exemplos resolvidos deslocamentos apoios elasticos - método dos deslocamentos

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG 20/04/2017 Escola de Engenharia
Me´todo dos Deslocamentos - Apoios ela´sticos
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Resolver a viga abaixo mostrada admitindo que o apoio C e´ ela´stico a` rotac¸a˜o como indicado.
Considerar EI = 13, 5× 103 kN/m2 e k = 105 kNm/rad.
O sistema principal a ser adotado e´ mostrado na figura abaixo. Observe que no apoio da ex-
tremidade a` direita, o movimento de rotac¸a˜o esta´ deve ser impedido, tendo em vista a presenc¸a de
restric¸a˜o parcial a` rotac¸a˜o devido a presenc¸a da mola de torc¸a˜o.
Deste sistema principal se conclui que o sistema de equac¸o˜es a resolver sera´ de ordem 2, e
expresso matricialmente na forma[
And1
And2
]
=
[
Aeq1
Aeq2
]
+
[
k11 k12
k21 k22
] [
D1
D2
]
Na figura abaixo sa˜o mostradas as ac¸o˜es nodais diretas.
Por inspec¸a˜o visual, se pode concluir que seus valores sa˜o nulos.
[And] =
[
0
0
]
.
Na figura abaixo sa˜o mostradas as ac¸o˜es nodais equivalentes.
Seus valores sa˜o obtidos a partir do estado E0 mostrado na figura que segue.
Cursos de Engenharia Civil 1 Mecaˆnica Estrutural II - Turma A
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Estes valores sa˜o
Aep1 = −48 + 72 = 24 e Aep2 = −72,
logo,
[Aep] =
[
24
−72
]
.
Na figura que segue sa˜o mostradas as ac¸o˜es referentes ao estado E1.
Desta figura se pode calcular os valores dos coeficientes de rigidez k11 e k21 que valem
k11 =
3EI
LAB
+
4EI
LBC
=
3× 13, 5× 103
4
+
4× 13, 5× 103
6
= 19125,
k21 = k12 =
2EI
LBC
=
2× 13, 5× 103
6
= 4500.
Na figura que segue sa˜o mostradas as ac¸o˜es referentes ao estado E2.
Desta figura se pode calcular o valor do coeficiente de rigidez k22 que vale
k22 =
4EI
LBC
+ k =
4× 13, 5× 103
6
+ 105 = 109000.
Cursos de Engenharia Civil 2 Mecaˆnica Estrutural II - Turma A
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Observac¸a˜o important´ıssima:
Na expressa˜o anterior, o valor do coeficiente de rigidez 4EILBC , decorrente de rotac¸a˜o unita´ria do no´
C, onde ha´ restric¸a˜o parcial a` rotac¸a˜o, deve ser SOMADO ao valor da constante da mola de torc¸a˜o
k. Esta e´ a forma de inclusa˜o deste tipo de apoio ela´stico na ana´lise pelo me´todo dos deslocamentos.
Se pode montar o sistema de equac¸o˜es para soluc¸a˜o da viga. Este sistema toma a forma mostrada
abaixo[
0
0
]
=
[
24
−72
]
+
[
19125 4500
4500 109000
] [
D1
D2
]
Resolvendo este sistema de equac¸o˜es, ficam determinados os valores dos deslocamentos inco´gnitos[
D1
D2
]
=
[ −1, 42416× 10−3
7, 19346× 10−4
]
(rad)
(rad)
Segue o ca´lculo das reac¸o˜es e momentos de continuidade e de extremidade
RA = 36 +
3EI
L2AB
×D1 = 36 + 3× 13, 5× 10
3
16
× (−1, 42416× 10−3) = 32, 40 kN ↑ .
RB = (60 + 72) +
(
− 3EI
L2AB
+
6EI
L2BC
)
×D1 + 6EI
L2BC
×D2 =
= 132 +
(
−3× 13, 5× 10
3
16
+
6× 13, 5× 103
36
)
× (−1, 42416× 10−3) +
+
6× 13, 5× 103
36
× 7, 19346× 10−4 = 134, 01 kN ↑ .
RC = 72− 6EI
L2BC
×D1 − 6EI
L2BC
×D2 == 72− 6× 13, 5× 10
3
36
× (−1, 42416× 10−3)−
− 6× 13, 5× 10
3
36
× 7, 19346× 10−4 = 73, 59 kN ↑ .
M esq.B = −48 +
3EI
LAB
×D1 = −48 + 3× 13, 5× 10
3
4
× (−1, 42416× 10−3) =
= −62, 42 kNm y .
Mdir.B = 72 +
4EI
LBC
×D1 + 2EI
LBC
×D2 = 72 + 4× 13, 5× 10
3
6
× (−1, 42416× 10−3) +
+
2× 13, 5× 103
6
× 7, 19346× 10−4 = 62, 42 kNm x .
Cursos de Engenharia Civil 3 Mecaˆnica Estrutural II - Turma A
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MC = −k ×D2 = −105 × 7, 19346× 10−4 = −71, 93 kNm y, MA = 0.
Observac¸a˜o important´ıssima:
Na expressa˜o anterior e´ mostrado que o valor da reac¸a˜o momento em C, correspondente ao movi-
mento parcialmente restringido a` rotac¸a˜o, e´ IGUAL ao produto do valor do deslocamento multiplicado
pela rigidez da mola com sinal trocado.
Exemplo 2
Resolver a viga abaixo mostrada admitindo que o apoio B e´ ela´stico a` translac¸a˜o como indicado.
Considerar EI = 13, 5× 103 kN/m2 e k = 104 kN/m.
O sistema principal a ser adotado e´ mostrado na figura abaixo. Observe que no apoio central
B, o movimento de translac¸a˜o deve ser impedido tendo em vista a presenc¸a de restric¸a˜o parcial a`
translac¸a˜o pela mola de extensa˜o.
Deste sistema principal se conclui que o sistema de equac¸o˜es a resolver sera´ de ordem 2, e
expresso matricialmente por[
And1
And2
]
=
[
Aeq1
Aeq2
]
+
[
k11 k12
k21 k22
] [
D1
D2
]
Na figura abaixo sa˜o mostradas as ac¸o˜es nodais diretas.
Por inspec¸a˜o visual, se pode concluir que seus valores sa˜o nulos.
[And] =
[
0
0
]
.
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Na figura que segue sa˜o mostradas as ac¸o˜es nodais equivalentes.
Seus valores sa˜o obtidos a partir do estado E0 mostrado na figura que segue.
Desta figura se pode calcular Aep1 e Aep2 cujos valores valem
Aep1 = 60 + 90 = 150 e Aep2 = −48 + 108 = 60,
logo,
[Aep] =
[
150
60
]
.
Na figura que segue sa˜o mostradas as ac¸o˜es referentes ao estado E1.
Desta figura se pode calcular os valores dos coeficientes de rigidez k11 e k21 que valem
k11 =
3EI
L3AB
+
3EI
L3BC
+ k =
3× 13, 5× 103
64
+
3× 13, 5× 103
216
+ 10.000
= 10.820, 31.
Observac¸a˜o important´ıssima:
Na expressa˜o anterior, o valor do coeficiente de rigidez 3EI
L3AB
+ 3EI
L3BC
, decorrente de translac¸a˜o
unita´ria do no´ B, onde ha´ restric¸a˜o parcial a` translac¸a˜o, deve ser SOMADO ao valor da constante da
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mola de extensa˜o k. Esta e´ a forma de inclusa˜o deste tipo de apoio ela´stico na ana´lise pelo me´todo
dos deslocamentos.
k21 = k12 = − 3EI
L2AB
+
3EI
L2BC
= −3× 13, 5× 10
3
16
+
3× 13, 5× 103
36
=
= −1.406, 25.
Na figura que segue sa˜o mostradas as ac¸o˜es referentes ao estado E2.
Desta figura se pode calcular os valores dos coeficientes de rigidez k22 que vale
k22 =
3EI
LAB
+
3EI
LBC
=
3× 13, 5× 103
4
+
3× 13, 5× 103
6
= 16.875.
Se pode montar o sistema de equac¸o˜es para soluc¸a˜o da viga. Este sistema toma a forma mostrada
abaixo[
0
0
]
=
[
150
60
]
+
[
10820, 31 −1406, 25
−1406, 25 16875
] [
D1
D2
]
Resolvendo este sistema de equac¸o˜es, ficam determinados os valores dos deslocamentos inco´gnitos
[
D1
D2
]
=
[ −1, 4482× 10−2
−4, 7624× 10−3
]
(m)
(rad)
Segue o ca´lculo das reac¸o˜es e momentos de continuidade na forma
RA = 36− 3EI
L3AB
×D1 + 3EI
L2AB
×D2 = 36− 3× 13, 5× 10
3
64
× (−1, 4482× 10−2) +
+
3× 13, 5× 103
16
× (−4, 7624× 10−3) = 33, 11 kN ↑ .
RB = −k ×D1 = −10.000× (−1, 4482× 10−2) = 144, 82 kN ↑ .
Observac¸a˜o important´ıssima:
Na expressa˜o anterior e´ mostrado que o valor da reac¸a˜o forc¸a em B, correspondente ao movimento
parcialmente restringido a` translac¸a˜o, e´ IGUAL ao produto do valor do deslocamento multiplicado
pela rigidez da mola com sinal trocado.
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RC = 54− 3EI
L3BC
×D1 − 3EI
L2BC
×D2 = 54− 3× 13, 5× 10
3
216
× (−1, 4482× 10−2)−
− 3× 13, 5× 10
3
36
× (−4, 7624× 10−3) = 62, 07 kN ↑ .
M esq.B = −48−
3EI
L2AB
×D1 + 3EI
LAB
×D2 = −48− 3× 13, 5× 10
3
16
× (−1, 4482× 10−2) +
+
3× 13, 5× 103
4
× (−4, 7624× 10−3) = −59, 56 kNm y .
Mdir.B = 108 +
3EI
L2BC
×D1 + 3EI
LBC
×D2= 108 + 3× 13, 5× 10
3
36
× (−1, 4482× 10−2) +
+
3× 13, 5× 103
6
× (−4, 7624× 10−3) = 59, 56 kNm x .
MA = 0, e MC = 0.
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