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EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR – LISTA 04 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Função Vetorial. Definição. Uma função (ou aplicação) em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais é denominada função vetorial. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores. Para dizer que uma função vetorial f está definida de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, escreve-se f: V → W. Interessa, aqui, as funções vetoriais denominadas transformações lineares, definidas a seguir. Transformação Linear Definição. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função (ou aplicação) T: V → W é uma transformação linear de V em W se: i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀ u,v ∈ V. ii) T(αu) = αT(u), ∀ u ∈ V e α um escalar. OBS. Uma transformação linear T: V → V (o caso em que V = W) é chamada operador linear sobre V. Propriedades: P-1. Em toda transformação linear T: V → W a imagem do vetor 0 ∈ V é o vetor 0 ∈ W, isto é T(0) = 0. P-2. T(αu + βv) = αT(u) + βT(v). OBS. Se T: V → W é linear, então T(0) = 0. Porém, a reciproca não é verdadeira. Pode ocorrer que T(0) = 0 e T não ser linear. Núcleo de uma Transformação Linear. Definição. O núcleo de uma transformação linear T: V → W, denotado por N(T) ou Ker(T), é o conjunto formado por todos vetores v ∈ V tais que T(v) = 0 ∈ W. N(T) = { v ∈ V| T(v) = 0}. OBS. Note que N(T) ⊂ V e N(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ N(T) visto que T(0) = 0. Imagem de uma Transformação Linear. Definição. A imagem de uma transformação linear T: V → W, denotada por Im(T) ou T(V) é o conjunto dos vetores w ∈W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈V. ImT) = { w ∈W | w = T(v) para algum v ∈V }. OBS. Note que Im(T) ⊂ W e Im(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ Im(T) visto que 0 = T(0) ∈ Im(T). Propriedades do Núcleo e da Imagem de uma Transformação Linear. P-1. O núcleo de uma transformação linear T: V → W é um subespaço vetorial de V. P-2. A imagem de uma transformação linear T: V → W é um subespaço vetorial de W. P-3. Uma transformação linear T: V → W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}. P-4 Uma transformação linear T: V → W é sobrejetora se, e somente se, Im(T) = W. Teorema da Dimensão Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V → W é uma transformação linear, então dim V = dim N(T) + dim Im(T). Matriz de uma Transformação Linear. Seja uma transformação linear T: V → W, onde dimV = n e dim W = m e sejam A = {v1, v2, … , vn} e B = {w1,w2, … ,wm} bases de V e W, respectivamente. Um vetor v ∈ V pode ser expresso por v = x1v1 + x2v2 +⋯+ xnvn ou vA = (x1, x2, … , xn) e sua imagem T(v) = y1w1 + y2w2 +⋯+ ymwm ou T(v)B = (y1, y2, … , ym). Por outro lado, T(v) = T(x1v1 + x2v2 +⋯+ xnvn) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋯+ xnT(vn) Sendo T(v1), T(v2),… , T(vn) vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores w1,w2,, … ,wm de B, isto é, T(v1) = a11w1 + a21w2 +⋯+ am1wm T(v2) = a12w1 + a22w2 +⋯+ am2wm . . . . . . . . . . . . . . . T(vn) = a1nw1 + a2nw2 +⋯+ amnwm Assim, T(v) = x1(a11w1 + a21w2 +⋯+ am1wm) + x2(a12w1 + a22w2 +⋯+ am2wm) + … + xn(a1nw1 + a2nw2 +⋯+ amnwm) ou T(v) = (a11x1 + a12x2 +⋯+ a1nxn)w1+ (a21x1 + a22x2 +⋯+ a2nxn)w2 + ... + (am1x1 + am2x2 +⋯+ amnxn)wm. Mas, T(v) = y1w1 + y2w2 +⋯+ ymwm, então y1 = a11x1 + a12x2 +⋯+ a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 +⋯+ a2nxn . . . . . . ym = am1x1 + am2x2 +⋯+ amnxn Logo, tem-se o sistema cuja forma matricial é ( y1 y2 . . . ym) B = ( a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . . . . . . am1 am2… amn) ( x1 x2 . . . xm) A . A matriz ( a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . . . . . . am1 am2… amn) é denominada matriz da transformação linear T em relação às base A e B., geralmente denotada por [T]B A. Nota-se que a matriz coluna ( y1 y2 . . . ym) é formada pelas componentes do vetor T(v) na base B, a matriz coluna ( x1 x2 . . . xm) é formada pelas componentes do vetor v na base A e que as colunas da matriz [T]B A = ( a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . . . . . . am1 am2… amn) são as componentes dos vetores T(v1), T(v2), ..., T(vn), imagens dos vetores v1, v2, … , vn da base A em relação à base B. E mais, a matriz [T]B A é de ordem m x n, isto é, o número de linhas m = dim W e o número de colunas n = dim V. Tendo em vista que a matriz da transformação linear depende das bases A e B escolhidas, então a transformação linear poderá ser representada por uma infinidade de matrizes. Porém, escolhidas duas bases A e B a matriz [T]B A é única. Se as bases A e B forem as bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por [T]. Na prática cada matriz pode ser interpretada como matriz canônica de uma transformação linear. Operações com Transformações Lineares 1. Adição Sejam S: V → W e T: V → W transformações lineares. A soma de S com T é a transformação linear S + T: V → W tal que (S + T)(v) = S(v) + T(v ), ∀v ∈ V. Se A e B são bases quaisquer de V e W, respectivamente, então [S + T]B A = [S]B A + [T]B A 2. Multiplicação por Escalar Seja T: V → W uma transformação linear e α seja um escalar. O produto de α por T é a transformação linear αT: V → W tal que (αT)(v) = αT(v), ∀v ∈ V. Se A e B são bases quaisquer de V e W, respectivamente, então [αT]B A = α[T]B A 3. Composição Sejam S: V → W e T: W → U transformações lineares. A composta de S com T, denotada por T ∘ S, é a transformação linear T ∘ S: V → U tal que (T ∘ S)(v) = T(S(v)), ∀v ∈ V. Se A, B e C são bases quaisquer de V, W e U, respectivamente, então [T ∘ S]C A = [T]C B × [S]B A Transformações Lineares Planas Transformação linear plana é toda transformação linear T cujos domínio e contradomínio são o ℝ2. Serão vistas, aqui, algumas dessas transformações: 1. Reflexões 2. Dilatações e Contrações 3. Cisalhamentos 4. Rotação do Plano 1. Reflexões 1.1 – Reflexão em relação ao eixo x É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (x, -y), sendo M = ( 1 0 0 −1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝑥 −𝑦) = ( 1 0 0 −1 ) ( 𝑥 𝑦) 1.2 – Reflexão em relação ao eixo y É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-x, y), sendo M = ( −1 0 0 1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( −𝑥 𝑦 ) = ( −1 0 0 1 ) ( 𝑥 𝑦) 1.3 – Reflexão em relação à origem É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-x, - y), sendo M = ( −1 0 0 −1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( −𝑥 −𝑦) = ( −1 0 0 −1 ) ( 𝑥 𝑦) 1.4 – Reflexão em relação à reta y = x É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (y, x), sendo M = ( 0 1 1 0 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝑦 𝑥 ) = ( 0 1 1 0 ) ( 𝑥 𝑦) 1.5 – Reflexão em relação à reta y = - x É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-y, - x), sendo M = ( 0 −1 −1 0 ) sua matriz canônica. Isto é, ( −𝑦 −𝑥) = ( 0 −1 −1 0 ) ( 𝑥 𝑦) 2. Dilatações e Contrações 2.1 – Dilatação ou contração na direção do vetor. É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = 𝛼(x, y) = (𝛼x, 𝛼y), 𝛼 ∈ ℝ, sendo M = ( 𝛼 0 0 𝛼 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝛼𝑥 𝛼𝑦) = ( 𝛼 0 0 𝛼 ) ( 𝑥 𝑦). Note que: - se |𝛼| > 1, T dilata o vetor; - se |𝛼| < 1, T contrai o vetor; - se 𝛼 = 1, T é a transformação identidade; - se 𝛼 < 0, T muda o sentido do vetor. 2.2 – Dilatação ou contração na direção do eixo x. É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝛼𝑥, 𝑦), 𝛼 ≥ 0, sendo M = ( 𝛼 0 0 1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝛼𝑥 𝑦 ) = ( 𝛼 0 0 1 ) ( 𝑥 𝑦). Note que: - se 𝛼 > 1, T dilata o vetor; - se 0≤ 𝛼 < 1, T contrai o vetor. - se 𝛼 = 0, ter-se-ia T(x, y) = (0, y) e T seria a projeção do plano sobre o eixo y. ∗ Essa transformação também é chamada dilatação ou contração na direção horizontal de um fator 𝛼. 2.3 – Dilatação ou contração na direção do eixo y. É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥, 𝛼𝑦), 𝛼 ≥ 0, sendo M = ( 1 0 0 𝛼 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝑥 𝛼𝑦) = ( 1 0 0 𝛼 ) ( 𝑥 𝑦). Note que: - se 𝛼 > 1, T dilata o vetor; - se 0≤ 𝛼 < 1, T contrai o vetor. - se 𝛼 = 0, ter-se-ia T(x, y) = (x, 0) e T seria a projeção do plano sobre o eixo x. ∗ Essa transformação também é chamada dilatação ou contração na direção vertical de um fator 𝛼. 3. Cisalhamentos 3.1 – Cisalhamento na direção do eixo x. É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥 + 𝛼𝑦, 𝑦), sendo M = ( 1 𝛼 0 1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝑥 + 𝛼𝑦 𝑦 ) = ( 1 𝛼 0 1 ) ( 𝑥 𝑦). * Essa transformação também é chamada cisalhamento na direção horizontal de um fator 𝛼. 3.2 – Cisalhamento na direção do eixo y. É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥, 𝛼𝑥 + 𝑦), sendo M = ( 1 0 𝛼 1 ) sua matriz canônica. Isto é, ( 𝑥 𝛼𝑥 + 𝑦) = ( 1 0 𝛼 1 ) ( 𝑥 𝑦). * Essa transformação também é chamada cisalhamento na direção vertical de um fator 𝛼. 4. Rotação do plano A rotação do plano em torno da origem, que faz cada ponto do plano descrever um ângulo 𝜃, é a transformação linear Tθ: ℝ 2⟼ℝ2 tal que Tθ(x, y) = (x cos 𝜃 − 𝑦 sen𝜃, 𝑥 sen𝜃 + 𝑦 cos 𝜃), sendo (Tθ) = ( cos 𝜃 − sen𝜃 sen𝜃 cos𝜃 ) sua matriz canônica, ainda chamada matriz de rotação de um ângulo 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. Isto é, ( 𝑥 cos𝜃 − 𝑦 sen𝜃 𝑥 sen𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) = ( cos 𝜃 − sen𝜃 sen𝜃 cos 𝜃 )( 𝑥 𝑦). Note que 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 indica que a rotação se dá no sentido anti-horário. Porém, nada impede que a rotação seja no sentido horário, isto é, 𝜃 < 0. Assim o ângulo de rotação será designado por -θ e a matriz canônica por (T−θ) = ( cos𝜃 sen𝜃 −sen𝜃 cos 𝜃 ). Como se pode observar a matriz de rotação do ângulo -𝜃 é a inversa da matriz de rotação do ângulo 𝜃, ou seja (T−θ) = (Tθ) −1. Isso significa que a matriz (Tθ) leva o vetor v = (x, y) à sua imagem Tθ(x, y) = (x’, y’) e matriz (Tθ) −1 leva o vetor v’ = (x’, y’) de volta ao vetor v = (x, y). EXERCÍCIOS 01.Verificar se as transformações seguintes são lineares. a) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3y, -2x) b) T: ℝ² ⟶ ℝ³; T(x, y) = (x – y, 3x, -2y) c) T: V⟶ W; T(v) = 0, ∀v ∈ V. d) T: V⟶ W; T(v) = v, ∀v ∈ V. 02. a) Seja V o espaço vetorial da matrizes quadradas, de ordem n e seja M uma matriz arbitrária fixada de V e seja a transformação T: V → V, definida por T(A) = AM + MA, ∀ A ∈ V. Verificar que T é linear. b) Seja o espaço vetorial V = Pn(t) dos polinômios de grau menor ou igual que n e seja W = ℝ. A transformação T: Pn ⟶ℝ definida por T(u) = ∫ 𝑢𝑑𝑡 𝑏 𝑎 , a,b ∈ ℝ é linear. Verificar. 03. Dada a transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3x – 2y, x + 4y) e os vetores u = (2, 3) e v = (-3, 1), calcular: a) T(u) + T(v) b) T(2u – v) c) T(3u + 2v) 04. Fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x, y) do domínio e de sua imagem T(v) da transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ², dada por: a) T(x, y) = (3x, 0) b) T(x, y) = (2x, -3y) c) T(x, y) = (x, -y) 05. Determinar a lei que define cada transformação linear, abaixo: a) T: ℝ² ⟶ ℝ³ tal que T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0) b) T: ℝ³ ⟶ ℝ² tal que T(1, -1, 0) = (1, 1), T(0, 1, 1) = (2, 2) e T(0, 0, 1) = (3, 3) c) T: P2⟶ P2 tal que T(1) = x, T(x) = 1 – x² e T(x²) = x + 2x². (P2 é espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois) 06. Seja a transformação linear T: ℝ³ ⟶ ℝ² definida por T(1, 1, 1) = (1, 2), T(1, 1, 0) = (2, 3) e T(1, 0, 0) = (3, 4). a) Determinar T(x, y, z) b) Determinar v ∈ ℝ³ tal que T(v) = (-3, -2) 07. Seja T o operador linear em ℝ³ tal que T(1, 0, 0) = (0, 2, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, -2) e T(0, 0, 1) = (-1, 0, 3). a) Determinar T(x, y, z) b) Determinar v ∈ ℝ³ tal que T(v) = (5, 4, -9) 08. Seja o operador linear T: ℝ² ⟶ ℝ² tal que T(x, y) = (2x +y, 4x + 2y). i) Quais dos vetores seguintes pertencem a N(T)? a) u = (1, -2) b) v = (2, -3) c) w = (-3, 6) ii) Quais dos vetores seguintes pertencem a Im(T)? a) u = (2, 4) b) v = (− 1 2 , −1) c) w = (-1, 3) 09. Para cada transformação linear, abaixo, determinar seu núcleo e sua imagem. a) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3x – y, -3x +y) b) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (x – 2y, x + y) c) T: ℝ³ ⟶ ℝ²; T(x, y, z) = (x + 2y – z, 2x – y + z) d) T: ℝ³ ⟶ ℝ³; T(x, y, z) = (x – y – 2z, -x +2y + z, x – 3z) e ) T: M(2 × 2) ⟶ℝ²; T([ a b c d ]) = (a − b, a + b) 10. Seja a transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ³ definida por T(x, y) = (2x – y, x + 3y, -2y) e as bases A = {(-1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0)}. Determinar a matriz [T]B A. 11. Sabendo que [T]B A = [ 3 1 2 5 1 −1 ] é a matriz de uma transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ³ nas bases A = {(-1, 1), (1, 0)} e B = {(1, 1, -1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)}´, encontrar a expressão de T(x, y) e sua matriz [T]. 12. Considerar as transformações lineares S e T, de ℝ² ⟶ ℝ³, definidas por S(x, y) = (x – y, 2x + y, -2x) e T(x, y) = (2x – y, x – 3y, y). Calcular: a) (S + T)(x, y) b) (S – T)(x, y) c) (3S + 2T) 13. Sejam S e T operadores lineares de ℝ² definidos por S(x, y) = (x – 2y, y) e T(x, y) = (2x, -y). Determinar: a) (S ∘ T)(x, y) b) (T ∘ S)(x, y) c) (S ∘ S)(x, y) 14) Sejam as transformações lineares S: ℝ³ ⟶ ℝ4, e T: ℝ² ⟶ ℝ³, tais que S(x, y, z) = (x + y, z, x – y, y + z) e T(x, y) = (2x + y, x – y, x – 3y). a) (S ∘ T)(x, y) b) Determinar a matriz canônica de (S ∘ T). 15. Sejam S e T operadores lineares de ℝ³ definidos por S(x, y, z) = (x, 2y, x - y) e T(x, y, z) = (x - z, y, z). Determinar: a) [S ∘ T] b) [T ∘ S] 16. Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada. Sendo A(1, 1) e B(-1, 5), determinar o vértice C, utilizando a matriz de rotação do plano. 17. Os pontos A(-1, -1), B(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto em A. Determinar o vértice C, utilizando a matriz de rotação do plano. 18. Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear T, de ℝ² em ℝ2, que representa a sequência de transformações dadas: a) Uma reflexão em relaçãoao eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal. b) Uma rotação de 60°, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y. c) Uma reflexão em relação à reta y = -x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e, finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. 19. O vetor v = (3, 2) experimenta sequencialmente: Uma reflexão em relação à reta y = x, um cisalhamento horizontal de fatos 2, uma contração de fator 1 3 na direção do eixo y e finalmente uma rotação de 90º no sentido anti-horário. Pede-se a) o vetor v’ resultante dessa sequência de operações; b) a expressão da transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ² que representa a composta das quatro operações. c) Determinar a matriz canônica da composta das operações. RESPOSTAS 01. São lineares: a, b, c e d. 03. a) T(u) + T(v) = (-11, 15) b) T(2u – v) = (11, 27) c) T(3u + 2v) = (-22, 44) 05. a) T(x, y) = (-2x+ y, -x + y, -x) b) T(x, y, z) = (-y + 3z, -y + 3z) c) T(ax² + bx + c) = (2a – b)x² + (a +c)x + b 06. a) T(x, y, z) = (3x – y – z, 4x – y – z) b) v = (1, 6 – z, z) 07. a) T(x, y, z) = (-z, 2x, -2y + 3z) b) v = (2, -3, -5) 08. i) u e w ii) u e v 09. a) N(T) = {(x, 3x); x ∈ ℝ } b) N(T) = {(0, 0)} Im(T) = {(-y, y); y ∈ ℝ} Im(T) = ℝ² c) N(T) = {(x, -3x, -5x); x ∈ ℝ} d) N(T) = {(3z, z, z); z ∈ ℝ } Im(T) = ℝ² Im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ³, 2x + y – z = 0} e) N(T) = {( 0 0 c d ) ; c, d ∈ ℝ} Im(T) = ℝ² 10. [T]B A = [ 3 0 5 2 −3 3 ] 11. T(x, y) = (8x + 18y, 6x + 11y, -2x – 4y) e [T] = [ 8 18 6 11 −2 −4 ] 12. a) (S + T)(x, y) = (3x – 2y, 3x – 2y, -2x +y) b) (S – T)(x, y) = (-x, x + 4y, -2x – y) c) (3S + 2T)(x, y) = (7x – 5y, 8x – 3y, -6x + 2y) 13. a) (S ∘ T)(x, y) = (2x + 2y, -y) b) (T ∘ S)(x, y) = (2x – 4y, -y) c) (S ∘ S)(x, y) = (x – 4y, y) 14. a) (S ∘ T)(x, y) = (3x, x – 3y, x + 2y, 2x – 4y) b) T = ( 3 0 1 − 3 1 2 2 − 4 ) 15. a) [S ∘ T] = [ 1 0 −1 0 2 0 1 −1 −1 ] b) [T ∘ S] = [ 0 1 0 0 2 0 1 −1 0 ] 16. C(-1 - √3, 2√3) ou C’(3 - √3, 2 + 2√3) 17. C(-3, 4) ou C’(1, -6) 18. a) [ −1 5 0 1 ] b) [ − 1 2 √3 2 √3 2 1 2 ] c) [ 0 −2 −1 −6 ] 19. a) v’ = (-1, 8). b) T(x, y) = (− 1 3 𝑥, 2𝑥 + 𝑦) c) [T] = [− 1 3 0 2 1 ]
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