Lista de exercicios Alocacao

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Lista de exercícios - Alocação
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. 
Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 
1 – Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.200 unidades por dia. A disponibilidade do couro permite fabricar 900 bolsas de ambos os modelos por dia. As bolsas empregam metais decorativos diferentes, cuja disponibilidade diária é de 300 para B1 e 500 para B2. Os lucros unitários são de R$3 para B1 e R$4 para B2. Qual o programa ótimo para a produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 
RESPOSTA:
x1 = quantidade a produzir de B1 
x2 = quantidade a produzir de B2 
Max. Lucro = 3x1 + 4x2 
Sujeito à:
2x1 + x2 ≤ 1.200 		(restrição quanto à quantidade máxima de produção por dia) 
x1 + x2 ≤ 900 		(restrição quanto à quantidade de couro por dia) 
x1 ≤ 300 			(restrição quanto à quantidade de fivelas p/ M1) 
x2 ≤ 500 			(restrição quanto à quantidade de fivelas p/ M2) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
2 – Uma fabrica produz dois tipos de produto: A e B. Cada modelo A requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento, cada modelo B requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 3 cortadoras e 2 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e que cada modelo A dá um lucro de R$3 e cada modelo B R$4 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser o modelo de produção da fábrica que maximiza o lucro.
RESPOSTA:
x1 = quantidade a produzir do modelo A 
x2 = quantidade a produzir do modelo B 
Max. Lucro = 3x1 + 4x2 
Sujeito à:
4x1 + 2x2 ≤ 120 		(restrição quanto à horas de corte) 
2x1 + 5x2 ≤ 80 		(restrição quanto à horas de polimento) 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
3 – Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preços de venda são, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas. 
RESPOSTA:
A = quantidade a produzir da moldura A 
B = quantidade a produzir da moldura B 
Max. Lucro = 110A + 65B 
Sujeito à:
2A + B ≤ 7 		(restrição quanto à quantidade e madeira) 
5A + 7B ≤ 30 		(restrição quanto à horas de trabalho) 
A ≥ 0, B ≥ 0
4 – Uma fábrica de computadores produz dois modelos de computador: C1 e C2. O modelo C1 fornece um lucro de R$180,00 e C2 um lucro de R$300,00. O modelo C1 requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo C2 requer um gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro?
RESPOSTA:
C1 = quantidade a produzir do computador C1 
C2 = quantidade a produzir do computador C2 
Max. Lucro = 180C1 + 300C2 
Sujeito à:
C1 ≤ 60 			(restrição quanto à quantidade de gabinetes pequenos) 
C2 ≤ 50 			(restrição quanto à quantidade de gabinetes grandes) 
C1 + 2C2 ≤ 120 		(restrição quanto à quantidade de unidades de disco) 
C1 ≥ 0, C2 ≥ 0 
5 – Um fundo de investimentos tem até R$300.000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que forneça bonificações de 12%. A empresa N não é diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. Para este investimento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições: 
a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00; 
b) O investimento na empresa não-diversificada pode atingir R$150.000,00; 
c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00. 
Pede-se: Qual é o esquema de investimento que maximiza o lucro? 
RESPOSTA:
D = quantidade a investir nas ações da empresa D 
N = quantidade a investir nas ações da empresa N 
Max. Lucro = 0,12D + 0,2N
Sujeito à:
D + N ≤ 300.000 			(restrição quanto total de investimentos) 
D ≤ 270.000 			(restrição quanto ao investimento na empresa diversificada) 
N ≤ 150.000 			(restrição quanto ao investimento na empresa não-diversificada) 
0,4D + N ≤ 180.000 		(restrição quanto ao investimento em cerveja) 
0,6D ≤ 180.000 			(restrição quanto ao investimento em refrigerante) 
D ≥ 0, N ≥ 0 
6 – Uma empresa no ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40m3 de pinho e 80m3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada dá um lucro de R$0,70 por m2. Para produzir uma mistura comerciável de 1m3 de madeira serrada são requeridos 1m3 de pinho e 3m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada são requeridos 3m3 de pinho e 5m3 de canela. 
Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m3 de madeira serrada e 900m2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro de tal forma a usar o máximo possível do estoque de matéria-prima e produzir, no mínimo, o compromisso contratual? 
RESPOSTA:
S = quantidade a produzir de madeira do tipo serrada 
C = quantidade a produzir de madeira do tipo compensado 
Max. Lucro = 5S + 0,7C 
Sujeito à:
S + 0,03C ≤ 40 		(restrição quanto à quantidade de pinho) 
3S + 0,05C ≤ 80 		(restrição quanto à quantidade de canela) 
S ≥ 5 			(compromisso de venda de madeira serrada) 
C ≥ 900 			(compromisso de venda de madeira tipo compensado) 
7 – Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adolescentes e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30,00, enquanto o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Qual o modelo do sistema de produção que maximiza o lucro?
RESPOSTA:
A = quantidade a produzir do jogo A 
B = quantidade a produzir do jogo B 
Max. Lucro = 30A + 40B 
Sujeito à:
3A + 5B ≤ 50 		(restrição quanto à quantidade de horas de trabalho) 
A ≥ 0, B ≥ 0
8 – Uma empresa após um processo de racionalização de produção ficou com disponibilidade de três recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2, R$150 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de usos dos recursos:
	Produto
	Recurso R1 por unidade
	Recurso R2 por unidade
	Recurso R3 por unidade
	P1
	2
	3
	5
	P2
	4
	2
	3
	Disponibilidade de
recursos por mês
	100
	90
	120
Construa o modelo de produção mensal do sistema. 
RESPOSTA:
x1 = quantidade a produzir de P1 
x2 = quantidade a produzir de P2 
Max. Lucro = 120x1 + 150x2 
Sujeito à:
2x1 + 4x2 ≤ 100 		(restrição quanto à disponibilidade do recurso R1) 
3x1 + 2x2 ≤ 90 		(restrição quanto à disponibilidade do recurso R2) 
5x1 + 3x2 ≤ 120 		(restrição quanto à disponibilidade do recurso R3) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
9 – A empresa MR Móveis fabrica móveis para escritório e oferece a uma cadeia de lojas três produtos: mesa para computador, estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. O vendedor da MR Móveis fecha um pedido de 1.000 mesas, 800 estantes e 1.200 cadeiras, com prazo de entrega de 45 dias. Um estudo do departamento de produção já tem estimado a necessidade de mão de obra, madeira e componentes metálicos para a fabricação dos três itens e a disponibilidade desses recursosno período de produção:
	
	Mesa
	Estante
	Cadeira
	Disponibilidade de
recursos no período
	Quantidade a fabricar
	1.000
	800
	1.200
	
	Mão de obra (horas/unidade)
	3
	4
	2
	7.600 horas
	Madeira (m2/unidade)
	3
	5
	0,5
	7.000 m2
	Componentes metálicos (kg/unidade)
	0,5
	1
	2
	4.000 kg
A MR Móveis pode repassar seus projetos a outro fabricante e encontrar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Após consulta, chegou-se no quadro: 
	
	Mesa
	Estante
	Cadeira
	Custo da fabricação própria (R$)
	100
	130
	90
	Custo da fabricação por terceiros (R$)
	120
	150
	115
O problema consiste, agora, em determinar as quantias que a MR Móveis deverá produzir e comprar de cada item, para minimizar o custo total desse pedido. Construa o modelo. 
RESPOSTA:
xm , xe , xc = quantidades a fabricar de mesas, estantes e cadeiras 
ym , ye , yc = quantidades a comprar de mesas, estantes e cadeiras 
Min. custo = 100xm + 130xe + 90 xc + 120ym + 150ye ,+ 115yc
Sujeito à:
xm + ym ≥ 1.000 					(quantidade a fabricar e comprar de mesas) 
xe + ye ≥ 800 					(quantidade a fabricar e comprar de estantes) 
xc + yc ≥ 1.200 					(quantidade a fabricar e comprar de cadeiras) 
3xm + 4xe + 2xc ≤ 7.600 				(restrição quanto à disponibilidade de mão de obra) 
3xm + 5xe + 0,5xc ≤ 7.000 				(restrição quanto à disponibilidade de madeira) 
0,5xm + xe + 2xc ≤ 4.000 				(restrição quanto à disponibilidade de comp. metálicos) 
xm ≥ 0, xe ≥0, xc ≥ 0, ym ≥ 0, ye ≥ 0, yc ≥ 0 
10 – Uma determinada empresa fabrica 2 produtos A1 e A2. O lucro por unidade de A1 é de R$90 e o lucro unitário de A2 é de R$110. A empresa necessita de 1 hora para fabricar uma unidade de A1 e 2 horas para fabricar 1 unidade de A2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 80 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levam a empresa a decidir que os montantes produzidos de A1 e A2 não devem ultrapassar 30 unidades de A1 e 20 unidades de A2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro desta empresa. 
RESPOSTA:
x1 = quantidade a produzir de A1 
x2 = quantidade a produzir de A2 
Max. Lucro = 90x1 + 110x2 
Sujeito à:
1x1 + 2x2 ≤ 80 		(restrição quanto à disponibilidade de horas)
x1 ≤ 30 			(restrição quanto à demanda de A1) 
x2 ≤ 20 			(restrição quanto à demanda de A2) 
x1 ≥ 0 
x2 ≥ 0 
11 – Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. O modelo C1, mais completo, requer o triplo de tempo de fabricação em relação ao modelo C2. Se todos os computadores fossem do modelo C2 a empresa poderia produzir 3.000 unidades por dia. A disponibilidade dos produtos eletrônicos permite fabricar 1.800 computadores de ambos os modelos por dia. Os computadores empregam diferentes tipos de processadores, cuja disponibilidade diária é de 1.900 para C1 e 1.500 para C2. Os lucros unitários são de R$1.000 para C1 e R$800 para C2. Qual o programa ótimo para a produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito.
RESPOSTA:
x1 = quantidade a produzir de C1 
x2 = quantidade a produzir de C2 
Max. Lucro = 1.000x1 + 800x2 
Sujeito à:
3x1 + x2 ≤ 3.000 (restrição quanto à quantidade máxima de produção por dia) 
x1 + x2 ≤ 1.800 (restrição quanto à quantidade de produtos eletrônicos por dia) 
x1 ≤ 1.900 (restrição quanto à quantidade de processadores p/ C1) 
x2 ≤ 1.500 (restrição quanto à quantidade de processadores p/ C2) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Lista de exercícios – Dosagem
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. 
Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula.
1 – Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros. 
A liga deve ter a seguinte composição final:
	Matéria-prima
	% mínima
	% máxima
	Ferro
	10
	25
	Carvão
	8
	25
	Silício
	10
	30
	Níquel
	3
	10
Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro - R$0,40; carvão- R$0,30; silício - R$0,15; níquel - R$0,55. Qual deverá ser a composição da mistura com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.
RESPOSTA:
x1 = quantidade de ferro puro na mistura 
x2 = quantidade de carvão puro na mistura 
x3 = quantidade de silício puro na mistura 
x4 = quantidade de níquel puro na mistura 
Min. Custo = 0,40x1 + 0,30x2 + 0,15x3 + 0,55x4 
Sujeito à: 
x1 ≥ 0,10 			(restrição quanto à quantidade mínima de ferro) 
x1 ≤ 0,25 			(restrição quanto à quantidade máxima de ferro) 
x2 ≥ 0,08 			(restrição quanto à quantidade mínima de carvão) 
x2 ≤ 0,25 			(restrição quanto à quantidade máxima de carvão) 
x3 ≥ 0,10 			(restrição quanto à quantidade mínima de silício) 
x3 ≤ 0,30 			(restrição quanto à quantidade máxima de silício) 
x4 ≥ 0,03 			(restrição quanto à quantidade mínima de níquel) 
x4 ≤ 0,10 			(restrição quanto à quantidade máxima de níquel) 
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 		(restrição quanto à composição a produzir) 
x1, x2, x3 e x4 ≥ 0 
2 – Uma fábrica de ração para animais possui em estoque 3 misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova ração que apresente quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. O quadro abaixo apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e seu custo, além das quantidades mínimas exigidas na nova ração.
	Ingrediente
	Por kg
	Exigência mínima (em kg)
por saco de 30kg
	
	Mistura 1
	Mistura 2
	Mistura 3
	
	1
	25
	20
	32
	5
	2
	20
	30
	18
	6
	Custo/kg (R$)
	0,30
	0,25
	0,28
	
O problema consiste em determinar a composição do saco de 30kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo.
RESPOSTA:
x1 = quantidade da mistura 1 na nova ração 
x2 = quantidade da mistura 2 na nova ração 
x3 = quantidade da mistura 3 na nova ração 
Min. Custo = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,28x3 
Sujeito à: 
x1 + x2 + x3 = 30 			(restrição quanto à quantidade total a produzir na mistura) 
0,25x1 + 0,20x2 + 0,32x3 ≥ 5 	(restrição quanto à quantidade mínima do ingrediente 1) 
0,20x1 + 0,30x2 + 0,18x3 ≥ 6 	(restrição quanto à quantidade mínima do ingrediente 2) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 
3 – Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
Material Recuperado 1 – Composição: ferro - 60%; carvão - 20%; silício - 20%. Custo por kg: R$0,20. 
Material Recuperado 2 – Composição: ferro - 70%; carvão: 20%; silício - 5%; níquel - 5%. Custo por kg: R$0,25. 
A liga deve ter a seguinte composição final:
	Matéria-prima
	% mínima
	% máxima
	Ferro
	60
	65
	Carvão
	15
	20
	Silício
	15
	20
	Níquel
	5
	8
Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro - R$0,30; carvão - R$0,20; silício - R$0,28; níquel - R$0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos de materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.
RESPOSTA:
x1 = quantidade de MR1 na mistura 
x2 = quantidade de MR2 na mistura 
x3 = quantidade de ferro puro na mistura 
x4 = quantidade de carvão puro na mistura 
x5 = quantidade de silício puro na mistura 
x6 = quantidade de níquel puro na mistura 
Min. Custo = 0,20x1 + 0,25x2 + 0,30x3 + 0,20x4 + 0,28x5 + 0,50x6 
Sujeito à: 
0,6x1 + 0,7x2 + x3 ≥ 0,60 		(restrição quanto à quantidade mínima de ferro) 
0,6x1 + 0,7x2 + x3 ≤ 0,65 		(restrição quanto à quantidade máxima de ferro) 
0,2x1 + 0,2x2 + x4 ≥ 0,15 		(restrição quanto à quantidade mínima de carvão) 
0,2x1 + 0,2x2 + x4 ≤ 0,20 		(restrição quanto à quantidade máxima de carvão) 
0,2x1 + 0,05x2 + x5 ≥ 0,15 		(restrição quanto à quantidade mínima de silício) 
0,2x1 + 0,05x2 + x5 ≤ 0,20 		(restrição quanto à quantidade máxima de silício) 
0,05x2 + x6 ≥ 0,05 		(restrição quanto à quantidade mínima de níquel) 
0,05x2 + x6 ≤ 0,08 		(restrição quanto à quantidade máxima de níquel) 
x1+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 	(restrição quanto à composição a produzir) 
x1, x2, x3, x4, x5 e x6 ≥ 0 
4 – Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidratos e custa R$2,00. Um kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa R$3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo? 
RESPOSTA:
x1 = quantidade do produto A a consumir 
x2 = quantidade do produto B a consumir 
Min. Custo = 2x1 + 3x2 
Sujeito à: 
3x1 + 6x2 ≥ 15 		(restrição quanto à quantidade mínima de proteínas a ingerir) 
10x1 + 5x2 ≥ 20 		(restrição quanto à quantidade mínima de carboidratos a ingerir) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
5 – Uma empresa siderúrgica produz um tipo de aço a partir de aço puro misturado com “ligas metálicas” e recebeu um pedido de uma peça de 400kg. Sabe-se que o custo por quilo de aço puro é de R$5,00 e o das ligas, R$3,00 e que os estoques são de 400kg e 800kg, respectivamente. Na carga do forno para a produção da liga desejada, a relação de adições para aço puro deve estar entre 25% e 35%. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? 
RESPOSTA:
x1 = quantidade de aço puro na mistura 
x2 = quantidade do adições metálicas na mistura 
Min. Custo = 5x1 + 3x2 
Sujeito à: 
x1 + x2= 400 		(restrição quanto ao peso total da peça a produzir) 
x1 ≥ 100 			(restrição quanto à quantidade mínima de aço puro na mistura de 400kg) 
x1 ≤ 140 			(restrição quanto à quantidade máxima de aço puro na mistura de 400kg) 
x1 ≤ 400 			(restrição quanto à disponibilidade máxima de aço puro) 
x2 ≤ 800 			(restrição quanto à disponibilidade máxima de adições metálicas) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
6 – Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e óleo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana, um estoque mínimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o esquema de produção de custo mínimo?
	
	Petróleo A
	Petróleo B
	Estoque mínimo
	Gas. Comum
	10%
	60%
	200 Barris
	Gas. Especial
	20%
	30%
	50 Barris
	Óleo Diesel
	70%
	10%
	100 Barris
	Disponibilidade
	200 Barris
	300 Barris
	
	Custo
	R$ 10,00
	R$ 15,00
	
RESPOSTA:
x1 = quantidade do petróleo A na mistura 
x2 = quantidade do petróleo B na mistura 
Min. Custo = 10x1 + 15x2 
Sujeito à: 
0,10x1 + 0,60x2 ≥ 200 		(restrição quanto ao estoque mínimo de gasolina comum) 
0,20x1 + 0,30x2 ≥ 50 		(restrição quanto ao estoque mínimo de gasolina especial) 
0,70x1 + 0,10x2 ≥ 100 		(restrição quanto ao estoque mínimo de óleo diesel) 
x1 ≤ 200 				(restrição quanto à disponibilidade máxima de petróleo A) 
x2 ≤ 300 				(restrição quanto à disponibilidade máxima de petróleo B) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
7 – Um açougue prepara almôndegas misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contém 80% de carne e 20% de gordura e custa R$0,80 o kg; a carne de porco contém 68% de carne e 32 % de gordura e custa R$0,60 o kg. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco o açougue deve utilizar por kg de almôndega se o objetivo é minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25%? Construa o modelo. 
RESPOSTA:
x1 = quantidade de carne bovina na mistura 
x2 = quantidade de carne de porco na mistura 
Min. Custo = 0,8x1 + 0,6x2 
Sujeito à: 
x1 + x2 = 1 			(restrição quanto à composição a produzir num total de 1kg) 
0,2x1 + 0,32x2 ≤ 0,25 		(restrição quanto à quantidade máxima de gordura) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
8 – Uma empresa de mineração deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhões de toneladas por ano do minério Sinter Feed e, para tanto, conta com os seguintes minérios (a tabela abaixo mostra a composição percentual e o custo por tonelada de cada minério): 
	
	M1
	M2
	Fe
	66%
	64%
	Si
	1,5%
	3,7%
	Custo
	R$5,60
	R$3,30
O minério a ser produzido por este blending deve conter no mínimo 65% de Ferro e no máximo 3% de Silício. Qual é o blending a custo mínimo?
RESPOSTA:
x1 = quantidade do minério M1 na mistura 
x2 = quantidade do minério M2 na mistura 
Min. Custo = 5,60x1 + 3,30x2 
Sujeito à: 
x1 + x2 = 4.000.000 			(restrição quanto à quantidade total a produzir em toneladas por ano) 
0,66x1 + 0,64x2 ≥ 2.600.000 		(restrição quanto à quantidade mínima de ferro na mistura total) 
0,015x1 + 0,037x2 ≤ 120.000 		(restrição quanto à quantidade máxima de silício na mistura total) 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Lista de exercícios - Transporte
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. 
Obs. Seguir o roteiro proposto em aula.
1 – Analise a figura a seguir:
A Cia. de Produtos Vegetais – CPV possui duas fábricas que abastecem três depósitos. As fábricas têm um nível máximo de produção baseado nas suas dimensões e nas safras previstas. Os custos em R$/t estão anotados em cada rota (ligação entre as fábricas e depósitos). José de Almeida, estudante de Administração, foi contratado pelo Departamento de Logística com a finalidade de atender a demanda dos depósitos sem exceder a capacidade das fábricas, minimizando o custo total do transporte. 
a) Construa o modelo.
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar de F1 para D1 
x12 = quantidade a transportar de F1 para D2 
x13 = quantidade a transportar de F1 para D3 
x21 = quantidade a transportar de F2 para D1 
x22 = quantidade a transportar de F2 para D2 
x23 = quantidade a transportar de F2 para D3 
Min. Custo = 5x11 + 4x12 + 6x13 + 4x21 + 3x22 + 5x23 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 ≤ 2500 			(restrição quanto a produção de F1) 
x21 + x22 + x23 ≤ 1000 			(restrição quanto a produção de F2) 
x11 + x21 = 1000 				(restrição quanto capacidade de D1) 
x12 + x22 = 1500 				(restrição quanto capacidade de D2) 
x13 + x23 = 500 				(restrição quanto capacidade de D3) 
x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0 
b) Em sua decisão José de Almeida considerou as seguintes situações: 
 
I - 1.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 1. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 1; 
II - 2.500 unidades devem ser transportadas da Fábrica 1 para os Depósitos 1 e 2. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 2; 
III - 1.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 2. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 1. 
Apresenta(m) o(s) menor(es) custo(s) apenas a(s) situação(ões): 
(A) I 		(B) II 		(C) III 		(D) I e III 	 (E) II e III
RESPOSTA:
I – x21 = 1000, x12 = 1500, x13 = 500. 			Custo = 4x1000 + 4x1500 + 6x500 = 13000 
II - x11 = 1000, x12 = 1500, x23 = 500. 			Custo = 5x1000 + 4x1500 + 5x500 = 13500 
III – x22 = 1000, x12 = 500 x11 = 1000, x13 = 500. 		Custo = 3x1000 +4x500+ 5x1000 + 6x500 = 13000 
Resposta correta: as situações I e III apresentam menor custo. Letra: D 
2 – Uma empresa tem duas fábricas para produzir determinado produto a ser depois transportado para três centros de distribuição. As fábricas 1 e 2 produzem, respectivamente, 100 e 50 carregamentos por mês. Os centros de distribuição 1, 2 e 3 necessitam receber, respectivamente, 80, 30 e 40 carregamentos por mês. Os custos de transporte, por carregamento, são dados no seguinte quadro: 
	
	C1
	C2
	C3
	Fábrica 1
	7
	4
	3
	Fábrica 2
	3
	1
	2
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 1 
x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 2 
x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 3 
x21 = quantidade a transportar da Fabrica2 para o Centro de Distribuição 1 
x22 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuição 2 
x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuição 3 
Min. Custo = 7x11 + 4x12 + 3x13 + 3x21 + 1x22 + 2x23 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 ≤ 100 		(restrição quanto à quantidade de carregamentos da fábrica 1 por mês) 
x21 + x22 + x23 ≤ 50 		(restrição quanto à quantidade de carregamentos da fábrica 2 por mês) 
x11 + x21 = 80 			(restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do centro de distribuição 1) 
x12 + x22 = 30			(restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do centro de distribuição 2) 
x13 + x23 = 40 			(restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do centro de distribuição 3) 
x11, x12, x13, x21, x22 e x23≥ 0 
3 – Uma empresa tem atualmente 8 toneladas de arroz num armazém A1, 10 toneladas num armazém A2 e 11 toneladas num armazém A3 necessitando satisfazer as seguintes demandas mínimas de três clientes C1, C2 e C3:
	Cliente
	Quantidade (toneladas)
	C1
	15
	C2
	17
	C3
	5
Os custos de transporte (em mil R$) são os seguintes:
	
	C1
	C2
	C3
	A1
	8
	6
	4
	A2
	16
	14
	15
	A3
	5
	10
	8
Apresente o modelo para minimização do custo de transporte.
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 1 
x12 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 2 
x13 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 3 
x21 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 1 
x22 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 2 
x23 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 3 
x31 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 1 
x32 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 2 
x33 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 3 
Min. Custo = 8x11 + 6x12 + 4x13 + 16x21 + 14x22 + 15x23 + 5x31 + 10x32 + 8x33 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 ≤ 8 		(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 1) 
x21 + x22 + x23 ≤ 10 	(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 2) 
x31 + x32 + x33 ≤ 11 	(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 3) 
x11 + x21 + x31 ≥ 15	(restrição quanto à demanda do cliente 1) 
x12 + x22 + x32 ≥ 17 	(restrição quanto à demanda do cliente 2) 
x13 + x23 + x33 ≥ 5 		(restrição quanto à demanda do cliente 3) 
x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32 e x33 ≥ 0 
4 – A General Ford produz veículos em L.A. e Detroit, possui um ponto de transbordo em Atlanta e entrega os veículos produzidos em Houston e Tampa. O custo de enviar veículos entre pontos é dado na tabela abaixo:
	De:
	Para:
	
	Atlanta
	Houston
	Tampa
	L.A
	140
	-
	-
	Detroit
	105
	-
	-
	Atlanta
	-
	121
	119
A fábrica de L.A. pode produzir até 1.100 veículos por mês e a fábrica de Detroit pode produzir até 2.900 veículos por mês. Houston deve receber no mínimo 2.400 veículos por mês e Tampa deve receber no mínimo 1.300 veículos por mês. Formule o problema buscando minimizar o custo total de transporte dos veículos. 
RESPOSTA:
x1 = quantidade a transportar de L.A para o transbordo em Atlanta 
x2 = quantidade a transportar de Detroit para o transbordo em Atlanta 
x31 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Houston 
x32 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Tampa 
Min. Custo = 140x1 + 105x2 + 121x31 + 119x32
Sujeito à: 
x1 ≤ 1100 		(restrição quanto à quantidade a transportar da fábrica de L.A – produção máxima da fábrica) 
x2 ≤ 2900 		(restrição quanto à quantidade a transportar da fábrica de Detroit – produção máxima da fábrica) 
x1 + x2 ≥ 3700 		(restrição quanto à demanda mínima de Houston e Tampa) 
x31 ≥ 2400 		(restrição quanto à quantidade mínima a transportar do transbordo de Atlanta para Houston) 
x32 ≥ 1300 		(restrição quanto à quantidade mínima a transportar do transbordo de Atlanta para Tampa) 
x1, x2, x31 e x32 ≥ 0
5 – Três armazéns abastecem cinco pontos de venda. O quadro abaixo mostra os custos de distribuição, a capacidade dos armazéns e as necessidades nos pontos de venda. Determine o modelo a fim de minimizar os custos de transporte.
	
	P1
	P2
	P3
	P4
	P5
	Capacidade
	Armazém 1
	16
	14
	12
	12
	16
	170
	Armazém 2
	12
	4
	14
	8
	8
	60
	Armazém 3
	8
	6
	4
	14
	10
	90
	Necessidade mínima
	23
	69
	76
	70
	82
	
	Necessidade máxima
	27
	79
	80
	81
	90
	
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 1 
x12 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 2 
x13 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 3 
x14 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 4 
x15 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 5 
x21 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 1 
x22 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 2 
x23 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 3 
x24 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 4 
x25 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 5 
x31 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 1 
x32 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 2 
x33 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 3 
x34 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 4 
x35 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 5 
Min. Custo = 16x11 + 14x12 + 12x13 + 12x14 + 16x15 + 12x21 + 4x22 + 14x23 + 8x24 + 8x25 + 8x31 + 6x32 + 4x33 + 14x34 + 10x35 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 170 		(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 1) 
x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 60 		(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 2) 
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 90 		(restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 3) 
x11 + x21 + x31 ≥ 23 			(restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 1) 
x11 + x21 + x31 ≤ 27 			(restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 1) 
x12 + x22 + x32 ≥ 69 			(restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 2) 
x12 + x22 + x32 ≤ 79 			(restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 2) 
x13 + x23 + x33 ≥ 76 			(restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 3) 
x13 + x23 + x33 ≤ 80 			(restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 3) 
x14 + x24 + x34 ≥ 70 			(restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 4) 
x14 + x24 + x34 ≤ 81 			(restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 4) 
x15 + x25 + x35 ≥ 82 			(restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 5) 
x15 + x25 + x35 ≤ 90 			(restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 5) 
x11, x12, x13, x14, x15, x21, x22, x23, x24, x25, x31, x32, x33, x34 e x35 ≥ 0
6 – Uma empresa deve programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais são enviados a partir de três fábricas para quatro armazéns localizados em pontos estratégicos do mercado. Levando em conta o tipo de transporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distâncias entre as fábricas e os armazéns, os custos são diferenciados para cada combinação fábrica/armazém, como mostrado na matriz abaixo: 
	Fábricas
	Armazéns
	Capacidade
	
	A
	B
	C
	D
	
	1
	8
	14
	14
	2
	200
	2
	24
	6
	16
	16
	400
	3
	16
	20
	32
	10
	300
	Demanda
	160
	180
	240
	320
	
Determinar o modelo matemático para o envio dos produtos de cada fábrica para cada armazém de modo a minimizar o custo do transporte.
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém A 
x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém B 
x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém C 
x14 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém D 
x21 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém A 
x22 = quantidadea transportar da Fabrica 2 para o Armazém B 
x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém C 
x24 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém D 
x31 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém A 
x32 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém B 
x33 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém C 
x34 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém D 
Min. Custo = 8x11 + 14x12 + 14x13 + 2x14 + 24x21 + 6x22 + 16x23 + 16x24+ 16x31 + 20x32 + 32x33 + 10x34 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 200 		(restrição quanto à capacidade da fábrica 1) 
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 400 		(restrição quanto à capacidade da fábrica 2) 
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 300 		(restrição quanto à capacidade da fábrica 3) 
x11 + x21 + x31 = 160 		(restrição quanto à demanda do armazém A) 
x12 + x22 + x32 = 180 		(restrição quanto à demanda do armazém B) 
x13 + x23 + x33 = 240 		(restrição quanto à demanda do armazém C) 
x14 + x24 + x34 = 320 		(restrição quanto à demanda do armazém D) 
x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33 e x34 ≥ 0
7 – Determinar o carregamento da rede (modelo) de transporte que minimiza o custo total:
RESPOSTA:
x11 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 1 
x12 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 2 
x13 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 3 
x21 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 1 
x22 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 2 
x23 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 3 
Min. Custo = 10x11 + 3x12 + 5x13 + 17x21 + 7x22 + 9x23 
Sujeito à: 
x11 + x12 + x13 ≤ 15 		(restrição quanto à capacidade de fornecimento da Fonte 1) 
x21 + x22 + x23 ≤ 25 		(restrição quanto à capacidade de fornecimento da Fonte 2) 
x11 + x21 = 20 			(restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 1) 
x12 + x22 = 10 			(restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 2) 
x13 + x23 = 10 			(restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 3) 
x11, x12, x13, x21, x22 e x23≥ 0
Lista de exercícios – Pesquisa Operacional
1 – Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de 3 produtos. A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no mercado.
	Tipo de
Máquina
	Produto A
	Produto B
	Produto C
	Tempo Disponível
(horas por semana)
	Torno
	5
	3
	5
	400
	Fresa
	8
	4
	0
	500
	Furadeira
	2
	5
	3
	300
	Lucro
	20
	15
	18
	
	Demanda
Semanal
	40
	50
	20
	
Pede-se o esquema de produção de lucro máximo.
2 – Uma fábrica de rádios tinha o desafio de maximizar o lucro global diário obtido de duas linhas de produção que comportam 56 operários, sendo que a fábrica possui apenas 40. As linhas de produção são Rádios Luxo e Rádios Standard. A Linha Rádios Standard comporta 32 pessoas e cada rádio consome 1 homem/dia, fornecendo um lucro de R$30,00/un. A linha Rádios Luxo comporta 24 pessoas e cada rádio consome 2 homens/dia, fornecendo um lucro de R$40,00/un. Defina as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
3 – Para a fabricação de cada unidade dos produtos A, B, C e D, são utilizadas, em kg, as seguintes matérias-primas:
	Matéria - Prima
	Produto
	
	A
	B
	C
	D
	Madeira
	2
	1
	3
	
	Plástico
	
	4
	1
	
	Aço
	1
	
	3
	2
	Vidro
	
	
	2
	1
	Tinta
	
	1
	2
	1
Os estoques das matérias-primas, em toneladas, conforme lista acima, são, respectivamente: 1000, 2000, 800, 1000, 1500. Os lucros unitários dos produtos, conforme lista acima, são respectivamente: R$20,00, R$30,00, R$25,00 e R$15,00. Objetiva-se esquematizar a produção para obter lucro máximo. Defina as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
4 – Uma fábrica de móveis tem como dois dos seus principais produtos mesas de madeira e mesas metálicas. As mesas de madeira proporcionam um lucro de $ 12,00 por unidade, já as mesas metálicas determinam um lucro de $ 10,00 por unidade. A fabricação de uma mesa de madeira requer 15 minutos da operação A, 30 minutos da operação B e 20 minutos da operação C. Já a produção de uma mesa metálica exige 30 minutos da operação A e 15 minutos da operação C. A empresa dispõe de 40 horas semanais para a operação A, 30 horas semanais para a operação B e 20 horas semanais para a operação C. Para garantir a venda de toda a sua produção, a empresa firmou um contrato de exclusividade com um distribuidor. O mesmo exige que a produção mínima semanal seja de 15 mesas de madeira e 20 mesas metálicas. Além disto, em função da demanda diferenciada pelos dois tipos de produtos, o distribuidor exige que a relação entre as mesas de madeira e metálicas seja no mínimo de 1:3, ou seja, para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas no máximo 3 mesas metálicas. 
Formule o modelo de Programação Linear que representa o problema acima, com objetivo de maximizar o lucro semanal da fábrica de móveis.
5 – Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponível de queijo é de 5 quilogramas por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita?
6 – A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A.
7 – A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fábrica: espessuras fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Aluminâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fabrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fabricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
8 – Uma fábrica de lenço de papel produz quatro tipos de produto: A, B, C e D. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. Os lucros unitários (caixa com 1.000 unidades) de cada produto são, respectivamente, R$10,00, R$15,00, R$18,00 e R$20,00. O quadro abaixo identifica o tempo necessário para operação (em minutos para cada 1.000 unidades) em cada seção da fábrica,bem como a quantidade de máquinas disponíveis. Considere uma jornada de 480 minutos.
	Seção
	A
	B
	C
	D
	Quantidade de
Máquinas
	Corte
	5
	12
	15
	18
	4
	Dobra
	10
	15
	20
	25
	5
	Empacotamento
	15
	22
	22
	25
	3
9 – Um fabricante de brinquedos deseja programar a produção de um determinado brinquedo para atender a seguinte demanda:
Outubro: 1.200 unidades 
Novembro: 3.600 unidades 
Dezembro: 2.400 unidades 
A capacidade normal de produção é de 1.920 unidades. Usando horas-extras, obtém-se uma capacidade adicional de 1.320 unidades/mês. O custo de produção normal unitário é de R$ 480,00. Fora do turno normal o custo é de R$ 620,00/unidade. O custo mensal de armazenagem é de R$ 120,00/unidade.
Supondo que não exista estoque inicial, e que o fabricante não deseje estoque final em dezembro, formule um modelo de programação linear (apresentando-o) para determinar quanto produzir em cada um dos três meses, no turno normal e no extra, de maneira a minimizar o custo total.
10 – Uma estamparia pode fabricar pias de aço inoxidável e/ou saladeiras do mesmo material. Para isto, utiliza com matéria-prima chapas de aço de um tamanho único, padronizado. Com cada chapa pode-se estampar uma pia e duas saladeiras ou então seis saladeiras. As sobras são economicamente inaproveitáveis. No processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de 8 minutos, enquanto que as chapas utilizadas para produzir apenas saladeiras requerem um tempo de processamento de 12 minutos. A empresa possui duas máquinas de estampar com uma disponibilidade de 40 horas semanais cada uma. O preço de venda de cada pia é de $ 80 e de cada saladeira de $ 30. Cada chapa de aço inoxidável custa $ 80. Os demais custos não dependem da decisão. Sabe-se por experiência passada que não se consegue vender mais do que 4 saladeiras para cada pia vendida. A empresa possui um total de 500 chapas de aço inoxidável para a produção semanal e deseja saber quanto deve produzir de cada artigo para obter o maior lucro possível no período.
11 – Uma fábrica de rádios produz os modelos A, B e C, que fornecem lucros de 16, 30 e 50 reais por unidade, respectivamente. As exigências de produção mínima semanal são (em dúzias): 2, 10 e 5, respectivamente. Cada tipo de rádio requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a montagem e para a embalagem. A tabela a seguir mostra estas necessidades de tempo (em horas) para lotes de 12 unidades (que são a quantidade mínima de fabricação):
	Rádio
	Fabricação
	Montagem
	Embalagem
	A
	3
	4
	1
	B
	3,5
	5
	1,5
	C
	5
	8
	3
	Disponibilidade
	120
	160
	48
A tabela mostra, ainda, a disponibilidade em horas de cada setor da fábrica. Pergunta-se qual a programação da produção de maior lucro.
12 – Uma fábrica de cadeiras produz quatro modelos, usando a carpintaria e a seção de acabamento. As necessidades de homens/hora de cada produto na carpintaria são as seguintes, respectivamente: 4, 9, 7 e 10 e, na seção de acabamento, 1, 1, 3 e 40. Os lucros unitários fornecidos por produto são, respectivamente, R$12,00, R$20,00, R$18,00 e R$40,00. A fábrica possui 20 operários na carpintaria e 30 na seção de acabamento, trabalhando 8 horas por dia e 25 dias por mês. Supondo-se que não há restrições de demanda de produto, pergunta-se qual o esquema mensal de produção capaz de maximizar o lucro da fábrica.
13 – Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites metálicos a partir de chapas, cada um dos quais deve ser cortado, dobrado e furado. As necessidades específicas de tempo de trabalho (em minutos por 1.000 unidades) de cada um dos produtos são as seguintes:
	Modelo
	Cortar
	Dobrar
	Furar
	A
	3
	2
	1
	B
	2
	1
	3
	C
	2
	2
	1
	D
	4
	1
	3
A empresa dispõe, numa base diária, de 2880 minutos de tempo de corte, 2400 minutos de tempo de dobra e 2400 horas de tempo de furar. Os lucros unitários (1.000 unidades) sobre os produtos são, respectivamente, R$6,00, R$4,00, R$6,00 e R$8,00. Pede-se o esquema de produção que maximiza o lucro.
14 – Um fazendeiro dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho, trigo ou soja. Cada hectare de milho envolve custos de R$2.000,00 para preparação do terreno, 20 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$600,00. Um hectare de trigo envolve custos de R$2.400,00 para preparação, requer 30 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$800,00. Finalmente, um hectare de soja envolve gastos de R$1.400,00, 24 homens/dia e um lucro de R$400,00. O fazendeiro dispõe de R$800.000,00 para cobrir os custos de preparação do terreno e pode contar também com 8.000 homens/dia de trabalho. Qual deve ser a alocação da terra para os vários tipos de cultura de maneira a maximizar os lucros?
15 – Uma fábrica de bebidas produz 3 tipos de rum: Popular, Standard e Especial, os quais passam por 3 processos dentro da empresa e cujos tempos vemos abaixo (em horas por caixa de bebida):
	Bebida
	Esterilização
	Engarrafamento
	Embalagem
	Popular
	3
	2
	1
	Standard
	4
	3
	3
	Especial
	4
	4
	7
16 – Uma grande empresa de mineração tem instalações em 3 estados distintos, identificados como Minerações A, B e C. Tais minerações devem atender a três usinas de beneficiamento e comercialização, localizadas nas cidades 1, 2 e 3. Os custos de transporte ($/ton) entre as minerações e as usinas de beneficiamento são conhecidos e apresentados na tabela a seguir, bem com as capacidades de produção (ton) de cada mineração e as demandas de comercialização (ton) das usinas de beneficiamento. 
	Minerações
	Usinas de beneficiamento de cobre
	Capacidade de Minerações
	
	Cidade 1
	Cidade 2
	Cidade 3
	
	A
	8
	5
	2
	3
	B
	5
	10
	4
	10
	C
	1,5
	3
	2
	2
	Demanda das usinas
	0,7
	1
	3
	
Por outro lado, também são conhecidos os custos de extração do minério nas minerações e de beneficiamento nas usinas, os quais estão apresentados na tabela abaixo:
	Minerações
	Custos extração
($/ton)
	Usinas de beneficiamento
	Custos de beneficiamento ($/ton)
	A
	50
	CIDADE 1
	70
	B
	40
	CIDADE 2
	65
	C
	35
	CIDADE 3
	60
Obviamente, a empresa deseja minimizar os custos totais (somatório dos custos de mineração, beneficiamento e transporte), atendendo às demandas do mercado, a partir das cidades com usinas de beneficiamento e de acordo com a capacidade das minerações. Deve-se observar que, tanto para o transporte como para a mineração e o beneficiamento, devem ser processadas, sempre, quantidades múltiplas de 1 tonelada. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
17 – Uma empresa tem fábricas nos locais I, II e III, que abastecem armazéns situados em A, B, C e D. As capacidades mensais das fábricas são de 1000, 2500 e 3000, respectivamente. As necessidades mensais mínimas dos armazéns são 1500, 2000, 1500 e 500, respectivamente. Os custos unitários de transporte são os seguintes:
	Origem
	Destino
	
	A
	B
	C
	D
	I
	5
	8
	6
	9
	II
	4
	2
	2
	1
	III
	3
	5
	4
	5
Busca-se o esquema de transporte de custo mínimo. Defina as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
18 – Considere uma metalúrgica que dispõe de tecnologia necessária para a extração de metais diversos a partir da sucata, fornecendo-os ao mercado. O programa de entrega aos clientes, para a próxima semana, é de 320 kg de cobre, 530 kg de estanho, 160 kg de chumbo e 1.500 kg de ferro. Os estoques, no início da próxima semana, serão de 50 kg de cobre, 30 kg de estanho e 1.700 kg de ferro. A quantidade estocada de chumbo, no início da próxima semana, será igual a zero. Os fornecedores A e B fornecem sucata com quantidades dos diversos metais conforme a tabela a seguir:
	Metal
	Sucata do Fornecedor (%)
	
	A
	B
	Cobre
	3
	9
	Estanho
	10
	10Chumbo
	16
	2
	Ferro
	40
	60
	Outros
	31
	19
O custo por tonelada (1.000 kg) de sucata é de $ 900,00 e de $ 750,00 para os fornecedores A e B, respectivamente. O fornecedor B informou que, para a próxima semana, disporá de, no máximo, 4 toneladas de sucata para entrega. O fornecedor A não impôs quaisquer restrições para a quantidade de sucata a ser entregue. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições, de modo a determinar a quantidade de sucata a ser comprada de cada fornecedor, a fim de cumprir o programa de entrega da próxima semana, minimizando o custo de aquisição de sucata. Considere que a empresa pretende produzir apenas o necessário para atender ao programa de entrega da próxima semana.
19 – Uma empresa tem fábricas nas cidades A, B e C, todas fabricando o mesmo tipo de painel de madeira para residências. Os produtos são atualmente distribuídos para as lojas das cidades 1, 2 e 3. A empresa está estudando a reestruturação de sua rota de distribuição em função da economicidade de despacho e transporte para as lojas. Neste sentido, a empresa fez um levantamento dos seus atuais custos de transporte das fábricas para as lojas, o que é apresentado abaixo.
	Fábricas
	Lojas
	
	Cidade 1
	Cidade 2
	Cidade 3
	Cidade A
	12
	14
	8
	Cidade B
	10
	10
	12
	Cidade C
	8
	12
	10
Por outro lado, as fábricas apresentam capacidades de produção diferenciadas, da mesma maneira que as lojas possuem demandas diferentes e específicas. Os dados de capacidade e demanda semanal são apresentados a seguir.
	Capacidade das Fábricas
	Cidade A
	60
	Cidade B
	52
	Cidade C
	40
	Demanda das Lojas
	Cidade 1
	50
	Cidade 2
	40
	Cidade 3
	35
Defina qual a melhor alternativa atual de despacho dos produtos para atender a demanda das lojas. 
Apresente a modelagem (definição das variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições).
20 – Os requerimentos unitários de uma ração para engorda de porcos são os indicados abaixo, por kg de ração: 
a) Proteína: no mínimo 0.14 kg 
b) Cálcio: no mínimo 5 g 
c) Fósforo: no mínimo 4 g 
d) Metionina: no mínimo 4,4 g 
e) Cistina: no mínimo 1,0 g 
Para alcançar estes valores específicos pode-se substituir até 50% do requerimento de Metionina por Cistina.
Esta quantidade de Cistina deve ser excedente ao seu requerimento mínimo. 
Além disso, deve-se obedecer para a quantidade de Cálcio e Fósforo uma relação de 1,5 a 2:1, ou seja, 1,5 a 2 partes de Cálcio para 1 parte de Fósforo. Os alimentos usados para fazer a ração, bem como os seus conteúdos de nutrientes e preços por quilo, são os seguintes:
	
	Milho
	Sorgo
	Farinha Soja
	Farinha Sangue
	Farinha Ossos
	Proteína (kg/kg)
	0,1
	0,09
	0,26
	0,93
	
	Metionina (g/kg
	10,0
	13,0
	20,0
	10,6
	
	Cistina (g/kg)
	1,5
	1,6
	6,5
	11,5
	
	Cálcio (g/kg)
	1,0
	0,3
	2,9
	0,7
	308,5
	Fósforo (g/kg)
	2,5
	3,0
	10,5
	11,2
	141,3
	Preço ($/kg)
	1,2
	0,96
	2,3
	4,3
	1,83
Objetiva-se determinar a composição de ração que ofereça o mínimo custo possível por quilo, atendendo as exigências colocadas acima. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
21 – Uma metalúrgica possui em seu estoque cinco diferentes tipos de ligas metálicas, com as composições:
	Componente
	Liga
	
	1
	2
	3
	4
	5
	Estanho (%)
	40
	30
	60
	10
	20
	Chumbo (%)
	40
	50
	30
	70
	50
	Zinco (%)
	20
	20
	10
	20
	30
Os custos, por tonelada, das ligas são, respectivamente, R$10,00, R$12,00, R$15,00, R$12,00 e R$14,00.
A empresa deseja fundir, a partir das ligas existentes, uma nova liga cuja composição deve ser de 45% de chumbo, 40% de estanho e 15% de zinco. O objetivo é determinar as proporções destas ligas que deveriam ser fundidas para produzir a nova liga a um custo mínimo. 
Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
22 – Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum, gasolina especial, óleo diesel e querosene. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana um estoque mínimo de produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? 
Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
	
	Petróleo A
	Petróleo B
	Petróleo C
	Estoque Mínimo
	Gasolina Comum
	10%
	40%
	10%
	100 barris
	Querosene
	10%
	20%
	20%
	50 barris
	Gasolina Especial
	20%
	30%
	60%
	50 barris
	Óleo
	60%
	10%
	10%
	100 barris
	Disponibilidade
	280 barris
	150 barris
	150 barris
	
	Custo
	R$ 20,00
	R$ 15,00
	R$ 30,00
	
23 – Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de cinco tipos de sucos naturais, que deve conter, em cada litro, pelo menos 20.000 unidades de vitamina C, 40.000 unidades de vitamina D e 900 unidades de potássio. Os dados são:
	Suco
	Vitamina C
	Vitamina D
	Potássio
	Custo por Litro
	Laranja
	20.000
	80.000
	500
	0,20
	Acerola
	5.000
	200.000
	400
	0,40
	Abacaxi
	10.000
	50.000
	100
	0,25
	Mamão
	5.000
	20.000
	2.000
	0,10
	Caju
	30.000
	30.000
	600
	0,20
Pergunta-se: qual é a mistura a custo mínimo que atende aos requisitos? 
Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
24 – Uma montadora de caminhões necessita distribuir a sua produção, que é feita em 3 fábricas diferentes, para 3 concessionárias localizadas em três grandes cidades. A configuração da malha rodoviária que liga as fábricas às concessionárias determina os custos de transportes apresentados na tabela abaixo.
	Fábricas
	Concessionárias
	
	C1
	C2
	C3
	F1
	8
	6
	10
	F2
	9
	12
	13
	F3
	14
	9
	15
Por outro lado, as fábricas apresentam capacidades de produção diferentes, da mesma maneira que as concessionárias apresentam necessidades distintas. Os dados de capacidade de produção por fábrica e de necessidade por concessionária estão colocados abaixo.
	Fábrica
	Produção Máxima
	Concessionária
	Demanda
	F1
	35
	C1
	55
	F2
	50
	C2
	35
	F3
	40
	C3
	35
A partir destes dados, defina qual a quantidade de caminhões que devem ser transportados de cada fábrica para cada concessionária, a fim de minimizar o custo envolvido nesta operação, obedecendo as restrições de produção e demanda. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições.
25 – A Renta Car está avaliando a distribuição dos seus carros de aluguel nas diversas cidades onde possui escritórios. A empresa aluga três tipos de carros: econômico, standard e luxo. O gerente de distribuição acredita que as cidades A, B e C possuem carros em excesso, assim caracterizados:
	CARROS EM EXCESSO
Cidades
	Econômico
	Standard
	Luxo
	A
	20
	10
	10
	B
	30
	20
	20
	C
	10
	5
	5
Entretanto, as cidades D, E, F e G possuem uma carência de carros, a qual está apresentada na tabela a seguir:
	CARROS EM FALTA
Cidades
	Econômico
	Standard
	Luxo
	D
	10
	5
	5
	E
	20
	5
	5
	F
	0
	10
	10
	G
	5
	20
	20
Em termos do eventual transporte dos carros excedente de uma cidade para outra, deve ser observado que uma cidade específica não pode fornecer mais de 20 carros, incluindo todos os modelos, para uma mesma cidade recebedora. 
Dado que os custos unitários de transporte, independentemente do tipo de carro transportado, das cidades A, B e C paraas cidades D, E, F e G são diferenciados, conforme a tabela a seguir, o gerente de distribuição não sabe como resolver esse problema de uma maneira ótima.
	Origem
	Destino
	
	A
	B
	C
	D
	100
	150
	200
	E
	300
	200
	100
	F
	200
	100
	150
	G
	100
	200
	150
Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima, indicando: variáveis de decisão, função objetivo e sistema de restrições, de modo a minimizar o custo do transporte dos carros.
26 – Uma metalúrgica deseja utilizar o máximo de estoque existente para maximizar o lucro de venda obtido através da fabricação de duas ligas de alumínio, partindo de 2 minérios, cujos estoques e custos são: 
Minério A: Custo = R$0,03 por kg e Estoque = 600 kg
Minério B: Custo = R$0,05 por kg e Estoque = 800 kg
Os minérios A e B possuem composição química conforme a tabela a seguir:
	Componente
	Minério A
	Minério B
	Silício (Si)
	15%
	10%
	Ferro (Fe)
	13%
	5%
	Alumínio (Al)
	72%
	85%
A liga A é vendida a R$ 0,08 por kg, e deve atender a especificações técnicas que limitam a quantidade dos elementos químicos, segundo a tabela:
	Componente
	Mínimo
	Máximo
	Si
	
	13%
	Fe
	
	10%
	Al
	80%
	
A liga B tem preço de venda R$ 0,07 por Kg e deve atender às seguintes especificações técnicas:
	Componente
	Mínimo
	Máximo
	Si
	
	14%
	Fe
	
	11%
	Al
	78%
	
Deseja-se usar ao máximo o estoque de matéria-prima para produzir ambas as ligas, maximizando o lucro. Determine as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
27 – Um fazendeiro deseja obter a composição da dieta alimentar para o gado de acordo com as necessidades diárias de nutrientes adequadas ao processo de engorda. Sabe-se que o gado deve consumir diariamente, pelo menos 0,4 kg de N1, 0,6 Kg de N2, 2 Kg de N3 e 1,7 kg de N4. 
As indústrias locais de ração fabricam dois produtos: A e B, os quais contêm as seguintes quantidades de nutrientes por quilo:
	Produto
	N1
	N2
	N3
	N4
	A
	100g
	
	100g
	200g
	B
	
	100g
	200g
	100g
O alimento A custa R$ 8,00 por quilo e o B R$ 3,20 /kg. Deseja-se obter as quantidades diárias de A e 
B a serem usadas por animal, de modo a se minimizar o custo com ração. 
Determine as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
28 – A Trambique S.A. possui 05 questões judiciais. A empresa solicitou uma cotação de preços para 3 advogados, os quais informaram os seguintes valores por caso:
	ADVOGADO
	CASO
	
	1
	2
	3
	4
	5
	A
	1000
	2000
	3000
	2000
	1000
	B
	2000
	2000
	2000
	2000
	2000
	C
	1500
	1500
	2000
	2000
	1500
Cada caso demandará um conjunto específico de horas, conforme demonstra a próxima tabela:
	CASO
	DEMANDA (EM HORAS)
	1
	200
	2
	300
	3
	200
	4
	400
	5
	300
Por sua vez, cada advogado possui um número finito de horas disponíveis:
	ADVOGADO
	DISPONIBILIDADE (EM HORAS)
	A
	700
	B
	500
	C
	600
Sendo que: 
- cada caso terá apenas um advogado alocado; 
- um determinado advogado não poderá tratar de mais de dois casos e 
- o advogado que tratar o caso 5 não poderá trabalhar no caso 1. 
A Trambique gostaria de selecionar os advogados de forma que o custo total de defesa seja minimizado. 
Formule a modelagem do problema para obter o custo mínimo, indicando as variáveis de decisão, a função objetivo e o sistema de restrições.
29 – O prefeito exige que cada região da cidade seja atendida por pelo menos um posto. Formule uma modelagem de programação inteira que determine os locais em que os postos policiais devem ser construídos de forma a minimizar os custos e atender às condições exigidas.
	LOCAL
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Região 1
	X
	X
	
	X
	X
	
	
	X
	X
	
	Região 2
	X
	
	X
	
	
	
	
	
	
	
	Região 3
	
	X
	
	
	X
	
	X
	
	
	X
	Região 4
	
	
	X
	
	
	X
	
	X
	
	
	Região 5
	X
	X
	
	X
	
	X
	X
	
	X
	X
	CUSTO
	3 mil
	5 mil
	1 mil
	2 mil
	1 mil
	4 mil
	3 mil
	1 mil
	2 mil
	2 mil
30 – A Super Tech SA está planejando seus gastos com Pesquisa e Desenvolvimento para o próximo ano. A empresa selecionou quatro alternativas de projetos e deve escolher quais priorizar. Os dados do problema encontram-se na tabela a seguir:
	Projeto
	Valor presente (em mil R$)
	CAPITAL REQUERIDO (em mil R$)
	
	
	ANO 1
	ANO 2
	ANO 3
	ANO 4
	ANO 5
	1
	100,05
	70
	15
	0
	20
	20
	2
	170,90
	80
	20
	25
	15
	10
	3
	130,14
	90
	30
	0
	40
	20
	4
	147,30
	50
	20
	80
	0
	20
	CAPITAL DISPONÍVEL
	150
	80
	90
	100
	70
31 – Três navios serão carregados no porto de Tubarão com minério de ferro. O terminal de minério tem 4 berços, cada um deles com um shiploader de capacidade diferente. Devido às diferenças nas capacidades dos navios e dos shiploaders, há diferentes tempos de carregamento, dependendo das combinações entre navios e berços (conforme a tabela). Formule a modelagem de modo que o tempo total de carregamento dos navios seja mínimo.
	TEMPO EM HORAS
	NAVIO
	
	A
	B
	C
	BERÇO
	1
	7
	11
	9
	
	2
	6
	10
	15
	
	3
	12
	16
	14
	
	4
	14
	8
	5