Lista 04

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
Lista 04 � Equações Diferenciais I � 2017-II
Capítulo 4 do livro [1]
1. Seção 4.1 (pág. 175�): 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 25, 26 e 27.
2. Seção 4.2 (pág. 181�): 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 25, 26, 27 e 40.
3. Seção 4.3 (pág. 185�): 1�4, 7, 11�13, 14, 15, 18 e 19.
4. Seção 4.4 (pág. 188�): 1�4, 6�8, 11�13, 14, 16.
Capítulo 5 do livro [1]
1. Seção 5.1 (pág. 195�): 1�8, 21�28.
2. Seção 5.2 (pág. 203�): 1, 2, 4�10, 15�17.
3. Seção 5.3 (pág. 207�): 5�8.
4. Seção 5.4 (pág. 216�): 1�16.
Capítulo 7 do livro [1]
1. Seção 7.1 (pág. 280�): 1� 7, 15, 16 e 22.
2. Seção 7.4 (pág. 302�): 2, 4, 6, e 7.
3. Seção 7.5 (pág. 309�): 1�6, 7a), 8a), 11, 12, 14, 15, 17, 29, 30 e 32.
4. Seção 7.6 (pág. 318�): 1�6, 8, 10, 13, 14, 16, 19, 24, 28, 31.
Exercícios adicionais
1. Encontre pelo menos os três primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências
em torno de x = 0 de duas soluções linearmente independentes das seguintes equações diferenciais:
(a) y
00
� x
2
y = 0
(b) y
00
� x
2
y
0
+ y = 0
2. Dada f : (0;+1)! R contínua, resolva a seguinte equação de Cauchy-Euler:
(
x
2
y
00
+ 3xy
0
+ y = f(x)
y(1) = y
0
(1) = 0
(1)
3. (a) Dê a solução geral das equações y
000
+ 3y
00
+ 3y
0
+ y = 0 e y
000
+ 2y
00
+ y
0
= 0.
(b) Sem efetuar os cálculos, indique como obter, usando o método dos coeficientes a determinar,
uma solução particular das equações y
000
+ 3y
00
+ 3y
0
+ y = e
�x
cosx + e
�x
e y
000
+ 2y
00
+ y
0
=
e
�x
cosx+ cosx.
1
4. Estude o sistema
(
x
0
1
= �x
1
+ x
2
x
0
2
= ��x
1
� x
2
(2)
e conclua que, se 1 < � � 0, então a origem é um nó estável e que, se � > 0, então a origem é uma
espiral estável. O que acontece quando � � �1?
5. Reso lva o problema de valor inicial
(
x
0
(t) = Ax(t)
x(0) = x
0
em que:
(a) A =
 
2 �3
1 �2
!
e x
0
=
 
0
1
!
(b) A =
 
�1 1
�1 �3
!
e x
0
=
 
1
0
!
(a) A =
 
1 �1
4 �3
!
e x
0
=
 
1
�1
!
6. Considere o sistema de equações lineares
(
x
0
1
= 3x
1
� x
2
x
0
2
= x
1
+ x
2
.
(a) Encontre uma solução na forma x
(1)
(t) = V
1
e
rt
.
(b) Encontre uma solução satisfazendo x
(2)
(t) = te
rt
V
1
+ V
2
e
rt
, com (A� rI)V
2
= V
1
.
(c) Determine uma solução x(t) satisfazendo a condição inicial x(0) = (x
1
(0); x
2
(0)) = (5; 2).
(d) Faça um esboço das trajetórias.
7. Considere o sistema homogêneo de equações lineares
(
x
0
1
= x
1
� x
2
x
0
2
= �5x
1
� 3x
2
(a) Encontre os autovalores e os autovetores.
(b) Determine a solução geral.
(c) Grafique o retrato de fase do sistema.
(d) Calcule a matriz exponencial e
tA
(Dica: e
tA
= �(t)�
�1
(0) em que �(t) é uma matriz funda-
mental).
8. Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
(
x
0
1
= x
1
� x
2
+ 2e
t
x
0
2
= �5x
1
� 3x
2
� e
t
(b) Usando a matriz T formada pelos autovetores, faça a mudança x = Ty e resolva o sistema
diagonal y
0
= Dy+ T
�1
g(t).
(d) Encontre a solução satisfazendo as condições x
1
(0) = 1 e x
2
(0) = �1.
Referências
[1] W. E. Boyce e R. C. Diprima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Rio de Janeiro: Guanabara koogan, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 9
a
Edição, 2010.
2