PESQUISA OPERACIONAL (modelagem)

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PESQUISA OPERACIONAL 1 – LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se por 
experiência que: A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a 
piscina que pode ser expresso em um custo médio de 03 (três) reais por seção de treinamento 
de duas horas. O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 02(dois) reais pelo mesmo 
tempo de prática. O orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. Seus 
afazeres de aluno de graduação na universidade lhe dão liberdade de empregar, no máximo, 18 
horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. Cada seção de natação consome 1.500 
calorias, enquanto cada etapa ciclística dispende 1.000 calorias. Considerando que o rapaz 
goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu treinamento de 
forma a maximizar o número de seções de treinamento. 
 
2. Considere a situação de decidir sobre o número de unidade a serem produzidas por certo 
fabricante de dois diferentes tipos de produto. Os lucros por unidade do produto_1 e do 
produto_2 são, respectivamente, 2 e 5 u.m. Cada unidade do produto_1 requer 3 horas de 
máquina e 9 unidades de matéria-prima, enquanto o produto_2 requer 4 horas de máquina e 7 
unidades de matéria-prima. Os tempos máximos disponíveis de horas de máquina e de matéria-
prima são 200 horas e 300 unidades, respectivamente. Formule o problema de forma a otimizar 
o lucro total. 
 
3. Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na Cia, o único 
ponto crítico é a mão-de-obra disponível. A camisa de manga longa consome 50% a mais de 
mão-de-obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse 
concentrada na disponibilização de camisas de manga curta a Cia poderia entregar 400 camisas 
de marga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas 
e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de manga longa é de 5,00 u.m. e por camisa de 
manga curta, 3,5 u.m. Formular o problema de modo a permitir a determinação das 
quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro. 
 
4. Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de 
pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha 
de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma 
prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a 
tabela. A escrivaninha é vendida por 100 unidades monetárias (u.m.), a mesa por 80 u.m., o 
armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se exibir um modelo de programação 
linear que maximize a receita com a venda dos móveis. 
 
Tabela 1. Restrições e custos 
 Quantidade de material em metros consumidos por 
unidade de produto 
Disponibilidade 
de recursos (m) 
 Escrivaninha Mesa Armário Prateleira 
Tábua 1 1 1 4 250 
Prancha 0 1 1 2 600 
Painéis 3 2 4 0 500 
Valor de 
revenda (u.m.) 
100 80 120 20 
 
5. A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem 
conquistando espaço no mercado de Laminados brasileiro, tendo contratos fechados de 
fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras 
fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma 
localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa 
precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de 
lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda 
extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 
l00.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de 
lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica 
do Rio de Janeiro é de R$200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 
tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das 
fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor-custo possível? 
 
6. Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 
calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma 
pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponível de queijo 
é de 5 quilogramas por dia, e que a pizza é vendida a R$18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-
se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender 
diariamente para maximizar a sua receita? 
 
7. A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A 
primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos 
produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 
10 horas de processamento na linha 1, enquanto na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a 
asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da 
empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta 
vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes 
Radicais S/A. 
 
8. A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos freqüentadores 
de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções 
compradas de laboratórios terceirizados - solução Red e solução Blue - e que provêem os 
principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer 
saber quantas doses de 10 mililitros de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para 
satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaraná e 12 gramas 
de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento 
cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 
20 gramas por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 
grama de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de 
guaraná e 2 gramas de cafeína. Uma dose de solução Red custa R$0,06 e uma dose de solução 
Blue custa R$ 0,08. 
 
 
 
9. A empresa de logística Deixa Comigo S/A tem duas frotas de caminhões para realizar 
transportes de cargas para terceiros. A primeira frota é composta por caminhões médios e a 
segunda por caminhões gigantes, ambas com condições especiais para transportar sementes e 
grãos prontos para o consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem uma capacidade de 
peso de 70.000 quilogramas e um limite de volume de 30.000 metros cúbicos, enquanto a 
segunda pode transportar até 90.000 quilogramas e acomodar 40.000 metros cúbicos de 
volume. O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de 100.000 quilogramas de 
sementes e 85.000 quilogramas de grãos, sendo que a Deixa Comigo S/A pode aceitar levar 
tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora entregar. O 
volume ocupado pelas sementes é de 0,4 metro cúbico por quilograma, e o volume dos grãos é 
de 0,2 metro cúbico por quilograma. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$ 
0,12 por quilograma e o lucro para transportar os grãos é de R$ 0,35 por quilograma, descubra 
quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos a Deixa Comigo S/A deve 
transportar para maximizar o seu lucro. 
 
10. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer 
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade 
couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponívelde couro é de 6 
unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 
unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é 
maximizar seu lucro por hora. 
 
11. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele 
necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas 
de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de 
lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 
Construa o modelo do problema. 
 
12. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 
20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, 
enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a 
atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso 
de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de 
música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores? 
 
13. O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 
30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são: 
a. Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse 
programa requer um investimento mínimo de $ 3.000,00 e deve proporcionar um 
aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 investidos. 
b. Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos em P1 
retomam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
A empresa dispõe de $ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada 
atividade? Construa o modelo do sistema descrito. 
 
14. A FORDY inc. produz dois tipos de caminhões: PP: pesados e LL: leves na mesma fábrica. 
Segundo o estudo do mercado para o próximo mês, a empresa poderá vender toda sua 
produção, mas tem alguns fatores a serem considerados no planejamento da produção. 
a) FORDY terá um lucro de R$ 5000,00 por cada PP que se venda e de R$ 4000,00 por cada 
LL. 
b) Cada produto é montado usando dois departamentos: A e B. 
c) Para a produção do próximo mês esses departamentos têm disponíveis 150 e 160 horas 
respectivamente. 
d) Cada PP consume 10 horas de operação no departamento A e 20 horas no departamento B. 
e) Cada LL consume 15 horas de operação no departamento A e 10 horas no departamento B. 
f) Com o intuito de atender convênios com o sindicato dos trabalhadores, o total de horas 
dedicadas à controle de qualidade não pode ser menor em 10% a uma meta estabelecida de 
150 horas. Esse controle de qualidade é feito num departamento que não é nem A nem B. 
g) Cada PP precisa de 30 horas de controle e cada LL precisa de 10 horas. 
h) Para manter sua posição no mercado, a Gerência coloca a condição de que é necessário 
produzir no máximo um PP por cada três LL. 
i) Um cliente importante tem feito um pedido de pelo menos cinco caminhões (em qualquer 
combinação de PP's e LL 's) 
A gerência quer obter o número "ótimo" de PP's e LL's que tem que produzir. Construa a PPL que 
resolva o problema que considere o lucro máximo para a empresa; 
 
15. Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações 
obtidas nos órgãos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz e milho serão as mais 
rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as 
culturas desejadas é a constante na tabela abaixo 
 
Tabela 2. Restrições do problema do sítio 
 Produtividade em kg por m2 
(experiência) 
Lucro por kg de produção (Informações do 
governo) 
Trigo 0,2 10,8 centavos 
Arroz 0,3 4,2 centavos 
Milho 0,4 2,03 centavos 
 
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está 
limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000 m2. Para atender às demandas de seu 
próprio sítio, é imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho. 
 
16. Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que possuem produtividades aproximadamente 
iguais entre si. A produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível 
para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção de modo 
que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda, a saber: milho, arroz e feijão. 
Cada tipo de cultura demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso 
das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de 
produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, 
acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As 
tabelas 2 e 3 resumem os dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de 
produção que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a 
otimizar o lucro total da produção da cooperativa. 
 
Tabela 3. Água disponível e área de cultivo por fazenda 
Fazenda Área total para cultivo (Acres) Água disponível (Litros) 
1 400 1.800 
2 650 2.200 
3 350 950 
 
Tabela 4. Consumo de água, área de cultivo e lucro por cultura 
Cultura Área máxima de 
cultivo (Acres) 
Consumo de água 
(Litros por Acre) 
Lucro (R$ / Acre) 
Milho 660 5,5 5.000 
Arroz 880 4 4.000 
Feijão 400 3,5 1.800 
 
 
17. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: 
‐ A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-
açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 
300,00 por alqueire por ano; 
‐ P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens 
requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 L de água/Alq) por ano. O lucro 
estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano; 
‐ S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 
kg por alqueire de adubos e 200.000 L de água/Alq para irrigação por ano. O lucro 
estimado nessa atividade é de $ 500,00 alqueire no ano. 
 
Disponibilidade de recursos por ano: 
‐ 12.750.000 L de água 
‐ 14.000 kg de adubo 
‐ 100 alqueires de terra. 
 
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o 
modelo de decisão. 
 
18. Uma empresa de mineração deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhões de 
toneladas por ano de minério Sinter Feed e, para tanto, conta com os seguintes minérios: 
 M1 M2 
Ferro 60 65 
Silício 15 20 
Custo 5,6 3,3 
 
O minério a ser utilizado para este blending deve conter no mínimo 65% de Ferro e no máximo 
3% de Silício. Qual é o blending a custo mínimo? 
 
 
19. Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura 
desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
‐ Material Recuperado 1 - MR1 - Composição: 
o ferro - 60% Custo por kg: $ 0,20 
o carvão -20% 
o silício - 20% 
 
‐ Material Recuperado 2 - MR2 - Composição: 
o ferro - 70% Custo por kg: $ 0,25 
o carvão -20% 
o silício - 5% 
o níquel- 5% 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
Matéria-prima % mínima % máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
 
O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28; níquel: $ 
0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor 
custo por kg? Construa o modelo de decisão. 
 
20. Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de 
custos diferente, expressando condiçõesde transporte e preços na origem. Por outro lado, cada 
tipo de petróleo representa uma configuração diferente de subprodutos para a gasolina. Na 
medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado na produção de gasolina, e possível a 
programação das condições de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam a 
classificação do tipo da gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de 
quatro tipos diferentes de petróleo e deseje produzir gasolinas amarela, azul e superazul, 
programar a mistura dos tipos de petróleo atendendo às condições que se seguem nas tabelas 5 
e 6. 
 
Tabela 5. Quantidade disponível de petróleo 
Tipo de petróleo Quantidade máxima 
disponível (Barril / dia) 
Custo do barril / dia (R$) 
1 3.500 19 
2 2.200 24 
3 4.200 20 
4 1.800 27 
 
Tabela 6. Percentuais para limites de qualidade das gasolinas 
Tipo de gasolina Especificação Preço de venda (R$ / Barril) 
Superazul Não mais que 30% de 1 
Não menos que 40% de 2 
Não mais que 50% de 3 
35 
Azul Não mais que 30% de 1 
Não menos que 10% de 2 
28 
Amarela Não mais que 70% de 1 22 
 
21. A refinaria Shale Oil mistura dois tipos de frações de petróleo A e B, para produzir dois 
produtos de gasolina de alta octanagem, I e II. As taxas máximas de produção dos dois tipos de 
frações A e B são 450 e 700 barris/hora, respectivamente. As octanagens correspondentes são 
98 e 89, e as pressões de vapor são 10 e 8 lb/in
2
. As octanagens da gasolina I e da gasolina II 
devem ser no mínimo 91 e 93, respectivamente. A pressão de vapor associada a ambos os 
produtos não deve exceder 12 lb/in
2
. Os lucros por barril de I e II são $7 e $10 
respectivamente. Determine a taxa ótima de produção para I e II bem como suas razões de 
mistura das frações A e B. (Sugestão: a pressão de vapor, assim como a octanagem, é a média 
ponderada das pressões de vapor das frações componentes da mistura) 
22. Uma fábrica produz dois tipos de produto: Standard e Luxo. Cada modelo Standard requer 4 
horas de corte e 2 horas de polimento; cada modelo Luxo requer 2 horas de corte e 5 horas de 
polimento. A fábrica possui 2 cortadoras e 3 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho 
da fábrica é de 40 horas e que cada modelo Standard dá um lucro de $3,00 e cada modelo Luxo 
$4,00 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser a produção da fábrica que 
maximiza o lucro. 
 
23. Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preços 
de venda são respectivamente $110 e $65. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas 
de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de 
madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas 
de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se deseja maximizar o 
rendimento obtido com as vendas? 
 
24. Uma fábrica de computadores produz 2 modelos de computador: A e B. O modelo A fornece 
um lucro de $180 e B de $300. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e 
uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existe no 
estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. 
Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? 
 
25. Uma refinaria de petróleo deseja encontrar a maneira ótima de cumprir um contrato de 
fornecimento de gasolina de aviação e gasolina comum. Segundo este contrato, deve-ser 
fornecer diariamente um mínimo de 1000 barris de gasolina de aviação e 2000 barris de 
gasolina comum. A unidade que se responsabilizara pela entrega tem uma capacidade máxima 
de produção de 10000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas devem ser transportadas até 
seus depósitos, cujas distâncias da unidade são 10 milhas e 30 milhas respectivamente. A 
capacidade máxima de transporte da refinaria é de 180000 barris/milha. Sabendo-se que a 
gasolina de aviação dá um lucro de $1 e a comum $2, pede-se o esquema de produção que 
maximiza o lucro da refinaria com relação ao citado contrato. 
 
 
 
 
 
 
 
26. Um fundo de investimentos tem até $300000 para aplicar em duas ações. A empresa D é 
diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante em refrigerantes) e 
espera-se que forneça bonificações de 12%. A empresa N não é diversificada (produz apenas 
cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. Para este investimento, considerando a 
legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições: 
a. O investimento na empresa diversificada pode atingir $270000; 
b. O investimento na empresa não-diversificada pode atingir $150000; 
c. O investimento em cada produto (cerveja e refrigerante) pode atingir 
$180000; 
Pede-se: qual é o problema de investimento que maximiza o lucro? 
 
27. Uma indústria do ramo de alimentos prepara almôndegas misturando carne bovina magra e 
carne de porco. A carne bovina contém 80% de carne e 20% de gordura e custa $0,80 o kg; a 
carne de porco contém 68% de carne e 32% de gordura e custa $0,60 o kg. Quanto de carne 
bovina e quanto de carne de porco deve o açougue utilizar por kg de almôndega se deseja 
minimizar o seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25%?