1a_Lista_de_Exercicios_vibracoes_mecanicas_Bismark_2012_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
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1a Lista de Exercícios de Vibrações de Sistemas Mecânicos – 2012.1 
 
Fundamentos de vibração 
1) Qual é a importância do estudo da vibração? 
2) Cite quatro exemplos práticos do efeito da vibração. 
3) Quais são as partes elementares de um sistema vibratório discreto? 
4) O que é grau de liberdade? Dê exemplos. 
5) Discuta a diferença entre um sistema discreto e um sistema contínuo. Em que caso cada 
sistema pode ser aplicado? 
6) Qual é a diferença entre vibração livre e vibração forçada? Dê exemplos. 
7) Defina o princípio da superposição. Quando ele pode ser aplicado? 
8) O que é um sistema amortecido? 
9) Quais são os principais tipos de amortecimento? 
10) Quais são os tipos de associação de molas? Dê exemplos. 
11) Defina movimento harmônico. Como ele pode ser representado? 
12) O que é freqüência natural? 
13) Defina batimento. 
 
Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade 
1) Como saber se um sistema sofre vibração livre? 
2) Como podemos determinar a equação de movimento de um sistema vibratório? 
3) Para um sistema torcional, quais são os parâmetros equivalentes ao sistema em translação 
m, c e k? 
4) O que é o método de Rayleigh? Em que situação ele pode ser utilizado? 
5) Defina amortecimento viscoso. 
6) Defina fator de amortecimento. 
7) Em função do valor do fator de amortecimento, como podem ser classificados os sistemas? 
Faça um esboço das respostas. 
8) Quando aparece o amortecimento por histerese? 
9) Quando aparece nos sistemas o amortecimento de Coulomb? 
10) Quais são as principais características de um sistema com amortecimento de Coulomb? 
 
Vibração excitada harmonicamente 
1) Defina sistema excitado harmonicamente. 
2) Defina fenômenos da ressonância e batimento. 
3) O que é o fator de amplificação? Esboce o gráfico do fator de amplificação. 
4) Faça uma análise das principais características das curvas do fator de amplificação. 
5) O que é excitação de base? 
6) Defina transmissibilidade de deslocamento. Faça um esboço do gráfico analisando suas 
principais características. 
7) Como aparece o desbalanceamento rotativo em máquinas? Faça um esboço do gráfico do 
desbalanceamento rotativo analisando suas principais características. 
 
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8) Defina o fator de amortecimento equivalente para um sistema sujeito a vibração forçada 
com amortecimento de Coulomb. 
9) Como analisar a estabilidade de um sistema dinâmico? 
 
Geral 
1) Considere o sistema massa-mola, conservativo, mostrado abaixo, deslocado de sua posição 
de equilíbrio (mola não-deformada) em 10 mm na direção mostrada. 
 
Ao liberar a massa, o sistema passa a oscilar harmonicamente, completando 10 oscilações a 
cada 5 segundos. Determine: 
a) o período de oscilação, em segundos; 
b) a frequência angular de oscilação, em radianos por segundo; 
c) a frequência de oscilação, em Hz; 
d) a equação do deslocamento x em função do tempo t. 
2) Conceitue movimento aleatório ou randômico. Exemplifique. 
3) Diferencie sistemas discretos de sistemas contínuos. 
4) Dada a expressão matemática do deslocamento em função do tempo de um movimento 
harmônico ).2(.5)( ππ += tsentx , com x em metros e t em segundos, determine: 
a) o deslocamento máximo do movimento, em metros; 
b) a freqüência angular do movimento, em radianos por segundo; 
c) o período do movimento, em segundo; 
d) a freqüência do movimento, em Hz; 
e) o ângulo de fase do movimento, em radianos. 
f) Represente graficamente o movimento em um par de eixos cartesianos. 
5) Um bloco de 10 lb está suspenso por uma corda que passa sobre um disco de 15 lb, 
conforme mostrado na figura abaixo. Sabendo que a mola tem rigidez k = 200 lb/pé, 
determine o período natural de vibração para o sistema. 
 
6) A biela apoiada num gume de em A, tem um período de vibração sA 38,3=τ . Se for 
removida e girada 180º para ser, então, apoiada no gume em B, seu período de vibração 
 
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passará a ser sB 96,3=τ . Determine a localização do seu centro de gravidade G e calcule o 
raio de giração kG. 
 
7) Determinar meq e keq para o sistema da figura abaixo. 
 
8) A free vibrations test is run to determine the stiffness and damping properties of an elastic 
element. A 20-kg block is attached to the element. The block is displaced 1 cm and released. 
The resulting oscillations are monitored with the results shown in Fig. below. Determine k 
and c [or this element. 
 
 
9) Determine meq and keq for the system of Fig. below when x, the downward displacement of 
the block, measured from the system's equilibrium positio n, is used as the gene ra lized 
coordinate. 
 
 
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10) A figura mostra a resposta livre de um sistema mecânico sem amortecimento. 
 
Determinar: 
(a) amplitude, em mm; 
(b) período, em s; 
(c) freqüência natural, em rad/s; 
(d) freqüência natural, em Hz; 
(e) ângulo de fase, em rad. 
11) Considere-se a figura abaixo: 
 
Trata-se de um diagrama esquemático de uma suspensão independente de uma das rodas 
dianteiras de um automóvel, na qual L1 = 0,4 m e L2 = 0,6 m. A mola helicoidal tem rigidez 
36.000 N/m e o peso distribuído à roda vale 3.500 N. Desprezando as massas das barras de 
suporte, determine a constante de rigidez equivalente deste sistema e a frequência da 
suspensão para o movimento vertical, em Hz. 
12) A figuras (a) e (b) abaixo, são as respostas de vibração livre de um motor elétrico de 
500N de peso montado sobre duas bases diferentes. 
 
Determine: 
a) a natureza do amortecimento fornecido pela base; 
b) a constate elástica e o coeficiente de amortecimento de cada base; e, 
c) as frequências naturais amortecidas e não amortecidas destes sistemas. 
13) Um ciclista em sua bicicleta pode ser modelado como um sistema massa – mola – 
amortecedor com peso, rigidez e constante de amortecimento equivalente de 800N, 
 
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50.000 N/m e 1.000 Ns/m, respectivamente. O assentamento irregular dos blocos de concreto 
que pavimentam a rua provoca uma redução abrupta no nível da superfície, como indicado na 
figura abaixo. Se a velocidade do ciclista for de 5m/s (18 km/h), determine o deslocamento a 
que o ciclista é submetido no sentido vertical. Admita que a bicicleta estava libre de vibração 
antes de passar pelo desnível que provocou seu deslocamento vertical. 
 
14) Qual a razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer quando o fator de 
amortecimento vale 0,5? 
15) Dada a figura com o registro da resposta livre de um sistema mecânico, determinar: 
 
(a) Decremento logarítmico da amplitude; 
(b) Fator de amortecimento. 
16) Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez k = 1400 N/m. Um amortecedor 
com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N.s/m é conectado ao sistema. 
Determine o fator de amortecimento ζ,  a freqüência natural ωn e a freqüência natural 
amortecida ωd? 
R: 0,31; 17:63 rad/s; 16:76 rad/s. 
17) Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m = 20kg e deslocamento 
inicial x0 = 0,01 m. A fig. abaixo mostra a resposta livre deste sistema. Estime os coeficientes 
equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema. 
 
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R: k = 2:22 x105 N/m; c = 4,63x102 N.s/m. 
18) Um motor elétrico aciona um equipamento mecânico a uma velocidade de 1750 rpm. O 
sistema está montado sobre calços de borracha os quais apresentaram uma deflexão estática 
de 5 mm quando da montagem. Determinar o percentual de força transmitida à fundação se o 
fator de amortecimento do sistema for 0,25. Resp.: 14,14% 
19) Um equipamento eletromecânico está montado sobre um conjunto de isoladores de 
borracha. O sistema, cuja frequência natural é 500 rpm, exibe, na ressonância, um fator de 
amplificação igual a 5. A partir de qual frequência a transmissibilidade de força é reduzida a 
50%? Resp.: 879 rpm 
20) Um bloco de massa 35 kg está ligado a um suporte através de uma mola de rigidez 1,4x 
106 N/m e um amortecedor de coeficiente de amortecimento 1,8 x 103 Ns/m. O suporte se 
movimenta com deslocamento harmônico de amplitude 10 mm e frequência 35 Hz. Calcular a 
amplitude da resposta permanente do bloco. Resp.: 29,4 mm 
21) A figura abaixo mostra um modelo simplificado da suspensão de um veículo que trafega 
sobre uma estrada cujo perfil pode ser admitido como y(x) = A sen(2πx/L) em metros, onde 
 A = 0,01 m é a amplitude do perfil senoidal e L = 2,5 m é o comprimento de um ciclo. 
Calcular a amplitude da vibração do veículo. Resp.: 0,687 mm. 
 
 
 
 
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22) A figura mostra a vibração livre de uma estrutura sobre a qual está montada uma máquina 
rotativa desbalanceada. Estimar: 
(a) fator de amplificação na ressonância; Resp: 10,5 
(b) fator de amplificação na velocidade de rotação de 2200 rpm. Resp: 1,23 
 
23) Um motor elétrico gira a 875 rpm e está montado sobre calços de borracha que se 
deformaram 3 mm por ocasião da montagem. A massa do motor é de 40 kg e suas peças 
rotativas têm massa 10 kg e uma excentricidade de 15 mm. Em vibração livre, um 
deslocamento inicial de 32 mm é amortecido até 1 mm em 1 s. Calcular a amplitude da 
resposta forçada permanente. Resp.: 6,1 mm 
24) Uma turbina de massa 1000 kg que apresenta um desbalanceamento é colocada sobre 
isoladores de vibração em paralelo. Quando a velocidade de operação é de 20 Hz, a amplitude 
da vibração é de 0,08 mm. À medida que a velocidade aumenta, observa-se que a amplitude 
da vibração aumenta para 0,25 mm a 40 Hz e para 0,5 mm para velocidades muito maiores. 
Determinar a rigidez equivalente e o coeficiente de amortecimento equivalente dos isoladores 
de vibração. Resp.: keq = 9,31 x 107 N/m; ceq = 4,88 x 105 N.s/m 
25) Uma máquina, de massa 45 kg, está colocado sobre a extremidade de uma viga em 
balanço, conforme ilustra a figura a seguir. Quando em operação, a máquina gera uma força 
harmônica de amplitude 125 N. Para que velocidades de operação a amplitude da vibração 
será menor do que 0,2 mm? Considerar ζ = 0,08. Dados da viga: L = 1,6 m; E = 200 x 109 
N/m2; I = 1,6 x 10-5 m4. Resp.: ω < 200,4 rad/s ou ω > 249,9 rad/s. 
 
 
26) O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis é mostrado na figura abaixo. 
A água escoa de A, passa pelas pás B e desce até a descarga C. O rotor tem uma massa de 
 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator é 
5 mm. A turbina funciona na faixa de velocidade de 600 a 6.000 rpm. Admitindo-se que o 
eixo que suporta o rotor é de aço, suportado pelos mancais conforme mostrado, determine o 
diâmetro do eixo d, de modo que o rotor fique sempre afastado do estator em todas as 
velocidades de operação. Suponha amortecimento desprezível. Resp.: d = 127 mm. 
 
 
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27) Para o pêndulo invertido mostrado na figura abaixo, que modela um tipo de sismógrafo: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural 
será zero? 
 
28) Um automóvel, com motor de quatro cilindros dever apoiado sobre três suportes 
amortecedores, como indicado na figura abaixo. O conjunto do bloco do motor pesa 2224,11 
N. Se a força desbalanceada gerada pelo motor for dada por 889,64*sen(100*π*t) N, calcule 
os três suportes amortecedores (cada um com rigidez k e constante de amortecimento viscoso 
c), de modo tal que a amplitude de vibração seja menos que 2,54 mm. 
 
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29) One of the tail rotor blades of a helicopter has an unbalanced mass of m = 0.5 kg at a 
distance of e = 0.15 m from the axis of rotation, as shown in below. The tail section has a 
length of 4 m, a mass of 240 kg, a flexural stiffness (EI) of 2.5 MN – m2, and a damping ratio 
of 0.15. The mass of the tail rotor blades, including their drive system, is 20 kg. Determine the 
forced response of the tail section when the blades rotate at 1500 rpm. 
 
 
Bibliografia de Referência 
[1]. RIPPER NETO, A. P. Vibrações Mecânicas. Editora e-papers. Rio de Janeiro 2007. 
[2]. RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas, Pearson – Prentice Hall, 4ª ed – São Paulo, 
2008. 
 
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[3]. ALMEIDA, Márcio Tadeu de. Vibrações mecânicas para engenheiros. 2. ed. São 
Paulo: Edgard Blücher, 1990. 
[4]. MEIROVITCH, Leonard. Fundamentals of vibrations. Boston: McGraw-Hill, 2001. 
[5]. ARATO JUNIOR, Adyles. Manutenção preditiva: usando análise de vibrações. 
Barueri: Manole, 2004. 
[6]. KELLY, S. Graham. Theory and problems of mechanical vibrations. New York: 
McGraw-Hill, 1996. 
[7]. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenheiros. São Paulo: Prentice Hall, 
2005.