Eletrodinâmica

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1FísicaEletrodinâmica
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Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Wilson Carron
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Naylor F. de Oliveira, Shirlei N. 
Dezidério e Tiago C. Leme
Coordenação Editorial: Luzia H. Fávero F. López
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Marcela Pelizaro, Paula de Oliveira 
Quirino e Cristian N. Zaramella
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida, Maria 
Cecília R. D. B. Ribeiro, Milena C. Lotto 
e Paula G. de Barros Rodrigues
Capa: LABCOM comunicação total
Conferência e Fechamento: BFS bureau digital
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CAPÍTULO 01 CARGA ELÉTRICA E CORRENTE ELÉTRICA 7
1. Introdução 7
2. Carga elétrica 7
3. Condutores e isolantes elétricos 11
4. Corrente elétrica 12
5. Potencial elétrico e diferença de potencial (ddp) 14
6. Potência elétrica 15
7. Energia elétrica 17
CAPÍTULO 02 RESISTORES 21
1. Introdução 21
2. Resistor 21
3. Primeira lei de Ohm 21
4. Potência de um resistor 22
5. Segunda lei de Ohm 23
6. Fusíveis e disjuntores 24
7. Associação de resistores 26
8. Associação em série 26
9. Associação em paralelo 28
10. Associação mista 31
11. Curto-circuito 32
CAPÍTULO 03 GERADORES ELÉTRICOS 34
1. Introdução 34
2. Força eletromotriz (ε) e resistência interna (r) 35
3. Equação de um gerador 35
4.	 Curva	característica	de	um	gerador	 36
5. Rendimento de um gerador 36
6. Associação de geradores 37
7. Circuito elétrico simples: gerador e resistor 40
8. Circuito gerador e resistores em série/paralelo 41
CAPÍTULO 04 RECEPTORES ELÉTRICOS 43
1. Introdução 43
2. Força contraeletromotriz (εʼ)	e	resistência	interna	(rʼ)	 43
3.	 Equação,	curva	característica	e	rendimento	de	um	receptor	 44
4. Circuito gerador, receptor e resistores 45
CAPÍTULO 05 MEDIDAS ELÉTRICAS 47
1. Introdução 47
2. Amperímetro 47
3.	 Voltímetro	 48
4.	 Medidores	reais	(amperímetro	e	voltímetro)		 48
5. Ponte de Wheatstone 50
6.	 Ponte	de	fio	 51
CAPÍTULO 06 LEIS DE KIRCHHOFF 53
1. Introdução 53
2.	 Primeira	lei	de	Kirchhoff	(lei	dos	nós)	 53
3.	 Segunda	lei	de	Kirchhoff	(lei	das	malhas)	 53
4. Estudo da polaridade 53
5. Determinação da ddp (tensão) 54
6.	 Gráfico	do	potencial	elétrico	 54
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 57
Capítulo 01 59
Capítulo 02 74
Capítulo 03 93
Capítulo 04 109
Capítulo 05 116
Capítulo 06 125
GABARITO 139
Teoria
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Física
CAPÍTULO 01 CARGA ELÉTRICA E CORRENTE ELÉTRICA
1. Introdução
O nosso cotidiano está tão impregnado de 
aparelhos elétricos que dificilmente consegui-
mos imaginar a nossa vida sem energia elétri-
ca. De acordo com Hinrichs e Kleinbach, em 
Energia e meio ambiente:
A eletricidade é aceita hoje de forma 
tão trivial e está tão entrelaçada ao nosso 
modo de vida que raramente pensamos 
sobre sua origem ou nos preocupamos 
com sua conservação. A conveniência e a 
disponibilidade da eletricidade a tornam 
muito popular. 
[...] Historicamente, a eletricidade 
tem sido gerada principalmente em usinas 
elétricas centrais que utilizam a energia 
potencial química, nuclear ou gravitacio-
nal das fontes: carvão, gás natural, óleo 
combustível, urânio e água e a convertem 
em energia elétrica. As primeiras usi-
nas desse tipo entraram em operação em 
1882, sob a supervisão de Thomas Edison 
(1847-1931), inventor americano. As duas 
primeiras eram movidas por turbinas a va-
por e a terceira era hidrelétrica.
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Usina hidrelétrica de Itaipu. No Brasil, a energia 
potencial gravitacional das águas represadas 
em usinas é responsável por valores superiores 
a 76% da geração de energia elétrica.
Embora a eletricidade somente tenha se de-
senvolvido como ciência a partir do século 
XVII, sua história começa na Antiguidade, seis 
séculos antes de Cristo. Era do conhecimento 
dos gregos que o âmbar (resina fóssil), quan-
do atritado, adquiria a propriedade de atrair 
corpos leves, tais como pequenos pedaços de 
palha.
No século XVIII, o estudo sobre os fenômenos 
elétricos apresentou um avanço significativo, 
graças aos trabalhos de cientistas como Benja-
mim Franklin (1706-1790), a quem devemos os 
termos “eletricidade positiva” e “eletricidade 
negativa”, e de Alessandro Volta (1745-1827), 
com o desenvolvimento da pilha voltaica.
A associação da eletricidade com o magne-
tismo, estabelecida por Hans Oersted (1777-
1845), os trabalhos de André Marie Ampère 
(1775-1836) no campo da eletroquímica, o 
desenvolvimento da indução eletromagnéti-
ca por Michael Faraday (1791-1867), além de 
outros trabalhos, permitiram a construção de 
máquinas e motores que consolidou definiti-
vamente a era da eletricidade no século XX.
2. Carga elétrica
A maioria dos objetos com os quais convi-
vemos é eletricamente neutra, ou seja, não 
apresenta efeitos elétricos. Mas, por meio de 
experimentos simples, podemos fazer com 
que um corpo apresente efeitos elétricos; em 
outras palavras, que ele se torne eletrizado. 
Por exemplo, o simples fato de caminharmos 
sobre um tapete pode fazer com que nosso 
corpo se eletrize. 
A seguir, ilustramos um experimento básico 
que nos permite observar o fenômeno da ele-
trização.
Consideremos dois bastões de vidro e um pe-
daço de seda. Vamos, com esses objetos, reali-
zar o seguinte experimento: inicialmente, cada 
bastão de vidro é atritado com o pedaço de 
seda. Em seguida, um dos bastões de vidro é 
suspenso por um fio e o outro bastão de vidro 
é aproximado do primeiro. Observamos que 
os dois bastões de vidro se repelem.
Os bastões de vidro se repelem após 
terem sido atritados com a seda.
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Física
Vamos, agora, repetir o experimento com duas 
barras de plástico atritadas com um pedaço de 
lã ou pele de animal. Observamos que as duas 
barras de plástico se repelem, da mesma ma-
neira que os bastões de vidro do experimento 
anterior.
As barras de plástico se repelem após 
terem sido atritadas com lã.
Finalmente, aproximamos a barra de plástico 
atritada com lã do bastão de vidro atritado 
com seda. Observamos, agora, uma atração 
entre eles.
Esses experimentos realizados com o vidro, 
seda, plástico e lã podem ser repetidos com 
muitos outros materiais. Chegaremos sempre 
às seguintes conclusões:
01. corpos feitos do mesmo material, 
quando atritados pelo mesmo proces-
so, sempre se repelem;
02. corpos feitos de materiais diferentes, 
atritados por processos diferentes, po-
dem atrair-se ou repelir-se.
Os bastões de vidro e as barras de plástico, 
quando atritados com a seda e a lã, respec-
tivamente, adquirem uma propriedade que 
não possuíam antes da fricção: eles passam 
a se atrair ou a se repelir quando colocados 
convenientemente um em presença do outro. 
Nessas condições, dizemos que os bastões de 
vidro e as barras de plástico estão eletrizados.
Verificamos, então, através de experiências, 
que os corpos eletrizados podem ser classifi-
cados em dois grandes grupos: um semelhante 
ao vidro – eletricidade vítrea – e o outro, se-
melhante ao plástico – eletricidade resinosa.
Benjamin Franklin, cientista, político e escritor 
americano, por volta de 1750, introduziuos 
termos eletricidade positiva e negativa para 
as eletricidades vítrea e resinosa, respectiva-
mente.
Para entender cientificamente o que ocorre 
no processo de fricção envolvendo o vidro e a 
seda, ou o plástico e a lã, precisamos de alguns 
conceitos básicos a respeito de carga elétrica e 
estrutura da matéria.
Hoje, sabemos que a matéria é formada de 
átomos e, de acordo com o modelo atômico 
vigente, os átomos são constituídos por:
•	 um pequeno núcleo central, onde se 
localiza praticamente toda a massa do 
átomo, e onde se encontram as partícu-
las denominadas prótons e nêutrons;
•	 e por uma eletrosfera, região do espaço 
em torno do núcleo onde são encontra-
dos os elétrons.
Elétrons 
Nêutrons
Prótons
Núcleo
Eletrosfera
Ilustração do modelo atômico com prótons e 
nêutrons no núcleo e elétrons na eletrosfera
Das três partículas que compõem um átomo, 
tanto os prótons como os elétrons apresentam 
a propriedade denominada carga elétrica, ou 
seja, trocam entre si, ou com outras partícu-
las, ações elétricas de atração ou de repulsão. 
Por convenção, a carga elétrica de um próton 
é positiva e, a carga elétrica de um elétron é 
negativa.
Os nêutrons são partículas que apresentam 
carga elétrica nula. Isso significa dizer que os 
nêutrons não trocam ações elétricas de atra-
ção ou de repulsão.
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Física
 Observação
De acordo com o modelo atual, das três 
partículas que constituem o átomo (prótons, elé-
trons e nêutrons), somente os elétrons são partí-
culas elementares (indivisíveis). Tanto os prótons 
como os nêutrons são formados por partículas 
ainda menores, denominadas quarks.
2.1.	Quanti	dade	de	carga	elétrica
Aos corpos, ou às partículas, que apresentam 
a propriedade denominada carga elétrica, po-
demos associar uma grandeza escalar deno-
minada quantidade de carga elétrica, repre-
sentada pelas letras Q ou q, e que no Sistema 
Internacional de Unidades (SI) é medida em 
coulomb (C).
A quantidade de carga elétrica positiva do 
próton e a quantidade de carga elétrica nega-
tiva do elétron são iguais em valor absoluto, e 
correspondem à menor quantidade de carga 
elétrica encontrada na natureza, até os dias 
atuais. Essa quantidade é representada pela 
letra e e é chamada de quantidade de carga 
elétrica elementar.
Em 1909, o físico americano Robert A. Millikan 
(1868-1953) determinou experimentalmente 
o valor da quantidade de carga elementar. O 
resultado obtido foi, aproximadamente:
e = 1,6 · 10 –19 C
Nessas condições, podemos escrever as quan-
tidades de carga elétrica do próton e do elé-
tron como sendo:
qp = + e = +1,6 · 10–19C
qe = – e = –1,6 · 10–19C
Para o nêutron temos qn = 0.
A tabela abaixo apresenta os valores aproxi-
mados da massa e da quantidade de carga elé-
trica das principais partículas atômicas:
Partícula Massa (kg) Quantidade de carga elétrica (C)
Elétron 9,1 · 10–31 –1,6 · 10–19
Próton 1,7 · 10–27 +1,6 · 10–19 
Nêutron 1,7 · 10–27 0
2.2.	Quanti	zação	da	quanti	dade	de	carga	elétrica
A carga elétrica do próton é igual em módu-
lo à carga elétrica do elétron, constituindo a 
menor quantidade de carga elétrica que é en-
contrada livre na natureza. Esse fato faz com 
que a quantidade de carga elétrica não possa 
assumir quaisquer valores, sendo possíveis so-
mente valores múltiplos da quantidade de car-
ga elementar (e). Dizemos que a quantidade 
de carga elétrica de um corpo é quantizada.
Assim, um corpo com carga elétrica positiva só 
pode apresentar quantidade de carga elétrica 
(Q) dada por: 
+1·e; +2·e; +3·e; ...; +n·e (n = número inteiro) 
E um corpo com carga elétrica negativa só 
pode apresentar quantidade de carga elétrica 
dada por:
–1·e; –2·e; –3·e; ...; –n·e (n = número inteiro) 
De modo geral, podemos escrever que a quan-
tidade de carga elétrica de um corpo é dada 
por:
Q = n · e
2.3.	Conservação	da	quanti	dade	de	carga	elétrica
Voltemos ao processo de fricção envolvendo 
vidro/seda e plástico/lã. Antes da fricção, os bas-
tões de vidro e o pedaço de seda não apresentam 
efeitos elétricos. O mesmo é válido para o plásti-
co e a lã. Isso significa dizer que a quantidade de 
carga elétrica de cada corpo é zero, ou seja, eles 
possuem o número de elétrons igual ao número 
de prótons.
Com a fricção, os corpos envolvidos ficam ele-
trizados. Nesse processo, fornecemos energia 
suficiente para que cargas elétricas (elétrons) 
se transfiram de um corpo para o outro. Por-
tanto, em cada corpo, o número de elétrons 
(ne) é diferente do número de prótons (np): um 
corpo cede elétrons e o outro recebe elétrons. 
Assim, temos:
•	 se ne = np, o corpo é eletricamente neu-
tro;
•	 se ne > np, o corpo é eletricamente ne-
gativo (recebeu elétrons);
•	 se ne < np, o corpo é eletricamente posi-
tivo (cedeu elétrons).
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Física
Se os corpos envolvidos na fricção estão isola-
dos, ou seja, não sofrem a influência de outros 
corpos, a quantidade de carga elétrica cedida 
por um é exatamente igual à quantidade de 
carga elétrica recebida pelo outro: os corpos 
adquirem quantidades de carga elétrica iguais 
em módulo, mas de sinais contrários.
Em sistemas isolados, a quantidade de carga 
elétrica total permanece constante. Isso tra-
duz uma importante lei da natureza: a lei da 
conservação da quantidade de carga elétrica.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Leia o texto seguinte.
[...] Um típico relâmpago negativo 
da nuvem para o solo transfere 25 cou-
lombs de carga negativa da nuvem para 
o solo ao longo de toda sua duração. Nos 
casos em que haja grande quantidade de 
descargas de retorno, cargas maiores que 
100 coulombs podem ser transferidas em 
um intervalo de tempo que chega a atingir 
dois segundos. 
PINTO Jr., Osmar; PINTO, Iara R. C. de A. 
Relâmpagos. São Paulo: Brasiliense, 1996. p. 57.
De acordo com o texto, podemos afirmar que, 
em um relâmpago, o número de elétrons en-
volvidos na transferência de carga elétrica ne-
gativa da nuvem para o solo é:
a. sempre maior que 6,25 · 1020.
b. sempre menor que 1,56 · 1020.
c. é igual a 1,56 · 1020.
d. é igual a 6,25 · 1020.
e. pode assumir valores maiores que 
6,25 · 1020.
Resolução
De acordo com o texto, em um relâmpago tí-
pico, a quantidade de carga elétrica negativa 
é Q = 25 C, mas pode assumir valores maiores 
que Q = 100 C. Sendo a quantidade de carga 
elétrica de um elétron igual a e = 1,6 · 10-19 C, 
temos que, sendo Q = n · e:
•	 25 C correspondem a: 
 elétrons
•	 100 C correspondem a: 
 
 elétrons 
Assim, o número típico de elétrons é 1,56 · 1020 e 
o número máximo pode atingir valores supe-
riores a 6,25 · 1020. 
Resposta
E
No processo de eletrização por fricção (atrito), 
os corpos envolvidos devem ser de materiais 
diferentes, isto é, eles devem apresentar ten-
dências diferentes de ganhar ou perder elé-
trons. Considere que:
•	 Na lista de materiais apresentados a se-
guir, quando dois materiais quaisquer 
são atritados, aquele que estiver posi-
cionado à esquerda fica eletrizado po-
sitivamente; o que estiver à direita fica 
eletrizado negativamente.
vidro – lã – seda – algodão – madeira – metal
•	 Dois materiais eletrizados com cargas 
de mesmo sinal se repelem e com car-
gas de sinais contrários se atraem.
Suponha que um bastão de vidro seja atritado 
com lã e uma barra de metal seja atritada com 
algodão. Se pendurarmos a barra de metal por 
um fio e em seguida aproximarmos o bastão 
de vidro, observaremos que:
a. haverá atração, pois a barra de metal 
está eletrizada positivamente e o bas-
tão de vidro, negativamente.
b. haverá repulsão, pois a barra de metal 
está eletrizada positivamente e o bas-
tão de vidro,negativamente.
c. haverá atração, pois a barra de metal 
está eletrizada negativamente e o bas-
tão de vidro, positivamente.
d. haverá repulsão, pois a barra de metal 
está eletrizada negativamente e o bas-
tão de vidro, positivamente.
n
Q
e
= = =
−
25
1 6 10
1 56 10
19
20
, ·
, ·
 
 
n
Q
e
= = =
−
100
1 6 10
6 25 10
19
20
, ·
, ·
 
 
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Física
e. haverá repulsão, pois tanto a barra de 
metal como o bastão de vidro estarão 
eletrizados positivamente.
Resolução
De acordo com as informações, temos que, na 
fricção do bastão de vidro com a lã, o bastão 
de vidro fica eletrizado positivamente e a lã, 
negativamente. Por outro lado, na fricção de 
uma barra de metal com algodão, o algodão 
fica eletrizado positivamente e a barra de me-
tal, negativamente.
Aproximando-se a barra de metal (negativo) 
do bastão de vidro (positivo), teremos atração 
(cargas de sinais contrários). 
Resposta
C
3. Condutores e isolantes elétricos
Em relação à eletricidade, os materiais existentes na natureza podem ser divididos em dois gran-
des grupos: os que conduzem a eletricidade, chamados de condutores, e os que não conduzem a 
eletricidade, chamados de isolantes.
3.1. Condutores
São materiais que apresentam portadores de 
cargas elétricas (elétrons ou íons) livres, o que 
facilita a mobilidade deles em seu interior. São 
considerados bons condutores, materiais com 
alto número de portadores de cargas elétricas 
livres e que apresentam alta mobilidade des-
ses portadores de cargas elétricas.
Os condutores elétricos podem ser de três ti-
pos:
•	 Sólidos – Os principais condutores elé-
tricos sólidos são os metais: alumínio, 
cobre, ferro, níquel, prata, ... Nos me-
tais, os portadores de carga elétrica são 
os elétrons.
•	 Líquidos – Nas soluções eletrolíticas, 
os portadores de carga elétrica são 
os íons positivos e negativos. Como 
exemplo, podemos citar as soluções 
aquosas de cloreto de sódio (Na+; Cl-) e 
de ácido sulfúrico (H+; Cl-).
•	 Gasosos – Normalmente, os gases não 
conduzem a eletricidade. Mas, sob de-
terminadas condições, os gases podem 
ser ionizados. Nessas condições, eles 
apresentam como portadores de carga 
elétrica íons positivos e elétrons.
Em alguns materiais, os portadores de carga 
elétrica existentes se movimentam pratica-
mente livres, sem qualquer oposição do meio 
natural. Tais condutores são considerados ideais. 
3.2. Isolantes 
Os materiais isolantes se caracterizam por não 
apresentar portadores de cargas elétricas livres 
para movimentação. Nesses materiais, a mobi-
lidade dos portadores de cargas elétricas é pra-
ticamente nula, ficando eles praticamente fixos 
no seu interior.
Exemplos: borracha, madeira, água pura etc.
3.3. Semicondutor e supercondutor
Além de condutores e isolantes de eletricida-
de, encontramos algumas substâncias que se 
encaixam na denominação de semiconduto-
ras e outras, denominadas supercondutoras.
Um material semicondutor, como o silício e o 
germânio, apresenta uma condutividade (con-
dução de eletricidade) intermediária entre os 
metais condutores e os isolantes. Esses mate-
riais são fundamentais para a eletrônica, pois, 
com o processo denominado “dopagem”, no 
qual átomos de um outro elemento químico 
são inseridos em sua rede atômica, os semi-
condutores passam a conduzir a eletricidade. 
Associando dois diferentes tipos de semicon-
dutores, é possível controlar o sentido da cor-
rente. O diodo é um componente eletrônico 
que permite a passagem da corrente em ape-
nas um sentido, tornando-se isolante no sen-
tido oposto. 
Na supercondutividade, fenômeno que ocor-
re em temperaturas extremamente baixas, os 
elétrons se movem praticamente sem nenhu-
ma resistência. Para conhecermos o estágio 
atual do desenvolvimento das pesquisas sobre 
esse assunto, vamos ler o texto seguinte. 
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Física
[...] Alguns materiais, incluindo metais, ligas metálicas e óxidos, apresentam um fenô-
meno chamado supercondutividade. À medida que a temperatura diminui, a resistividade 
(grandeza associada à resistência e à mobilidade dos portadores de carga) cai; no início, len-
tamente, como em qualquer metal. Porém, para uma certa temperatura crítica TC, ocorre uma 
transição de fase, e a resistividade diminui bruscamente. Se os portadores de carga elétrica se 
movimentam em um anel supercondutor, eles permanecerão circulando no anel indefinida-
mente, sem necessidade de fonte de alimentação.
 A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo físico holandês Heike Kamerlingh 
Onnes (1853-1926). Ele observou que, para temperaturas muito baixas, menores do que 4,2 K, 
a resistividade do mercúrio caía repentinamente para zero. Durante 75 anos após essa desco-
berta, o valor máximo de TC conseguido era da ordem de 20 K. A descoberta de novos mate-
riais, com temperaturas críticas da ordem de 40 K, deu início a uma corrida para desenvolver 
materiais supercondutores com “temperaturas críticas elevadas”.
 [...] Até 2006, o valor de TC máximo atingido sob pressão atmosférica era da ordem de 
138 K, e materiais com supercondutividade na temperatura ambiente poderão brevemente se 
tornar uma realidade. São enormes as implicações dessas descobertas para sistemas de distri-
buição de energia elétrica, projetos de computadores e transportes.
YOUNG, Hugh D. Física III: eletromagnetismo. 12. Ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. p.141. 
4. Corrente Elétrica 
Dizemos que existe uma corrente elétrica 
quando portadores de cargas elétricas (posi-
tivos e/ou negativos) se movimentam numa 
direção preferencial em relação às demais.
Exemplos
•	 Metais: portadores de cargas elétricas 
⇒ elétrons
e
e
e
•	 Soluções eletrolíticas: portadores de 
cargas elétri cas ⇒ íons positivos e ne-
gativos
•	 Gases: portadores de cargas elétricas 
⇒ íons e elétrons
e e e
No estudo da corrente elétrica, dizemos que 
sua direção é a mesma dos portadores de 
cargas elétricas, sejam positivos ou nega-
tivos. Com relação ao sentido, adotamos o 
sentido convencional: o sentido da corrente 
elétrica é o mesmo do movimento dos porta-
dores de cargas elétricas positivas ou, por ou-
tro lado, sentido contrário ao do movimento 
dos portadores de cargas elétricas negativas.
Cátions
Corrente
Ânions
Condutor eletrolítico
Elétrons livres
Condutor metálico
Corrente
Condutor gasoso
ElétronsCorrenteCátions
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Física
4.1. Intensidade de corrente elétrica
Indicando por ∆Q a carga total, em valor abso-
luto, que atravessa a superfície (S) do condu-
tor, no intervalo de tempo ∆t, definimos inten-
sidade média de corrente elétrica (im), nesse 
intervalo de tempo, pela relação:
S
–
–
–
i
Q
tm
=
∆
∆
A intensidade de corrente elétrica (i) é uma 
grandeza escalar que fornece o fluxo de por-
tadores de cargas elétricas, através de uma 
superfície, por unidade de tempo.
A unidade de intensidade de corrente elétrica 
no Sistema Internacional é o ampère (A).
coulomb C
segundo
ampère
( )b C( )b C
( )s( )s
( )A( )A=
É muito frequente a utilização de submúltiplos 
do ampère (A):
1 mA = 10–3 A (miliampère)
1 µA = 10–6 A (microampère)
Quando a intensidade de corrente elétrica (i) 
varia com o tempo, é costume apresentarmos 
o seu comportamento através de um diagra-
ma horário: i x t.
i
0
t
t2
i2
t1
i1
Intensidade de corrente variável com o tempo
Nesses casos, para obtermos a intensidade 
média de corrente elétrica (im), devemos, ini-
cialmente, determinar a carga elétrica total 
(ΔQ) correspondente ao intervalo de tempo 
de	nosso	interesse.		A	carga	elétrica	total	(ΔQ) 
é dada, numericamente, pela área sob a curva 
entre os instantes t1 et2, conforme mostrado 
na figura a seguir.
i
0
t
t1 t2
∆Q
∆Q ÁreaN
Segue que a intensidade média de corrente 
elétrica é: 
i
Q
tm
=
∆
∆
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Em uma solução aquosa de ácido sulfúrico 
(H2SO4), os portadores de carga elétrica são os 
íons hidroxônio (+) e os íons sulfato (–). Com 
base na figura abaixo, suponha que 1 · 1020 
íons sulfato e 2 · 1020 íons hidrogênio se movi-
mentem por segundo. Determinar a intensida-
de da corrente elétrica no interior da solução 
aquosa de ácido sulfúrico (H2SO4).
H3O
+
+ –
i
H3O
+
i
SO–24
SO–24
Resolução
No interior da solução, a intensidade de cor-
rente elétrica (i) total é a soma das intensida-
des de correntes de íons H3O+ e SO4–2. Assim, 
temos:
i
Q
t t
i
i
H O
H O
H O
3
3
3
2 10 1 1 6 10
1
32
20 19
+
+
+
= =
=
=
−
∆
∆ ∆
n · e 
 · · · , ·
 
 
 
n · e
Α
∆
∆ ∆
i
Q
t t
i
i
SO
SO
SO
4
2
4
2
4
2
10 2 1 6 10
1
3
20 19
−
−
−
= =
=
=
−· · , ·
22 Α
Logo:
i i i
i
i
H O SO= +
= +
=
−
2 4
2
32 32
64 Α
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
14
Física
02. 
O gráfico a seguir mostra como varia a corren-
te elétrica, para o intervalo de 0 a 4,0 s, através 
de um condutor.
10 
2,0 4,00
i (A)
t (s)
Nessas condições, determine, para o intervalo 
de 0 a 4,0 s:
a. a quantidade de carga elétrica total;
b. a intensidade média de corrente elétri-
ca.
Resolução
a.	A	 carga	elétrica	 total,	ΔQ,	 correspondente	
ao intervalo de tempo de 0 a 4,0 s, é dada pela 
área do trapézio mostrado na figura a seguir.
5. Potencial elétrico e diferença de potencial (ddp)
Para se estabelecer uma corrente elétrica num condutor metálico, isto é, para que os portadores 
de carga elétrica se movimentem numa direção preferencial, por exemplo, ao longo do condutor, 
é necessário que uma força elétrica realize trabalho sobre os portadores de carga elétrica. Para 
que isso aconteça, os extremos do condutor devem ser mantidos em potenciais elétricos dife-
rentes. Isso se consegue através de uma fonte elétrica – gerador – que tem por função manter 
uma diferença de potencial elétrico entre os extremos do condutor, produzindo o movimento 
orientado dos portadores de carga.
i (A)
t (s)
10 
2,0 4,00
Assim, temos:
ΔQ	=	área	do	trapézio
∆ ∆Q Q C= + ⇒ =( , , ) ·4 0 2 0 10
2
30 
b. A intensidade média de corrente elétrica é 
dada por:
i
Q
t
i im m m= = =
∆
⇒ ⇒
∆
Α30
4 0
7 5
,
, 
5.1. Potencial elétrico
Nas condições descritas acima, ou seja, quan-
do os portadores de carga elétrica se movem 
ao longo do condutor constituindo uma cor-
rente elétrica, podemos associar a cada pon-
to da trajetória descrita pelos portadores de 
carga elétrica uma grandeza escalar chamada 
de potencial elétrico (V), que representa a 
energia potencial elétrica por unidade de car-
ga elétrica:
q0
EPA EPB
q0
A B
em que: 
V
E
qA
VAV
PA
=
0
V
E
qB
VBV
PB
=
0
•	 V é o potencial elétrico do ponto;
•	 ΕP é a energia potencial elétrica de q0 
no ponto;
•	 q0 é a quantidade de carga elétrica do 
portador de carga colocado no ponto 
em questão.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), te-
mos:
E joule J
q coulomb C
V volt VP
⇒
⇒

⇒
 
 
 
( )
( )
( )
0
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
15
Física
5.2. Diferença de potencial (ddp)
A partir do exposto, podemos definir diferen-
ça de potencial elétrico (ddp) ou tensão elé-
trica entre dois pontos como sendo a diferen-
ça entre os potenciais elétricos desses pontos. 
Sendo UAB a diferença de potencial entre os 
pontos A e B, de potenciais VA e VB, respecti-
vamente, temos:
UAB = VA = VA = V – VB
Como, no SI, os potenciais VA e VB são medidos 
em volt, a ddp U também é medida em volt 
(V).
Sendo V
E
qA
PA
=
0
 e V
E
qB
PB
=
0
, podemos escrever:
U
E
q
E
qAB
PA PB
=
0 0
−
ou
U
E
qAB
P
= −
∆
0
Em resumo, podemos afirmar:
•	 Para que os portadores de carga se mo-
vimentem ordenadamente, é neces-
sário que eles estejam sujeitos a uma 
diferença de potencial:
UAB
Q
•	 O sentido da corrente elétrica conven-
cional é do potencial elétrico maior 
para o potencial elétrico menor. Os elé-
trons se movimentam espontaneamen-
te, do menor para o maior potencial. 
Ou seja, no sentido contrário ao adota-
do para a corrente elétrica:
(Vmaior) (Vmenor)
 20 V Zero
– ei
•	 Para o cálculo do potencial elétrico, há 
necessidade de se adotar um referen-
cial. É comum adotar a Terra como re-
ferencial. Assim, o potencial elétrico da 
Terra é adotado como zero:
VT = 0
6. Potência elétrica
Um bom número de dispositivos elétricos, tais 
como lâmpada, pilha, bateria, chuveiro, en-
tre outros, são constituídos por dois polos e, 
devido a esse fato, são denominados bipolos 
elétricos. 
Alguns bipolos elétricos, como a pilha, man-
têm, durante certo tempo, uma diferença de 
potencial (ddp) entre seus extremos (polos). 
Nesses casos, o dispositivo traz a identificação 
de cada polo: positivo ou negativo.
As pilhas trazem impresso a 
identificação da polaridade (+) e (–) 
de cada um de seus extremos.
Outros bipolos elétricos, como a lâmpada, so-
mente adquirem polaridade (+) e (–) quando 
convenientemente ligadas a um outro bipolo 
que possua uma ddp em seus extremos.
Na lâmpada, a polaridade (+) e (–) somente 
existe se ela estiver em funcionamento, 
ou seja, ligada a uma ddp externa.
©
2 
vs
eb
 / 
Sh
ut
te
rs
to
ck
©
3 
Ko
va
ce
vi
cm
iro
 / 
Dr
ea
m
st
im
e.
co
m
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
16
Física
Consideremos, então, um bipolo elétrico em 
cujos terminais existe uma diferença de poten-
cial U e, através do qual, circula uma corrente 
elétrica de intensidade i, conforme figura.
Bipolo
U
A Bi
Como os pontos A e B possuem potenciais di-
ferentes, então, uma quantidade de carga elé-
trica	(ΔQ),	ao	passar	de	A	para	B,	sofre	uma	va-
riação	de	energia	(ΔE),	no	intervalo	de	tempo	
Δt.	Desse	modo,	dizemos	que	a	potência elé-
trica (P), desenvolvida no bipolo, é dada pela 
razão	entre	a	variação	de	energia	(ΔΕ)	e	o	cor-
respondente	intervalo	de	tempo	(Δt),	ou	seja:
P
E
t
=
∆
∆
Pela definição de diferença de potencial:
U
E
Q
E Q U= ⇒ =
∆
∆
∆ ∆ ·
 
 P
Q U
t
=
∆
∆
 ·
sendo: i
Q
t
=
∆
∆
P = i · U
Portanto, a potência elétrica num bipolo qual-
quer é dada pelo produto da ddp (U) e pela 
intensidade de corrente elétrica (i). No Siste-
ma Internacional de Unidades (SI), temos as 
seguintes unidades:
[U ⇒ volt (V)] · [i ⇒ ampère (A)] = [P ⇒ watt (W)]
Observe que a potência de 1 watt corresponde 
a 1 joule por segundo, isto é, a potência repre-
senta a energia transformada por unidade de 
tempo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UFRN modificado 
Na formação de uma tempestade, ocorre uma 
separação de cargas elétricas no interior das 
nuvens, que induzem, na superfície da Terra, 
cargas de sinal oposto ao das acumuladas nas 
partes mais baixas das nuvens. Isso cria uma 
diferença de potencial elétrico (ddp) entre es-
sas partes das nuvens e o solo. Na figura a se-
guir, está esquematizada uma situação do tipo 
descrita acima.
2.700
h (m)
2.400
2.100
1.800
1.500
1.200
900
600
300
Nuvem
+ + + + + + + +
– – – – – – – –
2,4 · 109 V
Solo
a. Adotando-se o solo como referência, 
qual é o potencial elétrico da parte 
mais baixa da nuvem?
b. Qual é a variação da energia poten-
cial elétrica quando um íonpositivo, 
de carga elétrica igual a 3,2 · 10–19 C, 
movimenta-se da parte mais baixa da 
nuvem para o solo?
Resolução
a. De acordo com a figura, a ddp entre a parte 
mais baixa da nuvem e o solo é U = 2,4 · 109 V. 
Adotando-se o solo como referência (Vsolo = 0), 
temos:
U = Vnuvem – Vsolo ⇒ 2,4 · 109 = Vnuvem – 0 
Vnuvem = 2,4 · 109 V
b. A variação da energia potencial elétrica do 
íon é dada por:
U
E
q
= −
∆
 
 ⇒ 2,4 · 109 = −
−
∆E
3 210 19, · 
ΔE	=	–	7,68	·	10–10 J
O sinal (–) indica que a energia potencial elé-
trica do íon é menor no solo do que na nuvem. 
Portanto, no movimento da nuvem para o 
solo, a energia potencial elétrica do íon dimi-
nui e a energia cinética aumenta.
, temos:
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
17
Física
02. 
Um estudante adquire um chuveiro elétrico 
que, segundo a especificação, deverá ser liga-
do a uma ddp de 220 V. O chuveiro possui uma 
chave que pode ser colocada em três posições: 
desligado, verão e inverno. Na tabela seguinte, 
temos a indicação da intensidade de corren-
te elétrica do chuveiro para cada posição da 
chave.
Desligado Verão Inverno
0 A 10 A 20 A
Com base nessas informações, e supondo o 
chuveiro em funcionamento normal, assinale 
a alternativa correta.
a. Na posição “verão”, a potência do chu-
veiro é 10 vezes maior que na posição 
“desligado”.
b. A potência máxima do chuveiro é 4.400 W.
c. Na posição “inverno”, a potência do 
chuveiro é 10 vezes maior que na po-
sição “verão”.
d. A potência do chuveiro é a mesma em 
qualquer uma das três posições da chave.
Resolução
Sendo a potência elétrica dada por P = U · i, 
temos que:
•	na	posição	“desligado”:	i	=	0			
 P = 220 · 0 = 0 W
•	na	posição	“verão”:	i	=	10	A		
 P = 220 · 10 = 2.200 W
•	na	posição	“inverno”:	i	=	20	A	
 P = 220 · 20 = 4.400 W
Analisando as alternativas, observamos que a 
correta é b: a potência máxima do chuveiro é 
4.400 W.
Resposta
B
7. Energia elétrica
Na sociedade moderna, as pessoas dependem cada vez mais da energia elétrica, graças à enorme 
quantidade de dispositivos eletroeletrônicos agregados e que transformam, com relativa facilida-
de, a energia elétrica em outras modalidades de energia, tais como: 
•	mecânica	⇒ funcionamento de máquinas e modernos carros elétricos;
•	térmica	⇒ fundição de metais em metalúrgicas e aquecimento de água;
•	luminosa	⇒ cirurgias a laser e iluminação residencial;
•	sonora	⇒ exploração de oceanos com o sonar e reprodução de CD´s; 
•	química	⇒ reações químicas e armazenamento de energia.
É norma que os dispositivos eletroeletrônicos colocados à venda no mercado tragam as espe-
cificações sobre as condições de uso. Geralmente, essas condições referem-se à ddp (diferença 
de potencial) na qual o aparelho deve ser ligado e a potência, ou seja, a quantidade de energia 
elétrica por unidade de tempo consumida pelo aparelho. 
Assim, para que a potência de um aparelho seja a indicada, ele deve ser ligado a uma ddp exa-
tamente igual à indicada nas condições de uso. Se ele for ligado a uma ddp menor, o aparelho 
funcionará com uma potência abaixo da especificação; se ele for ligado a uma ddp maior, o apa-
relho pode queimar.
A tabela seguinte apresenta a diferença de potencial (ddp) e a potência elétrica de alguns apare-
lhos residenciais.
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
18
Física
Aparelho ddp (U) Potência média (W)
Ar condicionado 7.500 BTU 220 1.000
Chuveiro 220 3.600
Computador e impressora 120 180
Geladeira 120 130
Lâmpada 120 40 – 60 – 100
Micro-ondas 120 1.200
Televisão 32" 120 120
Como a energia elétrica pode ser entendida como a capacidade de uma corrente elétrica realizar 
trabalho e, de acordo com a definição de potência (energia por unidade de tempo), podemos 
determinar, para um bipolo, a energia transformada em determinado intervalo de tempo, por 
meio da relação:
Sendo a potência dada em watt (W), o intervalo de tempo em segundos (s), a energia é dada em 
joule (J). 
Vamos calcular o consumo mensal (30 dias) de energia elétrica de uma geladeira, por exemplo. 
Como a geladeira permanece ligada è rede elétrica 24 horas (86.400 s) por dia, temos, de acordo 
com a tabela acima:
ΔE	=	P	·	Δt						⇒						ΔE	=	130	·	86.400	·	30					⇒						ΔE	=	336.960.000	J	=	3,37·108 J 
Diante desse resultado, observamos que, em nossas residências e na indústria e comércio de 
modo geral, a quantidade de energia elétrica utilizada mensalmente, quando expressa em jou-
le, pode assumir valores astronômicos. Em virtude disso, as companhias elétricas utilizam uma 
unidade mais prática para medir o consumo de energia elétrica: o quilowatt-hora (kWh). Assim, 
a potência dos aparelhos é indicada em quilowatt (1 kW = 1.000 W) e o intervalo de tempo em 
horas (1 h = 3.600 s).
Podemos relacionar o kWh e o joule por meio da seguinte expressão:
1 kWh = 1.000 W · 3.600 s
Para calcular o valor, em reais, da conta de energia elétrica, a companhia energética multiplica a 
quantidade de energia consumida em um mês pelo custo unitário do kWh. De acordo com o bo-
leto mostrado na figura seguinte, o consumo mensal foi de 144 kWh ao preço médio de R$ 0,39 
por kWh. Isso corresponde ao valor de R$ 56,00, aproximadamente.
ΔE	=	P	·	Δt
1 kWh = 3,6 · 106 J
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
19
Física
ICMS
Base de Cálculo R$ 56,44
Alíquota % 12,00
Valor ICMS R$ 6,77
HISTÓRICO DE CONSUMO Kwh Dias
2012 JAN 144 29
2011 DEZ 161 32
NOV 192 30
OUT 205 32
SET 177 30
AGO 189 30
JUL 173 32
JUN 190 30
MAI 192 31
ABR 205 31
MAR 204 28
FEV 240 29
JAN 218 29
DISCRIMINAÇÃO DA OPERAÇÃO QUANTIDADE PREÇO MÉDIO VALOR (R$)
Venda de Energia (kWh) 144 0,39194444 56,44
PIS/COFINS
Alíquota COFINS %
Alíquota PIS %
3,38
0,73
DATAS DAS LEITURAS
Atual
Anterior
03/01/2012
05/12/2011
29Nº de dias
Próximo Mês 02/02/2012
COMPOSIÇÃO DA TARIFA (R$)
Energia
Transmissão
14,77Distribuição
Encargos 5,45
23,56
3,57
DESCRIÇÃO DA CONTA
DÉBITOS DE OUTROS SERVIÇOS
PIS/PASEP 0,41
COFINS 1,91
ICMS 6,77
Total CPFL 56,44
Contribuição Custeio IP-CIP 5,00
Nº514500898721 Valor (R$)Quantidade Tarifa/Preço
Consumo Faturado [kWh] 47,35144 0,32883000
INDICADORES DE CONTINUIDADE DE FORNECIMENTO DE ENERGIA
RIBEIRÃO PRETO 3 - BONFIM PAULISTA
Padrão
Mensal
5,19
3,42
2,94
Padrão
Trimestral
10,38
6,85
Padrão
Anual
20,77
13,70
Apurado
Mensal
0,08
1,00
0,08
Período
Apuração
11/2011
Valor R$
EUSD
35,03
DIC
FIC
DMIC
EQUIPAMENTO DE MEDIÇÃO
Energia
Ativa
Leitura
Atual
16184
Leitura
Anterior
16040
Fator
Multiplicação
1
Consumo
[KWh]
144
Tensão
Nominal
220 / 127 V212103750
Nº
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Uma máquina de costura industrial possui 
suas especificações marcadas no motor, con-
forme figura a seguir.
De acordo com as indicações, esse motor pode 
ser ligado tanto em 110 V como em 220 V e as 
respectivas intensidades de corrente elétrica 
são 1,7 A e 0,85 A. Nessas condições, faça o 
que se pede:
a. Qual é a potência elétrica consumida 
por esse motor quando ligado em 110 V? 
E quando ligado em 220 V?
b. Determine a energia elétrica mensal, 
em kWh, consumida pelo motor para 
ambas as voltagens (110 V e 220 V), 
supondo que a máquina fica ligada 8 
horas por dia e 20 dias no mês. 
Resolução
a. Para a tensão de 110 V:
P = U · i ⇒ P = 110 · 1,7 ⇒ P = 187 W
Para a tensão de 220 V:
P = U · i ⇒ P = 220 · 0,85 ⇒ P = 187 W
b. Como, para ambas as voltagens, a potência 
consumida é a mesma, temos que o consumo 
de energia elétrica é o mesmo tanto para 110 V 
como para 220 V. 
ΔE	=	P	·	Δt		⇒	ΔE	=	187	[W]	·	8	[h/dia]	·	20	[dias]				
ΔE	=	29.920	Wh	⇒	ΔE	=	30	kWh
Observação 
O simples fato de alterar a tensão de 110 V para 
220 V não significa,obrigatoriamente, econo-
mia de energia. Para “gastar” menos energia, 
ou diminuímos a potência do aparelho ou o 
tempo de uso.
©
4 
N
ay
lo
r O
liv
ei
ra
 / 
Ed
ito
ra
 C
O
C
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
20
Física
02. ENEM
Uma estudante que ingressou na universidade e, pela primeira vez, está morando longe da sua 
família, recebe a sua primeira conta de luz:
Medidor Consumo Leitura Cód Emissão Id. Bancária
Número
7131312
Consumidor
951672
Leitura
7295
kWh
260
Dia
31
Mês
03 21 01/04/2009
Banco
222
Agência
999-7
Município 
S. José das 
Moças
Consumo dos últimos 12 meses em kWh Descrição
253 Mar/08
247 Abr/08
255 Mai/08
278 Jun/08
280 Jul/08
 275 Ago/08
272 Set/08
270 Out/08
260 Nov/08
265 Dez/08
266 Jan/09
268 Fev/09
Fornecimento
ICMS
Base de Cálculo ICMS Alíquota Valor Total
R$ 130,00 25% R$ 32,50 R$ 162,50
Se essa estudante comprar um secador de cabelos que consome 1.000 W de potência e conside-
rando que ela e suas 3 amigas utilizem esse aparelho por 15 minutos cada uma durante 20 dias 
no mês, o acréscimo em reais na sua conta mensal será de:
a. R$ 10,00 
b. R$ 12,50 
c. R$ 13,00 
d. R$ 13,50 
e. R$ 14,00
Resolução
A energia gasta por uma pessoa em um dia é:
∆ ∆
∆
∆
E P t
E
E kWh
=
=
=
 
 
 
·
. ·
,
1 000
15
60
0 25
Como são 4 pessoas, durante 20 dias temos:
ΔE	=	0,25	·	4	·	20
ΔE	=	20	KWh
Da conta, notamos que, ao consumir 260 KWh, a estudante pagou um valor de R$ 130,00, mais 
25% deste valor referente ao ICMS. Então, concluímos que:
260 KWh _______ R$ 130,00
1 KWh _______ x
x = R$ 0,50
Então, o gasto (sem o imposto):
1 KWh _______ R$ 0,50
20 KWh _______ y
y = R$ 10,00
Logo, o acréscimo é:
R$ 10,00 + 25% 
Acréscimo = R$ 12,50
Resposta 
B
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
21
Física
1. Introdução
Alguns dispositivos elétricos, como o ferro de 
passar roupa e o chuveiro, apresentam algo 
em comum: em ambos ocorre a transforma-
ção de energia elétrica exclusivamente em 
energia térmica. As lâmpadas incandescentes 
também fazem parte desse grupo, pois a in-
candescência luminosa é vista como um efeito 
secundário; de toda a energia elétrica recebi-
da pela lâmpada, somente 5% é transformada 
em energia luminosa. 
Esses dispositivos são denominados recepto-
res resistivos, ou simplesmente resistores.
Energia
Elétrica
Resistor Calor
2. Resistor
Resistor é todo dispositivo elétrico que trans-
forma exclusivamente energia elétrica em 
energia térmica. 
Na figura seguinte, temos a representação 
simbólica de um resistor, na qual R indica a re-
sistência elétrica do resistor:
R
A resistência elétrica (R) é uma medida da 
oposição ao movimento dos portadores de 
carga, ou seja, a resistência elétrica represen-
ta a dificuldade que os portadores de carga 
encontram para se movimentarem através 
do condutor. Quanto maior a dificuldade dos 
portadores de carga para se movimentarem, 
maior a resistência elétrica do condutor.
U
– – – – –
– – –
+
+
+ +
+
+ +
+ +
+
– – –
–––––
–
CAPÍTULO 02 RESISTORES
Assim, podemos classificar:
01. Condutor ideal – Os portadores de 
carga existentes no condutor não en-
contram nenhuma oposição ao seu 
movimento. Dizemos que a resistência 
elétrica do condutor é nula, o que sig-
nifica dizer que existe uma alta mobili-
dade de portadores de carga.
02. Isolante ideal – Os portadores de car-
ga existentes estão praticamente fixos, 
sem nenhuma mobilidade. Dizemos, 
nesse caso, que a resistência elétrica é 
infinita.
Consideremos um condutor submetido a uma 
diferença de potencial (ddp), no qual se esta-
belece uma corrente elétrica.
U
i
Sendo U a diferença de potencial (ddp) aplica-
da nos extremos do resistor e i a intensidade 
de corrente elétrica que o percorre, temos que 
a resistência elétrica R é dada por:
R
U
i
=
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a 
ddp é dada em volt (V), a intensidade de cor-
rente elétrica é dada em ampère e a resis-
tência elétrica é dada em volt/ampère, que 
recebe o nome de ohm	 (Ω),	em	homenagem	
ao físico germânico George Simon Ohm (1787-
1854) que, em 1827, estabeleceu a relação en-
tre a diferença de potencial e a intensidade de 
corrente elétrica em um condutor, conhecida 
como lei de Ohm.
3. Primeira lei de Ohm
Com base em experimentos, Ohm verificou 
que, em determinados condutores, principal-
mente nos condutores metálicos, a razão en-
tre a ddp aplicada e a intensidade de corrente 
elétrica era sempre a mesma, ou seja, a resis-
tência elétrica do condutor permanecia cons-
tante quando se variava a ddp aplicada.
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
22
Física
Condutores que se comportam desse modo 
são denominados condutores ôhmicos. Dize-
mos, então, que esses condutores obedecem 
à primeira lei de Ohm: a resistência elétrica é 
constante independentemente da ddp aplicada.
R
U
i
U
i
U
i
n
n
= == = =
1
1
2
2
...
Nos condutores ôhmicos, a intensi dade de 
corrente elétrica é diretamente proporcional à 
ddp aplicada. Assim, a curva característica de 
um condutor ôhmico é uma reta inclinada em 
relação aos eixos U e i, passando pela origem 
(0; 0).
θ
00
U (V)
i (A)
Por outro lado, os condutores, para os quais 
a relação U/i não é constante, são chamados 
de condutores não ôhmicos (ou não lineares). 
A relação entre a intensidade de corrente elé-
trica e a ddp não obedece a nenhuma relação 
1
2
específica, e sua representação gráfica pode 
ser qualquer tipo de curva, exceto uma reta.
0
U (V)
i (A)
4. Potência de um resistor
Lembrando que os resistores são bipolos elé-
tricos e que a potência elétrica num bipolo é 
dada pelo produto da ddp (U) pela intensidade 
de corrente elétrica (i), temos que, nos resisto-
res, a potência elétrica pode ser obtida pelas 
seguintes expressões:
•	 P = U · i ⇒ P = (R · i) · i ⇒
•	 P = U · i ⇒ P U
U
R
=
  · ⇒ P UR=
2
 
Observação 
A expressão P = U·i pode ser aplicada para 
qualquer dispositivo elétrico, mas as expres-
sões 1 e 2 somente devem ser usadas para os 
resistores.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Na tabela abaixo, temos, na primeira colu-
na, os valores da ddp, em volt, aplicada a um 
condutor e, na segunda coluna, os valores da 
intensidade de corrente elétrica, em mA, cor-
respondentes.
Ddp (volt) Intensidade de corrente elétrica (mA)
1,5 6,0
3,0 12
4,5 18
6,0 24
7,5 30
a. Qual o valor da resistência elétrica do 
condutor para uma ddp aplicada de 4,5 V?
b. Dentro do intervalo mostrado na tabe-
la, o condutor obedece ou não à pri-
meira lei de Ohm? Justifique.
c. Construa o gráfico U x i para esse con-
dutor.
Resolução
a. De acordo com a tabela, temos que, para 
U = 4,5 V, a intensidade de corrente elétrica 
é 18 mA = 0,018 A. Portanto, o valor da resis-
tência do condutor é:
R
U
i
R R= ⇒ = ⇒ =
4 5
0 018
250
,
,
 Ω
b. Dentro do intervalo mostrado na tabela, a 
resistência do condutor é constante, pois:
1 5
0 006
3 0
0 012
4 5
0 018
6 0
0 024
7 5
0 030
250
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
= = = = = Ω
Portanto, o condutor obedece à primeira lei de 
Ohm.
P = R · i2
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
23
Física
c. A figura seguinte ilustra o gráfico U x i para esse condutor.
7,5
6,0
4,5
3,0
1,5
6 12 18 24 300
U (V)
i (mA)
02. 
A potência de um chuveiro elétrico construído 
para funcionar em 220 V é 4.400 W. Supondo 
que o resistor do chuveiro seja um condutor 
ôhmico, determine:
a. a resistência elétrica do chuveiro e a in-
tensidade de corrente elétrica em con-
dições normais de uso;
b. a potência do chuveiroe a intensidade 
de corrente elétrica que o percorre se 
ele for ligado em 110 V.
Resolução
a. Sabendo-se que a potência do chuveiro é 
4.400 W e ele está sob uma ddp de 220 V, sua 
resistência elétrica vale:
P
U
R
R
U
P
R R
= ⇒ =
= ⇒ =
2 2
2220
4 400
11
( )
.
 Ω
E a intensidade de corrente elétrica vale:
 P = U · i ⇒ 4.400 = 220 · i ⇒ i = 20 A
b. Como o resistor é ôhmico, sua resistência 
elétrica	é	igual	a	11	Ω	quando	ligado	em	110	V.	
Assim, a potência correspondente será:
P
U
R
P P W= ⇒ = ⇒ =
2 2110
11
1 100
( )
. 
E a intensidade de corrente elétrica vale:
 U = R · i ⇒ 110 = 11 · i ⇒ i = 10 A
Observe que, para um resistor ôhmico, redu-
zindo-se a ddp à metade, a intensidade de cor-
rente elétrica se reduz à metade e a potência 
elétrica é reduzida a 1/4 do valor original.
5. Segunda lei de Ohm 
A resistência elétrica de um resistor, seja ele 
ôhmico ou não, é uma característica do condu-
tor: depende do material de que ele é feito, de 
sua forma, dimensões e também da tempera-
tura a que está submetido o condutor.
Para um condutor em forma de fios, verificamos, 
experimentalmente, que a sua resistência elétri-
ca depende do comprimento do fio (L ), da área 
de sua secção transversal ( A ) e do tipo de ma-
terial que o constitui ( ρ ).
L
A
ρ
Analisando, separadamente, cada uma dessas 
dependências, temos:
 01. a resistência elétrica R é diretamente 
proporcional ao comprimento L do fio:
 maior L ⇒ maior R
L1
A
L2
A
ρ
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
24
Física
 02. a resistência elétrica é inversamente pro-
porcional à área da secção transversal do 
fio:
 maior A ⇒ menor R
L
L
A1
A2
ρ
Com base nas análises acima, podemos escre-
ver que:
R
L
A
= ρ ·
em que ρ é o fator de proporcionalidade, uma 
grandeza característica do material com que é 
feito o condutor, denominada re sistividade, 
que só depende da temperatura, e não depen-
de da forma ou da dimensão do condutor.
No Sistema Internacional, temos as seguintes 
unidades:
u(R) = ohm (Ω)
u(L) = metro (m) u(ρ) = Ω · m
u(A) = m2
Na tabela seguinte, temos a resistividade (ρ) 
de algumas substâncias a 20 º C.
Substância Resistividade ρ (Ω·m)
Alumínio 2,8 · 10–8
Cobre 1,7 · 10–8
Ferro 1,0 · 10–7
Mercúrio 9,6 · 10–8
6. Fusíveis e disjuntores
O fusível elétrico é um elemento utilizado nos 
circuitos elétricos como segurança. Trata-se 
de um condutor (resistor) que age como um 
elemento de proteção aos demais elementos 
de um circuito. Para isso, o fusível suporta, no 
máximo, um determinado valor de corrente 
elétrica; acima deste valor, o calor produzido 
por efeito Joule é tal que funde (derrete) o 
fusível.
O material empregado nos fusíveis tem, em 
geral, baixa temperatura de fusão. Alguns ma-
teriais utilizados são: o chumbo, que apresenta 
temperatura de fusão da ordem de 327 oC; o es-
tanho, com temperatura de fusão da ordem de 
232 oC; ou ligas desses metais.
O fio de metal é montado em um cartucho ou 
em uma peça de porcelana. O fusível é cons-
truído de maneira a suportar a corrente máxi-
ma exigida por um circuito para o seu funcio-
namento. Assim, podemos ter fusíveis de 1 A ; 
2 A ; 10 A ; 30 A etc.
Em circuitos elétricos, os fusíveis são repre-
sentados pelo símbolo a seguir:
As figuras seguintes ilustram os dois tipos bá-
sicos de fusíveis citados: o de rosca e o de car-
tucho.
Porcelana
Rosca de
metal
Fio de material
facilmente fundível
Fusível de rosca
Terminais
de metal
Fio
fusível
Proteção
de vidro
ou de
papelão
Fusível de cartucho
Atualmente, nas instalações elétricas residen-
ciais e/ou industriais, os eletricistas têm op-
tado pelo uso de disjuntores em substituição 
aos fusíveis. A função básica do disjuntor é a 
mesma do fusível: proteção aos aparelhos elé-
tricos instalados na rede. 
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
25
Física
Os disjuntores apresentam uma grande vantagem em relação aos fusíveis; se acontecer de a 
intensidade de corrente elétrica superar o valor máximo permitido pelo fusível, este derrete e pre-
cisa ser trocado. Já o disjuntor desliga a rede elétrica. Após os reparos, o disjuntor é novamente 
acionado, não havendo necessidade de troca.
©
5 
Tu
ja
66
 / 
Dr
ea
m
st
im
e.
co
m
Disjuntor utilizado na rede elétrica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
No comércio, os fios condutores são conhe-
cidos por números de determinada escala. A 
mais usada é a AWG (American Wire Gage). 
Um fio muito usado em instalações domicilia-
res é o número 12 AWG. Sua secção reta é de 
3,3 mm2. A resistividade do cobre é de 
1,7 · 10–8 Ω · m e o seu coeficiente de dila-
tação linear é α = 4 · 10–3 °C–1, ambos a 20 °C.
a. Determine a resistência elétrica de 
200 m desse fio a 20 °C.
b. Qual a resistência elétrica desse fio a 
100 °C?
Resolução
a. A resistência é dada por R
L
A
=
ρ ·
. Assim, 
temos:
R R= ⇒ =
−
−
( , · ) ·
( , · )
,
1 7 10 200
3 3 10
1 0
8
6
 
 
 Ω
b. O comprimento do fio a 100 ºC é dado por:
∆L	=	L0	·	α	·	∆θ
L – L0 = L0 · α · ∆θ
L = L0 · α · ∆θ + L0
L = 200 · 4 · 10 -3 (100 – 20) + 200
L = 264 m
Portanto a resistência do fio a 100 ºC é
R
L
A
R
 = 
 
 R = 
 · 10 · 264
 · 10 )
 = 1,36 
-8
-6
ρ · ,
( ,
⇒
1 7
3 3
Ω
A rede elétrica da casa do Sr. Pedro é de 120 V 
e é protegida por um disjuntor (fusível) de 30 A. 
Com a chegada do inverno, ele resolveu trocar 
seu chuveiro de 2.400 W por outro, de 3.200 W, 
para melhor aquecimento da água. O Sr. Pe-
dro observou que, ao ligar o novo chuveiro, o 
disjuntor desligava interrompendo a corrente 
elétrica, caso a televisão de 160 W estivesse li-
gada. Isso não acontecia com a televisão desli-
gada. Sabe-se que, no horário do banho, estão 
em funcionamento: uma geladeira de 120 W e 
quatro lâmpadas de 60 W cada. Diante do fato, 
o Sr. Pedro concluiu que:
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
26
Física
a. em hipótese alguma, um televisor e um 
chuveiro podem ser ligados simultanea-
mente.
b. a televisão interfere no funcionamento 
do chuveiro, provocando um aumento 
na tensão da rede elétrica e isso provo-
ca o desligamento do disjuntor.
c. com a televisão ligada, a intensidade 
da corrente elétrica é superior a 30 A, 
fazendo com que o disjuntor desligue o 
circuito. 
d. a soma das potências de todos os dispo-
sitivos elétricos ligados simultaneamente 
deve ser, no máximo, igual a 3.500 W. 
e. o chuveiro deveria ser trocado por ou-
tro de 3.200 W e 220 V, pois, assim, se 
teria o aquecimento da água desejado 
sem ultrapassar o limite de 30 A do 
disjuntor.
Resolução
Como a rede elétrica é de 120 V e o disjun-
tor é de 30 A, a potência máxima permitida 
é de 120 · 30 = 3.600 W. Ligando-se simulta-
neamente 4 lâmpadas de 60 W cada, uma ge-
ladeira de 120 W, uma televisão de 160 W e 
um chuveiro de 3.200 W, temos uma potência 
total de:
Ptotal = 4 · 60 + 120 + 160 + 3.200 = 3.720 W
Esse valor é superior à potência máxima per-
mitida de 3.600 W. Com ele, teríamos uma in-
tensidade de corrente elétrica (i) igual a:
P = U · i ⇒ 3.720 = 120 · i ⇒ i = 31 A
Como o disjuntor suporta, no máximo, 30 A, 
ele desliga.
Portanto, a alternativa correta é c.
Com relação à alternativa e, se usarmos um 
chuveiro de 3.200 W e 220 V ligado a uma rede 
de 120 V, admitindo-se um resistor ôhmico, 
sua potência efetiva será de: 
U
P
U
P P
P W
ef ef
ef
1
2
2
2
2
2 2120 220
3 200
952
. .
.
( ) ( )
.
= ⇒ = ⇒ = 
Nesse caso, o aquecimento da água será in-
ferior ao chuveiro de 2.400 W originalmente 
instalado.
Resposta
C
7. Associação de resistoresEm trabalhos práticos, é frequente necessitar-
mos de um resistor cujo valor de resistência 
elétrica não dispomos no momento, ou que 
não seja fabricado pelas firmas especializadas. 
Nesses casos, a solução do problema é obtida 
através da associação de outros resistores com 
o objetivo de se obter o resistor desejado.
Podemos associar resistores das mais variadas 
formas; porém, daremos destaque especial 
para as associações em série, em paralelo e 
mista.
É importante observarmos que, qualquer que 
seja a associação efetuada, estaremos sempre 
interessados em obter o resistor equivalente, 
ou seja, obter um resistor único que, colocado 
entre os mesmos pontos A e B de uma asso-
ciação, fique sujeito à mesma ddp e seja per-
corrido por uma corrente de intensidade igual 
à da associação.
ABA B
U U
R2R1
R3
R4 RE
i i
No estudo das associações de resistores, e nos 
circuitos em geral, é importante o conceito de 
nó, que é o ponto de junção de três ou mais 
fios. Na figura acima, o ponto em destaque 
(negrito) na junção dos resistores R1, R2 e R3 
constitui um nó. O mesmo pode-se dizer do 
ponto junção dos resistores R2, R3 e R4.
8. Associação em série
Um conjunto de resistores é dito associado em 
série quando todos são percorridos pela mes-
ma corrente elétrica.
Para que tenhamos uma associação em série, 
é necessário que os resistores sejam ligados 
um em seguida ao outro, ou seja, não pode ha-
ver nó entre os resistores. A figura abaixo ilus-
tra uma associação em série de n resistores.
A B
R1 R2 R3 Rn
Para determinarmos o resistor equivalente da 
associação em série de n resistores, devemos 
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
27
Física
lembrar que a corrente elétrica é a mesma, 
tanto para o resistor equivalente quanto para 
os resistores associados, e que a ddp no resis-
tor equivalente é a soma das ddps em cada re-
sistor associado.
A B
R1 R2 R3 Rni i i i
U1 U2 U3 Un
 UAB
RE = R1 + R2 + ... Rn
A BRE
UAB
i
Sendo:
UAB = U1 + U2 +...+ Un
e sendo U = R · i
temos: RE· i = R1· i + R2· i +...+ Rn· i
ou seja:
O resistor equivalente de associação em série 
possui uma resistência elétrica igual à soma 
das resistências elétricas dos resistores as-
sociados e, consequentemente, esse valor é 
maior que o maior dos resistores que com-
põem a associação. 
Portanto, uma associação em série de resisto-
res apresenta as seguintes propriedades:
01. A corrente elétrica é a mesma em todos 
os resistores.
02. A ddp nos extremos da associação é 
igual à soma das ddps em cada resistor.
03. A resistência equivalente é igual à soma 
das resistências dos resistores associa-
dos.
04. O resistor associado que apresentar a 
maior resistência elétrica estará sujeito 
à maior ddp.
05. A potência dissipada é maior no resis-
tor de maior resistência elétrica.
06. A potência total consumida é a soma das 
potências consumidas em cada resistor.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Três resistores de resistências elétricas iguais 
a R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω e R3 = 10 Ω estão asso-
ciados em série e a ddp de 120 V é aplicada à 
associação. Determinar:
a. a resistência do resistor equivalente;
b. a corrente elétrica em cada resistor;
c. a ddp em cada resistor;
d. a potência total consumida pelos resis-
tores.
120 V
A B
R1 R2 R3
Resolução
a. RE = R1 + R2 + R3
 RE = 20 + 30 + 10 ⇒ RE = 60 Ω
b. U = RE · i ⇒ 120 = 60 · i ⇒ i = 2 A
 para todos os resistores.
c. U1 = R1 · i ⇒ U1 = 20 · 2 ⇒ U1 = 40 V
 U2 = R2 · i ⇒ U2 = 30 · 2 ⇒ U2 = 60 V
 U3 = R3 · i ⇒ U3 = 10 · 2 ⇒ U3 = 20 V
d. PT = P1+ P2+ P3
 PT = U1 · i + U2 · i + U3 · i
 PT = (40 + 60 + 20) · 2 ⇒ PT = 240 W
2 A 2 A 2 A 2 A 2 A
(80 W) (120 W) (40 W) (240 W)
120 V
20 30 10 60 A B BA
40 V 60 V 20 V 120 V
Ω ΩΩ Ω
02. 
Uma lâmpada de 1,8 W foi fabricada para fun-
cionar sob ddp de 6 V. Um estudante dispõe 
de uma bateria de 9 V e alguns resistores. As-
sociando um dos resistores com a lâmpada, 
ele consegue fazê-la funcionar em condições 
normais.
a. Como foi associado o resistor à lâmpa-
da e qual o valor da resistência do resis-
tor utilizado?
b. Qual é a potência do resistor e qual é 
a potência total consumida na associa-
ção?
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
28
Física
Resolução
a. Como a ddp na lâmpada é menor do que a 
ddp da bateria, é preciso associar um resistor 
em série com a lâmpada para que ela funcio-
ne normalmente. A figura mostra a associação 
feita pelo estudante.
L
R
9 V
6 V
A intensidade de corrente elétrica na lâmpa-
da funcionando em condições normais é dada 
por:
P = U · i ⇒ 1,8 = 6 · i ⇒ i = 0,3 A
Com base na figura, temos que no resistor R a 
ddp é 3 V e a intensidade de corrente é 0,3 A. 
Portanto, o valor da resistência R do resistor é 
dada por:
UR = R · i ⇒ 3 = R · 0,3 ⇒								R	=	10	Ω
b. A potência dissipada no resistor é dada por:
P = R · i² ⇒ P = 10 · (0,3)² ⇒ P = 0,9 W
E a potência total consumida na associação é:
Pt = PR + PL ⇒ Pt = 0,9 + 1,8 ⇒ Pt = 2,7 W 
9. Associação em paralelo
Um conjunto de resistores quaisquer é dito associado em paralelo quando cada resistor tiver os 
seus terminais ligados em dois nós distintos, por exemplo, um em A e outro B, conforme a figura 
abaixo.
R1
R2
R3
Rn
A BA B
nó nó
↓ ↓
↙↘
terminais
Isso implica que todos os resistores estão submetidos à mesma diferença de potencial e que a 
corrente elétrica total é a soma da corrente que percorre cada resistor.
R1
R2
R3
Rn
A A B B
i1i1
i2
i3
in
U
A B
i
U
RE
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
29
Física
Para determinarmos o valor da resistência 
equivalente, devemos usar a definição:
iT = i1 + i2 +...+ in ⇒ i
U
R
=
temos: U
R
U
R
U
R
U
RE n
= + + +
1 2
...
ou seja: 1 1 1 1
1 2R R R R1 2R R1 2E n1 2E n1 2R RE nR R R RE nR R1 2R R1 2E n1 2R R1 2
= += + + +...+ +...+ +
ou, de modo geral: 1 1
R RE
= Σ
O resistor equivalente apresenta uma resis-
tência elétrica cujo inverso é igual à soma dos 
inversos das resistências dos resistores que 
compõem a associação e, consequentemente, 
a resistência do resistor equivalente é menor 
que a menor das resistências associadas.
R
R
nE
=
Casos	parti	culares
01. No caso dos n resistores apresentarem 
a mesma resistência, ou seja, R1 = R2 = 
... = Rn = R, o resistor equivalente terá 
uma resistência dada por:
02. Se a associação é composta de apenas 
dois resistores, R1 e R2 , o resistor equi-
valente é dado por:
1 1 1 1
1 2
1 2
1 2R R R R
R R
R RE E
= + ⇒ =
+
· 
 ou
R
R R
R RE
=
R R+R R
1 2R R1 2R R
1 2R R1 2R RR R+R R1 2R R+R R
R R· R RR R1 2R R· R R1 2R R
Ou seja, a resistência equivalente é dada pelo 
produto dividido pela soma das resistências 
dos resistores associados.
Portanto, uma associação em paralelo apre-
senta as seguintes propriedades:
01. a ddp é a mesma para todos os resis-
tores;
02. a corrente elétrica total da associação é 
a soma das correntes elétricas em cada 
resistor;
03. o inverso da resistência equivalente é 
igual à soma dos inversos das resistên-
cias associadas;
04. a corrente elétrica é inversamente pro-
porcional à resistência elétrica, ou seja, 
na maior resistência passa a menor cor-
rente elétrica;
05. a potência elétrica é inversamente pro-
porcional à resistência elétrica, portan-
to, no maior resistor temos a menor 
dissipação de energia;
06. a potência total consumida é a soma 
das potências consumidas em cada re-
sistor.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Três resistores de resistências elétricas iguais 
a R1 = 60 Ω, R2 = 30 Ω e R3 = 20 Ω estão asso-
ciados em paralelo. Sendo a ddp da associaçãoigual a 120 V, determine:
a. a resistência do resistor equivalente à 
associação;
b. a corrente elétrica em cada resistor;
c. a potência total dissipada pela associa-
ção.
120 V
A B
R3
R2
R1
Resolução
1 1 1 1
1 1
60
1
30
1
20
1 1 2 3
60
10
1 2 3R R R R
R R
R
E
E E
E
= + +
= + + ⇒ =
+ +
=
( )
 Ω
a.
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
30
Física
b. Em paralelo, a ddp é a mesma em todos os 
resistores:
i
U
R
i
i
U
R
i
i
U
R
i
1
1
1
2
2
2
3
3
3
120
60
2
120
30
4
120
20
6
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
Α
Α
Α
c. PT = P1 + P2 + P3 
PT = U · i1 + U · i2 + U · i3
PT = 120 · (2 + 4 + 6) ⇒ PT = 1.440 W
120 V
A A B B
6 A
2A
(240 W)
(480 W)
(720 W)
12 A 4 A 12 A
60 Ω
30 Ω
20 Ω
≡
A B
12 A (1.440 W)
10 Ω
120 V
9.1. Rede elétrica residencial
A energia elétrica produzida nas usinas chega até as cidades por meio de cabos de alta tensão. 
Por meio de transformadores, essa ddp é reduzida e distribuída para as residências. Em boa parte 
das residências, a rede elétrica é constituída de dois fios. Alguns equipamentos elétricos, como o 
chuveiro elétrico, são ligados diretamente à rede elétrica, e outros ligados em tomadas elétricas 
distribuídas pelos vários cômodos da casa, todos associados em paralelo.
Atualmente, as tomadas elétricas são constituídas de três pinos que correspondem aos fios fase, 
neutro e terra. O fio fase é o fio energizado, que conduz a corrente elétrica; o fio neutro é o fio 
de retorno da corrente elétrica do fio fase. Ambos têm como função “extrair” a energia elétrica 
da rede de distribuição. O fio terra tem por finalidade prevenir choques e possíveis danos aos 
equipamentos elétricos. Uma das extremidades do fio terra é ligada a terra e a outra extremidade 
é ligada à estrutura metálica dos equipamentos elétricos.
Tomada elétrica padrão 3 pinos
O disjuntor (fusível) deve ser colocado no fio fase. Assim, quando desligamos o disjuntor, toda 
a rede que está ligada nele ficará completamente sem energia e, nessas condições, uma pessoa 
poderá efetuar qualquer reparo na instalação sem qualquer risco de choque elétrico.
©
6 
N
ay
lo
r O
liv
ei
ra
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
31
Física
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
A figura seguinte ilustra parte de uma rede 
elétrica residencial constituída por dois fios: 
fio fase (120 V) e fio neutro (0 V). 
Tômada
Lâmpada
Chuveiro
Fio fase (120 V)
Fio neutro (0 V)
Considere que o chuveiro seja de 2.300 W, a 
lâmpada de 100 W e que na tomada seja liga-
do um ferro de passar roupa de 1.200 W. Su-
pondo todos em funcionamento simultâneo, 
determine:
a. a potência total consumida pelos três 
equipamentos;
b. a intensidade de corrente elétrica em 
cada um deles.
Resolução
a. A potência total consumida é a soma das 
potências consumidas em cada equipamento. 
Assim:
Pt = PF + PL + PC ⇒ Pt = 1.200 + 100 + 2.300 
Pt = 3.600 W
b. Como os três equipamentos estão ligados 
em paralelo à rede elétrica, a ddp em cada um 
deles é de 120 V. Portanto, a intensidade de 
corrente elétrica em cada um é:
•	 PF = U · iF ⇒ 1.200 = 120 · iF ⇒ iF ≅ 10 A
•	 PL = U · iL ⇒ 100 = 120 · iL ⇒ iL ≅ 0,83 A
•	 PC = U · iC ⇒ 2.300 = 120 · iC ⇒ iC ≅ 19,2 A
10. Associação mista
Denominamos associação mista de resis tores toda associação que pode ser reduzida à associação 
em série e em paralelo.
A R1 B
R2
R3
R4
Para calcularmos o resistor equivalente a uma associação mista, devemos resolver as associações 
singulares (série ou paralelo) que estão evidentes e, a seguir, simplificar o circuito até obter um 
único resistor.
Exemplo: determinar a resistência equivalente da associação mista dada na figura a seguir.
1 Ω
3 Ω6 Ω
12 Ω 2 Ω
A
B
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
32
Física
Para resolver essa associação, devemos proce-
der do seguinte modo:
01. Identificamos e nomeamos todos os 
nós da associação, tomando o cuida-
do para denominar com a mesma letra 
aqueles nós que estiverem ligados por 
um fio sem resistência elétrica, pois 
representam pontos que estão no mes-
mo potencial elétrico. Dessa forma, 
percebemos os resistores associados 
em série e/ou os resistores associados 
em paralelo.
1 Ω
3 Ω6 Ω
2 Ω12 Ω
(fio sem
resistência
elétrica
SérieB C
A A
Nó
Nó
02. Lançamos numa mesma reta: os ter-
minais da associação, que ocuparão os 
extremos, e os nós encontrados, que 
ficarão entre estes.
A BC
Em seguida, redesenhamos os resistores nessa 
reta, já substituindo aqueles em série ou em 
paralelo pelos respectivos resistores equiva-
lentes, tomando cuidado para fazê-lo nos ter-
minais (letras) corretos.
6 Ω
6 Ω
12 Ω BCA
Paralelo
6 Ω
BCA
Deixou de
ser nó
6 · 12
6 + 12
= 4 Ω 
03. Prosseguimos dessa forma até chegar a 
um único resistor, que é o resistor equi-
valente da associação.
10 Ω6 Ω4 Ω
A AB B
11. Curto-circuito
Geralmente o termo curto-circuito é utilizado 
para explicar problemas na rede elétrica, prin-
cipalmente àqueles associados a incêndios. De 
fato, um incêndio pode até ser provocado por 
um curto-circuito, mas não é a regra geral. Um 
curto-circuito pode, em determinadas situa-
ções, resolver o problema de funcionamento 
de um aparelho elétrico, ou ainda, eliminar o 
aparelho do circuito elétrico.
Na Física, o conceito de curto-circuito é bem 
específico. Dizemos que um elemento de um 
circuito está em curto-circuito quando ele está 
sujeito a uma diferença de potencial nula.
Observe a figura seguinte.
+
1,5 V
_
L2
B
A
UAB = Rfio · ifio
Logo, UAB ≈ 0
≈ 0
L1
L2
 A lâmpada L2 está em curto-circuito, pois 
ela está ligada nos terminais A e B, que apre-
sentam ddp nula, em razão de os pontos A e 
B estarem ligados por um fio ideal. Portanto, 
não passa corrente elétrica pela lâmpada L2; 
ela está apagada, pois a corrente elétrica, ao 
chegar ao ponto A, passa totalmente pelo fio 
ideal (sem resistência elétrica). Nessas condi-
ções, o circuito dado pode ser representado 
pela figura a seguir.
+
_
1,5 V
L1
PV
-1
3-
11
Eletrodinâmica
33
Física
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
A figura representa uma associação mista de 
resistores, cujas resistências elétricas estão in-
dicadas.
A 2 Ω 5 Ω
1 Ω 6 Ω
3 Ω
B
a. Explique se há algum resistor em curto- 
-circuito.
b. Determine a resistência equivalente 
entre os pontos A e B.
Resolução 
Determinemos os nós:
A B2 Ω 5 Ω
1 Ω 6 Ω
3 Ω
A B
a. Os resistores de 1 Ω e 5 Ω têm nos seus ter-
minais as mesmas letras (AA e BB, respectiva-
mente), portanto estão em curto--circuito e 
podem ser retirados do circuito sem que nada 
se altere.
b. Os resistores de 2 Ω, 3 Ω e 6 Ω têm seus 
ter minais ligados aos mesmos nós (A e B), logo 
estão em paralelo e podemos representá-los 
assim:
A B3 Ω
6 Ω
2 Ω
A resistência equivalente é dada por:
1 1 1 1 1 1
2
1
3
1
6
1 3 2 1
6
6
6
1
1 2 3R R
R
R R
e e
e
e e
= + + ⇒ = + +
=
+ +
⇒ = ⇒ =
R R R
 Ω
Eletrodinâmica
PV
-1
3-
11
34
Física
 CAPÍTULO 03 GERADORES ELÉTRICOS
1. Introdução
Todos os equipamentos elétricos, como lâmpadas, aquecedores, computador, geladeira, televi-
são, entre outros, necessitam de uma fonte de energia para o seu funcionamento. Essa fonte de 
energia é chamada de gerador elétrico. 
Em um gerador elétrico, uma forma qualquer de energia, menos a elétrica, é transformada, em 
parte, em energia elétrica e o restante é dissipada (perdida), conforme mostra o esquema.
Energia
não elétrica
(total)
Energia
elétrica
(útil)
Energia
dissipada
(perdas)
GeradorConforme o tipo de energia não elétrica a ser transformada em elétrica, podemos classificar os 
geradores em:
•	 mecânicos (usinas hidrelétricas)
•	 térmicos (usinas térmicas)
•	 nucleares (usinas nucleares)
•	 químicos (pilhas e baterias)
•	 fotovoltaicos (bateria solar)
•	 eólicos (energia dos ventos)
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Usina nuclear de Angra dos Reis, no Rio de Janeiro Bateria de 9 V
É importante salientar que o gerador não gera carga elétrica, mas somente fornece a essa carga 
a energia elétrica obtida a partir de outras formas de energia.
PV
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3-
11
Eletrodinâmica
35
Física
2. Força eletromotriz (ε) e 
resistência interna (r)
Quando um gerador elétrico, como uma pilha 
comum, é colocado em funcionamento, os 
portadores de carga elétrica, ao atravessarem 
a pilha, ganham energia potencial elétrica. A 
quantidade de energia potencial elétrica total 
por unidade de carga elétrica que uma pilha 
(gerador) consegue produzir é denominada 
força eletromotriz (ε) do gerador:
ε =
E
q
T
∆
No Sistema Internacional, a unidade da força 
eletromotriz (fem) é joule/coulomb = volt (V).
Conforme indicado na pilha, a força 
eletromotriz é 1,5 V. Isso indica que, para 
cada unidade de carga elétrica (1 C) que 
a atravessa, 1,5 J de energia química é 
transformado em energia elétrica.
Quando um gerador está ligado num circuito, 
as cargas elétricas que o atravessam deslo-
cam-se para o polo (terminal) onde chegarão 
com maior energia elétrica do que possuíam 
no polo (terminal) de entrada.
Acontece que, durante essa travessia, as car-
gas “chocam-se” com partículas existentes no 
gerador, perdendo parte dessa energia sob a 
forma de calor, por efeito Joule, como num re-
sistor.
A essa resistência à passagem das cargas pelo 
gerador damos o nome de “resistência interna 
(r)” do gerador.
Na figura seguinte, temos a representação 
esquemática de um gerador elétrico de força 
eletromotriz ε e resistência interna r, quando 
em funcionamento, ou seja, percorrido por 
uma corrente elétrica i.
r ε
U
i
A B– +
Observe que (+) e (–) representam os polos 
positivo e negativo do gerador e que, interna-
mente ao gerador, a corrente elétrica e vai do 
polo negativo para o polo positivo.
3. Equação de um gerador
Na figura anterior, está subentendido que um 
bipolo elétrico qualquer está ligado aos termi-
nais A e B do gerador, pois há uma corrente 
elétrica estabelecida no circuito. Na figura 
seguinte, temos o esquema completo do cir-
cuito, supondo que o bipolo seja representado 
por um resistor.
r ε– +
i
i
A
R
B
Observe que, externamente ao gerador, a cor-
rente elétrica vai do polo positivo para o polo 
negativo.
Em termos de energia, a energia elétrica útil 
que o gerador consegue fornecer para o circui-
to constituído pelo bipolo ao qual ele é ligado 
é dada pela diferença entre a energia elétrica 
total e a energia dissipada, ou seja:
 
Lembrando que a potência representa a 
quantidade de energia por unidade de tempo 
P
E
t
=
 ∆ , a expressão acima pode ser descrita 
como:
Nessa expressão, temos:
•	 PU – potência útil, dada pelo produto da 
ddp (U) nos extremos do gerador com a 
intensidade de corrente elétrica:
 E E U = ET – ED 
PU = PT – PD
PU = UAB · i 
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Ba
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ck
Eletrodinâmica
PV
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Física
•	 PT – potência total, dada pelo produto 
da força eletromotriz do gerador (ε) 
com a intensidade de corrente elétrica: 
 
•	 PD – potência dissipada, dada pelo pro-
duto da resistência interna do gerador 
(r) com o quadrado da intensidade de 
corrente elétrica: 
 
Substituindo na expressão que relaciona as 
três potências, temos:
 UAB· i = ε · i – r · i² 
Simplificando essa expressão, obtemos a 
equação do gerador:
 
 (gerador real)
Nessa expressão, U representa a diferença de 
potencial nos extremos do gerador. 
Em algumas situações, o gerador é considera-
do ideal. Nesses casos, a resistência interna do 
gerador é nula (r = 0). Assim, no gerador ideal, 
a ddp em seus extremos é igual à força eletro-
motriz (ε):
 
 (gerador ideal)
4.	 Curva	característi	ca	de	um	gerador
Com base na equação do gerador (U = ε – r · i), 
podemos traçar um gráfico em coordenadas 
cartesianas, com os valores da ddp U no eixo 
vertical e valores da intensidade de corrente 
elétrica i no eixo horizontal. Como a função 
U = f(i) é uma função linear, o gráfico corres-
pondente é uma reta, conforme mostrado na 
figura.
 
 PT = ε · i 
 
 
PD = r · i²
 
 (gerador real)U = (gerador real)U = (gerador real)ε (gerador real)ε (gerador real) – r · i (gerador real) – r · i (gerador real) (gerador real)
 (gerador ideal) (gerador ideal)U = (gerador ideal) (gerador ideal)ε (gerador ideal) (gerador ideal)
ε
0
A
B
U
Gerador em circuito aberto
Gerador em 
curto-circuito
i
icc = r
ε
Curva característica de um gerador elétrico
Observe no gráfico que:
•	 o ponto A, no qual U = ε, corresponde 
ao gerador em circuito aberto, ou seja, 
i = 0;
•	 o ponto B, no qual U = 0, corresponde 
ao gerador em curto-circuito, ou seja, 
os polos do gerador são ligados exter-
namente por um fio sem resistência, 
conforme mostra a figura
r ε iccA B
icc
Lâmpada apagada
por falta de ddp
Fio de 
resistência 
desprezível
•	 A intensidade de corrente elétrica de 
curto-circuito é dada por:
U = ε – r · i ⇒ 0 = ε – r · icc ⇒ i rcc
=
ε
5. Rendimento de um gerador
O rendimento elétrico de um gerador é o quo-
ciente entre a potência elétrica (útil) PU e a po-
tência não elétrica (total) PT.
η = P
P
uPuP
TPTP
 
 ou η ε
=
U i
i
 
 
·
· ⇒ 
η
ε
=
U
em	que	0	<	ƞ	<	1
Em	porcentagem,	fica:	ƞ%	=	ƞ	·	100%
PV
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Eletrodinâmica
37
Física
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Um gerador de fem ε = 9,0 V e resistência in-
terna	r	=	1,0	Ω	está	em	funcionamento	e	a	in-
tensidade de corrente elétrica que o atravessa 
é 2,0 A.
Nessas condições, determine:
a. a ddp nos extremos do gerador;
b. as potências total, útil e dissipada.
Resolução
a. Na equação do gerador, obtemos a ddp nos 
extremos do gerador: