Resumo vibrações capitulo 2

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Cap. 2 – Vibração Livre em 
Sistemas 1 GDL
2.1 Introdução
• Vibração Livre: oscila sob perturbação inicial. 
Ex: pêndulo de um relógio
• 1 GDL: coordenada (x) é suficiente para 
especificar a posição da massa a qualquer 
tempo.
• Não há dissipação de energia: sistema não 
amortecido.
2.1 Introdução
• Sistema massa-mola: mais simples possível.
• Vários sistemas práticos podem ser idealizados 
como 1 GDL. Ex: oscilações de um pêndulo, 
mecanismo came seguidor;
2.1 Introdução
2.1 Introdução
2.1 Introdução
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2.1 Equação do Movimento pela 2ª Lei de 
Newton
• Procedimento de obtenção da Equação:
1. Selecionar uma coordenada para descrever a 
posição da massa
2. Determinar a configuração de equilíbrio estático do 
sistema.
3. Fazer o Diagrama de Corpo Livre da massa.
4. Aplicar a 2ª Lei de Newton:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2ª Lei de Newton: “A taxa de variação da 
quantidade de movimento linear é igual à força 
que age sabre a massa ou corpo”
Se a massa é constante:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Para movimento rotacional, a 2ª Lei de 
Newton resulta:
• é o momento resultante e e
são o deslocamento angular e aceleração 
angular resultantes. 
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Aplicando a equação (2.1) à massa da figura 
2.1:
ou:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos
Princípio de D’Alembert:
As equações de movimento podem ser reescritas 
como:
(2.4a) e (2.4b) podem ser equações de equilíbrio se 
e forem tratados como uma força ou momento (de 
inércia). O equilíbrio (2.4) é conhecido como equilíbrio 
dinâmico.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
A aplicação desse princípio resulta na equação:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Princípio dos deslocamentos virtuais
“Se um sistema que está em equilíbrio sob ação de um 
conjunto de forças for submetido a um deslocamento 
virtual, então o trabalho virtual total realizado pelas 
forças será zero.”
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Trabalho virtual realizado pela força da mola:
• Trabalho virtual realizado pela força de inércia:
• Quando o trabalho virtual total realizado por todas 
as forças iguala-se a zero, temos:
• Como dx é diferente de zero, temos:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Princípio da Conservação de Energia
• Sistema é conservativo se nenhuma energia for perdida 
devido a atrito ou membros não elásticos que dissipam 
energia.
• Se nenhum trabalho é realizado sobre o sistema por 
forças externas, então a energia total do sistema 
permanece constante.
• Sistema vibratório: Energia potencial (U) + Cinética(T)
• T armazenada na massa em virtude da velocidade
• U armazenada na mola em virtude da deformação
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• T + U = Constante
• Ou: 
• Substituindo (2.7) e (2.8) em (2.6):
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2.3 Equação do sistema massa-mola na 
vertical
• Posição de equilíbrio estático
Força da mola 
=
Força gravitacional
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Se a massa sofre uma deflexão até +x, a força 
da mola é:
• Aplicando a 2ª Lei de Newton:
• Como kdst = W, obtemos:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Obs: A equação 2.10 poderia ser obtida através 
do princípio de D’Alembert, dos deslocamentos 
virtuais ou conservação da energia. Supondo a 
conservação da energia, T permanece igual, mas 
U deve ser obtida considerando o peso da 
massa.
• Força da mola em equilíbrio estático é mg;
• Se a mola sofre uma deflexão, a energia 
potencial é:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• A energia potencial líquida em relação à 
posição de equilíbrio estático é:
U = energia potencial da mola + mudança na 
energia potencial resultante da mudança na 
elevação da massa m =
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2.4 Solução
• A solução da equação 2.3 pode ser encontrada 
admitindo-se que:
• C e s constantes a determinar
• Substituindo (2.11) em (2.3):
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Como C não pode ser zero, então:
• E, por consequência:
• Onde: e 
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• A solução geral da equação (2.3) fica:
• Usando as identidades:
• Pode-se reescrever (2.15) como:
• C1 e C2 ou A1 e A2 podem ser definidas pelas 
condições iniciais do sistema.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Especificando o valor do deslocamento e da 
velocidade em t=0, temos:
• A solução da equação (2.3) sujeita às 
condições iniciais de (2.17) fica:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2.5 Movimento Harmônico
• As equações 2.15, 2.16 e 2.18 são funções 
harmônicas.
• Movimento é simétrico em relação à posição 
de equilíbrio da massa.
• Posição de equilíbrio: velocidade máxima, 
aceleração zero
• Deslocamentos extremos: velocidade zero, 
aceleração máxima.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Sistema massa mola é denominado oscilador 
harmônico.
• wn = frequência natural do sistema
• A equação (2.16) pode ser representada 
usando
A1 = A cos f
A2 = A sen f (2.19)
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• A e f podem ser expressas em termos de A1 e 
A2 como:
• (2.19) em (2.16):
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Usando:
• A equação (2.16) pode ser expressa como:
Onde:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Representação gráfica da oscilação harmônica
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Sendo um vetor de magnitude A, que faz um 
ângulo wn – f com o eixo vertical (x), então a 
equação (2.21) é a projeção do vetor sobre o 
eixo (x);
• A1 e A2 da equação (2.16) são as componentes 
retangulares ao longo de dois eixos ortogonais 
que fazem ângulos f e –(p/2 - f) em relação 
ao vetor .
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Aspectos do sistema massa-mola:
1. Se o sistema está na posição vertical, a frequência 
natural circular é:
A constante elástica da mola k é:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Mas:
• Então:
• A frequência natural, em ciclos por segundo e 
o período natural são:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2. A velocidade e a aceleração são:
3. Se o deslocamento inicial x0 = zero, então:
Se a velocidade = zero, então:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
4. A resposta do sistema com um grau de liberdade 
pode ser representada no plano deslocamento-
velocidade: espaço de estado ou plano de fase.
Considerando o deslocamento:
ou
Então: 
Ou:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• Elevando (2.34) e (2.35) ao quadrado:
ou (2.36) 
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Exemplo 2.1: Resposta harmônica de uma caixa 
d’água.
A coluna da caixa d’água mostrada na figura (a) 
tem 300 ft de altura e é feitade concreto 
reforçado com uma seção transversal tubular de 
8 ft de diâmetro interno e 10 ft de diâmetro 
externo. A caixa d’água pesa 6 x 105 lb quando 
está cheia. Desprezando a massa da coluna e 
admitindo que o módulo de Young do concreto 
reforçado seja 4 x 106 psi, determine:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
a. A frequência natural e o período natural de 
vibração transversal da caixa d’água;
b. A resposta de vibração da caixa d’água 
resultante de um deslocamento transversal 
inicial de 10 in;
c. Os valores máximos de velocidade e 
aceleração experimentados pela caixa d’água.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Solução
Considerando:
A caixa d’água uma massa pontual;
A coluna com seção transversal uniforme;
A massa da coluna desprezível;
O sistema pode ser modelado como uma viga em 
balanço com uma carga concentrada (peso) na 
extremidade livre, como mostra a figura (b).
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
a. A deflexão transversal da viga, d, devido à 
carga P é dada por , onde l é o 
comprimento, E é o módulo de Young, e I é o 
momento de inércia de área da seção 
transversal da viga.
A rigidez da viga (coluna do reservatório) é dada 
por:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Neste caso, l = 3600 in, E = 4 x 106 psi. Assim:
E:
A frequência natural da caixa d’água na direção 
transversal fica:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
O período natural é dado por:
b. Usando = 10 in e considerando = 0, a 
resposta fica, de (2.23):
A amplitude fica:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
E o ângulo de fase é:
Assim:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
c. A velocidade pode ser determinada 
diferenciando-se (E.1):
Por consequência:
A aceleração da caixa d’água pode ser 
determinada diferenciando-se (E.2):
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
O valor máximo da aceleração é dado por:
Exemplo 2.2: Resposta de vibração livre devido 
a impacto.
Uma viga em balanço suporta uma massa M na 
extremidade livre como mostrado na figura. A 
massa m cai de uma altura h sobre a massa M e 
adere a ela sem ricochetear. Determine a 
vibração transversal resultante da viga.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Solução
Quando a massa m cai de uma altura h, atinge a 
massa M com velocidade . Como a 
massa m adere à M sem ricochetear, podemos 
usar o princípio da quantidade de movimento 
para encontrar a velocidade da massa 
combinada (M + m) imediatamente após o 
impacto:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Ou:
A nova posição de equilíbrio estático da viga 
está (M + m) está localizada a uma distância de 
mg/k abaixo da posição de equilíbrio estático da 
massa original (M) – figura 2.11c. Neste caso:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
A vibração livre da viga será em torno da sua 
nova posição de equilíbrio estático. Assim, as 
condições iniciais ficam:
Da equação 2.21, podemos obter a vibração 
livre resultante da viga:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Onde:
E e são dados pela equação (E.2).
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Exemplo 2.3: Módulo de Young pela medição 
da frequência natural
Constata-se que uma viga simplesmente 
apoiada com seção transversal quadrada de 5 
mm x 5 mm e comprimento de 1 m, que suporta 
uma massa de 2,3 kg em seu ponto médio tem 
uma frequência natural de vibração transversal 
de 30 rad/s. Determine o módulo de Young da 
viga.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Solução
Desprezando o peso próprio da viga, a 
frequência natural transversal é:
Onde:
= módulo de Young; = comprimento; = 
momento de inércia de área da seção 
transversal:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Com kg, m e rad/s, 
as equações (E.1) e (E.2) dão:
Ou:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Exemplo 2.4: Frequência natural da caçamba de 
um caminhão de bombeiros
A caçamba de um caminhão de bombeiros está 
localizada na extremidade de uma lança 
telescópica, como mostrado na figura. A 
caçamba mais o bombeiro pesam 2000 N. 
Determine a frequência natural de vibração da 
caçamba no sentido vertical.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Dados:
Módulo de Young do 
material: E = 
2,1x1011 N/m2;
Comprimentos: l1 = 
l2 = l3 = 3 m;
Áreas de seções 
transversais:
A1 = 20 cm2, A2 = 10 
cm2, A3 = 5 cm2.
Solução
Para determinar a frequência natural, é 
necessário calcular a rigidez equivalente da 
lança (a massa é desprezível). Consideraremos 
que a lança só se deforma na direção axial.
A força em qualquer seção transversal O1 O2 é 
igual à carga axial aplicada na extremidade 
(figura b).
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
A rigidez axial é dada por:
Onde kbi é a rigidez do i-ésimo segmento:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Pelos dados conhecidos ( , 
, 
), temos:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Assim, a equação (E.1) fica:
Ou:
A rigidez de lança telescópica no sentido 
vertical, k, pode ser obtida:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
• A frequência natural de vibração da caçamba 
no sentido vertical é:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Exemplo 2.5: Frequência natural de sistema de 
polias
Determine a frequência natural do sistema 
mostrado na figura. Considere que as polias não 
têm atrito e têm massa desprezível.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Solução
Para determinar a frequência natural, calcula-se 
a rigidez equivalente e resolve-se como um 
sistema com um GDL.
Como as polias não têm atrito ou massa, a 
tensão no cabo é o peso W da massa m.
Da figura b, considerando equilíbrio estático, 
vemos que a força que age na polia 1 é 2W para 
cima; e a força que age na polia 2 é 2W para 
baixo.
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
O centro da polia 1 (ponto A) move-se para cima 
por uma distância 2W/k1;
O centro da polia 2 (ponto B) move-se para 
baixo por uma distância 2W/k2.
O movimento total da massa m (ponto O) fica:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Para calcular a constante equivalente de rigidez:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
Se m for deslocada até uma distância x em 
relação à posição de equilíbrio estático, então:
E a frequência natural fica:
2.2 Vibração Livre de um Sistema de 
Translação Não Amortecido
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Vibração por torção: Corpo rígido oscila em 
relação a um eixo de referência específico.
• Deslocamento: medido em coordenada 
angular.
• Momento restaurador pode ser resultante da 
torção de um componente elástico ou de um 
momento desbalanceado de uma força ou 
conjugado.
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• J0 = momento de inércia de massa polar.
• q = rotação angular ou ângulo de torção.
• Pela teoria da torção de eixos circulares:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
2.3.1 Equação de movimento
• Considerando a figura e a 2ª Lei de Newton, 
temos:
•A frequência natural circular é:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Período em segundos, e frequência de 
vibração em ciclos por segundo:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Observações:
1. Se a seção transversal do eixo não é circular, 
deve-se usar uma constante elástica torcional
apropriada.
2. Momento de inércia polar de massa de um 
disco: 
3. A mola de torção-inércia mostrada é 
denominada pêndulo de torção.
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
2.3.2 Solução
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Exemplo 2.6: 
Frequência natural de 
pêndulo composto
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
Exemplo 2.6
- Qualquer corpo rígido articulado em um ponto 
que não seja seu centro de massa oscilará em 
relação ao ponto de articulação sob sua própria 
força gravitacional. Tal sistema é conhecido 
como pêndulo composto.
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
Exemplo 2.6: Solução
O corpo rígido oscila no plano xy;
A coordenada q pode ser usada para 
descrever seu movimento;
Distância OG = d;
Momento de inércia de massa, em relação ao 
eixo z: J0;
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Exemplo 2.6: Solução
Para um deslocamento q, o torque restaurador é 
(Wd sen q), e a equação do movimento é:
Considerando pequenos deslocamentos (senq é 
aproximadamente q e cosq é aproximadamente 
1), a equação do movimento fica:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• A frequência natural do pêndulo composto é:
• Considerando a frequência natural do pêndulo 
simples: wn = (g/l)1/2, é possível determinar o 
comprimento do pêndulo simples equivalente:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Se J0 for substituído por mk02, onde k0 é o raio 
de giração do corpo em relação a O:
• Considerando o raio de giração ao redor de G:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• A equação (E.6) fica:
• Se a linha OG for estendida até o ponto A, de 
modo que:
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• A equação (E.8) fica:
• Pela equação (E.5), wn é dada por:
• Essa equação mostra que, quer o corpo seja 
articulado em relação a O ou a A, sua frequência 
natural é a mesma. O ponto A é denominado 
centro de percussão.
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
• Centro de percussão - aplicações práticas:
Martelo: centro de percussão na cabeça e 
centro de rotação no cabo: impacto não causa 
reação no cabo;
Taco de beisebol: se a bola bater no centro de 
percussão e o centro de rotação estiver nas 
mãos, o jogador não sente reação 
perpendicular. Se a bola bater perto das mãos, 
o jogador sente dor nas mãos;
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
Ensaio de materiais Izod: a deformação e o 
encurvamento do pêndulo são minimizados se 
o centro de percussão estiver localizado perto 
da borda de impacto;
Rodas de um automóvel dianteiras e traseiras 
são o centro de percussão e oscilação, os 
passageiros não sentem a reação de um 
impacto.
2.3 Vibração Livre de um Sistema 
torcional não amortecido
2.4 Condições de Estabilidade
2.4 Condições de Estabilidade
• Força da mola em cada mola = kl.senq
• Força total da mola = 2kl.senq
• Força da gravidade: W = mg
• Momento em relação à O devido à :
• Equação de movimento da barra:
2.4 Condições de Estabilidade
• Para pequenas oscilações:
• E: 
• A solução da equação acima depende do sinal 
de (12kl2 – 3Wl)/2ml2
2.4 Condições de Estabilidade
• Caso 1: (12kl2 – 3Wl)/2ml2 > 0
Oscilações estáveis;
Onde A1 e A2 são constantes
2.4 Condições de Estabilidade
• Caso 2: (12kl2 – 3Wl)/2ml2 = 0
Para as condições iniciais e 
:
• Deslocamento angular varia linearmente a uma 
velocidade constante .
Se = 0, ocorre equilíbrio estático e o pêndulo 
permanece em sua posição original.
2.4 Condições de Estabilidade
• Caso 3: (12kl2 – 3Wl)/2ml2 < 0
Definimos e a solução fica:
Onde B1 e B2 são constantes.
Considerando condições iniciais:
• q(t) aumenta exponencialmente com o tempo 
(movimento instável).
2.4 Condições de Estabilidade
• Razão física para instabilidade: 
Momento restaurador da mola (2kl2q), que 
tenta trazer o sistema para a posição de 
equilíbrio, é menor que o momento do peso [-
W(l/2)q], que tenta afastar a massa da posição 
de equilíbrio.
2.5 Método de Energia de Rayleigh
• Método da Energia para determinar as 
frequências naturais dos sistemas com 1 GDL.
• Princípio da conservação da Energia:
T1 + U1 = T2 + U2
1 e 2 denotam instantes de tempo.
Se, em 1, a massa passa por sua posição de 
equilíbrio estático, então U1 = 0.
Se, em 2, a massa está no deslocamento máximo, 
então T2 = 0
2.5 Método de Energia de Rayleigh
Assim:
T1 + 0 = 0 + U2
Se o sistema está em movimento harmônico, T1
e U2 denotam T e U máximos. Assim:
Tmáx = Umáx
• Método da Energia de Rayleigh dá a 
frequência natural do sistema diretamente.
2.5 Método de Energia de Rayleigh
Exemplo 2.7: Manômetro para motor a diesel
2.5 Método de Energia de Rayleigh
Exemplo 2.9: Efeito da massa da coluna sobre a 
da caixa d’água
Determine a frequência natural de vibração 
transversal da caixa d’água considerada no 
exemplo 2.1 incluindo a massa da coluna.
2.5 Método de Energia de Rayleigh
Solução: Para incluirmos a massa da coluna, 
determinamos a massa equivalente da coluna 
na extremidade livre usando a equivalência de 
energia cinética e um modelo com um grau de 
liberdade para determinar a frequência natural 
de vibração. A coluna do reservatório é 
considerada como uma viga em balanço fixa em 
uma extremidade (solo) que suporta uma massa 
M (reservatório de água) na outra extremidade.
2.5 Método de Energia de Rayleigh
2.5 Método de Energia de Rayleigh
A deflexão estática de uma viga em balanço sob 
uma carga concentrada em uma extremidade é 
dada por:
2.5 Método de Energia de Rayleigh
A máxima energia cinética da viga é dada por:
Onde m é massa total e (m/l) é a massa por 
unidade de comprimento. A equação (E.1) pode 
ser usada para expressar a variação de 
velocidade , como:
2.5 Método de Energia de Rayleigh
(E.2) torna-se:
Se meq denotar a massa equivalente da viga em 
balanço (caixa d’água) na extremidade livre, sua 
energia cinética máxima pode ser expressa 
como:
2.5 Método de Energia de Rayleigh
De (E.4) e (E.5), obtemos:
Assim, a massa total que age na extremidade da 
viga em balanço é dada por:
Onde M é a massa do reservatório de água. A 
frequência natural de vibração transversal da 
caixa d’água é dada por:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6.1 Equação do movimento
• A força de amortecimento viscoso é 
proporcional à velocidade:
• c é a constante de amortecimento;
• O sinal negativo indica que a força é no 
sentido contrário da velocidade.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Aplicando a 2ª Lei de Newton:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6.2 Solução
• Supondo um solução:
C e s são constantes indeterminadas;
• (2.60) em (2.59):
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• As raízes são:
• Essas raízes dão duas soluções para a equação (2.59):
• A solução geral fica:
• C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Constante de amortecimento crítico e o fator 
de amortecimento
• O amortecimento crítico é aquele para o qual:
Ou:
2.6 Vibração Livrecom amortecimento 
viscoso
• O fator de amortecimento é a razão entre o 
amortecimento e o cc:
• De (2.66) e (2.65):
• E:
• A solução fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• O comportamento da equação (2.69) depende 
da magnitude do amortecimento:
Caso 1: Sistema sub-amortecido ( < 0)
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A solução fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Onde (C1’,C2’), (X,f) e (X0,f0) dependem das 
condições iniciais.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Supondo: e , então:
• E: 
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• As constantes (X,f) e (X0,f0) podem ser 
expressas como:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• O movimento descrito por (2.72) é um 
movimento harmônico amortecido de 
frequência angular ;
• Por causa do fator , a amplitude diminui 
exponencialmente com o tempo;
• Frequência de vibração amortecida:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• O caso sub-amortecido é o mais importante pois 
é o único que resulta em movimento oscilatório.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Caso 2: Sistema criticamente amortecido
• As raízes s1 e s2 são iguais:
• A solução de (2.59) fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Aplicando as condições iniciais e
:
E a solução torna-se:
O movimento é aperiódico.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Caso 3: Sistema superamortecido
As raízes são reais e distintas, com s2<< s1:
A solução fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Para as condições iniciais e
,, as constantes ficam:
O movimento é aperiódico e diminui 
exponencialmente com o tempo.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Aspectos desses sistemas:
1. A natureza das raízes s1 e s2 com a variação 
do amortecimento c ou z pode ser mostrada 
em um plano complexo:
- Se z = 0, as raízes são imaginárias;
- Se 0 < z < 1, as raízes são conjugadas 
complexas;
- Se z > 1, as raízes são reais.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2. Um sistema criticamente amortecido tem o 
menor amortecimento requerido para 
movimento aperiódico: a massa retorna à 
posição de repouso no menor tempo possível. 
Utilizado em armas de fogo.
3. A resposta livre de um sistema com 1 GDL 
pode ser representada em plano de fase ou 
espaço de estado.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6.3 Decremento logarítmico
• Representa a taxa de redução da amplitude de 
uma vibração livre amortecida;
• É definido como o logaritmo natural da razão 
entre duas amplitudes sucessivas. Supondo 
um sistema sub-amortecido, da equação 2.70:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Mas , onde é o período 
de vibração amortecida. Então:
• A equação (2.83) fica:
• O decremento logarítmico pode ser obtido de 
(2.84):
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Para amortecimento pequeno:
• O decremento logarítmico adimensional e é 
outra forma do fator de amortecimento 
adimensional z.
• Relacionando d com z, verifica-se que as 
curvas, para z até 0,3, são difíceis de 
distinguir:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Uma vez conhecido d, z pode ser determinado, 
resolvendo (2.85):
• Usando (2.86):
• Se d não for conhecido, e possível obtê-lo 
medindo dois deslocamentos consecutivos.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• É possível obter z experimentalmente 
também. Se xm e xm+1 são duas amplitudes 
correspondentes aos tempos tm e tm+1 = t1 + 
mtd, obtemos:
• Mas, para dois ciclos consecutivos:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A equação (2.89) torna-se:
• De (2.91) e (2.85):
Que pode ser substituído na equação (2.87) ou 
(2.88) para obter z.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6.4 Energia dissipada em amortecimento 
viscoso
• A taxa de variação de energia é:
O sinal negativo denota dissipação de energia;
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Supondo um movimento harmônico simples:
A energia dissipada em um ciclo é:
A energia de dissipação é proporcional ao 
quadrado da amplitude;
A energia de dissipação não é constante, pois é 
função de wd.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A equação é válida mesmo 
quando há uma mola em 
paralelo.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Considerando uma mola de rigidez k:
• Como o movimento é harmônico simples:
• A equação (2.95) fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
A energia dissipada em um ciclo é:
• Esse resultado é esperado pois a força de mola 
não realiza trabalho durante um ciclo completo
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Pode-se calcular a fração da energia que é 
dissipada em um ciclo:
A energia total do sistema W pode ser 
expressa como a máxima energia potencial
ou a máxima energia cinética .
As duas serão aproximadamente iguais para 
pequenos amortecimentos. Assim:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A quantidade DW/W é denominada 
quantidade de amortecimento específico e é 
útil para comparar materiais de engenharia.
• Outra quantidade que pode ser usada para 
essa comparação é o coeficiente de perda:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso
• Os métodos apresentados podem 
ser estendidos para sistemas 
torcionais com amortecimento 
viscoso;
• Considerando a figura ao lado, o 
torque de amortecimento viscoso 
é:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A equação do movimento fica:
• Onde J0 é o momento de inércia de massa do 
disco, kt é a constante elástica do sistema e q é 
o deslocamento angular do disco.
• A solução da equação (2.102) é análoga à 
solução para sistemas com coordenadas 
lineares.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Para um sistema sub-amortecido:
Onde:
E: 
ct é a constante torcional de amortecimento.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Exemplo 2.10
Wb = 5000 N
kbase = 5 x 106
cbase = 10000 Ns/m
wmartelo = 1000 N
h = 2 m
r = 0,4
Resposta da 
bigorna?
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Solução
Utiliza-se o princípio da conservação da 
quantidade de movimento e a definição de 
coeficiente de restituição para determinar a 
velocidade inicial da bigorna;
Considerando:
vt1 e vt2 = velocidades do pilão imediatamente 
antes e imediatamente depois do impacto;
va1 e va2 = velocidades da bigorna antes e depois 
do impacto.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Pelo princípio da conservação da quantidade 
de movimento:
va1 = 0 (bigorna em repouso antes do impacto)
Para determinar vt1, T1 = U1:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
(E.1) fica:
Coeficiente de restituição (r):
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• A solução de (E.3) e (E.5) dá:
Assim, as condições iniciais da bigorna ficam:
Fator de amortecimento:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
• Frequências naturais amortecida e não 
amortecida:
• A resposta da bigorna, da equação (2.72) fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Exemplo 2.11: Amortecedor de choque para 
uma motocicleta
Oprojeto de um absorvedor de choque 
subamortecido para uma motocicleta de 200 kg 
de massa (figura a seguir) deve atender às 
seguintes especificações: quando o amortecedor 
estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial 
devido a uma saliência na estrada, a curva 
deslocamento-tempo resultante deve ser como 
a indicada na figura.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Determine as constantes de rigidez e 
amortecimento necessárias para o amortecedor 
se o período de vibração amortecida for de 2 s e 
a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto 
em um meio-ciclo (isto é: x1,5 = x1/4). Determine 
também a velocidade inicial mínima que resulta 
em um deslocamento máximo de 250 mm.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Abordagem: usamos a equação para o 
decremento logarítmico em termos de fator de 
amortecimento, equação para o período de 
vibração amortecida, tempo correspondente ao 
deslocamento máximo para um sistema 
subamortecido e envelope que passa pelos 
pontos máximos de um sistema subamortecido.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Solução: Visto que x1,5 = x1/4, x2 = x1,5/4 = x1/16. 
Por consequência, o decremento logarítmico 
torna-se:
Pelo qual o valor de z pode ser determinado 
como z = 0,4037.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
O período de vibração amortecida é dado como 
2 s. Por consequência:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
A constante de amortecimento viscoso pode ser 
obtida por:
Assim, a constante de amortecimento é dada 
por:
E a rigidez por:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
O deslocamento da massa atingirá seu valor 
máximo no tempo t1, dado por (ver problema 
2.86):
Isso dá:
Ou:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
O envelope que passa pelos pontos de máximo é 
dado por:
Já que x = 250 mm, a equação (E.2) dá, em t1:
Ou:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
A velocidade da massa pode ser obtida 
diferenciando o deslocamento:
Como:
Quando t = 0, (E.3) fica:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Exemplo 2.12: Análise de um canhão
O diagrama esquemático de um canhão de grande 
porte é mostrado na figura. Quando a arma é 
disparada, gases sob alta pressão aceleram o 
projétil no interior do cano até uma velocidade 
muito alta. A força de reação empurra o cano do 
canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto 
que é desejável que o canhão volte à posição de 
repouso no menor tempo possível sem oscilação, 
ele é forçado a fazer uma translação para trás 
contra um sistema mola-amortecedor criticamente 
amortecido denominado mecanismo de recuo.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Em um caso particular, o cano do canhão e o 
mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg 
com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. 
O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. 
determine:
1) O coeficiente de amortecimento crítico do 
amortecedor;
2) A velocidade inicial de recuo do canhão, e
3) O tempo que leva para o canhão retornar à 
posição a 0,1 m de sua posição inicial.
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Solução:
1. A frequência natural não amortecida do 
sistema é:
e o amortecimento crítico do amortecedor 
(equação 2.65) é:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
2. A resposta de um sistema criticamente 
amortecido é dada pela equação (2.78):
Onde e . O tempo no 
qual alcança um valor máximo pode ser 
obtido fazendo . A diferenciação da 
equação (E.1) dá:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Por consequência, dá:
Nesse caso, ; por consequência, 
(E.2) resulta em . Visto que o valor 
máximo de ou a distância de recuo é dada 
como m, temos:
2.6 Vibração Livre com amortecimento 
viscoso
Ou:
3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão 
voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua 
posição inicial, temos:
A solução de (E.3) dá t2 = 0,8258 s.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Em muitos sistemas mecânicos são usados 
amortecedores Coulomb ou de atrito seco;
Esse amortecimento pode aparecer em 
sistemas quando dois componentes deslizam 
em uma estrutura vibratória;
Nesse tipo de amortecimento, a força 
requerida para produzir deslizamento é 
proporcional à força normal.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• A força de atrito é dada por:
(2.106)
N é a força normal e m é o coeficiente de 
atrito;
O valor de m depende dos materiais em 
contato e da condição das superfícies.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Metal sobre metal (com lubrificação): m = 0,1
Metal sobre metal (sem lubrificação): m = 0,3
Borracha sobre metal: m = 1,0
• O amortecimento Coulomb às vezes é 
denominado amortecimento constante, pois a 
força de amortecimento independe da 
velocidade.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
2.7.1 Equação do movimento
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• O sentido da força de atrito varia com o 
sentido da velocidade. Assim, é necessário 
considerar dois casos:
Caso 1: dx/dt é positiva (x positivo ou negativo):
A massa se movimenta da esquerda para a 
direita.
Da 2ª Lei de Newton:
(2.107)
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Sendo: 
(2.108)
• A solução pode ser obtida substituindo (2.108) 
em (2.107);
• Onde wn é a frequência natural, A1 e A2 são 
constantes que dependem das condições 
iniciais.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Caso 2: dx/dt é negativa (x positivo ou negativo):
A massa se movimenta da direita para a 
esquerda.
Da figura, a equação do movimento fica:
(2.109)
A solução é dada por:
(2.110)
• Onde A3 e A4 dependem das condições iniciais.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• O termo mN/k, que aparece em (2.108) e 
(2.110), é uma constante que representa o 
deslocamento virtual da mola sob a força mN, 
se ela fosse submetida a uma força estática;
• Essas equações indicam que o movimento é 
harmônico a cada meio ciclo, e a posição 
muda de mN/k para –(mN/k) a cada meio ciclo.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
2.7.2 Solução
As equações (2.107) e (2.109) podem ser 
expressas como uma única equação (N = mg):
(2.111)
Onde sgn(y) é a função signum, cujo valor é:
1 para y > 0;
-1 para y < 0;
0 para y = 0.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Não existe solução analítica simples para a 
equação (2.111). Esta pode ser resolvida por 
métodos numéricos. Mas ela pode ser resolvida 
analiticamente se dividir o eixo dos tempos em 
segmentos separados por (intervalos de 
tempo com direções de movimento diferentes).
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Considerando as condições iniciais:
(2.112)
Como x = x0 em t = 0, o movimento começa da 
direita para a esquerda;
x0, x1, x2,... são as amplitudes de meios-ciclos 
sucessivos;
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
De (2.110) e (2.112):
(2.110) torna-se:
(2.113)
• Essa equação só é válida para meio ciclo, 
onde:
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Quando , a massa está à esquerda e 
seu deslocamento em relação ao equilíbrio é: 
• O movimento começou com deslocamento x = 
x0 e, em meio ciclo, x tornou-se: - [x0 –
(2mN/k)], então a redução da magnitude de x 
no tempo p/wn é 2mN/k.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• No segundo meio ciclo, a massa se movimenta da esquerda 
para a direita, portanto deve-se usar a equação (2.108);
•As condições iniciais desse meio ciclo são:
x(t = 0) = valor de x em t = p/wn na equação (2.113) = 
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• As constantes de (2.108) ficam:
• A equação (2.108) fica:
(2.114)
Essa equação é válida somente para o segundo 
meio ciclo, isto é, para .
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
No final desse meio ciclo, o valor de x é: 
na equação (2.113) = ;
E: na equação (2.114) = 0.
Estas se tornam as condições iniciais para o 
terceiro meio ciclo, e o procedimento pode 
continuar até o movimento parar.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• O movimento para quando , visto 
que a força de mola é menor que a força de 
atrito mN. O número de meios ciclos (r) até o 
movimento cessar é:
(2.115)
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Características de um sistema com 
amortecimento Coulomb:
A equação do movimento é não linear;
A frequência natural do sistema permanece 
inalterada com a inclusão desse 
amortecimento;
O movimento é periódico;
O sistema entra em repouso após algum 
tempo;
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
A amplitude é reduzida linearmente;
Em cada ciclo, a amplitude é reduzida de 
4mN/k, de modo que as amplitudes no final de 
quaisquer dois meio-ciclos podem ser 
relacionadas por:
(2.115)
Como a amplitude é reduzida de 4mN/k em 
um ciclo, a inclinação das retas tracejadas da 
figura 2.34 é:
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
2.7.3 Sistemas torcionais com amortecimento 
Coulomb
• As equações para um sistema angular são 
semelhantes às equações (2.107):
(2.117)
(2.118)
Onde T = torque de amortecimento constante 
(análogo à mN em sistemas de translação)
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
As soluções de (2.117) e (2.118) são análogas às 
de sistemas de translação:
(2.119)
(2.120)
Onde q0 é o deslocamento angular inicial em t = 
0 ( em t = 0).
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
O movimento cessa quando:
(2.121)
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Exemplo 2.13: Coeficiente de atrito em relação a 
posições medidas de massa
Bloco de metal sobre superfície irregular, 
ligado a uma mola;
x0 = 10 cm;
5 ciclos de oscilação (em 2 segundos);
xf = 1 cm.
Determine o coeficiente de atrito.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
• Solução:
Período: tn = 2/5 = 0,4 s
Frequência:
Redução da amplitude de oscilação por ciclo: 
Em 5 ciclos:
Ou:
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Exemplo 2.14: Polia sujeita a amortecimento 
Coulomb
Um eixo de aço com 1 m de comprimento e 50 mm 
de diâmetro está fixado em uma extremidade e 
suporta uma polia de momento de inércia de massa 
de 25kg/m2 na outra extremidade. Um freio de lona 
exerce um torque de atrito constante de 400 N/m 
ao redor da circunferência da polia. Se a polia for 
deslocada de 6° e então solta, determine: (1) o 
número de ciclos antes de a polia atingir o repouso, 
(2) a posição final de acomodação da polia.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
Solução:
(1) O número de meio-ciclos que transcorrem 
antes de o movimento angular da polia 
cessar é dado pela equação (2.112):
Onde q0 = deslocamento angular inicial = 6° = 
0,10472 rad.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
kt = constante elástica torcional do eixo dada 
por:
E T = torque de atrito constante aplicado à polia 
= 400 N/m.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
A equação (E.1) dá:
Assim, o movimento cessa após 6 meio ciclos.
2.7 Vibração livre com amortecimento 
de Coulomb
(2) O deslocamento angular após seis meio 
ciclos é dado pela equação (2.120):
Assim, a polia para a 0,39734° em relação à 
posição de equilíbrio do mesmo lado do 
deslocamento inicial.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Força necessária para causar um 
deslocamento x(t):
(2.122)
Para movimento harmônico de frequência w e 
amplitude X:
(3.123)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
De (2.122) e (2.123):
(2.124)
No gráfico F por x, a equação (2.124) representa 
um laço fechado (figura b, mostrada).
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
A área do laço representa a energia dissipada em 
um ciclo, e é dada por:
(2.125)
O amortecimento causado pelo atrito entre dois 
planos internos que se deslizam à medida que um 
material se deforma é denominado 
amortecimento por histerese (ou sólido ou 
estrutural).
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Esse amortecimento gera um laço de histerese 
que forma a curva tensão-deformação;
• A perda de energia em um ciclo é igual à área 
do gráfico.
• Pode-se então definir uma constante de 
amortecimento por histerese.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• A similaridade entre as duas últimas figuras 
mostradas pode ser usada para a definição da 
constante de amortecimento por histerese.
• Constatou-se experimentalmente que a perda 
de energia por ciclo independe da frequência 
e é proporcional ao quadrado da amplitude.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Para esse comportamento, o coeficiente de 
amortecimento é inversamente proporcional à 
frequência:
(2.126)
Onde: h = constante de amortecimento por 
histerese;
De (2.125) e (2.126): 
(2.127)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Rigidez complexa:
Considerando a mola e o amortecedor ligados 
em paralelo (figura), para movimento 
harmônico geral, x = Xeiwt, a força é dada por:
(2.128)
De maneira semelhante, para um amortecedor 
por histerese ligado em paralelo, a relação força-
deslocamento fica:
(2.129)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
Onde:
(2.130)
é denominada rigidez complexa do sistema e b = 
h/k é uma constante que indica uma medida 
adimensional de amortecimento.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Resposta do sistema
Em termos de b, a perda de energia por ciclo é:
(2.131)
O movimento pode ser considerado 
aproximadamente harmônico (DW pequeno), e 
a diminuição na amplitude por ciclo pode ser 
determinada por equilíbrio de energia.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Considerando as energias nos pontos P e Q 
(separados por meio ciclo):
(3.132)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Nos pontos Q e R:
(2.133)
Multiplicando (2.132) por (2.133):
(2.134)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
O decremento logarítmico por histerese é 
definido como:
(2.135)
Como o movimento é considerado 
aproximadamente harmônico:
(2.136)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
Fator de amortecimento equivalente:
(2.137)
A constante de amortecimento equivalente fica:
(2.138)
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Observe que o método para determinar um 
coeficiente de amortecimento equivalente só 
é valido para excitação harmônica.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Exemplo 2.15: estimativa de constante de 
amortecimento por histerese
Medições experimentais resultam nos dados 
mostrados na figura;
A partir desses dados, estime b e o decremento 
logarítmico d.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese• Solução:
Iguala-se a energia dissipada em um ciclo 
(área do laço de histerese) a DW da equação 
(2.127).
Cada quadrado da figura equivale a: 100 x 2 
N.mm;
Área total = ACB + ABDE + DFE = ͂½ (AB)(CG) + 
(AB)(AE) + ½ (DE)(FH) = ½ (1,25)(1,8) + 
(1,25)(8) + ½ (1,25)(1,8) = 12,25 quadrados
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• Essa área representa: 12,25 x 200/1000 = 2,5 
N.m. De (2.127):
Xmax = 0,008m
Inclinação da curva força deflexão (pela reta OF):
k = 400/8 = 50 N/mm;
Então:
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
• E:
• Assim:
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
Exemplo 2.16: Resposta de uma estrutura de 
ponte com amortecimento por histerese
Uma estrutura de ponte é modelada como um 
sistema com um grau de liberdade com uma 
massa equivalente de 5 x 105 kg e uma rigidez 
equivalente de 25 x 106 N/m. Durante um teste 
de vibração livre, constatou-se que a razão entre 
amplitudes sucessivas era 1,04. Estime a 
constante de amortecimento estrutural (b) e a 
resposta de vibração livre aproximada da ponte.
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
Solução:
Usando a razão entre amplitudes sucessivas, a 
equação (2.135) dá o decremento logarítmico 
por histerese (d) como:
Ou:
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
O coeficiente de amortecimento viscoso 
equivalente pode ser determinado pela equação 
(2.138) como:
Usando os valores conhecidos de rigidez 
equivalente (k) e da massa equivalente (m) da 
ponte, a equação (E.1) dá:
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
A constante de amortecimento crítico 
equivalente da ponte pode ser calculada pela 
equação (2.65):
Como ceq < cc, a ponte é subamortecida e, por 
consequência, sua resposta de vibração livre é 
dada pela equação (2.72):
2.8 Vibração Livre com amortecimento 
por histerese
Onde:
E e denotam o deslocamento inicial e 
velocidade inicial dados à ponte no início da 
vibração livre.
Lista de Exercícios – 2017/02
Exercícios do RAO, 4ª edição em português, 
capítulo 2:
2.15; 2.62; 2.82; 2.91; 2.113; 2.124