TOMO_AULA_04_Reconstrucao

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Reconstrução de 
Imagens
Prof. Dr. Charlie Antoni Miquelin
Princípios Básicos
ALGORITMOS!
Conjunto de instruções para gerar um resultado a partir de uma entrada específica.!
Em tomografia computadorizada quase todas as instruções são operações 
matemáticas.!
TRANSFORMADA DE FOURIER!
A transformada de Fourier é uma ferramenta analítica muito utilizada em 
matemática, astronomia, química, física e medicina (imagens).!
A compreensão de seu funcionamento tem analogia com a audição.!
Ela pode ser descrita como sendo uma função que descreve a amplitude e as fases 
de senóides, as quais correspondem a uma freqüência específica. !
Esta função converte um conjunto de dados do domínio espacial para o domínio de 
frequências.!
A transformada de Fourier divide um sinal em uma série de funções de senos e 
cossenos de diferentes freqüências e amplitudes.
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Princípios Básicos
O perfil de atenuação em Tomografia Computadorizada pode ser colocado em 
termos de uma função f(x) que por sua vez pode ser expressa em forma de uma 
Série de Fourier:
f (x) = a0
2
+ (a1 ⋅cos x + b1 ⋅sin x)+ (a2 ⋅cos2x + b2 ⋅sin2x)+ ...+ (an ⋅cosnx + bn ⋅sinnx)
CONVOLUÇÃO!
Técnica para modificar imagens através de filtros. Tais filtros são muitas vezes 
chamados de kernel.!
O processo envolve a multiplicação de porções sobrepostas do filtro e a curva de 
resposta do detetor de maneira seletiva para produzir uma terceira função, que é 
utilizada para a reconstrução das imagens.!
INTERPOLAÇÃO!
É usada principalmente na reconstrução de imagens obtidas por equipamentos 
helicoidais.!
Técnica matemática para estimar valores de uma função a partir de outros valores 
conhecidos desta função.
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Reconstrução a partir de projeções
Radon em 1917 desenvolveu soluções 
matemática para a construção de imagens a 
partir de projeções em problemas 
gravitacionais.!
A aplicação na medicina só veio em 1961 na 
reconstrução de imagens em Medicina 
Nuclear.!
As primeiras imagens de Hounsfield eram 
ruidosas devido ao método de reconstrução. 
Posteriormente outros métodos foram 
empregados, tendo sido desenvolvidos por 
Ramachandran e Lakshiminarayanan (1971) 
e posteriormente usados por Sheep e Logan 
(1974) para melhorar a qualidade da imagem 
e o tempo de aquisição.
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O Problema em TC
Considere um objeto O em 
coordenadas x e y e que os 
coeficientes de atenuação estão 
distribuídos no plano (x,y) sendo 
dados por !(x,y).!
Um feixe tipo lápis dai de Io e chega 
em I formando uma linha reta, 
chamada de raio.!
A projeção é dada pela integral de 
linha de !(x,y): 
I = I0e
− μ (x,y)
fonte
detetor∑⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
Tomando o logaritmo negativo a 
equação anterior pode ser linearizada, 
onde Tθ(x) é a transmissão no ângulo 
θ, o qual é a medida da absorção total 
ao longo da linha reta na figura ao 
lado.
ln I0
I
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = µ(x, y)fonte
detector
∑
Tθ (x) = ln
I
I0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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O Problema em TC
Tθ(x) é a chamado também de soma 
de raio, que é a integral de !(x,y) ao 
longo do raio.!
O problema computacional em TC é 
encontrar os valores de !(x,y) das 
somas dos raios para uma número 
suficientemente grande de feixes de 
localizações conhecidas que passem 
através do objeto O. A geometria de 
aquisição assegura que cada ponto do 
objeto seja irradiado sucessivamente 
por um grande conjunto de somas de 
raio Tθ(x).!
Um conjunto de somas de raio é 
chamada de projeção ou perfil, como 
visto na figura ao lado, os quais são 
gerados a cada irradiação do sistema 
de aquisição de dados. O raio AA’ é 
igual a x·cosθ+ y·senθ = d . Neste 
caso a projeção é então dada por: P(θ ,d) = f (x, y)ds
A
A'
∫
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Algoritmos de Reconstrução
Os algoritmos utilizados para 
calcular os coeficientes de 
atenuação de uma amostra de 
dados. A seguir abordaremos os 
Algoritmos de Reconstrução mais 
conhecidos.!
RETRO-PROJEÇÃO!
Também é conhecido como 
método somatório ou método de 
superposição linear. É o mais 
s imples dos métodos de 
reconstrução.!
Foi utilizado primeiramente por 
Oldendorf (1961) e Kuhl e 
Edwards (1963).!
É um método no qual cada 
projeção obtida é somada as 
demais em função de seu centro de 
aquisição.
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Algoritmos de Reconstrução
Considere quatro feixes de raios X passando através de um objeto e produzindo quatro 
diferentes projeções P1, P2, P3 e P4.!
O problema envolve o uso destes perfis para reconstruir a imagem do objeto 
desconhecido (buraco) na caixa.!
As projeções são linearmente retroprojetadas em função da direção central em que 
forma geradas produzindo as imagens BP1, BP2, BP3, BP4.!
A reconstrução por retroprojeção envolve o somatório destas imagens retroprojetadas 
para formar uma imagem do objeto original.!
Esta técnica não produz imagens com boa definição e detalhamento das estruturas das 
imagens e por isto não é usado em equipamentos de TC de uso clínico.!
O artefato de padrão de estrela é sempre visível na imagem final neste tipo de 
reconstrução, isto por que pontos fora do objeto recebem a mesma intensidade 
retroprojetada que o próprio objeto.!
A retroprojeção também pode ser explicada por meio de uma matriz 2 x 2.
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Algoritmos de Reconstrução
A partir desta matriz quatro 
equações são geradas para quatro 
variáveis desconhecidas, μ1, μ2, μ3, 
e μ4.
I1 = I0e
−(µ1+µ2 )⋅x
I2 = I0e
−(µ3+µ4 )⋅x
I3 = I0e
−(µ1+µ3 )⋅x
I4 = I0e
−(µ2+µ4 )⋅x
Estas equações podem ser 
resolvidas fac i lmente por 
computadores.!
Um exemplo numérico também 
pode ajudar a entender os cálculos 
envolvidos.!
Quatro projeções são coletadas em 
quatro diferentes localizações: 0, 
45, 90 e 135o.
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