Serre teoria dos numeros

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COURS 
D’ARITHMÉTIQU~ 
JEAKPIERRE SERRE 
Fvo,eJmur au anAge * France 
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE 
108, Boulevard Saint-Germain, Paris 
=97o 
d’où le fait que o est WI homomorphisme. De plus, a est 
kidemment injecdf. 
ii) .Soit p WI nombre prcmizr et soit q = p’ (f > 1) une 
puissance de p. Suit !2 WI corps algdbriqwmzn~ clos de caractk 
&ique p. Il exi& un rou-corps Fa de Q et w xul qzk ait 
q &mut~s ; c’est l’ensemble des racines du polyn6nu Xq - X. 
iii) Tout corps fini à q = f &!mm~s est isomorphe d Fg. 
Si K est fini, il ne condent pas le corps Q; sa carac& 
ristique est donc un nombre premier p. Si f est le degrÇ 
de l’extension K/Fv, il est clair que (3rd (K) =$‘, 
<OÙ i). 
D’autre part, si n est algÇbriquement clos de caractk- 
ristiquep, il r&ulte du lemme ci-dessus que l’application 
x w XQ (OÙ q = p’, f z 1) est un automorphisme de Q; 
en effet, c’est la puissance f-i&me de l’aukxnorphisme 
.Y : x ++ 9 (noter que a est swjectif puisque Q est algkbri- 
quement clos). Les &5nen~s .z e n invarian@ par .x l+ .+ 
f,xm& donc un saw-corps Fc de Q. Ce corps a q &ments. 
En effet, la dkrivke du polynîxne XQ -X est 
qXqv~-* =*.pf-~XC-~_~ =-l 
et ne s’annule pas; il en r&.ulte (puisque LJ est alghbri- 
quement clos) que Xc - X a q racines distincks; on a 
donc bien Gard (FJ = q. Inversement, si K est nn 
sous-corps de 0 3. q &&nen@, le groupe multiplicatif K’ 
des &nen~s non nuls de K a q - 1 &+nents; on a 
donc fl-1~1 si XGK, d’où #=x si xeK, ce 
qui montre que K est contenu dans Fr; puisque 
Gard (K) = Gard (F,J 
on a K = Fe, ce qui achkve de prouver ii). 
En&, l’assertion iii) rksuke de ii) et du fait que tout 
Soit p un nombre premier, soit f un entier > 1 et 
soit q =y. 
T&x&~ix 2. - Le got@e multiplic&~~ du corps fini F,, 
est cyclique d’ordre q - 1. 
D&mon.rtra&vz. - Si d est un entier > 1, rappelons qu’on 
note T(d) l’indicakw d’Euk de d, c’est-&-dire le nombre 
des entiem .Y, avec 1 < x < d, qui sont premiers à d (autre- 
ment dit, dont l’image dans Z/d.Z est un gén&rateur de 
ce groupe). 
Il est clair que le nombre des gknératews d’un groupe 
cyclique d’ordre d est égal & q(d). 
LEMME 1. - Si n 8d WI entier > 1, on a rÇ =8Fmqa(d), 
(Rappelons que la notation d 1 n signifie que d di& n.) 
Si d divise n, soit C,, l’unique sous-groupe de Z/nZ 
d’ordre d, et soit @& l’ensemble des gk&a~eurs de C,+ 
Comme tout &men~ de Z/nZ engendre l’un des Cd, le 
groupe Z/nZ est r&mion disjointe des Q,, et l’on a :’ 
n = Gard (Z/nZ) =dTaCard (O,J =aFsq(d). 
Ikmm 2. - Soit H un group8 d’ordre fini n. On suppose 
que, pour tout dioisau d de n, l’erucmble des x E H tels qz& 
Y+ A 1 a auplu.~ d &nenk Alors H est cyclique. 
Soit d un diviseur de n. S’il existe x EH d’ordre d, 
le wxls-groupe (x) = { 1, x, . . .,A+~} eniendrkparxest 
cyclique d’ordre d; vu l’hypothkse, tout 6l&nent J EH 
tel que 4 = 1 appa&nt & (x). En parkulier, les seuls 
&l&nents de H d’ordre d sont les généra~eurs de (x), et 
ceux-ci sont en nombre v(d). Ainsi le nombre d’&menB 
de H d’vrdre d e% 0 0x1 y(d). Si c’&ait 0 pour une 
12 C O U R S D ’ A R I T H M ! i T I Q U E 
v a l e u r d e d , l a f o r m u l e n = Z v ( d ) m o n t r e r a i t q u e 
d l ? i 
l e n o m b r e d ’ é l é m e n t s d e H e s t < n , c o n t r a i r e m e n t & 
l ’ h y p o t h & s e . E n p a r k u l i e r , i l e x i s t e u n 6 l k r n e n t x e H 
d ’ o r d r e a , e t H c o ï n c i d e a v e c l e g r o u p e c y c l i q u e (x) . 
L e t h k o r & m e 2 r Ç s u l t e d u l e m m e 2 , a p p l i q u Ç & H = Fi 
et n=q--1; i l e s t e n e f f e t & V i d e n t q u e l ’ Ç q u a t i o n 
. @ = 1 , q u i e s t d e d e g r Ç d , a a u p l u s d s o l u d o n s d a n s Fa. 
R e m a r q u e . - L a d k m o n s t r a d o n c i - d e s s u s m o n t r e q u e , 
p l u s g k n & a l e m e n t , t o u t s o u s - g r o u p e f i n i d u g r o u p e m u l t i - 
p l i c a t i f d ’ u n c o r p s e s t c y c l i q u e . 
S o i t 4 u n e p u i s s a n c e d ’ u n n o m b r e p r e m i e r j , e t s o i t K 
u n c o r p s & 4 6 1 6 m e n t s . 
2 . 1 , Sommes d e @ i s s a m z s . 
est Çgale à 1 s i . ~ est 2 1 8.t d i v i s à b l e f i a r q - 1 ; e l l e e s t é g a l e 
à 0 s i n o n . 
( O n c o n v i e n t q u e x ” = 1 s i a = 0 , m ê m c . r i x = 0 . ) 
S i u = 0 , t o u s l e s t e r m e s d e l a s o m m e s o n t é g a u x & 1 , 
d ’ o ù S ( X “ ) = q . 1 = 0 , p u i s q u e K e s t d e c a r a c t é r i s - 
t i q u e p . 
S i L e s t > 1 , e t d i v i s i b l e p a r q - - 1 , o n a 0 “ = 0 e t 
x * = 1 s i L # 0 ; d ’ o ù S ( X ” ) = ( q - l ) . 1 = - 1 . 
E n f i n , s i L e s t > 1 , e t n o n d i v i s i b l e p a r 4 - 1 , l e f a i t 
q u e K ’ s o i t c y c l i q u e d ’ o r d r e 4 - 1 ( t h . 2 ) m o n t r e q u ’ i l 
e x i s t e y E K ’ t e l q u e y ” # 1 . O n a 
S ( X U ) = x . Y % = c J ” Z U = y “ S ( X ” ) , 
EEK* ZEK’ 
d ’ o ù ( 1 - y ” ) . S ( X * ) = 0 , et c e l a e n t r a î n e b i e n S ( X * ) = 0 . 
~ 
, CORPS FINIS 1 3 
(Variante. - U t i l i s e r l e f a i t q u e , s i d > 2 , l a s o m m e 
d e s r a c i n e s d - i & m e s d e l ’ u n % e s t n u l l e . ) 
2 , 2 . Le t h é o r 2 m e d e C h e u a l l g . 
T & O & M E 3 ( C h e v a l l e y - W a r n i n g ) . - S o i e n t 
_ & E K & . . . a X l 
d e s p o l & n ô m e s d n v a r i a b l e s t e l s q u e l ! ? , d e g ( fe) < n, et mit V 
l’ensemble de leurs .zéros communs dans K ” . O n a 
C a r d ( V ) I 0 ( m o d p ) . 
P o s o n s P = n ( 1 - x - l ) , e t s o i t x E K S . S i . Y E V , 
t o u s l e z f % ( x ) s o k n u l s , e t Y o n a P ( x ) = 1 ; s i x $ V , 
l ’ u n d e s f a e s t n o n n u l , e t _ f - l ( x ) = 1 , d ’ o ù P ( x ) = 0 . 
A i n s i , P e s t l a f o n c t i o n c a r a c t t i t i q u e d e V , S i , p o u r t o u t 
p o l y n ô m e J o n p o s e S ( f ) = z z K ” f ( x ) , o n a d o n c : 
C a r d ( V ) = S ( P ) (modp) , 
e t t o u t r e v i e n t ? + m o n t r e r q u e S ( P ) = 0 . 
O r , l ’ h y p o t h b e 2 d e g (fa) < n e n w a î n e 
deg (P) < n(q - 1) ; 
d o n c P e s t c o m b i n a i s o n l i n Ç a i r e d e m o n ô m e s 
x u = X ; l . . . x z 
a v e c E u 4 < n(q - 1 ) ; i l s u f f i t d e p r o u v e r q u e , p o u r u n 
i t e l m o n ô m e X @ , o n a S ( X ” ) = 0 . M a i s c e l a r é s u l t e d u 
l e m m e , p u i s q u e l ’ u n a u m o i n s d e s q e s t < q - 1 , c . q . f . d . 
COROLLAIRE 1, - S i Z d e g ( f = ) < a , e t a i 1 8 s f a s o n t 
s a n s t e r m e c o n s t a n t , l e s f a o n t u n . A 0 c o m m u n n o n t r i v i a l . 
E n e f f e t , s i V & a i t r Ç d u i t A { O } , o n a u r a i t C a r d ( V ) = 1 , 
! 
e t C a r d ( V ) n e s e r a i t p a s d i v i s i b l e p a r ! . 
‘ 4 C O ~ R S D ' A R I T I X M I ~ I Q U E C O R P S F I N I S ' 5 
Le corollaire 1 s’applique notamment lorsque les f a 
sont homog&aes; en particulier : 
COROLLMRE 2. - T o u t e f o r m e q u a d r a + e d ’ a u m o i m 
3 w i a b l e s s u r K a u n . & o n o n t k v i a l . 
(En langage g&om&rique : tout.6 conique sur un corps 
fini a un point rationnel.) 
On convient d’&endre ce symbole A F9 tout entier en 
posant (:) = 0. De plus, si .x FZ a pour image x’ E F,,, 
o* pose (F) = ($). 
$ S. L& de r&ciprocit& quadrastique3.1. Carrksd6F*. 
Soit q u n e puissance d’un nombre premier Jo. 
T~&O&ME 4. -a) Si p = 2, t o u t . ! l k m e n t d e Fa e s t u n c a & . 
b) Si p # 2, ks carA d e Fi f o r m e n t u n s o u s - g r o u p e 
d ’ i n d i ç e 2 d e Fi ; c e s o u s - g r o u p e e s t l e n o y a u d e l ’ h o m o m o r p h i s m e 
1 I - + . ~ ‘ ~ - ~ ‘ f i , L v a l e u r s d a n s { & 1 } , 
(En d’autres termes, on a une suite exacte : 
1 +F;s +Fi +{& l}+ 1.) 
Le cas a) r&ulte de ce que x ++ 9 e s t u n automorphisme 
de Fr 
On a (i) ($) = (F) : le symbole de Legendre est un 
<<caract&re >> (CE chap. VI, $1). Vu le thkor&me 4, (i) = 1 
Çquivaut 5 GX G F:; si x e Fi a pour racine Carrée Y 
dans une ClÔture algÇbrique de Fg, on a (i) =Y~-‘. 
C a l c u l d e ( i ) p o u r x = 1 , - i , 2 . 
Si a est un entier i m p a i r , soient s(n) et U(a) les 6lkment.9 
de Z/2Z dÇfinis par : 
Dans le cas b), soit Q une ClÔture algÇbrique de Fg; 
si x E Fi, soit y G Q tel que Ys = x. On a 
Y g - 1 = .#G?~~~/Z = * 1 , 
puisque .+?-l= 1. 
Pour que .Y soit un car& dans Fe, il faut et il suffit 
que Y appartienne A F,_ c’est-h-dire que y9-l = 1. On 
voit donc bien que FG2 est le noyau de x H .&l)‘s. De 
plus, comme Fi est cyclique d’ordre q - 1, l’indice 
de Fi2 est Çgal A 2. 
E ( n ) s ~ ‘ ; ’ (mod2)=(: z :I:l ~~~~~~ 
0 si rt~ & 1 (mod8) 
m(a) = 7 (mod2)={ 1 si n= + 5 (mod8). - 
[L’application s est un homomorPhisme du groupe multi- 
plicatif (Z/4Z)* dans Z/2Z; de même, w est un homo- 
morphisme de (Z/8Z)* dans Z/2Z.] 
TI&OI&ME 5. - On a l e s f o r m u l e s : 
3.2. S y m b o l e d e G g e n d r e ( c a s U m e n t a i r e s ) . 
D~INITION. -Soit! un n o m b r e p r e m i e r # 2 , e t s o i t . Y E Fi. 
On a p p e l l e s y m b o l e d e L e g e n d r e d e . v , e t o n n o t e ( i ) , l ’ e n t i e r 
* k . - u / 2 = * 1 . 
16 COVRS D’ARITHMlhIQWE CORPS FINIS 17 
Seule Ia derniere merite qu’on la demontre. Si a designe 
une racine primitive g-ieme de l’unite dans une cl8ture 
algÇbrique D de Fr,, l’element y = a + a- r vÇrifie y2 = 2 
(en effet, on a a* = - 1, d’ou u2 + a-a = 0). On a : 
yv = aa + aeg. 
Si p I l 1 (mod S), cela entraîne y9 =y, d’où 
(i) =yp-t = 1. 
Si p = * 5 (modS), on trouve : 
y* z ms + m-s z’- (u + a-l) c -y; 
cela se voit en utilisant la formule a + as + as + a7 = 0. 
On en déduit que y”-r = - 1, d’où iii). 
Remarque. - On peut exprimer le theoreme 5 de la 
maniere suivante : 
-1 est uncarre (modp) * j= 1 (mod4). 
2 est un carré (modp) + p = & 1 (mod S). 
3.3. Lai de rtkipracit~ ~adratique. 
Soient e et! deux nombres premiers distincts, diffÇrents 
de 2. 
T~&O&ME 6 (Gauss). - On a (i) = ($) (- l)Eif)K’p). 
Soit Q une ClÔturc algÇbrique de Fa, et soit w E !A une 
racine primitive &ieme de l’un%. Si .r 6 Ft, l’element ~8 
a un sens, puisque v.! = 1. On peut donc d&inir la 
<C somme de Gauss B : 
hMME 1. - y = (- l)+. 
(Par abus de notations, on note encore 1 l’image de 1 
dans le corps Fa.) 
En effet : 
Orsi t#O: 
et 
(- l)*toy* = &C* w” 
Où 
C” =& (1 -;t-l). 
Si u=O, C$= 2 (i) =t-1; sinon $= l-tif-’ 
ter; 
dÇcrit Ft - { 1 }, et l’on a : 
vu que dans Fi il y a autant de carres que d’elements qui 
ne le sont pas. Donc : 
z C*w”=C-l- 2 w”=C 
lEF[ uEFj 
ce qui demontre le lemme. 
LEbfbm 2, - ys-r = ($. 
Puisque fJ est de caractÇristique p, on a : 
18 COUFLS D’ARlTHMhKKIE CORPS FINIS 1q 
Le thkorkne 6 est maintenant immÇdiat. En effet, 
d’apr& les lemmes 1 et 2, on a 
et d’autre part, le th6orème 5 montre que 
Traduction. - Ecrivons &L~I si 1 est un carrk (modp) 
(autrement dit, si 1 est << re& qwdrutique B modula fi) et 
~NP sinon. Le thé&me 6 signifie que : 
lR$ +FR~ si fioulz 1 (mod4) 
ARP -c+. PN~ si p et tz -1 (mod4). 
Remarque. - Le thkorhme 6 peut être utilisé pour 
calculer Par réductions successives les symboles de 
Legendre. Ainsi : 
_(J_) =_(y) -($) =--1. 
Autre dhumstration de la loi de réciprocith quadratique 
(d’aprb G. Eisenstein, _T. Geh, 29, 1845, p. 177-i84) 
i) Le lemme de GUUSS. 
Soit p un nombre premier # 2, et soit S une partie 
de Fi telle que FL soit r&mion disjointe de S et de - S; 
fi-1 
dans la suite, on prendra S = { 1, . . , T}. 
‘ 
Si 1 ES et a EF~, on peut krire as sous la forme 
CU =%(a) %> avec es(u) =*l et saeS. 
LEMME (Gauss). - (j) =8$se8(u). 
On remarque d’abord que, si s ct s’ sont deux éléments 
distincts de S, on a sa # SA (car sinon, on aurait J = 5 s’, 
contrairement au choix de S). On en conclut que s t+ se 
est une bijection de S sur lui-même. Faisons alors le 
produit des kgalités CU = es(a) Jo. On obtient : 
ce qui démontre le 
dans F,,. 
Exemple. - Prenons 
lemme, puisque (i) = & -w2 
P--l u=2, et S={I ,..., ~ , 
On a e8(2) = 1 si 2.r < ‘+ et e8(2) = - 1 &o!x 
On en conclut que (i) = (- 1) *‘PJ, OÙ n(p) est le nombre 
d’entiers J tels que -PG < s< ‘$. Si p est de la 
forme 1 + 4k (resp. 3 +- 4/2), on a n(p) = k + 1. 
On retrouve ainsile fait que (i) = 1 si p s 5 1 (mod8) 
el ($) =-1 si pi &5 (modS), cf. théor&me 5. 
ii) Un levure trigonomhique. 
LEMME. - Soit m uti entierpositz~impair. On a : 
sin mz 
w = (_ 4)lvn - ll/!z rI 
2xj 
~m x 
(sinsx - sinz -), 
l~~<~~~~vz 7n 
18 COURS D’ARrTHMI?TIQ~ 
Le thhor&ne 6 est maintenant immÇdiat. En effet, 
#apr& les lemmes 1 et 2, on a 
et d’autre part, le thkor&me 5 montre que 
Tr~du&n. - Ecrivons ~RF si 1 est un carrk (modf) 
(autrement dit, si 1 est << reste ~u~&z~+u~ H modula fi) et 
tN$ sinon. Le thkor&me 6 signifie que : 
tw 0 fiR( si p ou 1 I 1 (mod4) 
tR# + PN! si p et t= -1 (mod4). 
Remarque. - Le thtor&me 6 peut être utilisé pour 
calculer par rÇductions successives les symboles de 
Legendre. Ainsi : 
Autre dhmnstration de lu loi de rèciprocit& qazadratiqme 
(d’aprb G. Eisenstein, 3. Creh, 29, 1845, p. 177-184) 
i) Le lemme de Gams. 
Soit p un nombre premier # 2, et soit S une partie 
de r9 telle que F9 soit &Union disjointe de S et de - S; 
fi-1 dans la suite, on prendra S = { 1, . ., T}. 
CORPS FTNIS lcl 
$ 
Si s e S et n e Fi, on peut kcrire m sous la forme 
0J = %(a) % > avec es(a) = * 1 et sa ES. 
LEMME (Gauss). - (i) =-QQes(u). 
* On remarque d’abord‘que, iLs*et s‘ sont deux Mments 
distincts de S, on a J,, # s: (car sinon, on aurait x = =!= s’, 
contrairement au choix de S). On en conclut que s I+ sa 
est une bijection de S sur lui-même. Faisons alors le 
produit des égalités as = e*(u) s,,. On obtient : 
~~p-1~‘z8~~J = ~~~$4)gcz = ms%w n 5 
SEB 
d’où 
Qcp-l)‘s = n e&) , 
#ES 
ce qui dÇmontre le lemme, puisque (i) = &~~~‘s 
dans F_. 
Exem$e.-Prenons a=2, et S={l,..., -. H] 
On a e#(2) = 1 si 2$ < ‘+ et ea(2) = - 1 Znon. 
Onenconclutque (i) = (-l)B191, OÙ a@) est le nombre 
d’entiers s tels que ‘G < s < ‘$. Si p est de la 
forme 1 + 4k (resp. 3 + 4k), on a a@) = k + 1. 
On retrouve ainsi le fait que (g ) = 1 si p = & 1 (mod 8) 
et (z) = - 1 si p = & 5 (mod 8), cf. théorkme 5. 
P 
7. 
ii) Un lemme trigonomhique. 
LEMME. - Soit m un entier positz$ impair. On a : 
sin mx 
7 
sm x 
= (_ 4)19n_U/s Igj&m_I,,s (sinsx - sins 2). 
C e l a s e & i f i e s a n s d i f f i c u l t Ç ( o n p e u t , p a r e x e m p l e , 
d é m o n t r e r d ’ a b o r d q u e l e p r e m i e r m e m b r e e s t u n p o l y - 
n ô m e d e d e g r é ( n i - 1 ) / 2 e n s i n s x , p u i s r e m a r q u e r q u e 
c e p o l y n ô m e a p o u r r a c i n e s l e s s i n 2 3 
m ’ 
a v e c 
1 < j < ( t n - 1 ) / 2 ; 
l e f a c t e u r ( - 4 ) t m - w a s ’ o b t i e n t e n c o m p a r a n t l e s c o e f f i - 
c i e n t s d e P ” - l j f i d a n s l e s d e u x m e mb r e s ) . 
i i i ) D h a m t r a t i o n d e l a l o i d è r é c i f r o c i t 6 . 
S o i e n t 1 e t p d e u x n o m b r e s p r e m i e r s d i s t i n c t s , e t d i f f k - 
r e n t s d e 2 . S o i t S = { 1 , . . ., (_b - 1 ) / 2 } , c o m m e c i - d e s - 
s u s . D ’ a p r h s l e l e m m e d e G a u s s , o n a : 
O r 1 ’ A g a l i t é e s = e s ( l ) s t m o n t r e q u e 
E n f a i s a n t l e p r o d u i t d e c e s b g a l i t k s , e t e n t e n a n t c o m p t e 
d e c e q u e 1 t + * t e s t u n e b i j e c t i o n , o n o b t i e n t : 
E n a p p l i q u a n t l e l e m m e t r i g o n o m Ç t r i q u e a v e c V I = P , 
c e c i p e u t s ’ é c r i r e : 
C O R P S F I N I S 21 
OÙ T d & i g n e l ’ e n s e m b l e d e s e n t i e n c o m p r i s e n t r e 1 
e t ( t - 1 ) / 2 . E n p e r m u t a n t l e s r ô l e s d e 1 e t $ , o n o b t i e n t 
d e m e r n e : 
L e s f a c t e u r s d o n n a n t ( i ) e t ( $ ) s o n t d o n c i d e n t i q u e s , a u 
s i g n e p r h s . C o m m e i l y e n a ( p - 1 ) ( l - 1 ) / 4 , o n 
t r o u v e : 
c e q u i e s t b i e n l a l o i d e r é c i p r o c i t k q u a d r a t i q u e , C K t h k o - 
r k m e 6 . 
le facteur (- 4)‘“’ - ws s’obtient en comparant les coeffi- 
cients de e*‘m-l)* dans les deux membres). 
iii) D&ot&ation de la loi de’ rckiprocité. 
Soient 1 et p deux nombres premiers distincts, et dit%- 
Or l’hgalit.6 ts = es(t) st montre que 
2z 27r 
sin - .!s = 8#(l) sin - + 
P P 
En faisant le produit de ces kgaliths, et en tenant compte 
de ce que J t+ J, est une bi&tion, on obtient : 
En appliquant le lemme trigonomhique avec m = t, 
ceci peut s’kcrire : 
Les facteurs donnant (i) et ($) sont donc identiques, au 
signe prh Comme il y en a (pi 1) (l- 1)/4, on 
trouve : 
ce qui est bien la loi de rkiprocitk quadratique, CE Mo- 
&rne 6. 
CHAPITRE II 
’ t 
CORPS p-ADIQUES 
Dans tout ce chapitre, p désigne un nombre premier. 
1 . 1. Lk!!nitionr. 
Pour tout n > 1, posons A,, = Z/p” Z; c’est l’anneau 
des classes d’entiers (modp”). Un élément de A, définit 
de mani&re évidente un élément de A,- 1; on obtient 
ainsi un homomorphisme 
‘P~:A,-+A,-I 
qui est sutjectif, et de noyaupn-lA,,. 
La suite : 
. . . +A,+A,~l-+ . . . -+As+Al 
forme un « système projectz~ », indexé par les entiers 2 1, 
DÉFINITION 1. - On appelle anneau des entiers p-adiques, 
et on note Z,, la limite projective du ytème (A,, rp,) dt@i 
ci-dessus. 
Par définition, un Clément de E, = 15. (A,, y,,) est 
unesuite x= (..., xm, . . . . .Q,avec: 
-% EAR et <p,(x,) =IIfivl si n> 2. 
24 COURS ~'AR~TH?.&IQ)JE CORPS &-ADQUES 1 25 
L’addition et la multiplication de Z, sont définies « caor- 
données par coordonnées »; autrement dit, 2, est un 
sous-antreau du produit IT A,,. Si l’on munit les A,, de la 
topologie discr&e, et n A,, de la topologie produit, l’an- 
neau 2, se trouve muni d’une topologie qui en fait un 
espace compact (car fermé dans un produit d’espaces 
compacts). 
1 .2. Propri&!s de 2,. 
Soit sfi : 2, -+ A,, l’application qui associe à un entier 
p-adique x sa n-ièmr composante x,+. 
hOPOS.rTKaN 1. -La suite 0 +Z,xZ,,z A,, -+O est 
exacte. 
(Un élément de U est appelé une wt&?p-adipue.) 
Il suffit de prouver a) pour les A,, : le cas de Z, en 
rksultera. Or, si x E A, n’appartient pas à. PA,, son 
image dans A, = F, est non nulle, donc inversible; il 
existe alors y, z f A, tels que wy = 1 --fi:, d’où 
%Y(1 -tPZ + . . . +p”-l~2”-~) = 1, ce qui montre bien 
que x est inversible, 
D’autre part, si .z E Z, est non nul, il existe un plus 
grand entier n tel que .Y,, = E,(X) soit nul; on a alors 
x = p” II, avec u non divisible parp, d’où u E U d’après a). 
L’unicité de cette décomposition est évidente. 
(On peut donc identifier Z#’ 2, B A, = Zip” 2.) 
La multiplication parp (donc aussi parp”) est injective 
dans Z,; en effet, si x = (x,) est un entier p-adique tel 
que /M=O, ona pxn+t = 0 pour tout n, ce qui entraîne 
qùe~x,,, est de la forme #“y,+,, avec y,,+ioA,,+i; 
comme x, = gln+l(~n+i), on voit que x, est également 
divisible par p”, donc est nul. 
Notation. - Soit x un tlement non nul de Z,; Ccrivons .Y 
5ous la forme pna, avec u e U. L’entier n est appelé la 
vuluationp-adiquede x, et notéa,( On pose o,(O) = + CO, 
et l’on a : 
%c99 = %lw + qY) 
%I(x +Y) 2 Infod4ë)l %(Y))- 
Il rksulte aussitôt dé ces formules que Z, est un anneau 
intigre. 
Il est clair quele noyau de E, contientp”Z,; inversement, 
si x = (x,,,) appartient zi Ker (E,,), on a 3, % 0 (modp”) 
pour tout m > n, ce qui signifie qu’il existe un élément 
y?#-,, bien déterminé de A,-, tel que X, =~“y,-,,, 
Les y< définissent un Clément y de Z, = lim.A,, et l’on 
verifie tout de suite que !“y = .Y, ce &i achéve de 
démontrer la proposition. 
PROPOSMTOii 
la disknue 
I 3. - La topologie de ZD peut être definie par 
d(x,y) = e-OP@-“‘. 
L’anneau Z, est un espace complet, 
Les idéaux 1 
comme x EpA 
la topologie dl 
dam lequel Z est ohse. 
V’Zp forment une base de voisinages de 0; 
Z,, Cquivaut à v,(x) > n, on voit bien que 
s Z9 est definie par la distance 
d(x. y) =o g-W-‘). 
b) Si U dhîgne le groupe des &?mcnts inuersibles de Z,, 
.i 
Comme Z, est 
est un tlémer 
compact, il est complet. Enfin, si x = (x,) 
-~lt de Z,, et si yn l Z est congru a X, 
Imod ~“1, on a lim. Y, = x, ce qui prouve que 2 est 
PROPOSITION 2. - a) Pour qu’un élément de 2, (resp. 
de A,) soit inversible, il faut et il sujjit qu’il ne soit pas divisible 
Par P. 
tout tUment de Z, difftrcnt de 0 s’lcnt de fagota unique sous la 
jàrmep”u,avec UEU et naO. dense‘dans Z,. - ‘. F, 
1 *1 
26 CO"RS D'AWHMihQ~ CORPS h-ADIQUES 27 
1.3. Le corps Qo. 
D~INITION 2. - On appelle corps des nombres p-adiques, 
et on note Q,, le corps desfractions de l’anneau Z,. 
Onvoit tout desuiteque Qp = Z,lp-‘1. Toutélémentx 
de Qz s’écrit de façon unique sous la formep” u, avec n E 21, 
II E II; ici encore, n s’appelle la valuation p-adique de x, 
et se note u,(x). On a v,(x) 3 0 si etseulementsi x EZn. 
PROPOSITION 4. ~ Le corps Q,, muni de la topolag’e d@nie 
par d(x,y) = e-“~(‘-~~, est localement compact, et 21, en est 
un sous-annew ouoert ; le corps Q est dense dans 8,. 
C’est immédiat. 
Remarques. - 1) On aurait pu définir Q, (resp. Z,) 
comme le compZ&t!de Q (resp. Z) pour la distancep-adique d. 
2) La distance d vérifie l’inégalité « ultramhique » : 
42, 2) G Sup (4x, Y)> d(y, 4). 
On en déduit facilement qu’une suite u,, a une limite si 
et seulement si lim. (a,, +r - u.3 = 0; de même, une 
série converge si et seulement sr son terme général tend 
ver3 0. 
$2. Equations p-adiques 
2.1. Solutions. 
LEMME. - Soit . . . +Xn4Xn-,-+... -+X, un 
syst+?me projectzy, et soit X = 12. X, sa limite projective. Si 
les X, sontfinis et non vides, X est non vide. 
Le fait que X soit # 0 est clair si les X, + X,-r sont 
surjectifs ; on va se ramener à ce cas. Pour cela, notons X,. ‘D 
l’image de X, + D dans X, ; pour n fixe, les X,, ,, forment une 
famille decroissante d’ensembles finis non vides; il en 
a ll@.Y# # B d’aprts la remarque faite plus haut; 
d’où, a$rtG, 1%. X, # a. 
Notation. - Si f sZ,[X,, . . ., X,] est un polynôme 
à coefficients dans Z,, et si a est un entier > 1, on notef, 
le polynôme à coefficients dans A,, déduit de f par réduc- 
tion (modp”). 
PROPOSITION 5. - Soient f lit E Z,[X*, . . ., X,,,] des 
pol&hes à coefficients entiersp-adiques. Ily a &uivalence entre : 
i) 14s f ‘<’ ont un nCro commun dans (Z,)m. 
ii) Pour tout n > 1, les polynômes fA4) ont un zéro commun 
dans (AJm. 
Soit X (resp. X,) l’ensemble des zéros communs awfti) 
(resp.aux f$l). Les X, sont finis, et l’on a X = 2.X,; 
d’après le lemme ci-dessus, X est non vide si et seulement 
si les X, sont non vides; d’où la proposition. 
Unpoint x=(x1, . . . . x,,,) de (&Jm est dit primitif si 
l’un des T; est inversible, c’est-à-dire si les xi ne sont pas 
tous divisrbles par p; on définit de manière analogue les 
kléments primitifs de (A,)“. 
PROPOSITION 6 .-Soient f(l) E ZJX,, . . , , X,] despob- 
nômes fwmo.gènes à coqfficients entiersp-adiques, Ily a équivalence 
entre : 
a) Les f (‘1 ont un zéro commun non trivial dans (Q,)“. 
b) Les f ii) ont un zéro commun primitifdmrs (Z,)“. 
C) Pour taut n > 1, les fz’ ont un zkro commun fi’mitij 
dans (A,)m. 
résulte que cette famille est stationnaire, i.e. que X,,a est 
indépendant de p pour p assez. grand. Soit Y, cette valeur 
limite des X,. y, On verifie immédiatement que X,-+X,-, 
applique Y, sur Y, _ , ; comme les Y, sont non vides, on 
L’implication b) * a) est évidente. Inversement, si 
x=(x,, . . . . x,,,) est un zéro commun non trivial desfl”‘, 
posons : 
h= Inf(t&), . . ., ve(xm)), et y = p-*x. 
Il est clair que y est un éltment primitif de (Z,Jm, et que 
c’est un zéro commun des f (‘1; on a donc bien b) o a). 
i 
28 COURS D’ARITHMÉTIQUE CORPS P-ADIQuES 29 
Quant à l’équivalence de b) et c), elle résulte du lemme 
donné plus haut. 
Il existe alors un zéro y de f dans (Z,)llL qui est congru à x 
modula p” - k. 
2.2. Amklioration des solutions approchées. 
Il s’agit de passer d’une solution (mod fi”) à une solution 
véritable (i.e. à coefficients dans 2,). On utilise le lemme 
suivant (analoguep-adique de la « méthode de Newton ») : 
LEMME. - Soit f EZ~[X], et soit f’ sa dérivée. Soient 
x E Z,, n, k E Z tels que 0 < 2k < n, f(x) = 0 (mod p”), 
up(f’(x)) = k. Il existe alors y E Z, tel que : 
f(y) = 0 (modpnçl) 
sLf’(~)) = k et y = x (modplZ-k). 
Supposons d’abord que m = 1. En appliquant le 
lemme ci-dessus à x(O) = x, on obtient x(l) E Z,, congru 
à x(O) (mod pn-k), et tel que : 
f(P) E 0 (modplL+ l), uo(f’(x(l))) = k. 
On peut appliquer le Icmme à x(l), en remplaçant n 
par n -t 1. De proche en proche, on construit ainsi une 
suite x(O), . . ., x@), . . ., telle que : 
%(a + 1) E X(~) (mod p %+Qek), f(x(*)) = 0 (modpn+a). 
C’est une suite de Cauchy; si l’on note y sa limite, on a 
évidemment f(y) = 0 et y = x (modpnVk), d’où le 
théorème dans ce cas. 
Prenonsy de la forme x + p” -k z, avec z E Z,. D’après 
la formule de Taylor, on a : 
f(r) =f(x) +pabk.zf’(x) +p2n-2ka, avec a EZp. 
Par hypothèse, on a f(x) = p”6 et f’(x) = pkc, avec 
b E Z, et c E U; cela permet de choisir z de telle sorte 
que 
b + zc = 0 (modp). 
Dès lors 
f(y) =p”(b + zc) +pzn-Ika = 0 (modpn+l) 
puisque 2n - 2k > n. Enfin, la formule de Ta.ylor appli- 
. quée à f’ montre que ,f’(y) z P”C (mod pn - “) ; comme 
n -k > k, on en déduit bien que u,( f ‘(y)) = k. 
THÉORÈME 1. - Soient 
Le cas m > 1 se ramène au cas m = 1 car on ne 
modifie que xj. Plus précisément, soit 7~ Z,[X,] le 
polynôme à une variable obtenu en remplaçant les &, 
i # j, par les xi. On peut appliquer ce que l’on vient de 
démontrer à f et à xj; on en déduit l’existence de yj E xj 
(modp”- “) tel que l(yj) = 0. Si l’on pose yi = xi pour 
i # j, l’élément y = (yJ répond à la question. 
COROLLAIRE 1. - Tout zkro simple de la réduction modulo p 
d’un polynôme f se relève en un zéro de f à coefficients dans Z,. 
(Si g est un polynôme sur un corps, un zéro x de g 
est dit simple si l’une au moins des dérivées partielles ag/aXj 
est non nulle en x.) 
C’est le cas particulier n = 1, k = 0. 
COROLLAIRE 2. - Supposons p # 2. Soit 
f(X) = ZZaij xi Xj f E&J?L . * ‘9 K7J, 
etj un entier compris entre 1 
et que 
. . 
f(x) = 0 (modpn) 
x = (Xi) E (z,)?n, n,k+sZ 
et m. On sunpose que 0 < 2k < n, 
et 2, (gy (x)) = k. 
J 
avec aij = aji, une forme quadratique à coefficients dans Zp 
dont le discriminant det (aij) est inversible. Soit a E Z,. Toute 
solution primitive de l’équation f(x) = a (modp) se relève en 
une solution exacte. 
30 COURS D'ARITHMÉTIQUE CORPS ~~DI(LUES 31 
Vu le corollaire 1, il suffit de voir que x n’annule pas 
toutes les dérivées partielles defmodulo fl. Or : 
af = 2Ca..X. * 
ax, 6 23 û ’ 
comme det (aij) $ 0 (modf) et que x est primitive, 
on voit bien que l’une de ces dérivées partielles est $ 0 
(modp). 
COROLLAIRE 3. -Supposons p = 2. Soit 
f = caij&xj 
avec aij = aji, une forme guadratique à coefficients dans Z,, 
et soit a E Z,. Soit x une solution primitive de f(x) = a 
(mod 8). On peut relever x en une solution exacte, pourvu que x 
n’annule pas toutes les t?f/laX, modula 4; cette dernière condition 
est notamment vérifiée si det (aij) est inversible. 
La première assertion résulte du théorème, appliqué 
à n = 3, k = 1; la seconde se démontre comme dans 
le cas p # 2 (à cela près qu’il faut tenir compte du 
facteur 2). 
5 3. Le groupe multiplicatif de Q, 
3.1. La filtration du groupe des unités. 
Soit U = ZP le groupe des unités p-adiques. Pour 
tout n > 1, on pose U, = 1 +D”Z,; il est clair que U, 
est le noyau de I’homomorphisme E, : U + (z/p”zj*. 
En particulier, le quotient U/U, s’identifie à Fi, donc est 
cyclique d’ordre p - 1 (cf. chap. 1, th. 2). Les U, for- 
ment une suite décroissante de sous-groupes ouverts de U, 
et l’on a U = 15. V/U,. Si n 2 1, l’application 
(1 + p” x) H (x modulo p) définit un isomorphisme 
cela résulte de la formule : 
(1 + p”x)(l + ~“y) = 1 + p”(x +Y) (modp”+‘). 
On en déduit, par récurrence sur n, que U,/U, est d’ordre 
pn-1. 
LEMME. - Soit 0 -+ A -+ E + B -+ 0 une suite exacte de 
groupes commutatzfs (notés additivement), avec A et B jnis 
d’ordres a et b premiers entre eux. Soit B’ l’ensemble des x E E 
tels que bx = 0. Le groupe E est somme directe de A et de B’ ; 
de plus, B’ est le seul sous-groupe de E isomorphe à B. 
Puisque a et b sont premiers entre eux, il existe Y, s E Z 
telsque ar+bs=l. Si XEA~B’, ona ax=bx=O, 
d’où (ar + bs) x = x = 0 ; ainsi A n B’ = 0. De 
plus, tout x E E peut s’écrire x = arx + bsx; comme 
bB = 0, on a bE C A, d’où bsx E A; d’autre part, on 
a abE = 0, d’où arx E B. On voit donc bien que 
E = A 0 B’, et la projection E -+ B définit un isomor- 
phisme de B’ sur B. Inversement, si B” est un sous-groupe 
de E isomorphe à B, on a bB” = 0, d’où B” C B’ et 
B” = B’ puisque ces groupes ont le même ordre. 
PROPOSITION 7. - On a U =V x Ui, où 
V={xEUIx”-l== l} 
est le seul sous-groupe de U isomorphe à Fi. 
On applique le lemme aux suites exactes : 
l+U,/U,+U/U,+F;+l 
ce qui est licite puisque l’ordre de U,/U, _ i est fi” - l, et 
1 celui de Fi est p - 1. On en conclut que V/U, contient 
un unique sous-groupev, isomorphe à Fi, et la projection 
u/u,-+u/u,-1 
applique V, isomorphiquement sur V, _ i. Comme 
u = li@J/U, 
32 COURS D'ARITHMÉTIQUE 
on en déduit par passage à la limite un sous-groupe V 
de U isomorphe à Fi ; on a U = V x U, ; l’unicité de V 
résulte de celle des V,. 
COROLLAIRE. -Le corps Qp contient les racines (p - 1) -ièmes 
de l’unité. 
Remarques. - 1) Le groupe V s’appelle le groupe des 
représentants multiplicatifs des éléments de SP. 
2) L’existence de V peut aussi se démontrer en appli- 
quant le coroilaire 1 au théorème 1 à l’équation 
X9-‘-1 = 0. 
3.2. Structure du groupe U,. 
LEMME. - Soit x E U, - U,, r, avec n > 1 si p # 2 
et n 2 2 si p = 2. On a alors .P EU,+,- U,+,. 
L’hypothèse signifie que x = 1 + kpn, avec k $ 0 
(mod p). D’après la formule du binôme, on a 
xe=l+kpn+*+ . . . +k9pn9 
et les exposants de fi dans les termes non écrits sont 
> 2n + 1, donc aussi 2 n + 2. D’autre part, on a 
npanf2 (grâce au fait que na2 sip=2). On 
en conclut que 
x9 z 1 +kp,+l (modp”+2) 
d’où ~9 E U,,, - U,+s. 
PROPOSITION 8. - Si p # 2, U, est isomorpheà Z,. 
Si p = 2, on a U, = { + 1 } x U, et U, est isomorphe à Z,. 
Occupons-nous d’abord du cas p # 2. Choisissons un 
élément u E U, - U,, par exemple cc = 1 + fi. D’après 
lelemme ci-dessus, on a tc9; E U,+r - Ui+2. Soit M, l’image 
de a dans UJU,; on a (a,Jp”’ # 1 et (CC,)@-’ = 1 en 
vertu de ce qui précède. Mais UJU, est d’ordre p”- ‘; on 
en conclut que c’est un groupe cyclique, engendré par u,. 
CORPS p-ADIQUES 33 
Notons alors 0, a l’isomorphisme z t+ cri de Z/p” - lZ 
sur U,/U,. Le diagramme 
Z/P”Z Bn-l’oi u,/u,+, 
4 4 
z/pn-lZ e, u,/u, 
est commutatif. On en conclut que les 0,,, définissent un 
isomorphisme 0, de Z, = lim.Z/pn -‘Z sur 
t 
U, = lim. U,/U, , 
t 
d’où la proposition pour p # 2. 
Supposons maintenant que p = 2. On choisit alors 
cc E U, - Us, autrement dit u E 5 (mod 8). On définit 
comme ci-dessus des isomorphismes 
e n, a : Z/2” -2x -f u2/u,, 
d’où un isomorphisme 0, : Z, + U,. De plus, l’homo- 
morphisme 
u, -f u,/u, iz z/2z 
induit un isomorphisme de ( & 1 > sur Z/2Z. On en déduit 
que U, = {f l> x U,, c.q.f.d. 
THÉORÈME 2. - Le groupe 9; est isomorphe à 
Z x Z, XZ/(p--l)Z si p # 2 
et à 
z x z, x 21221 si p = 2. 
Tout élément x E Qp s’écrit de façon unique sous la 
forme x = p” u, avec nez et UEU. On a donc 
Q) E Z x U. D’autre part, la proposition 7 montre 
J.-P. SERRE 2 
,, 
34 COURS D'ARITHMÉTIQlJE 
que U=V X U,, où V est cyclique d’ordre p - 1; 
enfin, la structure de U, est donnée par la proposition 8. 
3.3. Carrés de Qi. 
THÉORÈME 3. - Supposons p # 2, et soit x = p” u un 
Ument de QV avec n E Z et u E U. Pour que x soit un carré, 
il faut et il suffit que n soit pair, et que l’image ii de u dans 
F; = V/U, soit un carré. 
(Cette dernière condition revient à dire que le symbole 
de Legendre (%) de ii est égal à 1; nous écrirons par la 
suite (i) au lieu de (;).) 
Décomposons u sous la forme u = v. ui, avec v E V 
et ur E U,. La décomposition QB E Z x V x U, du 
théorème 2 montre que x est un carré si et seulement si 
n est pair et v et u1 sont des carrés; mais U, est isomorphe 
a Z,, et 2 est inversible dans Z,; tout élément de U, est 
donc un carré. Comme V est isomorphe à Fi, le théorème 
en résulte. 
COROLLAIRE. - Si p # 2, le groupe QD/Qz est un groupe 
de type (2, 2) ; il admetpour représentants{ 1, p, u, UP> où u E U 
est telque (i) = - 1. 
C’est évident. 
THÉORÈME 4. - Pour qu’un élément x = 2”~ de Qi soit 
un carré, ilfaut et il suffit que n soitpair et que u s 1 (mod 8). 
La décomposition U = { & 1 > x U, montre que u est 
un carré si et seulement si u appartient à U,, et est un carré 
dans U,. Or l’isomorphisme 0, : Z, + U, construit dans 
la démonstration de la proposition 8 applique 2nZ, sur 
U n +2; on en conclut (pour n = 1) que l’ensemble des 
carrés de U, est égal à Us. Un élément u E U est donc 
un carré si, et seulement si, il est congru à 1 modula 8, 
d’où le théorème. 
CORPS p-ADIQUES 35 
F Remarque. - Le fait que tout élément de Us est un carré 
résulte aussi du corollaire 3 au théoreme 1, appliqué A la 
forme quadratique X2. 
COROLLAIRE. - Le groupe Ql/Qé” est de &pe (2,2,2). Il 
admet pour représentants { & 1, & 5, & 2, + lO}. 
4 Cela résulte du fait que { 5 1, & 5} est un sysdme de 
représentants pour V/U,. 
Remarques. - 1) Pour p = 2, définissons des homo- 
morphismes E, w : U/U, -+ Z/2Z au moyen des formules 
du chapitre 1, no 3.2 : 
w(z) Ez 7 (mod 2) = ( 
0 si .ZG& 1 (mod8) 
1 si z E f 5 (mod8). 
Il est clair que E définit un isomorphisme de V/U, sur 
Z/2Z et o un isomorphisme de U,/U, sur Z/ZZ. Le 
couple (E, w) définit donc un isomorphisme de U/U, SUT 
z/zz x z/zz; en particulier, une unité 2-adique z est 
un carré si et seulement si l’on a s(Z) = o(z) = 0. 
2) Les théorèmes 3 et 4 montrent que Q” est un sous- 
groupe ouvert de Qi. 
CHAPITRE III 
SYMBOLE DE HILBERT 
5 1. Propriétés locales 
Dans ce paragraphe, la lettre k désigne, soit le corps R 
des nombres réels, soit le corps Q, des nombres p-adiques 
(p étant un nombre premier). 
1 . 1. Définition et premières propriétés. 
Soient a, b E k’. On pose : 
(a, 6) = 1 si 2 - axs - by2 = 0 a une solution 
# (O,O, 0) dans k3; 
(a, b) = - 1 sinon. 
Le nombre (a, 6) = f 1 s’appelle le symbole de Hilbert 
de a et b, relativement à k. Il est clair que (a, 6) ne change 
pas lorsqu’on multiplie a et b par des carrés; le symbole 
de Hilbert définit donc une application de k’/kg2 x k’/k” 
dans (& l}. 
PROPOSITION 1. - Soient a, b E k’, et soit k, = k(G) 
le corps obtenu en adjoignant à k une racine carrée de b. 
Pour que (a, b) = 1, il faut et il suffit que a appartienne au 
groupe Nkb des normes des élbments de ki. 
Si b est le carré d’un élément c, l’équation 
$ - ax2 _ by” = 0 
SYMBOLE DE HILBERT 39 
admet (c, 0, 1) p our solution, et l’on a (a, 6) == 1, d’ou 
la proposition dans ce cas, puisque k, = k et Nkt = k’. 
Sinon, k, est quadratique sur k; si p désigne une racine 
carrée de 6, tout élément c E K, s’écrit z + fiy, avec 
y, z E k, et la norme N(t) de E est égale à 9 - 6~~. 
Si a E Nki, il existe donc y, z E k tels que a = $2 - 6~2, 
si bien que la forme quadratique 9 - ax2 - 6y2 a un 
zéro (2, l,y), et l’on a (a, 6) = 1. Inversement, si 
(a, 6) = 1, cette forme a un zéro (z, .~,y) # (0, 0, 0); 
on a nécessairement x # 0, car sinon 6 serait un carré; 
on en conclut que a est norme de 5 + p 5, 
PROPOSITION 2. - Le symbole de Hilbert satisfait aux 
formules : 
i) (a, 6) = (6, a) et (a, c”) = 1 ; 
ii) (a, - a) - 1 et (a, 1 - a) = 1; 
iii) (a, 6) = 1 3 (aa’, 6) = (a’, 6); 
iv) (a, 6) = (a, - ab) = (a, (1 -.- a) 6). 
(Dans ces formules, a, a’, 6, c désignent des éléments 
de k’; on suppose a # 1 lorsque la formule contient le 
terme 1 -a.) 
La formule i) est évidente. Si b = -a (resp. si 
6 = 1 - a), la forme quadratique 2 - ax2 - by’ a 
pour zéro (0, 1, 1) (resp. (1, 1, 1)) ; on a donc (a, 6) = 1, 
ce qui démontre ii). Si (a, 6) - 1, 1’élCmcnt a appartient 
au sous-groupe Nkb, cf. proposition 1; on a donc 
a’ E Nkb o na’ E Nkb 
ce qui démontre iii). La formule iv) résulte de i), ii), iii). 
Remarque. 
la formule 
- La formule iii) est un cas particulier de 
V> (aa’, 6) = (a, 6) (a’, 6) 
qui exprime la bilinéurité du symbole de Hilbert; ccttc 
formule sera démontrée au numéro suivant. 
1.2. Calcul de (a, 6). 
THÉORÈME 1. - Si k - R, OR a (a, 6) = 1 si a ou 6 
est > 0 et (a, 6) = - 1 si a et 6 sont < 0. 
Si k=Q p, et si l’on écrit a, 6 sous la forme fi” u, p” v où u 
et v appartiennent au groupe U des unités!-adiques, on a : 
(a, tjj = (- l)a@cn) (p)” (!!)’ 
(a, 6) = (- 1) E(U) E(U) + ado) + (3du) si p=2. 
[On rappelle que (i) d ési g ne le symbole de Legendre (i), 
1 
où ü est l’image de u par l’homomorphisme de réduction 
modulo p : U + Fg. Quant à E(U) et w(u), ils désignent 
u-l 
respectivement la classe modulo 2 de - 
22 - 1 
et de -, 
cf. chap. II, no 3.3.1 
2 8 
THÉORÈME 2. -Le symbole de Hilbert est uneforme bilinhaire 
non dhgénérée sur le F,-espace vectoriel k’/k”. 
[La bilinéarité de (a, 6) n’est autre que la formule v), 
mentionnée à la fin du no 1.1; l’assertion « (a, 6) est 
non dégénérée » signifie que, si b E k’ est tel que (a, 6) = 1 
pour tout a E k’, on a 6 E k’2.] 
COROLLAIRE. - Si 6 n’est pas un carré, le groupe Nki 
défini dans la proposition 2 est un sous-groupe d’indice 2 de k’. 
L’homomorphisme (Pu : k’ -+ { * 1 } défini par 
w,(a) = (a, 6) 
a pour noyau Nki, d’après la proposition 1; d’autre part, 
(P* est surjectif, puisque (a, 6) est non dégénérée. Ainsi, 
<pb définit un isomorphisme de k*/Nkb sur (& 1); d’où 
le corollaire. 
Remarque. - Plus géncralement, soit L une extension 
finie de k qui est galoisienne, et dont le groupe de Galois G 
40 COURS D’ARITHMÉTIQUE ~-- ~. --.~_ 
est commutatif.On peut montrer que k*/NL’ est isomorphe 
à G, et que la connaissance du groupe NL’ détermine L; 
ce sont là deux des principaux résultats de la théorie dite 
« du corps de classes local ». 
Dkmonstration des thkorèmes 1 et 2. 
Le cas où k = R est trivial; on notera que k’/k*2 est 
alors un espace vectoriel de dimension 1 (sur le corps F,), 
admettant pour représentants ( 1, - 1 }. 
Supposons maintenant que k = QP. 
LEMME. - Soit v E U une unité p-adique. Si l’équation 
.z2 -px2 - vy2 = 0 a une solution non triviale dans Q,, elle 
a une solution (z, x, y) telle que z, y E U et x E Z,. 
D’après la proposition 6 du chapitre II, no 2.1, l’équa- 
tion considérée a une solution primitive (z, x, y). Montrons 
que cette solution répond à la question. Sinon, on aurait 
soit y z 0 (mod p), soit ZEO (mod p) ; puisque 
z2 - vy2 z 0 (modp), et v $ 0 (modp), on aurait à 
la fois y E 0 (modp) et z E 0 (modp), d’où px2 E 0 
(mod p”), i.e. x EE 0 (mod p), contrairement au caractère 
primitif de (z, x, y). 
SYMBOLE DE HILBERT 4’ 
se relève en une solution p-adique (chap. II, no 2.2, 
cor. 2 au th. 1); on a donc bien (u, u) = 1. 
2) a = 1, p = 0. Il faut vérifier que (Pu, v) = (j). 
Gomme (u, v) = 1, on a (pu, v) = (p, v) d’après la 
formule iii) de la proposition 2; il suffit donc de vérifier 
que (p, v) = (t). C’est clair si v est un carré, les deux 
P 
termes étant égaux à 1. Sinon, on a (i) = - 1, cf. cha- 
pitre II, no 3.3, théorème 3; le lemme ci-dessus montre 
alors que z2 -px2 - vy2 n’a pas de zéro non trivial, 
et l’on a bien (p, v) = - 1. 
3) a = 1, S = 1. Il faut vérifier que : 
(pu, pu) = (- 1)‘” - 1)‘2 (j) (%> 
Or la formule iv) de la proposition 2 montre que : 
(pu, pu) = (pu, -p2 UV) = (pu, - UV). 
D’après ce que l’on vient de voir, on a donc : 
(Pu,Pv) = (“p-) 
Revenons maintenant à la démonstration du théo- 
rème 1, en supposant d’abord p # 2. 
Il est clair que les exposants a et S n’interviennent que 
par leur résidu modulo 2; vu la symétrie du symbole, 
il y a trois cas à considérer : 
1) a = 0, S = 0. Il faut vérifier que (u, v) = 1. 
Or l’équation 
22 - ux2 - uy2 = 0 
d’où le résultat cherché, puisque ($) = (- 1)‘~~~)‘~. 
Une fois le théorème 1 établi (pour p # 2), on en 
déduit le théorème 2; en effet, la formule donnant (a, 6) 
montre que c’est une forme bilinéaire; pour prouver que 
cette forme est non dégénérée, il suffit d’exhiber, pour 
tout a E k’/k*” distinct de l’élément neutre, un élément b 
tel que (a, b) = - 1. D’après le corollaire au théorème 3 
du chapitre II, no 3.3, on peut prendre a = p, u ou UP, 
a une solution non triviale modulo p (cf. chap. 1, Cj 2, 
cor. 2 au th. 3); comme le discriminant de la forme qua- 
dratique considérée est une unité p-adique, cette solution respectivement U, p et U. 
avec u E U tel que (f) = - 1; on choisit alors pour b 
P 
42 COURS D’ARITHMÉTlQ?JE -- ~-.~ 
Le cas fi = 2. Ici encore, u et p n’interviennent que 
par leur résidu modulo 2, et il y a trois cas à considérer : 
1) Gc = 0, p = 0. Il faut vérifier que (U, u) = 1 si 
u ou v est congru à 1 (mod 4) et (u, U) = - 1 sinon. 
Supposons d’abord que u = 1 (mod 4). On a alors 
u 3 1 (mod S), ou u G 5 (mod 8). Dans le premier cas, 
u est un carré (cf. chap. II, no 3.3, th. 4) et l’on a bien 
(u, v) = 1. Dans le second cas, on a u + 4v EE 1 (mod 8) 
et il existe w E U tel que w2 = u + 4v; la forme 
22 - ux2 - vy2 a donc pour zéro (w, 1, 2), et l’on a 
bien (u, v) = 1. Supposonsmaintenant que u = v = - 1 
(mod 4); si (z, ~,y) est une solution primitive de 
22 - ux2 - vy2 = 0 ) 
on a z2 + ~2 +y2 E 0 (mod 4); mais les carrés de Z/4Z 
sont 0 et 1; cette congruence entraîne donc que x, y, z sont 
congrus à 0 (mod 2), contrairement à l’hypothèse de 
primitivité. On a donc bien (u, v) = - 1 dans ce cas. 
2) ci = 1, p = 0. Il faut vérifier que : 
pu, v) = (- 1)E(U)EW + w(v)* 
Montrons d’abord que (2, v) = (- l)O’(Vi, c’est-à-dire 
que (2, v) = 1 équivaut à v E f 1 (mod 8). D’après 
le lemme ci-dessus, si (2, a) = 1, il existe ~,y, z E Z, tels 
que z~-~A~---u~~=O et y,z$O (mod2). On a 
alorsy2= z2= 1 (modS),d’où 1-2x2-v z 0 (mod8). 
Mais les seuls carrés modulo S sont 0, 1 ct 4; on en tire 
bien que v E 5 1 (mod 8). Inversement, si v s 1 
(mod S), v est un carré et (2, v) = 1; si v zz - 1 (mod S), 
l’équation z2 - 2x2 - vy2 = 0 admet (1, 1, 1) pour 
solution modulo 8, et cette solution approchée se relève 
en une solution véritable (cf. chap. II, no 2.2, cor. 3 au 
th. 1) ; on a donc bien (2, v) = 1. 
Il faut ensuite montrer que (224 v) (; (:,:)y, v) ; 
d’après la proposition 2, c’est vrai si 
(u, v) = 1. Il reste le cas (2, v) = (u, v) = - ;Pi.,. v OY 
SYMBOLE DE HILBERT 43 __~-.~-~- 
(mod 8) et u 3 3 ou - 1 (mod 8); quitte à multiplier u 
et v par des carrés, on peut donc supposer que u = - 1, 
v-3 ou u=3, v=-5; orleséquations 
z2 + 2x2 - 3y2 = 0 et z2 - 6x2 + 5y2 = 0 
ont pour solution (1, 1, 1); on a donc bien (u, v) = 1. 
3) 6! = 1, p = 1. Il faut vérifier que : 
pu, Lu) = (- l)Eh) E(V) + o(u) + O(O)* 
Or la formule iv) de la proposition 2 montre que : 
(2u, 2vj = (2~, - 4~71) = (224 -UV). 
D’après cc que l’on vient de voir, on a donc : 
pu, Zv) = (- l)E(U)E(-Uv) + 0(-uzI)* 
Comme E(- 1) = 1, w(- 1) = 0 et E(U)(~ + E(U)) = 0, 
l’exposant ci-dessus est bien égal à E(U) E(V) + w(u) + o(v), 
ce qui achève la démonstration du théorème 1. La bili- 
néarité de (a, 6) résulte de la formule donnant ce symbole, 
puisque E et w sont des homomorphismes. La non-dégéné- 
rescence se vérifie sur les représentants multiplicatifs 
{U,2u},avec u= 1,5,--l ou-5;onaeneffet: 
(5, 2u) = - 1 et (-1,-l) = (-l,-5) =-1. 
Remarque. - On peut expliciter la matrice de la forme 
bilinéaire (a, 6) par rapport à une base de k’/k*’ : 
- Pour k = R, c’est la matrice (- 1). 
- Pour k = Q,, p # 2, avec la base {p, u}, où 
(g> = - 1, c’est la matrice 
(mod 4), et (11: - :) sinon. 
(-i -:) si Pol 
- Pour i = Q2, avec la base { 2, - 1, 5}, c’est la 
matrice : 
l 1 1 -l\ 
( l--l 1. - 1 1 1 1 
“: 
r, I 
,, 44 COURS D’ARITHMÉTIQUE 
‘-. 
4 2. Propriéths globales 
Le corps Q des nombres rationnels se plonge comme 
sous-corps dense dans chacun des corps Q, et R. Si a, b E Q’, 
on note (a, b), (resp. (a, b),) le symbole de Hilbert de 
leurs images dans Qp (resp. dans R). On désigne par V 
la réunion de l’ensemble des nombres premiers et du 
symbole CO, et l’on convient que Q, = R. 
2.1. La formule du produit. 
THÉORÈME 3 (Hilbert). -Si a, b E &‘, on a (a, b), = 1 
pour presque tout v 6 V, et 
Il (a, b), = 1. 
VEV 
(L’expression « presque tout v EV » signifie « tous 
les éléments de V sauf un nombre fini >>.) 
Puisque les symboles de Hilbert sont bilinéaires, il 
suffit de démontrer le théorème lorsque a et b sont égaux 
à - 1 ou à un nombre premier. Dans chaque cas, le 
théorème 1 permet le calcul des (a, b), : 
1) a=-1, 6=-l. On a 
(-l,---1),=(-1,-1),=-l et (-l,--l),=l 
si p # 2, co; le produit est bien égal à 1. 
2) a = - 1, b = P, avec ! premier. Si e = 2, on a 
(-1,2), = 1 pour tout v EV ; 
si e# 2, ona 
(- 1, t), = 1 si u # 2, ! 
et 
(- 1, C), = (-- 1, e)! = (- l)‘(P) ; 
le produit est bien égal à 1. 
SYMBOLE DE HILBERT 45 
3) a = P, b = 1’, avec 6, C’ premiers. Si ( = I’, la 
formule iv) de la proposition 2 montre que 
cc, 4, = (- 1, % 
pour tout v E V, et l’on est ramené au cas traité ci-des- 
sus. Si E # C’ et si P’ = 2, on a (C, 2), = 1 pour 
v # 2, I et (P, 2), = (- l)Ocp), (e,2), = (z) = (-l)Otc), 
cf. chapitre 1, no 3.2, théorème 5. Si e et e’ sont distincts, 
et différents de 2, on a (C, P), = 1 pour v # 2, C, C 
et (e, e’), = (- l)EIP)E(P’), (P, l’), = (4>, (P, C’)p = (G); 
mais, d’après la loi de réciprocité quadratique (cf. chap. 1, 
no 3.3, th. 6), on a 
(!r) (f) = (-1)E’P’EW); 
le produit est bienégal à 1. Ceci achke la démonstration. 
Remarque. - La formule du produit est essentiellement 
équivalente à la loi de réciprocité quadratique. Son intérêt 
provient en grande partie de ce qu’elle peut s’étendre à 
tous les corps de nombres algébriques (l’ensemble V étant 
remplacé par l’ensemble des « places » du corps). 
2.2. Existence de nombres rationnels de symboles de Hilbert 
donnks. 
THÉORÈME 4. - Soit (aJiGI une famille finie d’&?ments 
de Q' et soit (E~,.)~EI,~EV une famille de nombres kgaux à f 1. 
Pour qu’il existe x E Q’ tel que (ai, x)~ = E~,~ pour tout i E 1 
et tout v E V, il faut et il suffit que les trot3 conditions suivantes 
soient satisfaites : 
(1) Presque tous les E,~. 2> sont égaux à 1. 
(2) Pour tout i E 1, on a JJ E - 1. 
VEV &” - 
46 COlJRS;D’ARITHMÉTIQUE 
(3) Pour tout v E V, il existe x, E Qi tel quL: 
(ai, 4, = Ei.v 
pour tout i E 1. 
La nécessité de (1) et (2) résulte du théorème 3; celle 
de (3) est triviale (prendre X, = x). 
Pour démontrer la suffisance de ces conditions, nous 
aurons besoin des trois lemmes que voici : 
LEMME 1 (« lemme chinois »). - Soient a,, . . ., a,, 
ml, . . ..m. des entiers, les mi étant premiers entre eux deux 
à deux. Il existe un entier a tel que a = u,~ (mod mJ pour 
tout i. 
Soit m le produit des mi. Le théorème de Bezout montre 
que l’homomorphisme canonique 
i=n 
ZlmZ -f n Zlm,Z 
i=l 
est un isomorphisme. Le lemme en résulte. 
LEMME 2 (« théorème d’approximation >j). - Soit S 
une partie finie de V. L’image de Q dans n Q, est dense dans 
SES 
ce produit (pour la topologie produit de celles des Q,). 
Quitte à agrandir S, on peut supposer que 
S={~,P1, . . ..P.) 
où les pi sont des nombres premiers distincts, et il s’agit 
de démontrer que Q est dense dans R x Qp, x . . . x QPn. 
Soit donc (x,, x1, . . ., x,J un point de ce produit, et 
montrons que ce point est adhérent à Q; quitte à faire 
une homothétie de rapport entier, on peut supposer que 
l’on a xi E Z,; pour 1 < i < n; il s’agit alors de montrer 
que, pour tout E > 0, et tout entier N > 0, il existe 
x E Q tel que : 
(X-X, I< E et vpi(x-.ri) > N pouri-1, . . . . n. 
SYMBOLE DE HILBERT 47 
D’après le lemme 1, appliqué aux m, = fi(, il existe 
x0 E Z tel que V~~(X~ -xi) > N pour tout i. Choisissons 
d’autre part un entier q > 2 qui soit premier à tous 
les pi (par exemple un nombre premier). 11 est facile de 
voir que les nombres rationnels de la forme a/qm, a E Z, 
m > 0, sont denses dans R (cela provient simplement de 
ce que q m -+ CO quand m -+ CO). On peut donc choisir 
un tel nombre u = a/q” tel que : 
1 x0 - x, + upl . . . p; 1 < 5. 
Le nombre rationnel x = x,, + UP: . . . pf répond alors 
à la question. 
LEMME 3 (« théorème de Dirichlet »). - Si a et m sont 
des entiers > 1 premiers entre eux, il existe une infinité de nombres 
premiers p tels que p s a (mod m). 
La démonstration sera donnée au chapitre VI; le 
lecteur pourra vérifier qu’elle n’utilise aucun des résultats 
des chapitres III, IV et V. 
Revenons maintenant au théorème 4, et soit (E& une 
famille de nombres égaux à + 1, et satisfaisant aux condi- 
tions (l), (2) et (3). Quitte à multiplier les ai par le carré 
d’un entier, on peut supposer que tous les a, sont entiers. 
Soit S le sous-ensemble de V formé de CO, 2, et des fac- 
teurs premiers des ai; soit T l’ensemble des éléments v E V 
tels qu’il existe i E 1 avec cimv = - 1; ces deux en- 
sembles sont finis. Distinguons deux cas : 
1) On a S n T = 0. 
Posons : 
a=nP et m=8 n P. 
:y 
IES 
m Pf2.m 
Puisque S n T = o, les entiers a et m sont premiers 
entre eux, et, d’après le lemme 3, il existe un nombre 
premier p E a (mod m) tel que p $ S U T. 
48 COURS D’ARITHMÉTIQUE ---~- 
Nous allons voir que le nombre x = ap répond à la 
question, autrement dit que (ai, .Y)~ = E~,~ pour tout i E 1 
et tout v EV. 
Si ~ES, ona +=l puisque SnT=o, et il 
faut donc vérifier que (ai, x)~ = 1. Si v = CO, cela 
provient de ce que x est > 0; si v est un nombre premier e, 
on a x E a2 (mod nz), d’où x E a2 (mod 8) pour &’ = 2, 
et x 3 a2 (mod e) pour &’ # 2; comme x et a sont des 
unités P-adiques, cela montre que x est un carré dans Q, 
(cf. chap. II, no 3.3), et l’on a bien (a,, x)~ = 1. 
Si v = P n’appartient pas à S, ai est une unité P-adique. 
Comme P # 2, on a 
(ai, b)P = ($)‘e(b’ pour tout b E Q;, 
cf. théorème 1. Si I $ T U {p}, x est une unité C-adique, 
d’où V((X) = 0, et la formule ci-dessus montre que 
(a,, x)[ = 1; d’autre part, on a &i,P = 1, puisque C # T. 
Si e E T, on a V~(X) = 1; d’autre part, la condition (3) 
montre qu’il existe xe E Qp tel que (ai, xI)( = Es.! pour 
tout i E 1; comme l’un des Es, p est égal à - 1 (puisque 
C appartient à T), on a V~(X[) z 1 (mod 2), d’où : 
(ai, x)l = (3) = (a,, xc)! = ~~~~ pour tout i E 1. 
P 
Reste enfin le cas C = p, que l’on ramène aux autres 
grâce à la formule du produit : 
SYMBOLE DE HILBERT 49 
il existe donc x’ E Q’ tel que XI/X” soit un carré dans g 
pour tout v E S. On a en particulier 
CU,, X’L = (ai, “4, = ci,* pour tout v E S. 
Si l’on pose ?i,v = ci,,(ui, ,Y’)~, la famille Y)~,~ vérifie 
les conditions (1), (2), (3), et de plus qi,v = 1 si v E S. 
D’après 1) ci-dessus, il existe donc y E Q’ tel que 
(% Y)1, = %.a 
pour tout i E 1 et tout v EV. Si l’on pose x = yx’, 
il est clair que x répond à la question. 
Cela achève la démonstration du théorème 4 dans le 
cas SnT=o. 
2) Cm ghdral. 
On sait que les carrés de Qi forment un sous-groupe 
ouvert de Ql. cf. chanitre II. no 3.3. D’anrès le lemme 2, 
CHAPITRE IV 
FORMES QUADRATIQUES 
SUR Q, ET SUR Q 
Q 1. Formes quadratiques 
1 . 1. Définitions. 
Rappelons d’abord la notion générale de forme quadra- 
tique (cf. Bourbaki, Alg., chap. IX, 5 3, no 4) : 
DÉFIN~TION 1. - Soit V un module sur un anneau commu- 
tatif A. Une a@ication Q : V + A est appelée une forme 
quadratique sur V si : 
1) On a Q(ax) = a2Q(x) pour a EA et x EV. 
2) L’application (~,y) H Q(x +y) - Q(x) - Q(y) est 
une forme bilinéaire. 
Un tel couple (V, Q) est appelé un module quadratique. 
Dans tout ce chapitre, nous nous limiterons au cas 
où l’anneau A est un corps k de caractéristique # 2; le A- 
module V est alors un k-espace vectoriel; nous le suppo- 
serons de dimension finie. 
On posera : 
X.Y = ; rQ(x +Y) - Q(x) - Q(r)1 > 
ce qui a un sens puisque la caractéristique de k est différente 
de 2. L’application (.Y, y) H X;V est une forme bilinéaire 
symétrique sur V; on l’appelle le produit scolaire associé à Q. 
i 
L 
E. 
52 COURS D’ARITHMÉTIQUE 
On a Q(x) = X.X. Cela établit une correspondance bijec- 
tive entre formes quadratiques et formes bilinèaires symétriques 
(il n’en serait plus de même en caractéristique 2). 
Si (V, Q) et (V’, Q) sont deux modules quadratiques, 
on appelle morphisme (ou morphisme métrique) de (V, Q) 
dans (V’, Q’) toute application linéaire f : V -+ V’ telle 
que Q of = Q; on a alors f(x) .f (y) = x .y pour 
%,y EV. 
Matrice d’une forme quadratique. - Soit (e,)iGiG ,~ une 
base de V. On appelle matrice de Q par rapport à cette 
base la matrice A = (aij), où aij = ei.ej; c’est une 
matrice symétrique. Si x = Çxiei est un élément de V, 
on a 
ce qui montre que Q(x) est une « forme quadratique » 
en x1, . . ., x, au sens usuel. 
Si l’on modifie la base (eJ au moyen d’une matrice 
inversible X, la matrice A’ de Qpar rapport à la nouvelle 
base est X. A. “X où ;X désigne la transposée de X. 
On a en particulier 
det (A’) = det (A) .det (X)2 
ce qui montre que det (A) est déterminé à la multiplication 
près par un élément de kB2; on l’appelle le discriminant de Q, 
et on le note disc (Q). 
1.2. Orthogonalité. 
Soit (V, Q) un module quadratique sur k. Deux élé- 
ments x, y de V sont dits orthogonaux si x.y = 0. L’en- 
semble deséléments orthogonaux à une partie H de V 
est noté Ho; c’est un sous-espace vectoriel de V. Si V, 
et Va sont deux sous-espaces vectoriels de V, on dit que 
V, et V, sont orthogonaux si V, C V!$ i.e. si x EV,, y E V, 
entraîne x.y = 0. 
L’orthogonal Vo de V tout entier est appelé le radical 
FORMES QUADRATIQUES SUR Qp ET SUR Q 53 
(ou le noyau) de V, et noté rad (V). Sa codimension 
s’appelle le rang de Q. Si Vo = 0, on dit que Q est non 
dégénérée; cela équivaut à dire que le discriminant de Q 
est # 0 (auquel cas on peut le considérer comme un 
élément du groupe k’/k*2). 
Soit U un sous-espace vectoriel de V, et soit U’ le dual 
de U. Soit qn : V -+ U’ l’application qui associe à 
tout x E V la forme linéaire (y E U k+ x .y). Le noyau 
de qU est U”. En particulier, on voit que Qest non dégé- 
nérée si et seulement si qv : V -+ V’ est un isomorphisme. 
DÉFINITION 2. - Soient U,, . . . , U, des sous-espaces vec- 
toriels de V. On dit que V est somme directe orthogonale des Ui 
si ceux-ci sont deux à deux orthogonaux et si V en est la somme 
directe. On ècrit alors : 
v = u, ô . . . ô u,. 
Remarque. - Si x E V a pour composante xi dans U,, 
on a 
Q(x) = QI(xd + - . - + QmhJ 
où QI= Q 1 Ui désigne la restriction de Q à Ui. Inver- 
sement, si (Vi, Qi) est une famille de modules quadra- 
tiques, la formule ci-dessus munit V = 0 Ui d’une 
forme quadratique Q, dite somme directe des Qi, et l’on 
a V = U, ô . . . ô U,. 
PnoPosrrroN 1. - Si U est un supplèmentaire de rad (V) 
dans V, on a V = U 6 rad (V). 
C’est clair. 
PROPOSITION 2. - Supposons (V, Q) non dègènèrè. Alors : 
i) Tout morphisme métrique de V dans un module quadra- 
tique (V’, Q) est injectzf 
ii) Pour tout sous-espace vectoriel U de V, on a : 
Uoo = U, dim U + dim U” = V 
rad (U) = rad (UO) = U n U”. 
54 COURS D’ARITHMÉTIQUE 
Pour que U soit non dégénéré, il faut et il suffit que U” le soit, 
auquel cas V = U ô U”. 
iii) Si V est somme directe orthogonale de deux sous-espaces, 
ceux-ci sont non dégénérés, et chacun d’eux est l’orthogonal de 
l’autre. 
Si f :V-+V’ est un morphisme métrique, et si 
f(x) = 0, on a x.y = f (X) .f (y) = 0 pour tout y 6 V; 
d’où x = 0 puisque (V, Q) est non dégénéré. 
Si U est un sous-espace vectoriel de V, l’homomor- 
phisme qU : V -+ U’ défini plus haut est surjectzf; en 
effet, il s’obtient en composant qv : V -f V’ avec la 
surjection canonique V’ -f U’, et l’on a supposé que qv 
est bijectif. On a donc une suite exacte : 
o+uo4v+u*+-0 
d’où dim V = dim U’ + dim U” = dim U + dim U”. 
Ceci montre que U et Uoo ont même dimension; 
comme U est contenu dans Uoo, on a U = Uoo;’ la 
formule rad (U) = U n U” est évidente; en l’appli- 
quant à U”, et en tenant compte de ce que Uoo = U, 
on en déduit que rad (UO) = rad (U), d’où en même 
temps la dernière assertion de ii). Enfin, iii) est triviale. 
1 .3. Vecteurs isotropes. 
DÉFINITION 3. - Un élément x d’un module quadratique 
(V, Q) est dit isotrope si l’on a Q(x) = 0. Un sous-espace U 
de V est dit isotrope si tous ses éléments sont isotropes. 
On a évidemment : 
U isotrope o U C U” o Q j U - 0. 
DÉFINITION 4. - On appelle plan hyperbolique tout module 
quadratique ayant une base formée de deux éléments isotropes x, y 
tels que x.y # 0. 
Quitte à multiplier y par 1 /x .y, on peut supposer que 
x.y = 1. La matrice de la forme quadratique par rannort 
FORMES QUADRATIQUES SUR Qp ET SUR Q 55 
.~ 
0 1 
à x, y est alors simplement 
( 1 1 0 
; son discriminant 
est -- 1 (en particulier, elle est non dégénérée). 
PROPOSITION 3. - Soit x un élément isotrope # 0 d’un 
module quadratique non dégénéré (V, Q). Il existe alors un 
sous-espace U de V qui contient x et qui est un plan hyperbolique. 
Puisque V est non dégénéré, il existe z EV tel que 
* x.2 = 1. L’élément y = 22 - (z. z) x est isotrope et 
x.y = 2. Le sous-espace U = kx + ky répond à la 
question. 
COROLLAIRE. - Si (V, Q) est non dégénéré et contient un 
élément isotrope non nul, on a Q(V) = k. 
(Autrement dit, pour tout a E k, il existe v EV tel 
que Q(v) = a.) 
Vu la proposition, il suffit de faire la démonstration 
lorsque V est un plan hyperbolique, de base x, y avec ~,y 
isotropes et x.y = 1. Si u E k, on a alors a = Q(x + ;y), 
d’où Q(V) = k. 
1 ,4. Bases orthogonales. 
DÉFINITION 5. - Une base (e,, . . . , e,) d’un module quadra- 
tique (V, Q) est dite orthogonale si elle est formée d’éléments 
deux à deux orthogonaux, i.e. si V = ke, 6 . . . 6 ke,. 
Il revient au même de dire que la matrice de Q par 
rapport à cette base est une matrice diagonale : 
/a, 0 . . . O\ 
Si x = Cx,ei, on a alors Q(x) = alxT + . . . + a,x!. 
THÉORÈME 1. - Tout module quadratique (V, Q) possède 
une base orthogonale. 
‘. 
56 COIJRS D’ARITHMÉTIQWE 
Cela se démontre par récurrence sur ri = dim V, le 
cas n = 0 étant trivial. Si V est isotrope, toute base 
de V est orthogonale. Sinon, on choisit un élément e, E V 
tel que e, . e, # 0. L’orthogonal H de e, est un hyperplan, 
et comme e1 n’appartient pas à H, on a V = ke, 6 H; 
VU l’hypothèse de récurrence, H possède une base ortho- 
gonale (en, . . . , e,); il est clair que (e,, e,, . . . , e,) répond 
à la question. 
DÉFINITION 6. - Deux bases orthogonales 
e = (e,, . . ., e,) et e’ = (e;, . ., eh) 
de V sont dites contiguës si elles ont un élément en commun 
(i.e. s’il existe i etj tels que e, = eg). 
THÉORÈME 2. - Supposons V non d&néré de dimension > 3, 
et soient e = (e,, . . ., e,), e’ = (e;, . . . > 4) deux bases 
orthogonabs de V. Il existe une .ruite finie e(O), e’?), . . . , e’“) 
de bases orfhogonabs de V telle que e(O) = e 4”) = e’, et 
que e@) soit contiguë à eci+ ‘) pour 0 < i < rn: 
(On dit que e(O), . . ., e(“‘) est une cha?ne de bases 
orthogonales contiguës reliant e à e‘.) 
Nous distinguerons trois cas : 
i) On a (e,.e,)(e;.e;) - (e,.e;)& # 0. 
Cela revient à dire que e1 et e; ne sont pas proportionnels 
et que Ic plan P = ke, + ke; est non dégénéré. Il existe 
alors E-, E; E P tels que 
P = ke, 6 ks? et P = ke; 6 ke& 
Soit H l’orthogonal de P; comme P est non dégénéré, 
on a V = H 6 P, cf. proposition 2. Soit (ei, . . . , ez) une 
base orthogonale de H. On peut alors relier e à e’ au 
moyen de la chaîne : 
e -f (e,, z2, ei, . . , ei) -f (e;, ii, ei, . . . , ec) + f: 
d’où le théorème dans ce cas. 
FORMES QUADRATIQUES SUR Qp ET SUR Q 57 
--- 
ii) On a (e,.el)(ek.ea) - (e,.e;)2 # 0. 
On raisonne de la même manière, en remplaçant e; 
par eé. 
iii) On a (e,. e,) (ei . ei) - (e, . ei)2 = 0 pour i = 1, 2. 
On démontre d’abord : 
LEMME. - Il existe x E k tel que e, = e; + xeé soit 
non isotrope, et engendre avec e, un plan non dkgénéré. 
. 
On a e,. e, = e; . e; + x”(eL. el) ; on doit donc prendre x2 
distinct de - (e; .e;)/(eé.e;). D’autre part, pour que e, 
engendre avec e, un plan non dégénéré, il faut et il suffit 
que 
(e,.e,)(e,.e,) - (el.e,)2 # 0. 
Si l’on explicite en tenant compte de l’hypothèse iii), 
on trouve que le premier membre est - 2x(e,. e;) (e, .eé). 
Or l’hypothèse iii) entraîne el.ei # 0 pour i = 1,2. 
On voit donc que e, vérifie les conditions du lemme si et 
seulementsil’onaàlafois x # 0 et x2 # -(e;.e;)/(ei.e;). 
Cela élimine au plus trois valeurs de x; si k a au moins 
4 éléments, on peut donc trouver un tel x. Reste le cas 
où k = F, (le cas k = F, est exclu puisque caract (k) # 2). 
Mais, dans ce cas, tout carré non nul est égal à 1, et 
l’hypothèse iii) s’écrit (e, .el) (ei.e;) = 1 pour i = 1, 2; 
le rapport (ei. e;)/(eé. eé) est donc égal à 1, et, pour réaliser 
la condition x2 # 0, - 1, il suffit de prendre x = 1. 
Ceci étant, choisissons e, = e; + xeg vérifiant les condi- 
tions du lemme. Comme e, n’est pas isotrope, il existe e3 
tel que (e,, ei) soit une base orthogonale de ke; 6 kei. 
Posons : 
e” = (e,, ei, e&. . . , eh) 
c’est une base orthogonale de V. Comme ke, + ke, est 
un plan non dégénéré, la partie i) de la démonstration 
montre que l’on peut relier e à e” par une chaîne de 
bases contiguës; d’autre part e’ et e” sont contiguës; 
d’où le théorème.