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1 RED - Banco de Exerc´ıcios 2 Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Matrizes 1.1.1 Exerc´ıcios cap´ıtulo 2.1 do livro Questo 1.1 Sejam as matrizes A = ( 3 9 0 −5 −1 8 ) , B = 1 80 1 8 5 e C = 4 9 70 1 5 2 6 1 , determine: a) Qual e´ o valor de a11, a12, a13 ? b) Qual e´ o valor de b21, b12, b32 ? c) Qual e´ o valor de c13, c31, c32 ? Soluo: a) Para obtermos a11 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 1a coluna da matriz A. Logo o valor de a11 e´ 3. Para obtermos a12 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 2a coluna da matriz A. Logo o valor de a12 e´ 9. Para obtermos a13 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 3a coluna da matriz A. Logo o valor de a13 e´ 0. b) Para obtermos b21 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 2 a linha e 1a co- luna da matriz B. Logo o valor de b21 e´ 0. Para obtermos b12 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 2a coluna da matriz B. Logo o valor de b12 e´ 8. Para obtermos b32 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 3 a linha e 2a coluna da matriz B. Logo o valor de b32 e´ 5. c) Para obtermos c13 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 3a co- luna da matriz C. Logo o valor de c13 e´ 7. 3 4 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Para obtermos c31 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 3 a linha e 1a coluna da matriz C o valor de c31 e´ 2. Para obtermos c32 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1 a linha e 3a coluna da matriz C o valor de c32 e´ 6. � 1.2 Operac¸o˜es Matriciais Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Matrizes Questo 1.2 Sejam as Matrizes A = ( 3 4 5 7 ) , B = ( 0 9 5 7 ) , C = ( 6 2 0 3 ) , D = ( 0 1 8 1 ) e E = ( 1 2 5 0 7 2 ) determine: a) A + B b) A + E c) D −B d) C − E e) B + D − A f) C − E + A−D + B Soluo: a) Fac¸amos: A + B = ( 3 4 5 7 ) + ( 0 9 5 7 ) = ( 3 + 0 4 + 9 5 + 5 7 + 7 ) = ( 3 13 10 14 ) b) Fac¸amos: A + E = ( 3 4 5 7 ) + ( 1 2 5 0 7 2 ) = ( 3 + 1 2 4 + 5 5 + 0 7 + 7 2 ) = ( 7 2 9 5 21 2 ) c) Fac¸amos: D −B = ( 0 1 8 1 ) − ( 0 9 5 7 ) = ( 0− 0 1− 9 8− 5 1− 7 ) = ( 0 −8 3 −6 ) 1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 5 d) Fac¸amos: C − E = ( 6 2 0 3 ) − ( 1 2 5 0 7 2 ) = ( 6− 1 2 2− 5 0− 0 3− 7 2 ) = ( 11 2 −3 0 −1 2 ) e) Fac¸amos: B+D−A = ( 0 9 5 7 ) + ( 0 1 8 1 ) − ( 3 4 5 7 ) = ( 0 + 0− 3 9 + 1− 4 5 + 8− 5 7 + 1− 7 ) = ( −3 6 8 1 ) f) Fac¸amos: C − E + A−D + B = ( 6 2 0 3 ) − ( 1 2 5 0 7 2 ) + ( 3 4 5 7 ) − ( 0 1 8 1 ) + ( 0 9 5 7 ) = ( 6− 1 2 + 3− 0 + 0 2− 5 + 4− 1 + 9 0− 0 + 5− 8 + 5 3− 7 2 + 7− 1 + 7 ) = ( 17 2 9 2 25 2 ) � Questo 1.3 Sejam as Matrizes A = 1 0 88 1 5 0 4 1 , B = −9 1 01 2 8 3 −5 5 1 e C = 1 −2 10 3 0 7 9 −8 determine: a) A + B b) C + A c) A−B d) A + B − C Soluo: a) Fac¸amos: A + B = 1 0 88 1 5 0 4 1 + −9 1 01 2 8 3 −5 5 1 = 1− 9 0 + 1 8 + 08 + 1 2 1 + 8 5 + 3 0− 5 4 + 5 1 + 1 = −8 1 817 2 9 8 −5 9 2 b) Fac¸amos: C+A = 1 −2 10 3 0 7 9 −8 + 1 0 88 1 5 0 4 1 = 1 + 1 −2 + 0 1 + 80 + 8 3 + 1 0 + 5 7 + 0 9 + 4 −8 + 1 = 2 −2 98 4 5 7 13 −7 c) Fac¸amos: 6 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES A−B = 1 0 88 1 5 0 4 1 − −9 1 01 2 8 3 −5 5 1 = 1 + 9 0− 1 8− 08− 1 2 1− 8 5− 3 0 + 5 4− 5 1− 1 = 10 −1 815 2 −7 2 5 −1 0 d) Fac¸amos: A + B − C = 1 0 88 1 5 0 4 1 + −9 1 01 2 8 3 −5 5 1 − 1 −2 10 3 0 7 9 −8 = 1− 9 0 + 1 8 + 08 + 1 2 1 + 8 5 + 3 0− 5 4 + 5 1 + 1 − 1 −2 10 3 0 7 9 −8 = −8 1 817 2 9 8 −5 9 2 − 1 −2 10 3 0 7 9 −8 = −8− 1 1− (−2) 8− 117 2 − 0 9− 3 8− 0 −5− 7 9− 9 2− (−8) = −9 3 717 2 6 8 −12 0 10 � Multiplicac¸a˜o por Escalar Questo 1.4 Sejam as Matrizes A = ( 3 4 5 7 ) , B = ( 0 9 5 7 ) , C = ( 6 2 0 3 ) e D = ( 1 2 5 0 7 2 ) ,determine: a) 3B b) 2A c) 3C − 1 3 A d) 2D + 3(B − 2C) Soluo: a) 3B Fac¸amos: 3B = 3 ( 0 9 5 7 ) = ( 3 · 0 3 · 9 3 · 5 3 · 7 ) = ( 0 27 15 21 ) 1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 7 b) 2A Fac¸amos: 2A = 2 ( 3 4 5 7 ) = ( 2 · 3 2 · 4 2 · 5 2 · 7 ) = ( 6 8 10 14 ) c) 3C − 1 3 A Fac¸amos: 3C − 1 3 A = 3 ( 6 2 0 3 ) − 1 3 ( 3 4 5 7 ) = ( 3 · 6 3 · 2 0 3 · 3 ) − 13 · 3 13 · 4 1 3 · 5 1 3 · 7 = ( 18 6 0 9 ) − 1 43 5 3 7 3 = 17 143 −5 3 20 3 d) 2D + 3(B − 2C) Fac¸amos: 2D + 3(B − 2C) = 2 ( 1 2 5 0 7 2 ) + 3 (( 0 9 5 7 ) − 2 ( 6 2 0 3 )) = ( 2 · 1 2 2 · 5 2 · 0 2 · 7 2 ) + 3 (( 0 9 5 7 ) − ( 2 · 6 2 · 2 2 · 0 2 · 3 )) = ( 1 10 0 7 ) + 3 (( 0 9 5 7 ) − ( 12 4 0 6 )) = ( 1 10 0 7 ) + 3 ( 0− 12 9− 4 5− 0 7− 6 ) = ( 1 10 0 7 ) + 3 ( −12 5 5 1 ) = ( 1 10 0 7 ) + ( −36 15 15 3 ) = ( 1− 36 10 + 15 0 + 15 7 + 3 ) = ( −35 25 15 10 ) � 8 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Questo 1.5 Sejam as Matrizes A = 1 −6−8 2 0 3 , B = 7 2−9 5 1 0 e C = 13 21 0 2 4 determine: a) 3A b) 3B c) 1 2 C − 4A Soluo: a) 3C Fac¸amos: 3A = 3 1 −6−8 2 0 3 = 3 · 1 3 · (−6)3 · (−8) 3 · 2 3 · 0 3 · 3 = 3 −18−24 6 0 9 b) 3B Fac¸amos: 3B = 3 7 2−9 5 1 0 = 3 · 7 3 · 23 · (−9) 3 · 5 3 · 1 3 · 0 = 21 6−27 15 3 0 c) 1 2 C − 4A Fac¸amos: 1 2 C − 4A = 1 2 13 21 0 2 4 − 4 1 −6−8 2 0 3 = 1 3 · 1 2 2 · 1 2 1 · 1 2 0 · 1 2 2 · 1 2 4 · 1 2 − 4 · 1 4 · (−6)4 · (−8) 4 · 2 4 · 0 4 · 3 = 1 6 1 1 2 0 1 2 − 4 −24−32 8 0 12 = 1 6 − 4 1− (−24) 1 2 − (−32) 0− 8 1− 0 2− 12 = −23 6 25 65 2 −8 1 −10 � 1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 9 Multiplicac¸a˜o de Matrizes Questo 1.6 Sejam as Matrizes A = 1 02 9 8 4 3×2 , B = ( 9 1 2 3 ) 2×2 , C = 0 7 51 2 4 9 8 0 3×3 , D = ( 3 2 ) 1×2 e E = 12 3 3×1 . Se for poss´ıvel realize a multiplicac¸a˜o em cada caso: a) A.B b) C.A c) D.B d) B.E e) C.E f) A.E g) B.C h) A.D Soluo: a) A.B Temos A3×2 e B2×2 , como o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de B enta˜o o produto A.B e´ poss´ıvel e A.B = 1 02 9 8 4 ( 9 1 2 3 ) = 1 · 9 + 0 · 2 1 · 1 + 0 · 32 · 9 + 9 · 2 2 · 1 + 9 · 3 8 · 9 + 4 · 2 8 · 1 + 4 · 3 = 9 136 29 80 20 b) C.A Como temos C3×3 e A3×2 e o nu´mero de colunas de C e´ igual ao nu´mero de linhas de A enta˜o o produto C.A e´ poss´ıvel e C.A = 0 7 51 2 4 9 8 0 1 02 9 8 4 = 0 · 1 + 7 · 2 + 5 · 8 0 · 0 + 7 · 9 + 5 · 41 · 1 + 2 · 2 + 4 · 8 1 · 0 + 2 · 9 + 4 · 4 9 · 1 + 8 · 2 + 0 · 8 9 · 0 + 8 · 9 + 0 · 4 = 54 8337 34 25 72 10 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES c) D.B Como temos D1×2 e B2×2 e o nu´mero de colunas de D e´ igual ao nu´mero de linhas de B enta˜o o produto D.B e´ poss´ıvel e D.B =( 3 2 )( 9 1 2 3 ) = ( 3 · 9 + 2 · 2 3 · 1 + 2 · 3 ) = ( 31 9 ) d) B.E Como temos B2×2 e E3×1 e o nu´mero de colunas de B e´ diferente do nu´mero de linhas de E enta˜o o produto B.E NA˜O e´ poss´ıvel. e) C.E Como temos C3×3 e E3×1 e o nu´mero de colunas de C e´ igual ao nu´mero de linhas de E enta˜o o produto C.E e´ poss´ıvel e C.E = 0 7 51 2 4 9 8 0 12 3 = 0 · 1 + 7 · 2 + 5 · 31 · 1 + 2 · 2 + 4 · 3 9 · 1 + 8 · 2 + 0 · 3 = 2917 25 f) A.E Como temos A3×2 e E3×1 e o nu´mero de colunas de A e´ diferente do nu´mero de linhas de E enta˜o o produto A.E NA˜O e´ poss´ıvel. g) B.C Como temos B2×2 e C3×3 e o nu´mero de colunas de B e´ diferente do nu´mero de linhas de C enta˜o o produto B.C NA˜O e´ poss´ıvel. 1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 11 h) A.D Como temos A3×2 e D1×2 e o nu´mero de colunas de A e´ diferente do nu´mero de linhas de D enta˜o o produto A.D NA˜O e´ poss´ıvel. � Matriz Transposta Questo 1.7 Dadas as Matrizes A = ( 1 3 4 0 ) , B = 9 −20 8 1 3 , C = 1 9 34 0 9 2 5 8 e D = 5 21 3 4 0 determine: a) At b) Bt c) Ct d) Dt e) Verifique se (B + D)t = Bt + Dt f) (−Dt)t Soluo: a) At Para encontrar At basta trocar as linhas de A pelas colunas de A, ou seja se A = ( 1 3 4 0 ) , enta˜o At = ( 1 4 3 0 ) b) Bt Para encontrar Bt basta trocar as linhas de B pelas colunas de B, ou seja se B = 9 −20 8 1 3 , enta˜o Bt = ( 9 0 1−2 8 3 ) 12 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES c) Ct Para encontrar Ct basta trocar as linhas de C pelas colunas de C, ou seja se C = 1 9 34 0 9 2 5 8 , enta˜o Ct = 1 4 29 0 5 3 9 8 d) Dt Para encontrar Dt basta trocar as linhas de D pelas colunas de D, ou seja se D = 5 21 3 4 0 , enta˜o Dt = ( 5 1 4 2 3 0 ) e) Verifique se (B + D)t = Bt + Dt Por um lado, calculando (B + D)t temos: (B + D)t = 9 −20 8 1 3 + 5 21 3 4 0 t = 9 + 5 −2 + 20 + 1 8 + 3 1 + 4 3 + 0 t = 14 01 11 5 3 t = ( 14 1 5 0 11 3 ) por outro lado, calculando Bt + Dt temos: Bt + Dt = ( 9 0 1 −2 8 3 ) + ( 5 1 4 2 3 0 ) = ( 9 + 5 0 + 1 1 + 4 −2 + 2 8 + 3 3 + 0 ) = ( 14 1 5 0 11 3 ) logo a igualdade (B + D)t = Bt + Dt e´ valida para este caso. Isso pode ser provado no caso geral, para isso basta tomar duas matrizes B e D na forma gene´rica. f) (−Dt)t Fac¸amos: 1.3. A INVERSA DE UMA MATRIZ 13 (−Dt)t = − 5 21 3 4 0 tt = (−( 5 1 4 2 3 0 ))t = ( −5 −1 −4 −2 −3 0 )t = −5 −2−1 −3 −4 0 � 1.3 A inversa de uma Matriz Questo 1.8 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz A = ( 3 2 7 5 ) , se existir. Soluo: Fac¸amos a matriz A−1 = ( a b c d ) . Se A−1 e´ a inversa de A enta˜o A.A−1 = I2 logo: ( 3 2 7 5 )( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) ( 3a + 2c 3b + 2d 7a + 5c 7b + 5d ) = ( 1 0 0 1 ) Fazendo a igualdade, obtemos:{ 3a + 2c = 1 7a + 5c = 0 e { 3b + 2d = 0 7b + 5b = 1 Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 5, b = −2, c = −7 e d = 3 Logo a matriz inversa e´ A−1 = ( 5 −2 −7 3 ) � Questo 1.9 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz B = ( 5 3 3 2 ) , se existir. Soluo: Fac¸amos a matriz B−1 = ( a b c d ) .Se B−1 e´ a inversa de B enta˜o B.B−1 = I2 logo: 14 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES( 5 3 3 2 )( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) ( 5a + 3c 5b + 3d 3a + 2c 3b + 2d ) = ( 1 0 0 1 ) Fazendo a igualdade, temos:{ 5a + 3c = 1 3a + 2c = 0 e { 5b + 3d = 0 3b + 2d = 1 Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 2, b = −3, c = −3 e d = 5 Logo a matriz inversa e´ B−1 = ( 2 −3 −3 5 ) � Questo 1.10 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz C = ( 0 1 1 2 ) , se existir. Soluo: Fac¸amos a matriz C−1 = ( a b c d ) . Se C−1 e´ a inversa de C enta˜o C.C−1 = I2 logo:( 0 1 1 2 )( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) ( c d a + 2c b + 2d ) = ( 1 0 0 1 ) Fazendo a igualdade, temos:{ c = 1 a + 2c = 0 e { d = 0 b + 2d = 1 Resolvendo os sistemas, encontramos: a = −2, b = 1, c = 1 e d = 0 Logo a matriz inversa e´ C−1 = ( −2 1 1 0 ) � Questo 1.11 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz D = ( 2 −1 3 5 ) , se existir. Soluo: Fac¸amos a matriz D−1 = ( a b c d ) . Se D−1 e´ a inversa de D enta˜o D.D−1 = I2 logo: 1.4. DETERMINATES 15 ( 2 −1 3 5 )( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) ( 2a− c 2b− d 3a + 5c 3b + 5d ) = ( 1 0 0 1 ) Fazendo a igualdade, temos:{ 2a− c = 1 3a + 5c = 0 e { 2b− d = 0 3b + 5d = 1 Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 5 13 , b = 1 13 , c = − 3 13 e d = 2 13 Logo a matriz inversa e´ D−1 = ( 5 13 1 13− 3 13 2 13 ) � Questo 1.12 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz E = ( 1 −2 2 −4 ) , se existir. Soluo: Fac¸amos a matriz E−1 = ( a b c d ) . Se E−1 e´ a inversa de E enta˜o E.E−1 = I2 logo:( 1 −2 2 −4 )( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) ( a− 2c b− 2d 2a− 4c 2b− 4d ) = ( 1 0 0 1 ) Fazendo a igualdade, temos:{ a− 2c = 1 2a− 4c = 0 e { b− 2d = 0 2b− 4d = 1 Tentando resolver os sistemas, vemos que ambos na˜o possuem soluc¸a˜o. Portanto E na˜o possui inversa. � 1.4 Determinates Questo 1.13 Calcule os determinantes das seguintes matrizes: a) A = ( 5 ) 16 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES b) B = ( 1 3 0 5 ) c) C = ( 1 7 9 0 ) d) D = 0 3 21 5 6 9 5 7 e) E = 0 2 72 6 1 7 2 9 f) F = 9 0 3 2 2 0 1 2 0 1 0 4 8 6 4 2 Soluo: a) A = ∣∣ 5 ∣∣ = 5 Pois o determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 e´ o nu´mero real de igual valor ao elemento a11. b) B = ( 1 3 0 5 ) O determinante da matriz B = ( a11 a12 a21 a22 ) 2x2 e´ o nu´mero real obtido atrave´s do pro- duto dos elementos da diagonal princial menos o produdo dos elementos da diagonal secunda´ria. det a = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11 ∗ a22 − a12 ∗ a21 Logo o determinante da matriz B = ( 1 3 0 5 ) e´ : det b = 1.5− 0.3 = 5 logo det b = 5 c) C = ( 1 7 9 0 ) 1.4. DETERMINATES 17 De maneira ana´loga o determinante da matriz C = ( 1 7 9 0 ) e´ : detC = 1.0− 9.7 = 63 logo detC = 5 d) D = 0 3 21 5 6 9 5 7 Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 podemos usar a regra de Sarrus. detD = ∣∣∣∣∣∣ 0 3 2 1 5 6 9 5 7 ∣∣∣∣∣∣ = (0.5.7) + (3.6.9) + (2.1.5)− (9.5.2)− (5.6.0)− (7.1.3) detD = 0 + 162 + 10− 90− 0− 21 = 61 detD = 61 e) E = 0 2 72 6 1 7 2 9 Fac¸amos o mesmo procedimento do item anterior pela regra de Sarrus. detE = ∣∣∣∣∣∣ 0 2 7 2 6 1 7 2 9 ∣∣∣∣∣∣ = (0.6.9) + (2.1.7) + (7.2.2)− (7.6.7)− (2.1.0)− (9.2.2) detE = 0 + 14 + 28− 294− 0− 36 = −288 detE = −288 f) F = 9 0 3 2 2 0 1 2 0 1 0 4 8 6 4 2 Dada uma Matriz quadrada A, de ordem n > 2, o determinante de A e´ obtido pelo me´todo dos cofatores. Tomar como refereˆncia a 3a linha, pois a estrate´gia e´ sempre escolher a linha ou a coluna que apresenta um maior nu´mero de elementos nulos, pois assim o ca´lculo do determi- nante fica menor. Dessa forma detF = a31A31 + a32A32 + a33A33 + a34A34 como a31 e a33 sa˜o nulos enta˜o: detF = a32A32 + a34A34 onde a32 = 1 e a34 = 4 18 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Calculando os cofatores temos: A31 = (−1)3+2. ∣∣∣∣∣∣ 9 3 2 2 1 2 8 4 2 ∣∣∣∣∣∣ = (−1)5.(−18) = 18A31 = (−1)3+4. ∣∣∣∣∣∣ 9 0 3 2 0 1 8 6 4 ∣∣∣∣∣∣ = (−1)7.(−18) = 18 Substituindo temos: detF = 1.18 + 4.18 = 90 logo detF = 90 Questo 1.14 Verifique se det(A + B) = det(A) + det(B) para A = ( 1 2 9 0 ) e B = ( 6 7 1 3 ) Soluo: Temos que detA = 1.0− 9.2 = −18 e que detB = 6.3− 1.7 = 11 fazendo A + B = ( 1 + 6 2 + 7 9 + 1 0 + 3 ) = ( 7 9 10 3 ) det(A + B) = ∣∣∣∣ 7 910 3 ∣∣∣∣ = 7.3− 9.10 = −69 logo: det(A + B) 6= det(A) + det(B) pois −69 6= (−18 + 11) => −69 6= −7 Questo 1.15 Dada a matriz A = 2 1 −31 3 0 5 4 3 determine a matriz adjunta de A. � � 1.5. SISTEMAS LINEARES 19 Soluo: A matriz adjunta de A e a matriz formada pela matriz transposta dos cofatores de A. O cofator e dado por: Aij = (−1)i+j. detAij, sendo assim calculando os cofatores temos: A11 = (−1)1+1. ∣∣∣∣ 3 04 3 ∣∣∣∣ = (−1)2 ∗ .(9− 0) = 1.9 = 9 A12 = (−1)1+2. ∣∣∣∣ 1 05 3 ∣∣∣∣ = (−1)3.(3− 0) = (−1).3 = −3 A13 = (−1)1+3. ∣∣∣∣ 1 35 4 ∣∣∣∣ = (−1)4.(4− 15) = 1.(−11) = −11 A21 = (−1)2+1. ∣∣∣∣ 1 −34 3 ∣∣∣∣ = (−1)3.(3 + 12) = (−1).(15) = −15 A22 = (−1)2+2. ∣∣∣∣ 2 −35 4 ∣∣∣∣ = (−1)4.(8 + 15) = 1.23 = 23 A23 = (−1)2+3. ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ = (−1)5.(8− 5) = (−1).3 = −3 A31 = (−1)3+1. ∣∣∣∣ 1 −33 0 ∣∣∣∣ = (−1)4.(0 + 9) = 1.9 = 9 A32 = (−1)3+2. ∣∣∣∣ 2 −31 0 ∣∣∣∣ = (−1)5.(0 + 3) = (−1).(3) = −3 A33 = (−1)3+3. ∣∣∣∣ 2 11 3 ∣∣∣∣ = (−1)6.(6− 1) = 1.5 = 5 Logo a matriz adjunta de A e´ AdjA = 9 −3 −11−15 23 −3 9 −3 5 t = 9 −15 9−3 23 −3 −11 −3 5 � 1.5 Sistemas Lineares Questo 1.16 Classifique e resolva os sistemas dados pela regra de cramer a) { 2x− 3y = −5 x + 2y = 8 Soluo: Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD) Pela regra de cramer temos: 20 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES D = ∣∣∣∣ 2 −31 +2 ∣∣∣∣ = 7 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema. Dx = ∣∣∣∣ −5 −38 2 ∣∣∣∣ = 14 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coe- ficientes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Dy = ∣∣∣∣ 2 −51 8 ∣∣∣∣ = 21 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefi- cientes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Logo temos que: x = Dx D = 14 7 = 2 y = Dy D = 21 7 = 3 a soluc¸a˜o e´ dada por x = 2 e y = 3. b) { 3x− 2y = 3 2x + y = 1 Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD) Pela regra de cramer temos: D = ∣∣∣∣ 3 −22 1 ∣∣∣∣ = 7 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema. Dx = ∣∣∣∣ 3 −22 1 ∣∣∣∣ = 5 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefici- entes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Dy = ∣∣∣∣ 3 32 1 ∣∣∣∣ = −3 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefici- entes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Logo temos que: x = Dx D = 5 7 y = Dy D = −3 7 a soluc¸a˜o e´ dada por x = 5 7 e y = −3 7 1.5. SISTEMAS LINEARES 21 c) 3x− 4y + 3z = −1 2x− y − z = −5 x− 3y − z = −6 Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD) Pela regra de cramer temos: D = ∣∣∣∣∣∣ 3 −4 3 2 −1 −1 1 −3 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −25 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema. Dx = ∣∣∣∣∣∣ −1 −4 3 −5 −1 −1 −6 −3 −1 ∣∣∣∣∣∣ = 25 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coeficientes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Dy = ∣∣∣∣∣∣ 3 −1 3 2 −5 −1 1 −6 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −25 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coeficientes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Dz = ∣∣∣∣∣∣ 3 −4 −1 2 −1 −5 1 −3 −6 ∣∣∣∣∣∣ = −50 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coeficientes de z pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta. Logo temos que: x = Dx D = 25−25 = −1 y = Dy D = −25−25 = 1 Z = Dz D = −50−25 = 2 a soluc¸a˜o e´ dada por x = −1, y = 1 e z = 2 � Questo 1.17 Classifique e resolva o sistema dado por substituic¸a˜o Soluo: Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD) 22 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES a) −x + 3y + 3z = 10 3x + 4y + 6z = 5 2y + 3z = 1 Isolando y na 3a linha temos: y = 1 2 (1− 3z) substituindo y na 2a linha fica: 3x + 4(1 2 (1− 3z)) + 6z = 5 3x + 2− 6z + 6z = 5 3x = 3 => x = 1 substituindo x na 1a linha fica: −1 + 3(1 2 (1− 3z)) + 3z = 10 −1 + 3 2 − 9 2 z + 3z = 10 −3 2 z = 19 2 => z = −19 3 substituindo z em y temos: y = 1 2 (1− 3(−19 3 )) y = 1 2 (1 + 19) = 10 Assim: x = 1, y = 10 e x = 1 e´ a soluc¸a˜o do sistema. � Questo 1.18 Classifique e resolva os sistemas dados pelo me´todo de escalonamento a) 2x− 3y + 5z = 0 x− y + z = 0 3x + 2y − 12z = 0 Soluo: Resolvendo por escalonamento temos: 1.5. SISTEMAS LINEARES 23 2 −3 51 −1 1 3 2 −12 ∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 L1 = 12L1←→ 1 −32 521 −1 1 3 2 −12 ∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 L2 = −L1 + L2L3 = −3L1 + L3 ←→ 1 −32 520 1 2 −3 2 0 13 2 −39 2 ∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 L2 = 2L2 ←→ 1 −32 520 2 −3 0 13 2 −39 2 ∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 L1 = 32L2 + L1L3 = −132 L2 + L3←→ 1 0 −20 1 −3 0 0 0 ∣∣∣∣∣∣ 0 0 0 como temos a ultima linha formada por zeros classificamos esse sistema como: Sis- tema Poss´ıvel e´ Indeterminado. Da´ı Temos: x− 2z = 0 y − 3z = 0 0 = 0 colocando em func¸a˜o de z temos: x = 2z e y = 3z Logo, possui infinitas soluc¸o˜es, variando o valor de z obtemos diferentes resultados. b) x + y + 3z = −5 3x− 2y + 4z = 0 2x + 3y + z = 5 Resolvendo por escalonamento temos: 1 1 33 −2 4 2 3 1 ∣∣∣∣∣∣ −5 0 5 L2 = L2 − 3L1L3 = L3 − 2L1 ←→ 1 1 30 −5 −5 0 1 −5 ∣∣∣∣∣∣ −5 15 15 L1 = −L1 − L3L2 = L2 − 5L3 ←→ 1 0 80 0 20 0 1 −5 ∣∣∣∣∣∣ −20 −60 15 L2 = 1 20 L2 ←→ 1 0 80 0 1 0 1 −5 ∣∣∣∣∣∣ −20 −3 15 L1 = L1 − 8L2L3 = L3 + 5L2 ←→ 1 0 80 0 1 0 1 0 ∣∣∣∣∣∣ −20 −3 0 Da´ı temos: x = 4 y = 0 z = −3 que e´ a soluc¸a˜o do sistema. Esse sistema e´ classificado como Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD) c) −x + y − z = 4 x− y + z = 0 x− y = 2 Resolvendo por escalonamento temos: 24 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES −1 1 −11 −1 1 1 −1 0 ∣∣∣∣∣∣ 4 0 2 L1 = −L1←→ 1 −1 11 −1 1 1 −1 0 ∣∣∣∣∣∣ −4 0 2 L2 = −L1 + L2L3 = −L1 + L3 ←→ 1 −1 10 0 0 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣ 0 4 6 Da´ı Temos: x− y = 2 0 = 4 z = −6 Como temos 0 = 4 classificamos esse sistema como: Sistema Imposs´ıvel (SI). d) −2x− y + 2w = 0 3x + y − 2z − 2w = 0 −4x− y + 2z + 3w = −3 3x + y − z − 2w = 4 Resolvendo por escalonamento temos: −2 −1 0 2 3 1 −2 −2 −4 −1 2 3 3 1 −1 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 −3 4 L1 = L1 + L4 L2 = L2 − L4 L3 = L3 + L4 ←→ 1 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 0 1 1 3 1 −1 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 −4 1 4 L2 = −L2 L3 = L3 + L1 L4 = L4 − 3L1 ←→ 1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 4 5 −8 L1 = L1 + L2 L4 = L4 − 2L2 ←→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 8 4 5 −16 L4 = L4 + 2L3 ←→ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 8 4 5 −6 Da´ı temos: x = 8 y = −6 z = 4 w = 5 1.5. SISTEMAS LINEARES 25 que e´ a soluc¸a˜o do sistema. Esse sistema e´ classificado como Sistema Poss´ıvel e Deter- minado (SPD) Questo 1.19 Encontre a inversa das matrizes atrave´s do escalonamento: a) A = −3 4 −50 1 2 3 −5 4 Soluo: Para encontrar a inversa da matriz atrave´s do escalonamento devemos colocar a matriz ao lado da sua matriz identidade correspondente ( de mesma ordem da matriz que queremos encontrar a inversa). Assim:Escalonamos a matriz ate´ que no lado esquerdo se obtenha a matriz identi- dade −3 4 −50 1 2 3 −5 4 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 = L1 − 4L2L3 = L3 + 5L2 ←→ −3 0 −130 1 2 3 0 14 ∣∣∣∣∣∣ 1 −4 0 0 1 0 0 5 1 L3 = L3 + L1 ←→ a ideia chave aqui e obter a matriz identidade do lado esquerdo −3 0 −130 1 2 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ 1 −4 0 0 1 0 1 1 1 L1 = −L1− − 13L3L2 = L2 − 2L3 ←→ 3 0 00 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ −14 −9 −13 −2 −1 −2 1 1 1 L1 = 13L1 ←→ 1 0 00 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ −14 3 −3 −13 3−2 −1 −2 1 1 1 Logo assim a matriz inversa de A e´ A−1 = −143 −3 −133−2 −1 −2 1 1 1 b) B = 1 2 32 4 5 3 5 6 26 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Para encontrar a inversa da matriz atrave´s do escalonamento devemos colocar a ma- triz ao lado da sua matriz identidade correspondente ( de mesma ordem da matriz que queremos encontrar a inversa). Assim: Escalonamos a matriz ate´ que no lado esquerdo se obtenha a matriz identi- dade 1 2 32 4 5 3 5 6 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L2 = L2 − 2L1L3 = L3 − 3L1 ←→ 1 2 30 0 −1 0 −1 −3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 −2 1 0 −3 0 1 L1 = L1 + 3L2L3 = L3 − 3L2 ←→ a ideia chave aqui e obter a matriz identidade do lado esquerdo 1 2 00 0 −1 0 −1 0 ∣∣∣∣∣∣ −5 3 0 −2 1 0 3 −3 1 L1 = L1− + 2L3L2 = −L2 ←→ 1 0 00 0 1 0 −1 0 ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 2 2 −1 0 3 −3 1 L3 = −L3 ←→ 1 0 00 0 1 0 1 0 ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 2 2 −1 0 −3 3 −1 L2 <=> L3 ←→ 1 0 00 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 2 −3 3 −1 2 −1 0 Logo assim a matriz inversa de B e´ B−1 = 1 −3 2−3 3 −1 2 −1 0 � Questo 1.20 Verifique se a seguinte matriz e´ invert´ıvel: A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 3 1 2 3 1 1 2 0 Soluo: Para verificar se uma matriz e invert´ıvel ou na˜o devemos calcular o seu deter- minate e verificamos se ele e igual ou diferente de zero.Caso seja diferente de zero temos que a matriz e´ invert´ıvel. Para calcular o determinante de uma Matriz quadrada A, de ordem n > 2 sera´ u´tilizado o me´todo dos cofatores. Considerando-se a matriz A quadrada de ordem 4. Como podemos tomar como re- fereˆncia qualquer linha ou coluna da Matriz A escolhemos a 2a linha, pois a estrate´gia e´ sempre escolher a linha ou a coluna que apresenta um maior nu´mero de elementos nulos, pois assim o ca´lculo do determinante fica menor. Dessa forma 1.5. SISTEMAS LINEARES 27 detA = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23 + a24.A24 como a21 e a23 sa˜o nulos enta˜o: detA = a22.A22 + a24.A24 onde a22 = 2 e a24 = 1 Calculando os cofatores temos: A22 = (−1)2+2. ∣∣∣∣∣∣ 3 5 0 3 2 3 1 2 0 ∣∣∣∣∣∣ = (−1)4.(−3) = −3 A24 = (−1)2+4. ∣∣∣∣∣∣ 3 −1 5 3 1 2 1 1 2 ∣∣∣∣∣∣ = (−1)6.(14) = 14 Substituindo temos: detA = 2.(−3) + 1.14 = 8 logo detA = 8 como detA 6= 0 logo essa matriz e´ invertivel � �
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