slides vibrações mecânicas, resumo rao capitulo 2

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Vibrações
Capítulo 1: Fundamentos de 
vibrações
1.1 Observações 
preliminares
• Breve história e importância;
• Etapas envolvidas na análise de 
vibrações são delineadas;
• Conceitos essenciais;
• Conceito de análise harmônica - pode 
ser utilizada para análise de 
movimentos periódicos gerais.
1.2 Breve história
1.2.1 Origens 
• Descoberta dos primeiros 
instrumentos musicais.
• Pitágoras: primeiros estudos
1.2 Breve história
• Aristóteles: em 350 a.C. escreve 
sobre música e som;
• Vitrúvio: por volta de 20 a.C. escreve 
sobre propriedades acústicas de 
teatro (seu tratado De architetura 
libri decem ficou extraviado por 
séculos e foi redescoberto no século 
XVI d.C);
1.2 Breve história
• Terremotos na China: Zang Heng 
inventa o primeiro sismógrafo.
1.2 Breve história
1.2.2 De Galileu a Rayleigh
• Galileu estuda o comportamento do 
pêndulo simples:
- período independe da amplitude;
- relação entre a frequência e o comprimento 
do pêndulo, além da ressonância;
- Entendimento na relação entre frequência, 
comprimento, tensão e densidade de uma 
corda vibratória.
1.2 Breve história
• Marin Mersenne considerado o pai da 
acústica.
• Sauveur  e Jonh Wallis observaram o 
fenômeno de formas modais: nós e 
ventres em uma corda vibrando;
• Newton:  publica Philosofiae naturalis 
principia mathematica em 1686;
1.2 Breve história
• Brook Taylor: Solução teórica do problema 
da corda vibratória:
Solução teórica concorda com 
experimentos de Galileu e Mersenne;
• Procedimento de Taylor aperfeiçoado por 
Bernoulli, D’Alembert e Euler, através da 
inclusão das derivadas parciais.
• Princípio da superposição provado por 
Bernoulli;
1.2 Breve história
• Lagrange apresenta solução analítica do 
problema da corda vibratória em 1759;
• Equação da onda desenvolvida por 
D'Alembert em 1750;
• Estudo de vibração de vigas delgadas 
desenvolvido por Euler e Bernoulli (1744 
e 1751 respectivamente);
• Charles Coulomb estuda vibrações 
torcionais em 1784.
1.2 Breve história
• Problema de vibração de membrana 
retangular flexível resolvido por 
Simeon Poisson;
• Vibração de membrana circular 
estudada por Clebsch em 1862;
• Rayleigh publicou seu livro sobre 
teoria do som em 1877.
1.2 Breve história
1.2.3 Contribuições recentes
• Frahm estuda vibrações torcionais 
em eixos de hélices de navios em 
1902.
• Stodola: Vibração de vigas (aplicável 
a pás de turbinas), placas e 
membranas ;
1.2 Breve história
• De Laval: Solução prática para 
vibração de disco rotativo 
desbalanceado;
• Timoshenko: teoria aperfeiçoada de 
vibração de vigas;
• Mindlin: teoria para análise de 
vibrações em placas grossas.
1.2 Breve história
• Poincaré e Lyapunov: teoria 
matemática de sistemas não lineares 
no final do século XIX;
• Taylor, Wiener e Khinchin: teoria das 
vibrações aleatórias;
• Advento de computadores na década 
de 50: métodos numéricos para 
análise de vibrações.
1.2 Breve história 1.3 Importância do Estudo
• Maioria das atividades humanas 
envolve vibrações;
• Primeiros estudiosos: entendimento 
de fenômenos naturais;
• Recente: aplicações na área de 
engenharia: projeto de máquinas, 
fundações, estruturas, motores, 
turbinas e sistemas de controle.
1.3 Importância do estudo
• Motores de acionamento: 
desbalanceamento;
• Motores a diesel: vibrações podem 
provocar ondas terrestres que geram 
incômodos;
• Rodas de locomotivas: afastam-se do 
trilho por desbalanceamento;
• Turbinas: vibrações causam falhas 
catastróficas;
1.3 Importância do estudo
Vibrações podem provocar:
• Falha por fadiga;
• Desgaste mais rápido em 
componentes de máquinas;
• Ruído excessivo;
• Afrouxar ou soltar elementos de 
fixação (parafusos e porcas);
• Trepidação, que gera mau 
acabamento superficial.
1.3 Importância do estudo
• Se a frequência natural coincidir com 
a frequência de excitação externa, 
ocorre a ressonância, que resulta em 
deflexões excessivas e falha.
• Teste de vibrações é procedimento 
padrão no projeto e desenvolvimento 
da maioria dos sistemas de 
engenharia.
1.3 Importância do Estudo 1.3 Importância do Estudo 1.3 Importância do estudo
• Transmissão de vibração a seres 
humanos: desconforto e perda de 
eficiência;
• Ruído gerado por motores provoca 
desconforto e danos às propriedades;
• Vibração em painéis pode gerar mal 
funcionamento ou dificultar leitura;
• É finalidade importante: reduzir a 
vibração;
1.3 Importância do estudo
Por outro lado, a vibração pode ser útil:
• Esteiras transportadoras, peneiras, 
compactadores, máquinas de lavar, 
escovas de dente elétricas, brocas 
odontológicas, bate-estacas, testes 
de materiais, processos vibratórios 
de acabamentos e circuitos 
eletrônicos na filtragem de 
frequências indesejadas.
1.3 Importância do estudo
• Melhora em processos de usinagem, 
forjamento, fundição e soldagem, 
simulação de terremotos em 
pesquisas geológicas, estudos em 
projeto de reatores nucleares.
1.4 Conceitos Básicos
• 1.4.1 Vibração:
Movimento que se repete após um intervalo de 
tempo.
• 1.4.2 Partes elementares de sistemas 
vibratórios:
- Meio para armazenar energia potencial (mola 
ou elasticidade);
- Meio para armazenar energia cinética (massa 
ou inércia);
- Meio de perda gradual de energia: amortecedor.
1.4 Conceitos Básicos 1.4 Conceitos Básicos
- Vibração envolve alternar energia 
potencial e cinética em um sistema.
• 1.4.3 Graus de liberdade:
Número mínimo de coordenadas 
independentes requeridas para 
determinar completamente as 
posições de todas as partes de um 
sistema a qualquer instante.
1.4 Conceitos Básicos
1.4 Conceitos Básicos 1.4 Conceitos Básicos 1.4 Conceitos Básicos
• Coordenadas necessárias para 
descrever um sistema: 
coordenadas generalizadas. 
Podem ser cartesianas ou não.
1.4 Conceitos Básicos
• 1.4.4 Sistemas discretos e 
contínuos
Número finito (discreto) ou infinito 
(contínuo) de GDL.
1.5 Classificação de 
Vibrações
• 1.5.1 Vibração Livre e Vibração 
Forçada
Vibração Livre: Sistema vibra por 
conta própria após uma perturbação 
inicial;
Vibração Forçada: Vibração de um 
sistema sujeito a uma força externa.
1.5 Classificação de 
Vibrações
• 1.5.2 Vibração não amortecida e 
amortecida:
Se nenhuma energia for perdida ou 
dissipada durante a oscilação: 
Vibração não amortecida.
Se ocorre dissipação de energia: 
vibração amortecida.
1.5 Classificação de 
Vibrações
• 1.5.3 Vibração linear e não linear
Se todos os componentes básicos do 
sistema se comportam de maneira 
linear: Vibração linear. Princípio da 
superposição é válido.
Se algum dos componentes se 
comporta de maneira não linear: 
vibração não linear.
1.5 Classificação de 
Vibrações
• 1.5.4 Vibração determinística e 
aleatória
Se o valor da excitação que está 
agindo sobre o sistema for conhecido 
em qualquer instante de tempo: 
Vibração determinística
Excitação não determinística ou 
aleatória: valor não pode ser previsto. 
Descrita em termos de quantidades 
estatísticas.
1.5 Classificação de 
Vibrações
1.6 Procedimento de Análise
• Variáveis do sistema (excitação e resposta) 
são dependentes do tempo.
• Resposta depende de condições iniciais e 
excitações externas;
• Sistemas são muito complexos: só 
características importantes são 
consideradas;
• Análise envolve: modelagem matemática, 
obtenção de equações governantes, solução 
das equações e interpretação dos resultados.
1.6 Procedimento de Análise
Etapa 1: Modelagem matemática
• Representa todos os aspectos 
importantes do sistema;
• Detalhado o suficiente para 
conseguir descrever o sistema sem 
torná-lo muito complexo;
• Linear ou não linear;
• Pode-se refinar o modelo.
1.6 Procedimento deAnálise
1.6 Procedimento de Análise 1.6 Procedimento de Análise 1.6 Procedimento de Análise
Etapa 2: Derivação das equações 
governantes
• Princípios da dinâmica para obter 
equações do sistema (2ª Lei de 
Newton, princípio de D’alembert, da 
conservação de energia etc).
- DCL de todas as massas do sistema 
e forças agindo sobre elas;
- Sistema discreto: EDO
- Sistema contínuo: EDP
1.6 Procedimento de Análise
Etapa 3: Solução das equações 
governantes
- Métodos padronizados para resolver 
equações diferenciais;
- Transformadas de Laplace;
- Métodos matriciais;
- Métodos numéricos.
1.6 Procedimento de Análise
Etapa 4: Interpretação dos 
resultados
- Solução das equações governantes 
fornece deslocamentos, velocidades 
e acelerações das massas do 
sistema.
- Interpretação feita considerando a 
finalidade da análise e possíveis 
implicações nos resultados do 
projeto.
1.6 Procedimento de Análise
• Exemplo 1.1: Modelo matemático de 
uma motocicleta
• Desenvolva uma sequência de três 
modelos matemáticos do sistema para 
investigar vibrações no sentido vertical. 
Considere a elasticidade dos pneus, a 
elasticidade e o amortecimento das 
longarinas (no sentido vertical), as massas 
das rodas e a elasticidade, amortecimento 
e massa do motociclista.
1.6 Procedimento de Análise 1.6 Procedimento de Análise
• Exemplo 1.1: solução
• Começando com o modelo mais 
simples e refinando gradativamente.
Modelo com 1 gdl (b) e mais refinado 
(c):
1.6 Procedimento de Análise
Modelo mais 
refinado (d);
Modelo não é 
único: 
recombinand
o parâmetros 
de (c), pode-
se obter (e)
1.7 Elementos de Mola
• Mola linear é um tipo de elo mecânico 
com, de modo geral, massa e 
amortecimento desprezíveis.
• Uma força é desenvolvida sempre que 
houver movimento relativo entre as 
duas extremidades:
• F é a força da mola, x a deformação e k 
é a rigidez da mola
1.7 Elementos de Mola
• Trabalho realizado na deformação da 
mola:
• Muitas molas são não lineares após 
certa deformação. Em muitos casos 
considera-se linear, pois as deflexões 
são pequenas. Em outros, usa-se 
processo de linearização.
1.7 Elementos de Mola
1.7 Elementos de Mola 1.7 Elementos de Mola
• Processo de linearização:
- A carga de equilíbrio estático F causa uma 
deflexão x*.
- Uma força incremental F, a deflexão 
adicional é x.
- A nova força pode ser expressa usando 
série de Taylor:
(1.3)
1.7 Elementos de Mola
- Para valores pequenos de x, os 
termos de derivadas de ordem 
superior podem ser desprezados. 
Assim:
(1.4)
- Como F = F(x*), podemos expressar 
F como:
(1.5)
1.7 Elementos de Mola
• k é a constante linearizada em x*:
• Elementos elásticos como vigas 
também se comportam como molas. 
Considerando a massa da viga a 
seguir desprezível em comparação 
com a massa m, temos:
1.7 Elementos de Mola 1.7 Elementos de Mola
• Pela resistência dos materiais:
(1.6)
W=mg é o peso da massa m, E é o 
módulo de Young e I é o momento de 
inércia da seção transversal. Assim, de 
1.1 e 1.6:
1.7 Elementos de Mola
1.7.1 Associação de molas:
Caso 1: Molas em paralelo
1.7 Elementos de Mola
Da figura 1.27a:
Se keq é a constante elástica 
equivalente, então:
1.7 Elementos de Mola
• De 1.8 e 1.9:
• Para n molas em paralelo:
1.7 Elementos de Mola
• Caso 2: Molas em série
1.7 Elementos de Mola
Da figura 1.28:
Visto que as molas estão submetidas à 
mesma força W, então:
• E:
1.7 Elementos de Mola
• De (1.13) e (1.14):
Ou:
Substituindo em (1.12):
1.7 Elementos de Mola
Isto é:
Para n molas em série:
1.7 Elementos de Mola
• Em certas aplicações, molas estão 
ligadas a componentes rígidos como 
polias, alavancas e engrenagens. 
Nesses casos, pode-se determinar 
uma constante elástica equivalente 
usando equivalência de energia 
(Exemplo 1.5).
1.7 Elementos de Mola
• Exemplo 1.2: k equivalente de 
um sistema de suspensão
Determine a constante elástica 
equivalente da suspensão se cada 
uma das três molas helicoidais for 
fabricada em aço com G = 80 x109 
N/m2 e tiver 5 espiras efetivas, 
diâmetro médio de enrolamento D = 
20 cm e diâmetro do arame d = 2 cm.
1.7 Elementos de Mola 1.7 Elementos de Mola
Exemplo 1.2: solução
A rigidez de cada mola helicoidal é 
(consultar formulário no início do livro):
Como as três molas são idênticas e 
paralelas:
1.7 Elementos de Mola
• Exemplo 1.3: Constante elástica 
torcional de um eixo de um 
propulsor a hélice
1.7 Elementos de Mola
Determine a constante elástica 
torcional do eixo de hélice em aço da 
figura.
Solução:
Considerando os segmentos 12 e 23 
como molas em série, e verificando 
pela figura que o torque é igual à T em 
qualquer seção, obtemos:
1.7 Elementos de Mola
Como as molas estão em série, da 
equação (1.16):
1.7 Elementos de Mola
• Exemplo 1.4: k equivalente de 
um tambor de içamento
1.7 Elementos de Mola
• Determine a constante elástica 
equivalente do sistema quando o 
comprimento de suspensão do cabo 
é l. Admita que o diâmetro efetivo da 
seção transversal do cabo é d e que 
o módulo de Young de viga e do cabo 
é E.
1.7 Elementos de Mola
• Exemplo 1.4: solução
A constante elástica da viga em 
balanço é dada por:
A rigidez do cabo sujeito a 
carregamento axial é:
1.7 Elementos de Mola
1.7 Elementos de Mola
Visto que tanto o cabo quanto a viga 
suportam a mesma carga W, podem 
ser considerados molas em série. 
Assim:
1.7 Elementos de Mola
• Exemplo 1.5: k equivalente de 
um guindaste
1.7 Elementos de Mola
• A lança AB é uma barra de aço uniforme 
de comprimento de 10 m e área de seção 
transversal de 2.500 mm2;
• Um peso W é suspenso enquanto o 
guindaste permanece estacionário;
• O cabo CDEBF é feito de aço e tem área 
de seção transversal de 100 mm2.
Desprezando o efeito do cabo CDEB, 
determine a constante elástica equivalente 
do sistema na direção vertical.
1.7 Elementos de Mola
Solução:
Pode-se determinar a constante 
elástica pela equivalência de energias 
potenciais dos dois sistemas;
Como a base do guindaste é rígida, o 
cabo e a lança podem ser 
considerados fixos nos pontos F e A;
O cabo CDEB é desprezível, podendo 
considerar o peso W agindo no ponto 
B, como mostrado:
1.7 Elementos de Mola 1.7 Elementos de Mola
Um deslocamento vertical x do ponto 
B provocará uma deformação vertical 
de:
x2 = x cos 45° na mola k2 e 
x1 = x cos (90° – ) na mola k1;
O comprimento do cabo FB, l1, é:
O ângulo  satisfaz a relação:
1.7 Elementos de Mola
A energia potencial total (U) pode ser 
expressa pela equação (1.2):
Onde:
1.7 Elementos de Mola
Uma vez que a mola equivalente na 
direção vertical sofre uma deformação 
x, a energia potencial de mola 
equivalente (Ueq) é:
Fazendo U = Ueq, obtemos:
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• Elemento de massa ou inércia é um 
corpo rígido; pode ganhar ou perder 
energia cinética sempre que a 
velocidade do corpo mudar.
• 2ª Lei de Newton: F=ma;
• Trabalho = Força x deslocamento;
• Trabalho realizado sobre uma massa 
é armazenado na forma de energia 
cinética da massa.
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
1.8.1 Associação de massas
Caso 1: Massas de translação 
ligadas por uma barra rígida.
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• Supondo a massa equivalente em 
m1.
• As velocidades das massas m2 e m3 
podem ser expressas em termos da 
velocidade de m1. Se admitirmos 
pequenos deslocamentos angulares 
para a barra:
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Igualando a energia cinética do 
sistema de 3 massas à do sistema de 
uma massa equivalente:
De (1.18) e (1.19):
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Caso 2: Massas de rotação e 
translacionais acopladas
1.8 Elementosde Massa ou 
Inércia
• Considerando a massa m, com 
velocidade de translação , acoplada 
a outra massa (momento de inércia 
J0) com velocidade rotacional .
• Podem ser associadas para obter
(1)Uma única massa equivalente de 
translação meq;
(2)Uma única massa equivalente 
rotacional, Jeq.
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• Elemento de massa ou inércia é um 
corpo rígido; pode ganhar ou perder 
energia cinética sempre que a 
velocidade do corpo mudar.
• 2ª Lei de Newton: F=ma;
• Trabalho = Força x deslocamento;
• Trabalho realizado sobre uma massa 
é armazenado na forma de energia 
cinética da massa.
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
1. Massa equivalente de 
translação. A energia cinética das 
massas é dada por:
E a energia cinética equivalente pode 
ser:
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Visto que: e , a equivalência de T e Teq 
dá:
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
2. Massa rotacional equivalente. 
Aqui e . A equivalência de T e Teq leva 
a:
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Exemplo 1.6: Massa equivalente 
de um sistema
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• Determinar a massa equivalente do 
sistema, no qual a ligação rígida 1 
está ligada à polia e gira com ela.
Solução:
Supondo pequenos deslocamentos;
Pode-se determinar meq pela 
equivalência de energia cinética dos 
sistemas;
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Quando m é deslocada de uma 
distância x, a polia e a ligação rígida 
1 giram por um ângulo p = 1 = x/rp;
Com isso, a ligação 2 e o cilindro são 
deslocados de:
x2 = pl1 = xl1/rp;
Como o cilindro gira sem 
deslizamento, gira por um ângulo c = 
x2/rc = xl1/rprc;
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• A energia cinética do sistema fica:
•
• Onde J1, Jp e Jc são os momentos de 
inércia de massa da polia, ligação 1 e 
cilindro;
• e são as velocidades lineares da 
massa m e link 2;
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Obtemos a massa equivalente:
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
• Exemplo 1.7: Mecanismo came-
seguidor
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
O sistema consiste de:
Uma haste (comando de válvula) de massa 
mp;
Um balancim de massa mr e momento de 
inércia de massa Jr ao redor de seu CG;
Uma válvula de massa mv;
Uma mola de válvula de massa desprezível.
Determine meq supondo sua localização em:
(i) ponto A;
(ii)Ponto C;
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Solução:
O deslocamento x da haste provoca 
uma rotação do balancim r = x/l1, e 
um deslocamento da válvula xv = rl2 
= xl2/l1 e o C.G. do balancim desloca-
se para baixo uma distância de: xr = 
rl3 = xl3/l1.
A energia cinética do sistema fica:
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
Igualando T e Teq e observando que: , , 
e , obtemos:
•  
1.8 Elementos de Massa ou 
Inércia
•  
1.9 Elementos de 
Amortecimento
• Amortecimento: Energia de vibração 
é gradativamente convertida em 
calor ou som. Ocorre redução da 
resposta -> deslocamento diminui 
gradativamente.
• Admite-se que amortecedor não tem 
massa nem velocidade.
• Força de amortecimento só existe se 
houver velocidade.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
• TIPOS DE AMORTECIMENTO:
• Amortecimento viscoso: é o mais 
comum. Ocorre quando sistemas 
mecânicos vibram em um meio fluido 
como ar, água, gás ou óleo. Exemplos 
típicos são: película de fluido entre 
superfícies deslizantes, fluxo de fluido ao 
redor de um pistão dentro de um cilindro, 
fluxo de um fluido através de um orifício e 
película de fluido ao redor de um mancal.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
• Amortecimento por Coulomb ou atrito 
seco: nesse caso, a força de amortecimento é 
constante, no sentido oposto ao movimento do 
corpo. Ocorre pelo atrito entre superfícies não 
lubrificadas.
• Amortecimento material ou sólido ou por 
histerese: Quando o material é deformado, 
ele absorve ou dissipa energia através do 
atrito. A área do diagrama do ciclo de histerese 
representa a energia perdida por unidade de 
volume do corpo por ciclo .
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Ciclo de histerese para materiais 
elásticos:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
1.9.1 Construção de amortecedores 
viscosos: Usam-se duas placas paralelas 
separadas por uma distância h e um fluido 
com viscosidade . Uma das placas se move 
com velocidade . A camada de fluido em 
contato com esta placa se move com a 
mesma velocidade. A camada em contato 
com a placa fixa não se move. A velocidade 
das camadas intermediárias varia 
linearmente entre 0 e .
1.9 Elementos de 
Amortecimento
A tensão de cisalhamento na camada 
de fluido a uma altura y é: 
 (1.26)
 é o gradiente de velocidade. 
1.9 Elementos de 
Amortecimento
A força de cisalhamento ou de 
resistência (F) desenvolvida na 
superfície da placa é:
(1.27) 
A = área da superfície da placa em 
movimento, e:
(1.28)
c é a constante de amortecimento.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
•  
1.9 Elementos de 
Amortecimento
1.9.2 Associação de 
amortecedores
Amortecedores em associação podem 
ser substituídos por um amortecedor 
equivalente adotando-se um 
procedimento semelhante ao adotado 
para associação de molas.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Exemplo 1.8: Folga em um mancal
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Verificou-se que um mancal, que pode ser 
aproximado por duas placas planas 
separadas por uma fina película de 
lubrificante, oferece uma resistência de 
400N quando é usado óleo SAE30 como 
lubrificante e a velocidade relativa entre as 
placas é 10m/s. Se a área da placas (A) for 
0,1 m, determine a folga entre as placas. 
Suponha que a viscosidade absoluta do óleo 
SAE30 seja 50  reyn ou 0,3445 Pa-s.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Solução:
Visto que F pode ser expressa como:
Temos: 
Modelando o mancal como um 
amortecedor do tipo placa plana, a 
constante de amortecimento é dada 
por:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Usando os dados conhecidos, (E.2) 
fica:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Exemplo 1.9: Desenvolva uma 
expressão para a constante de 
amortecimento do amortecedor 
mostrado.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Solução:
A constante de amortecimento pode ser 
determinada usando a equação da tensão 
de cisalhamento para fluxo de fluido 
viscoso e a equação da taxa de fluxo de 
fluido;
O amortecedor consiste de um pistão de 
diâmetro D e comprimento l movendo-se 
com velocidade v0 dentro de um cilindro 
cheio de líquido com viscosidade .
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Sejam:
d a folga entre o pistão e a parede do 
cilindro;
 e  a velocidade e a tensão de cisalhamento 
a uma distância y da superfície móvel;
( - d) e ( + d) a velocidade e a tensão de 
cisalhamento a uma distância (y + dy) da 
superfície móvel;
O sinal negativo de – dindica que a 
velocidade diminui à medida que nos 
aproximamos da parede do cilindro.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
• A força viscosa sobre esse anel é:
• A tensão de cisalhamento é:
• (E.2) em (E.1):
1.9 Elementos de 
Amortecimento
• A força sobre o pistão causará uma 
diferença de pressão nas 
extremidades do elemento:
• Desse modo, a força devido à 
pressão na extremidade do elemento 
é:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Onde (Ddy) denota a área anular entre y e 
(y + dy);
Considerando velocidade uniforme no 
sentido do movimento do fluido, as forças de 
(E.3) e (E.5) devem ser iguais. Assim:
Ou:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Integrando duas vezes e usando as 
condições de contorno:
 = 0 em y = 0; = 0 em y = d.
Obtemos:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
A taxa de fluxo pelo espaço da folga pode ser 
obtida integrando-se a taxa de fluxo por todo 
um elemento entre os limites y = 0 e y = d:
O volume de líquido que escoa através do 
espaço de folga por segundo deve ser igual 
ao volume deslocado pelo pistão. Assim, a 
velocidade do pistão será igual à taxa 
dividida pela área do pistão.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Isso dá:
De (E.8) e (E.9):
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Expressando a força como:
Podemos determinar a constante de 
amortecimento:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Exemplo 1.10: Constante elástica 
equivalente e constante de amortecimento 
equivalente de um suporte de máquina 
ferramenta
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Uma fresadora de precisão está apoiada em 
quatro suportes isoladores de choque (figura 
a). A elasticidade e o amortecimento de cada 
isolador de choque podem ser modelados 
como uma mola e um amortecedor viscoso, 
como mostrado na figura (b). Determine a 
constante elástica equivalente, keq, e a 
constante de amortecimento equivalente, ceq, 
do suporte da máquina-ferramenta em 
termos das constantes elásticas (ki) e das 
constantes de amortecimento (ci) dos apoios.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Solução:
Os diagramas de corpo livre das molas e 
amortecedores são mostrados na figura (c);
Admitindo o centro de massa G localizado 
em posição simétrica em relação às quatro 
molas e aos amortecedores, observamos 
que todas as molas estão sujeitas ao 
mesmo deslocamento e todos os 
amortecedores estão sujeitos à mesma 
velocidade ;
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Como consequência, as forças que 
agem sobre todas as molas (Fsi) e 
todos os amortecedores (Fdi) são:
Considerando as forças totais como Fs 
e Fd, podemos expressar as equações 
de equilíbrio:
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Onde:
W = força vertical total (incluindo a 
força de inércia) que age sobre a 
máquina de fresar;
1.9 Elementos de 
Amortecimento
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Da figura (d):
De (E.2) e (E.1):
Onde ki = k e ci = c, para i = 1,2,3,4.
1.9 Elementos de 
Amortecimento
Obs: Se o centro de massa G não 
estiver localizado em posição simétrica 
em relação às quatro molas e aos 
quatro amortecedores, a i-ésima mola 
sofre um deslocamento de e o i-
ésimo amortecedor experimenta uma 
velocidade , onde e podem ser 
relacionadas com o deslocamento e a 
velocidade de G. Nesse caso, (E.1) e 
(E.4) precisam ser modificadas.
1.10 Movimento harmônico
• O movimento oscilatório pode 
repetir-se (pêndulo simples – 
movimento periódico) ou ser 
irregular (terremoto).
• O tipo mais simples de movimento 
periódico é o movimento harmônico.
1.10 Movimento harmônico
• Exemplo de 
movimento 
harmônico simples
1.10 Movimento harmônico
• O deslocamento x da massa m é:
• A velocidade e aceleração ficam:
• Aceleração diretamente proporcional ao 
deslocamento: movimento harmônico 
simples.
1.10 Movimento harmônico
1.10.1 
Representação 
vetorial de 
movimento 
harmônico
1.10 Movimento harmônico
• Projeção da extremidade do vetor no 
eixo vertical é:
• No eixo horizontal fica:
1.10 Movimento harmônico
1.10.2 Representação de 
movimento harmônico por 
números complexos
Qualquer vetor no plano xy pode ser 
representado como um número 
complexo:
Onde e a e b denotam os 
componentes x e y de .
1.10 Movimento harmônico
• O movimento oscilatório pode 
repetir-se (pêndulo simples – 
movimento periódico) ou ser 
irregular (terremoto).
• O tipo mais simples de movimento 
periódico é o movimento harmônico.
1.10 Movimento harmônico 1.10 Movimento harmônico
Se A denota o módulo e  representa o 
argumento, o vetor pode ser 
representado por:
Com: 
E: 
1.10 Movimento harmônico
Observando que i2=-1, i3=-i, i4=1, ..., 
cos e isen podem ser expandidos em 
série:
1.10 Movimento harmônico
As equações (1.39) e (1.40) dão:
E (1.36) pode ser expressa como:
1.10 Movimento harmônico
1.10.3 Álgebra de números complexos
Números complexos podem ser expressos 
sem usar a notação vetorial por:
E: 
Onde: 
E: 
1.10 Movimento harmônico
A soma e a diferença de números 
complexos:
1.10 Movimento harmônico
1.10.4 Operações com funções 
harmônicas
O vetor da figura (1.39) pode ser 
escrito como:
Onde  denota a frequência circular (rad/s) do vetor 
no sentido anti-horário.
Diferenciando (1.51) no tempo:
1.10 Movimento harmônico
O deslocamento, velocidade e 
aceleração podem ser expressos 
como:
1.10 Movimento harmônico
1.10 Movimento harmônico
Funções harmônicas podem ser 
somadas vetorialmente.
1.10 Movimento harmônico
Onde: e e, da figura, a magnitude do vetor 
resultante é:
O ângulo :
E: 
1.10 Movimento harmônico
Exemplo 1.11: Adição de 
movimentos harmônicos
Determine a soma de dois movimentos 
harmônicos:
 x1(t) = 10 cos (t) e
x2(t) = 15 cos(t +2).
1.10 Movimento harmônico
Solução:
Método 1: Relações trigonométricas: Já 
que a frequência circular é a mesma 
para ambas, x1(t) e x2(t), expressamos 
a soma como:
Isto é:
1.10 Movimento harmônico
Reorganizando:
Igualando os coeficientes de cos t e 
sen t, obtemos:
1.10 Movimento harmônico
Método 2: Usando vetores: Para um vetor 
arbitrário de t, os movimentos x1(t) e x2(t) 
podem ser representados graficamente 
como mostrado na figura:
2 rad = 114,6°
1.10 Movimento harmônico
A adição de vetores dá:
1.10 Movimento harmônico
Método 3: Usando números complexos: Os 
dois movimentos podem ser representados 
por números complexos:
A soma de x1(t) e x2(t) pode ser expressa 
como:
Onde A e  podem ser determinados pelas 
equações (1.47) e (1.48) como A = 14,1477 e 
 = 74,5963°
1.10 Movimento harmônico
1.10.5 Definições e terminologia
• Ciclo: Movimento de um corpo de 
sua posição de equilíbrio, para sua 
posição extrema em um sentido, 
para sua posição extrema em outro 
sentido e volta a sua posição de 
equilíbrio.
• Amplitude: O máximo 
deslocamento de um corpo em 
relação à sua posição de equilíbrio.
1.10 Movimento harmônico
• Período de oscilação: Tempo que leva para 
concluir um ciclo:
• Frequência de oscilação: Número de ciclos por 
unidade de tempo (ciclos/segundo = Hertz).
• f = frequência circular,  = frequência angular 
(rad/s).
1.10 Movimento harmônico
• Ângulo de fase: Considere dois 
movimentos vibratórios:
Esses movimentos são síncronos (mesmo ), 
mas não atingem seus valores máximos ao 
mesmo tempo. O máximo do segundo vetor 
ocorre  radianos antes do primeiro vetor. 
Esse ângulo  é o ângulo de fase.
1.10 Movimento harmônico
1.10 Movimento harmônico
• Frequência Natural: Se após uma 
perturbação inicial, um sistema 
continuar a vibrar por si próprio, a 
frequência com que ele oscila é a 
frequência natural. Um sistema com 
n graus de liberdade terá n 
frequências naturais.
1.10 Movimento harmônico
• Batimentos: Quando dois 
movimentos harmônicos com 
frequências próximas são somados, o 
movimento resultante exibe um 
fenômeno chamado batimento. Por 
exemplo:
• Onde  é pequeno.
1.10 Movimento harmônico
• A soma desses movimentos é:
Usando a relação:
(1.65) pode ser escrita como:
1.10 Movimento harmônico 1.10 Movimento harmônico
• Oitava: Quando o valor máximo de 
uma faixa de frequência é o dobro do 
mínimo, ele é conhecido como uma 
faixa de oitava. Cada uma das faixas: 
75 – 150 Hz, 150 – 300 Hz e 300 – 
600 Hz são faixas de oitavas.
1.10 Movimento harmônico
• Decibel: Várias quantidades da área de vibrações e 
som usam essa notação. Originalmente, um decibel 
foi definido como uma razão entre potências 
elétricas:
•
• Visto que a potência é proporcionalao quadrado da 
tensão (X), o decibel (dB) fica:
• 
• X0 é uma tensão de referência.
1.11 Análise Harmônica
• Embora o movimento harmônico seja 
o mais simples de tratar, o 
movimento de muitos sistemas 
vibratórios não é harmônico. Mas, 
suas vibrações são periódicas e 
podem ser representadas por série 
de Fourier como uma soma infinita 
de senos e cossenos.
1.11 Análise Harmônica
1.11.1 Expansão por série de Fourier
Se x(t) é uma função periódica com período , 
sua representação por série de Fourier é:
Onde  é a frequência fundamental e a0, 
a1, a2, ...b1, b2 são coeficientes constantes.
1.11 Análise Harmônica
• Para determinar an e bn, multiplicamos 
(1.70) por cos nt e sen nt, e integramos 
sobre um período . Percebemos que 
todos os termos do lado direito, exceto 
um, serão zero. Assim:
1.11 Análise Harmônica
• Qualquer função periódica pode ser 
representada como uma soma de 
funções harmônicas.
• A maioria das funções periódicas 
pode ser aproximada com apenas 
algumas funções harmônicas, como 
mostra a figura a seguir:
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
• A Série de Fourier pode ser 
representada pela soma de termos 
somente em senos ou somente em 
cossenos:
• Onde: 
• E:
1.11 Análise Harmônica
Fenômeno de Gibbs
• Quando uma função é representada por uma 
série de Fourier, pode-se observar um 
comportamento anômalo: à medida que o 
número de termos (n) aumenta, pode-se 
perceber que a aproximação melhora, exceto 
na vizinhança da descontinuidade. O desvio 
estreita-se, mas sua amplitude permanece 
constante.
• O erro na amplitude permanece em 
aproximadamente 9%.
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
1.11.2 Série de Fourier complexa
De (1.41) e (1.42):
cos t e sen t podem ser expressos 
como:
1.11 Análise Harmônica
• A equação (1.70) fica:
• Onde b0 = 0.
1.11 Análise Harmônica
• Definindo os coeficientes complexos 
de Fourier cn e c-n:
• A equação (1.82) fica:
1.11 Análise Harmônica
• Os coeficientes de Fourier podem ser 
determinados usando as equações 
(1.71) a (1.73):
1.11 Análise Harmônica
1.11.3 Espectro de frequência
• As funções harmônicas ancos nt e bn 
sen nt são harmônicas de ordem n 
de x(t).
• Têm período /n.
• Podem ser representadas por linhas 
verticais em um diagrama de 
amplitude (an e bn ou dn e f) em 
relação à frequência (n), 
denominado espectro de frequência 
ou diagrama espectral: 
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
1.11.4 Representações no domínio do 
tempo e da frequência
• Uma função harmônica x(t) = A sen t dada no 
domínio do tempo pode ser representada pela 
amplitude e pela frequência no domínio da 
frequência;
• Qualquer função periódica pode ser 
representada no domínio do tempo ou da 
frequência;
• A representação no domínio da frequência não 
dá as condições iniciais.
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
1.11.5 Funções pares e ímpares
• Função par:
• Expansão por série de Fourier:
• a0 e an são dados por (1.71) e (1.72).
1.11 Análise Harmônica
• Função ímpar:
• Expansão por série de Fourier:
• bn é dado por (1.73)
1.11 Análise Harmônica
• Em alguns casos, uma função pode 
ser considerada par ou ímpar, 
dependendo da localização dos eixos 
coordenados:
1.11 Análise Harmônica
• Necessário calcular somente os 
coeficientes an ou bn;
• Um deslocamento do eixo x equivale 
a somar uma constante igual à 
quantidade de deslocamento.
1.11 Análise Harmônica
• No caso da função ímpar (figura ii), a expansão 
por série de Fourier fica:
• Se a função for par (figura iii):
• As funções x1(t) e x2(t) representam a mesma 
onda, exceto pela origem. Assim, existe também 
uma relação na expansão em série de Fourier.
1.11 Análise Harmônica
• Observando que:
• Pela equação (1.91):
1.11 Análise Harmônica
• Usando a relação sen (A + B) = senA 
cosB + cosA senB, (1.94) fica:
1.11 Análise Harmônica
• Visto que cos[2(2n-1)/4] = 0 para n 
= 1, 2, 3... e sen[2(2n-1)/4] = (-1)n+1 
para n = 1, 2, 3 ..., a equação (1.95) 
fica:
que é igual à equação (1.92).
1.11 Análise Harmônica
1.11.6 Expansões em meia-faixa
• Algumas funções são definidas somente no 
intervalo 0 a . Essas funções não são 
periódicas, mas podem ser expandidas no 
intervalo – a 0.
• A extensão pode resultar em uma função ímpar 
ou par;
• A expansão em série de Fourier resulta em 
termos de seno (ímpar) ou cosseno (par). 
Qualquer uma dessas expansões pode ser 
usada para determinar x(t).
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
1.11.7 Cálculo numérico de coeficientes
• Se x(t) não tiver uma forma simples, a 
integração pode ser complicada.
• A função x(t) pode não estar disponível 
(determinação experimental de vibração, 
por exemplo). Só os valores de x(t) em 
vários pontos t1, t2, ... tN estão.
• Nesses casos, an e bn podem ser obtidos 
por integração numérica.
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
• Suponha que t1, t2, ... tN sejam um número par 
de pontos equidistantes no período (N é 
par), com os valores correspondentes de x(t) 
dados por x1 = x(t1), x2 = x(t2), ..., xN = x(tN). 
• A aplicação da regra trapezoidal fornece an e 
bn (fazendo  = Nt):
1.11 Análise Harmônica
Exemplo 1.12: Expansão em série 
de Fourier
Determine a expansão por série de 
Fourier do movimento da válvula no 
sistema came-seguidor mostrado na 
figura.
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
Solução:
Se y(t) denotar o movimento vertical 
da haste da válvula, x(t), pode ser 
determinado pela relação:
Ou:
onde
1.11 Análise Harmônica
O período é dado por . Definindo:
 pode ser expressa como:
A equação (E.3) é mostrada na figura a 
seguir.
1.11 Análise Harmônica
Para calcularmos os coeficientes de 
Fourier an e bn, usamos as equações 
(1.71) a (1.73):
1.11 Análise Harmônica 1.11 Análise Harmônica
1.11 Análise Harmônica
Como consequência, a expansão em série de 
Fourier de é:
Os três primeiros termos são mostrados no 
gráfico da figura mostrada. Pode-se ver que a 
aproximação chega ao formato de dente de 
serra com um número pequeno de termos .
1.11 Análise Harmônica
Exemplo 1.13: Análise numérica 
de Fourier
As variações de pressão da água dentro de 
um cano medidas a intervalos de 0,01 
segundo são dadas na tabela 1.1. Essas 
variações são de natureza repetitiva. Faça 
uma análise harmônica das variações da 
pressão e determine as três primeiras 
harmônicas da expansão por série de 
Fourier.
1.11 Análise Harmônica
1.11 Análise Harmônica
Solução:
Visto que as variações de pressão 
repetem-se a cada 0,12 segundo, o 
período é e a frequência circular da 
primeira harmônica é radianos por 
0,12 s ou . Como o número em cada 
onda (N) é 12, obtemos pela equação 
(1.97):
1.11 Análise Harmônica
Os coeficientes an e bn podem ser 
determinados pelas equações (1.98) e 
(1.99):
Os cálculos envolvidos nas equações (E.2) 
e (E.3) são mostrados na tabela 1.2.
1.11 Análise Harmônica
Por estes cálculos, pode-se obter a 
expansão por série de Fourier das 
variações de pressão p(t) (Equação 
1.70):
Lista de Exercícios – 
2017/02
Exercícios do RAO, 4ª edição em 
português, capítulo 1:
1.4; 1.24; 1.33; 1.40; 1.50; 1.66