Atividade 02 Matemática Discreta

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Disciplina: Matemática Discreta 
 
ATIVIDADE 2 
Unidades abordadas: 4 
Pontuação máxima permitida: 80 pontos 
Critérios de correção: cada questão vale até 10 pontos. 
 
 
1. 𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐧 = 𝟏 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (1 − 1)𝑟 
𝑎𝑛 = 𝑎1 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
 
𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐤 + 𝟏 
Hipótese: 
𝑎𝑘 = 𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑘. 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎1 + (𝑘 + 1 − 1)𝑟 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎1 + 𝑘𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑘 ≥ 1. 
𝑎𝑘 = 𝑎(𝑘 − 1) + 𝑟 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎(𝑘 + 1 − 1) + 𝑟 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎𝑘 + 𝑟 
 𝑎𝑘 + 1 = 𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑟 + 𝑟 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎1 + 𝑘𝑟 − 𝑟 + 𝑟 
𝑎𝑘 + 1 = 𝑎1 + 𝑘𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑘 ≥ 2. 
 
2. 𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐧 = 𝟏 
𝑃(1) = 10𝑛 − 1 | 9 
𝑃(1) = 101 − 1 | 9 
𝑃(1) = 9 | 9 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ - UECE 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA - CCT 
CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO 
𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐤 + 𝟏 
Hipótese: 
10𝑘 − 1 = 9𝑚 
𝑃(𝑘 + 1) = 10𝑘+1 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 10𝑘 × 10 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = (9𝑚 + 1) × 10 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 9𝑚 × 10 + 10 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 9𝑚 + 9 ⇒ 9(10𝑚 + 1), logo 9(10𝑚 + 1) | 9. 
 
3. 𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐧 ≥ 𝟏 
𝑝(1) = 22 − 1 = 44 − 1 = 3, 𝑙𝑜𝑔𝑜 3 | 3 (𝑉𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐤 + 𝟏 
Hipótese: 22𝑘 − 1 = 3𝑚 ⇒ 22𝑘 = 3m + 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 22𝑘+2 − 1 = 22𝑘 × 22 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = (3𝑚 + 1) × 22𝑘 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 12𝑚 + 4 − 1 
𝑃(𝑘 + 1) = 12𝑚 + 3 
𝑃(𝑘 + 1) = 3 × (4𝑚 + 1) | 3 
 
4. 𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐧 ≥ 𝟏 
𝑃(1) ⇒ 1 = 
1(1 + 1)
2
, 𝑙𝑜𝑔𝑜 1 = 1 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨𝐬 𝐤 
𝑃(𝑘) ⇒ 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 = 
𝑘 × (𝑘 + 1)
2
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑘. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐏𝐫𝐨𝐯𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐤 + 𝟏 
𝑃(𝑘 + 1) ⇒ 1 + 2 + ⋯ + (𝑘 + 1) = 
(𝑘 + 1) + (𝑘 + 2)
2
 
1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = 
𝑘 × (𝑘 + 1)
2
+ 𝑘 + 1 
1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = 
𝑘 × (𝑘 + 1) + 2𝑘 + 2
2
 
⇒
𝑘2 + 𝑘 + 2𝑘 + 2
2
= 
𝑘2 × 3𝑘 + 2
2
 
= 
(𝑘 + 1) + (𝑘 + 2)
2
 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 (𝑘 + 1)), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 é 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐾 ∈ 𝑁. 
 
5. 
 
 
6. 𝑎 + 2 | 𝑎3 − 4 
 𝑎
3 + 0𝑎2 + 0𝑎 − 4
𝑎 + 2⁄ 
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑎2 + 2𝑎 + 4 
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜: −12 
𝐼) 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒: 
𝑎3 − 4 = (𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 4) − 12 
12 = (𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 4) − (𝑎3 − 4) 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑎 + 2 | (𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 4) 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 + 2 | (𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 4) − (𝑎3 − 4) 
 𝑎 + 2 | 12 
𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑎 + 2 ≤ 12, 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 é 𝑎 + 12 = 12 ⇒ 𝑎 = 10 
𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ⇒ 1 + 2 | 12 ⟶ 3 |12 
𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ⇒ 2 + 2 | 12 ⟶ 4 |12 
𝑃𝑎𝑟𝑎 4 ⇒ 4 + 2 | 12 ⟶ 6 |12 
𝑃𝑎𝑟𝑎 10 ⇒ 10 + 2 | 12 ⟶ 12 |12 
 
 
7. 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑞 𝑒 𝑟 ⇒ 𝑁 = 6𝑞 + 𝑟, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑟 ≤ 5. 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑁2 = 36𝑞2 + 12𝑞𝑟 + 𝑟2 = 6(6𝑞2 + 2𝑞𝑟) + 𝑟2. 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑁2𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑝𝑜𝑟 6 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟2. 
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟2: 
𝑟 = 0 → 𝑟2 = 0 
𝑟 = 1 → 𝑟2 = 1 
𝑟 = 2 → 𝑟2 = 4 
𝑟 = 3 → 𝑟3 = 9 → 3 
𝑟 = 4 → 𝑟2 = 16 → 4 
𝑟 = 5 → 𝑟2 = 25 → 1 
 
8. 𝑆𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑎 𝑒 𝑏, 2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 < 𝑏. 
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 2 ú𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑞 𝑒 𝑟, 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝑏 = 𝑎 × 𝑞, 𝑐𝑜𝑚 𝑟 < 𝑎 
98 = 17 × 5 + 13, 𝑞 = 5 𝑒 𝑟 = 13.