soleira implantada no primeiro trecho do 
canal para que não ocorra mudança de regime de escoamento. 
No primeiro trecho a energia crítica é igual a 
3 3 1,22 1,83
2 2c c
E y= = ⋅ = m 
 Para que não ocorra mudança de regime no primeiro trecho do canal a 
condição a seguir deverá ser satisfeita. 
 1 1,83 2,38 0,55cE E Z Z Z= − ∆ = = − ∆ ∴∆ ≤ m para não ocorrer mudança de 
regime de escoamento. 
 
 
3.5 Transições horizontais 
No caso de transições horizontais a cota de fundo do canal mantém-se 
constante sendo que sua largura é variável. Assim, como a vazão Q é constante e B 
variável, a vazão por unidade de largura, q, é também variável. 
No caso de alargamento de seção, ou seja, 0dB
dx
> , nos escoamentos subcríticos 
tem-se que Fr<1, acarretando 0dy
dx
> , ou seja, a profundidade de escoamento 
cresce. No caso de escoamentos supercríticos, Fr>1, e consequentemente 0dy
dx
< , 
ou seja, a profundidade de escoamento decresce. Estas situações podem ser 
visualizadas na Figura 3.5. 
 Figura 3.5: Transição horizontal 
 
Fonte: Batista, M e Lara M.(2003). 
 
47 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
Para a situação de estreitamento de seção, ou seja, 0dB
dx
< , nos 
escoamentos subcríticos tem-se que Fr<1, acarretando 0dy
dx
< , ou seja, a 
profundidade de escoamento decresce. Por outro lado, nos escoamentos 
supercríticos, Fr >1, e consequentemente 0dy
dx
> , ou seja, a profundidade de 
escoamento cresce. Estas situações também podem ser visualizadas na Figura 3.5. 
De forma similar às soleiras nas transições verticais, o estreitamento das 
seções pode levar a uma situação em que a energia específica a montante é menor 
do que a energia correspondente à energia crítica na nova seção. Pode ocorrer 
então o “estrangulamento” e a eventual mudança de regime de escoamento. 
 
 
Exemplo 3.6: Um canal retangular de largura 12 m transporta uma vazão de 106 
m3/s com uma profundidade de escoamento de 4,4 m. Por razões estruturais, este 
canal sofre uma redução de largura para 9 m em uma extensão de 5 m. 
Considerando uma transição com ausência de perda de carga, esboçar o perfil da 
linha d’água. 
 
 
Profundidade crítica para o trecho 1 (yc1): 
1
2 2
1 33
8,83 2,0
9,81c
qy
g
= = = m 
 
 
Energia específica para o trecho 1: 
2 2
1 1 12 2
1
8,834,20 4,42 m
2 2 9,81 4,20
qE y E
gy
= + = + ∴ =
⋅ ⋅
 
 
 Como E1=E2 tem-se: 
 
2 2
2 32
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2
11,78 7,074,42 4,42 4,42 7,07
2 2 9,81 s
qE y y y y y
gy y y
= + = = + ⇒ = + = = +
⋅ ⋅
 
Vazão unitária para os trechos 1 e 2. 
3
1
1
3
2
2
106,0 8,83 m /s.m
12,0
106,0 11,78 m /s.m
9,0
Qq
B
Qq
B
= = =
= = =
 
 
48 Hidráulica e Hidrologia Aplicada 
 
 
1
1 '
1
( )
( )
n
n n
n
f yy y
f y
−
−
−
= − 
 
3 2
2
4,42 7,07
3 8,84n
y yy y
y y
 
− + −
= −  
− + 
 
 
 
Profundidade crítica para o trecho 1 (yc1): 
2
2 2
2 33
11,78 2,42 m
9,81c
qy
g
= = = 
 Como y2 > yc2 o regime de escoamento é subcrítico permanecendo inalterado 
em relação ao trecho 1. Portanto, não há mudança de regime de escoamento. O 
perfil longitudinal do N.A. é mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
AZEVEDO NETO, J. M. “Manual de Hidráulica”, Editora Edgard Blücher, São 
Paulo, 8ª ed. 2008. 
BAPTISTA, MARCIO BENEDITO; LARA, MARCIA, “Fundamentos de Engenharia 
Hidráulica”, Editora UFMG, Minas Gerais, 2ª ed. 2003. 
PORTO, RODRIGO DE MELO. “Hidráulica Básica”, Editora São Carlos: EESC-
USP, SP, 2ª ed.1999. 
PORTO, RODRIGO DE MELO. “Exercícios de Hidráulica Básica”, Editora São 
Carlos: EESC-USP, SP, 4ª ed. 2013. 
 
 
y 
(m) 
3 2
2
4,42 7,07
3 8,84n
y yy y
y y
 
− + −
= −  
− + 
 
4,40 4,05 
4,05 3,97 
3,97 3,97