Aula 1 B Propagação de Tensões

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS 
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA CIVIL 
 
PROPAGAÇÃO DE TENSÕES NO INTERIOR DO 
SOLO 
Aula 1 
 
RENATO CABRAL GUIMARÃES 
MECÂNICA DOS SOLOS II 
2 
1. Introdução 
Conhecer os princípios básicos da distribuição 
de pressões nos solos devido ao peso próprio 
e a uma sobrecarga imposta é de grande 
importância em qualquer obra geotécnica, pois 
para realizar a previsão de deformações de um 
solo é necessário conhecer estes princípios. 
3 
2. Pressão Devido ao Peso Próprio 
 Solo é um meio particulado Forças nas partículas 
contato grão a grão. 
 
 
 Consideração das forças 
individuais complexas 
Utiliza o conceito de tensão. 
área
N
v


área
T

4 
2. Pressão Devido ao Peso Próprio 
 Tensões de contato grão a 
grão. 
da ordem de 700 MN/m2. 
 Tensões na massa de solo: consideradas tensões 
macroscópicas. 
 Tensões na massa de solo da ordem de 10 a 10.000 N/m2. 
 Tensões Geostáticas: geradas pelo peso próprio do solo. 
 Em geral, possuem um padrão de distribuição próprio, que 
depende das características do maciço e da geometria do 
terreno. 
 Porém, em algumas situações, pode ter um padrão simples 
de distribuição: quando a superfície for horizontal e o maciço 
não possuir grande variabilidade na direção horizontal (Ex: 
Solos sedimentares). 
5 
2. Pressão Devido ao Peso Próprio 
 
’v 
’v 
’H 
’H 
z 
’v =  x z 
’v 
z 
0vH K'' 
6 
3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas 
• Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno, o elemento de solo 
tem seu estado de tensões original modificado. 
 
’v = ’v0 + z 
z 
Q 
x 
’v = ’v0 + z 
’H = ’H0 + x 
’H 
’ 
’ 
• A variação de carga no elemento de solo devido ao carregamento 
externo (Q) pode acarretar aumento ou diminuição das tensões 
existentes devido ao peso próprio. A lei de variação dessas 
modificações de tensões chama-se distribuição de pressões. 
7 
3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas 
• No estudo de tensões dois princípios são da maior 
importância por serem admitidos direta ou 
indiretamente na maioria das formulações para o 
cálculo do acréscimo destas tensões: 
a) Principio da superposição dos efeitos: a soma dos 
efeitos de cada carregamento é igual ao efeito de todos 
os carregamentos; 
b) Principio de Saint Vernant: após determinada 
profundidade a forma do carregamento não tem mais 
influência no efeito deste, podendo-se substituir, por 
exemplo, um carregamento distribuído de uma placa 
retangular pela carga concentrada resultante, que o 
acréscimo de tensão nesta profundidade será o 
mesmo. 
8 
3.1 Hipótese Simples ou Antiga 
• Segundo Kollbrunner (1946) apud Barata (1984) esta é a mais 
antiga das teorias de distribuição de pressões nos solos e admite que 
a carga (Q) aplicada na superfície do terreno distribui-se em 
profundidade segundo um ângulo (j0), chamado ângulo de 
espraiamento ou de propagação. 
 
z1 
Q 
j0 
Q 
z2 
Q 
b0 
b1 
b2 
j0 
M M 
N N 
1
1
b
Q

2
2
b
Q

0
0
b
Q

9 
3.1 Hipótese Simples ou Antiga 
• Segundo Barata (1984) essa teoria segue dois princípios: 
a) a propagação de tensões, devido a sobrecarga, restringe-se a zona 
delimitada pelas linhas de espraiamento MN. Fora da zona de 
espraiamento não há influência da sobrecarga (ou seja, não há 
modificação das tensões originais); 
b) em qualquer profundidade (z), a carga resultante da sobrecarga é 
considerada constante, e pode ser é calculada pela Equação: 
Qb..........bb 002211 
• A equação é válida para carregamento de comprimento infinito de 
largura b0. Se a área carregada tiver extensão finita (quadrada, 
circular, etc) os cálculos serão semelhantes, considerando o 
espraiamento em todas as direções. 
10 
3.1 Hipótese Simples ou Antiga 
• Segundo Pinto (2000), embora útil em certas circunstâncias, este 
método é uma estimativa muito grosseira da realidade, pois as 
tensões a certa profundidade, não são uniformemente distribuídas, 
mas concentram-se na proximidade do eixo de simetria da área 
carregada, apresentado uma forma de sino. 
• A forma de sino apresentada na Figura foi confirmada em 
observações experimentais, realizadas utilizando instrumentação ao 
longo da profundidade z. 
11 
3.1 Hipótese Simples ou Antiga 
• Segundo Barata (1984), desde que se conheça as restrições dessa 
teoria o seu emprego é interessante, face a sua simplicidade, 
portanto a mesma pode ser utilizada nos casos listados a seguir: 
a) sobrecargas provenientes de fundações e/ou estruturas muito rígida, 
em que face à tendência de recalque uniforme, as pressões tendem à 
uniformidade; 
b) cálculo da distribuição em horizontes situados a profundidades 
relativamente grandes, em que tende a haver um achatamento do 
diagrama de pressões; 
c) o valor de j0 depende do tipo de solo, quanto mais resistente e mais 
coesivo for o solo, maior será o valor de j0. A Tabela a seguir 
apresenta valores de j0 sugeridos por Kögler & Scheidig (1948) 
apud Barata (1984). 
12 
3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade 
• A teoria da elasticidade vem sendo utilizada na determinação da 
distribuição de cargas ao longo da profundidade devido a 
carregamentos externos há bastante tempo. A experiência com uso 
desta ferramenta é muito grande sendo que ao longo dos anos, 
diversas formulações foram desenvolvidas para solucionar esta 
distribuição. A maioria das formulações existentes baseia-se nas 
seguintes considerações: 
a) a teoria da elasticidade é aplicável; 
b) o maciço de solo é homogêneo; 
c) o maciço de solo é isótropo; 
d) o maciço de solo é semi-infinito. 
13 
3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade 
a) a teoria da elasticidade é aplicável; 
b) o maciço de solo é homogêneo; 
c) o maciço de solo é isótropo; 
d) o maciço de solo é semi-infinito. 
 o solo não é um material elástico especialmente quando se considera que as 
deformações em solos são substancialmente irreversíveis. O que pode ser 
aceito é que até determinado nível de tensão há uma certa linearidade no 
comportamento tensão-deformação do solo; 
 a homogeneidade é exceção em solos. Na quase totalidade das vezes o solo 
é heterogêneo; 
 a isotropia excepcionalmente ocorre em solos; 
 o maciço de solo não é um espaço semi-infinito. 
14 
3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensões 
verticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da carga 
pontual Q, na superfície é dada pelas equações: 
 Q 
r 
R 
y 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
z 
5
3
v
2
5
22
3
v
R2
zQ3
ou
)zr(2
zQ3






2222 yxrerzR 
15 
3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensões 
verticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da carga 
pontual Q, na superfície é dada pelas equações: 
 Q 
r 
R 
y 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
z 




















23
2
2
22
5
2
)(
)21(
3
2 rR
zy
zRrR
yx
R
zxQ
x 
16 
3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos detensões 
verticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da carga 
pontual Q, na superfície é dada pelas equações: 
 Q 
r 
R 
y 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
z 




















23
2
2
22
5
2
)(
)21(
2
2 rR
zx
zRrR
xy
R
zyQ
y 
17 
3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Segundo Barata (1984) esta solução foi formulada para um 
material ideal, ou seja, solos elásticos, homogêneos, isótropos e para 
um semi-espaço infinito. 
• A solução de Boussinesq foi estabelecida para carga concentrada 
aplicada na superfície do terreno, no entanto a maioria das 
fundações aplica suas cargas abaixo da superfície e não 
corresponde a carga concentrada, o que conduz a erros. 
• Para o caso da aplicação de carga abaixo da superfície o correto é 
aplicar a teoria de Mindlin (1936) apud Poulos & Davis (1974). 
18 
3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Para aplicar a solução de Boussinesq em caso de cargas não 
concentradas Kögler & Scheidig (1948) apud Barata (1984) 
sugerem aplicar a mesma para profundidades razoáveis, conforme 
descrito a seguir. 
a) carga sobre área circular: z > 3 vezes o diâmetro; 
b) carga sobre área retangular: z > 2,5 vezes menor lado. 
19 
3.2.2 Solução de Westergaard – carga vertical pontual aplicada na superfície 
• Westergaard (1938) propôs uma solução para determinação da 
tensão vertical devida a uma carga pontual Q em um meio sólido 
elástico no qual existem camadas alternadas com reforços rígidos 
finos (camada de argila com estratos de areia). 
• Os acréscimos de tensões verticais resultantes, em qualquer ponto, 
da aplicação da carga pontual Q, na superfície é dado pela equação 
 
2
3
2
2
2
1
2













z
rz
Q
v


s
s



22
21



22 yxr 
20 
Carga vertical pontual aplicada na superfície 
Exemplo 1. Considerando uma carga pontual aplicada na superfície Q = 
1000 kN aplicada na superfície, represente a variação do aumento de 
tensão vertical (sz) com a profundidade (determinar em 2, 4, 6, 10, 15 
e 20 m) em função da carga pontual abaixo da superfície do solo com x 
= 3 m e y = 4 m, utilizando as soluções de Boussinesq e Westergaard. 
Considere o coeficiente de Poisson dos sólidos entre reforços rígidos (s) 
igual a 0,35. 
0
5
10
15
20
25
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
P
r
o
fu
n
d
id
a
d
e
 (
m
) 
Acréscimo de Tensão (kPa) 
Boussinesq
Westergaard
21 
3.2.3 Linha de Carga Vertical 
 
x 
z 
z 
q/unidade de comprimento 
z 
222
3
)(
2
zx
zq
z





22 
3.2.3 Linha de Carga Vertical 
z 
Exemplo 2. Na figura a seguir determine o aumento na tensão 
vertical no ponto A. 
 
2,0 m 
1,5 m 
A 
q=15 kN/m 
23 
3.2.4 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares 
• Para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço 
infinito de superfície horizontal por carregamentos distribuídos 
numa área retangular, Newmark desenvolveu uma integração da 
equação de Boussinesq. 
• Determinou as tensões num ponto abaixo da vertical passando pela 
aresta da área retangular e verificou que a solução era a mesma 
para situações em que a relação entre os lados da área retangular e 
a profundidade fossem as mesmas. 
   
   
 



























2222
5,022
222222
225,022
0
v
nm1nm
1nmmn2
arctg
1nmnm1nm
2nm1nmmn2
4
• A tensão num ponto qualquer é função dos parâmetros m e n, 
portanto a equação pode ser representada pela equação a seguir. 
0v I 
24 
3.2.4 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares 
25 
3.2.4 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares 
Exemplo 3. As coordenadas cartesianas do centro de uma placa 
retangular de fundação são (0, 0) e as de seus vértices (± 8, ± 5), 
sendo as dimensões tomadas em metros. A carga uniformemente 
distribuída na fundação é 15 kPa. Estimar os acréscimos de tensões 
verticais sobre o plano 15 m abaixo da face inferior da fundação 
dos seguintes pontos: A (-8, 5); O (0, 0); E (8, 0) e F (-10, -7). 
 A H B K 
J 
O 
E 
C 
D 
L 
N 
F 
M 
26 
3.2.5 Centro de Uma Área Circular Uniformemente Carregada 
• Utilizando a equação de Boussinesq para a tensão vertical (z) 
causada por uma carga pontual pode-se desenvolver uma expressão 
para a tensão vertical abaixo do centro de uma área circular flexível 
uniformemente carregada “Fórmula de Love”: 
Exemplo 4. Para realizar uma prova-de-carga foi utilizada uma placa 
circular de 3,0 m de diâmetro apoiada na superfície de um terreno. 
Sabendo-se que o carregamento máximo foi de 1.060 kN, determine 
o aumento de tensão vertical no centro da placa a 3 m de 
profundidade. 
























2
3
2
z
1)
z
R
(
1
1q
27 
3.2.6 Carregamento de um Aterro 
 B2 B1 
H 
z 2 1 
  










 

 2
2
1
21
2
210
z
B
B
B
BBq
hq0 
z
B
arctag
z
BB
arctag)radianos( 1211 




 

z
B
arctag)radianos( 12 
28 
3.2.6 Carregamento de um Aterro 
Exemplo 5. Um aterro de 7 m de altura, 5 m de crista e taludes com 14 
metros de largura será construído sobre um solo homogêneo. Para 
construção do aterro deverá ser utilizado um solo que apresenta 
dmax = 15,07 kN/m
3 e umidade ótima = 18,5%. Sabendo-se que o 
grau de compactação será de 98% e o mesmo será compactado na 
umidade ótima, determine o aumento de tensão no centro do aterro 
a 5 metros de profundidade.