Lista 01

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
Lista 01 Equações Diferenciais I � 2017-II
1 Exercícios do livro [1]
1. Seção 1.3 (pág. 19): 1�28.
2. Seção 2.1 (pág. 29�31): 1c), 3c), 6c), 7c), 9c), 13, 16, 17, 19, 20, 27, 28, 38 e 39.
3. Seção 2.2 (pág. 36�38): 1-8, 9a) e c), 11a) e c), 16a) e c), 20a) e c), 30a), b), c) e d) 33a) e b), 38a)
e b).
4. Seção 2.4 (pág. 58�59): 1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 e 31.
5. Seção 2.6 (pág. 76�77): 1, 2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 19, 23 e 25�31.
6. Resolva os exercícios 1�31 (somente os ímpares) 33, 34a), 35, 37�47 (somente os ímpares) e 49 das
páginas 101�102.
2 Exercícios adicionais
1. Resolva o problema de valor inicial:
(
y
0
+ 5x
4
y = x
4
y(0) = y
0
:
(a) Encontre uma família a 1-parâmetro de soluções.
(b) Para quais valores de y
0
a solução é crescente e para quais valores de y
0
a solução é decrescente?
(c) Qual é o limite de y(x) quando x tende a +1? O limite depende do y
0
?
2. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(a)
�
y + cotg(
y
x
)
�
dx� xdy = 0 Rpta: x cos(
y
x
) = C
(b)
�
x+
p
y
2
� xy
�
dy
dx
= y, y(0; 5) = 1 Rpta: ln jyj = �2(1�
x
y
)
1=2
+
p
2
(c)
dy
dx
=
y�x
y+x
Rpta: ln(x
2
+ y
2
) + 2Arctg()
y
x
= C
3. (a) Encontre um fator de integração �(y) para a equação:
xy + (2x
2
+ 3y
2
� 20)
dy
dx
= 0
de forma a transformá-la numa equação exata, tal que
d�
�
= �
M
y
�N
x
M
dy.
(b) Resolva a equação utilizando o fator integrante �(y) encontrado.
4. (a) Determine, por inspeção, uma família a 1-parâmetro de soluções da equação diferencial xy
0
= y.
Verifique que cada membro da família é uma solução do problema de valor inicial xy
0
= y,
y(0) = 0.
(b) Explique o item (a) determinando uma região R no plano xy para a qual a equação diferencial
xy
0
= y teria uma única solução que passase por um ponto (x
0
; y
0
) em R.
1
(c) Verifique que a função definida por partes y(x) =
(
0; x < 0
x; x � 0
satisfaz a condição y(0) = 0.
Determine se essa função é também uma solução do problema de valor inicial dado no item
(a).
5. Suponha que M(x; y)dx+N(x; y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição
x = r cos �, y = r sin � leva a uma equação separável.
6. Considere a equação (5x
2
y + 6x
3
y
2
+ 4xy
2
)dx+ (2x
3
+ 3x
4
y + 3x
2
y)dy = 0:
(a) Mostre que a equação não é exata.
(b) Multiplique a equação por x
n
y
m
e determine valores para n e m que tornam a equação resul-
tante exata. Rpta: m = 1 e n = 2.
(c) Use a solução da equação exata para resolver a equação original.
(d) Alguma soluções foram perdidas no processo?
7. Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde k é um
parâmetro real.
(a) 2x
2
+ y
2
= k Rpta: x = Cy
2
;x = 0; y = 0
(b) y = kx
4
, y(0; 5) = 1 Rpta: x
2
+ 4y
2
= C
(c) y = e
kx
Rpta: 2y
2
ln y � y
2
+ 2x
2
= C
8. Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de curvas x
2
+ y
2
= kx, sendo k um parâmetro
real, satisfazem a
(2yx
�1
)dx+ (y
2
x
�2
� 1)dy = 0:
Encontre as trajetórias ortogonais resolvendo a equação anterior. Esboce a família de curvas, jun-
tamento com suas trajetórias ortogonais. (Dica: Tente multiplicar a equação por x
n
y
m
como no
exercício 6).
9. Considere o problema de valor inicial
(
y
2
+ 2x
3
y
0
= 0
y(x
0
) = y
0
. Determine
(a) a família a 1-parâmetro de soluções da equação y
2
+ 2x
3
y
0
= 0. Exiba uma solução singular
para esta equação;
(b) valores para x
0
e y
0
de forma que o PVI tenha solução única e determine tal solução;
(c) valores para x
0
e y
0
de forma que o PVI tenha infinitas soluções;
(d) valores para x
0
e y
0
de forma que o PVI não possua soluções.
10. Discuta a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
xy
0
� 4y = x
6
e
x
e na condição inicial dada.
(a) y(0) = 0;
(b) y(0) = y
0
; y
0
> 0;
(c) y(x
0
) = y
0
; x
0
> 0; y
0
< 0.
3 Equação de Ricatti
Uma equação de Ricatti é uma equação da forma
dy
dx
= P (x) +Q(x)y +R(x)y
2
(1)
2
em que P (x) Q(x) e R(x) são funções reais contínuas. Sendo conhecida uma solução particular y
1
(x), ou
seja
dy
1
dx
= P (x) +Q(x)y
1
+R(x)y
2
1
; (2)
podemos resolver a equação de Ricatti fazendo a substituição:
y(x) = y
1
(x) + v(x) (3)
em que v(x) é uma função a determinar. Então segue que
dy
dx
=
dy
1
dx
+
dv
dx
. Logo
dy
1
dx
+
dv
dx
= P (x) +Q(x)y
1
+Q(x)v +R(x)y
2
1
+ 2R(x)y
1
v +R(x)v
2
:
Utilizando a identidade (2) temos
dv
dx
=
�
Q(x) + 2R(x)y
1
(x)
�
v +R(x)v
2
: (4)
Assim para resolver a equação de Ricatti, devemos resolver a equação de Bernoulli (4), e depois substituir
a função v(x) na solução (3).
3.1 Exercícios
1. Resolva a equação de Ricatti sabendo que y
1
é uma solução particular:
dy
dx
= e
2x
+ (1 + 2e
x
)y + y
2
; y
1
(x) = �e
x
:
2. Resolva a equação de Ricatti sabendo que y
1
é uma solução particular:
dy
dx
= �
4
x
2
�
y
x
+ y
2
; e y
1
(x) = 2x
�1
:
3. Resolva o PVI
(
y
0
= y
2
�
y
x
�
1
x
2
y(1) = 2
sabendo que y
1
(x) =
1
x
é uma solução dada da equação diferencial. Rpta: y(x) =
2x
3�x
2
+
1
x
.
4. Resolva o PVI
(
y
0
= (y � x)
2
+ 1
y(0) = 1=2
sabendo que y
1
(x) = x é uma solução dada da equação diferencial. Rpta: y(x) =
1
2�x
+ x.
Referências
[1] W. E. Boyce e R. C. Diprima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Rio de Janeiro Guanabara Koogan, Livros Técnicos e Científicos, 9
a
Edição, 2010.
3