mostrar que n^5-n é divisível por 30 para todo inteiro n?

Temos que 30 = 2.3.5 portanto teremos que mostrar que n5 – n é divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente. 

Inicialmente vamos fatorar n5 – n

n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n2 – 1).(n2 + 1) = (n – 1).n.(n + 1).(n2 + 1)

2 | n5 – n

Logo percebemos que n – 1, n e n + 1 são três números consecutivos e em uma sequência de três números consecutivos pelo menos um é par, e então o produto dos três números é par e consequentemente divisível por 2. 

3 | n5 – n

Em uma seqüência de três números consecutivos um deles é múltiplo de 3, e então o produto dos três números é divisível por 3.

5 | n5 – n

Um número dividido por 5 deixa resto 0,1,2,3 ou 4. Assim n=5k+r com r ɛ {0,1,2,3,4} 

Para r=0 => n=5k 

(5k-1).5k.(5k+1).((5k)²+1)

onde (5k-1) ,5k e (5k+1) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k

Para r=1 => n=5k+1

(5k+1-1).(5k+1).(5k+1+1).((5k+1)²+1)

5k.(5k+1).(5k+2).(5k+1)²+1)

onde 5k ,(5k+1) e (5k+2) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k 

Para r=2 => n=5k+2

(5k+2-1).(5k+2).(5k+2+1).((5k+2)²+1)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+4+1)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+5)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5

onde (5k+1),(5k+2) e (5k+3) são três números consecutivos e (5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5 

Para r=3 => n=5k+3 

(5k+3-1).(5k+3).(5k+3+1).((5k+3)²+1)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+9+1)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+10)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5 

onde (5k+2),(5k+3) e (5k+4) são três números consecutivos e (5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5

Para r=4 => n=5k+4

(5k+4-1).(5k+4).(5k+4+1).((5k+4)²+1)

(5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1) 

onde (5k+3),(5k+4) e (5k+5) são três números consecutivos e (5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1) é múltiplo de 5 devido ao termo 5 quando no termo (5k+5) colocamos 5 em evidência.