Simulação computacional Método dos Deslocamentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Análise Estrutural II, oferecida pela Universidade 
Federal do Espírito Santo, como requisito para 
avaliação durante a graduação em Engenharia 
Civil - Bacharelado. 
 
Professor: Marcos Antonio Campos Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
1 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO………………..……………..………..…………..……………..……………...​3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA……………..………………...………..……………..​4 
B. SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO ……………..…………………..………..……………..​5 
C. CASO BÁSICO (0) ……………..……………..……………..………..……..……………..​6 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM AS DESLOCABILIDADES………….……………..​7 
D.1 Caso (1): deslocabilidade D​1​ isolada no SH …..………….…..…………………….​7 
D.2 Caso (2): deslocabilidade D​2​ isolada no SH …..………….…..…………………….​8 
D.3 Caso (3): deslocabilidade D​3​ isolada no SH …..………….…..…………………….​9 
D.4 Caso (4): deslocabilidade D​4​ isolada no SH​…..………….…..……………...……10 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO…………………………....……………..​10 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES …...………....……..​11 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS……………..…………....…..……………..​12 
CONCLUSÃO……………..……………..……………………....……………..……………..​12 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………..……………..……………..​13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
INTRODUÇÃO 
 
Para resolver uma estrutura hiperestática, é sempre necessário considerar os três 
grupos de condições básicas da análise estrutural: condições de equilíbrio, condições 
de compatibilidade entre deslocamentos e deformações, e condições impostas pelas 
leis constitutivas dos materiais. 
O segundo método básico para analisar uma estrutura – dado que o primeiro é o 
método das forças – é o chamado método dos deslocamentos. Em sua formalização, 
existe uma sequência de introdução das condições do problema: primeiro são 
utilizadas as condições de compatibilidade, em seguida são consideradas as leis 
constitutivas dos materiais e, finalmente, são utilizadas as condições de equilíbrio. 
Na prática, sua metodologia é: “somar uma série de soluções básicas (chamadas de 
casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas não satisfazem 
as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na superposição, restabelecer as 
condições de equilíbrio” (MARTHA, 2010). Este procedimento é o inverso do que foi 
feito na solução pelo método das forças, vista no T1 desta disciplina. 
O presente trabalho visa a analisar um pórtico hiperestático por meio do método dos 
deslocamentos. Para tanto, o software Ftool será uma ferramenta auxiliar no 
desenvolvimento deste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA 
Foi definido, arbitrariamente, o quadro plano com quatro deslocabilidades a seguir. O 
carregamento ao qual está submetido, a configuração deformada da estrutura e suas 
dimensões encontram-se na Figura 1. 
Quanto às propriedades, o material adotado apresenta módulo de elasticidade igual a 
E=2,05.10​8 ​kN/m² e todas as barras apresentam seção transversal com área A=6,7.10​-​³ 
m² e momento de inércia I=4,8.10​-5​ m​4​. 
 
 
 
 
 
 
A=6,7.10​-​³ m² 
I=4,8.10​-5​ m​4 
E=2,05.10​8 ​kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 -​ Estrutura original. 
 
As componentes de deslocamentos e rotações dos nós, que serão as incógnitas da 
solução da estrutura pelo método dos deslocamentos, estão representadas na Figura 2 
com seus valores e unidades (obtidos pelo software Ftool). D​1​, D​2 e D​3 ​correspondem, 
respectivamente, aos deslocamentos horizontal, vertical e à rotação no nó interno, ao 
passo que D​4​ ​corresponde à rotação no nó externo. 
Estas componentes, chamadas de deslocabilidades, são os parâmetros que definem a 
configuração deformada da estrutura vista anteriormente. 
 
4 
 
Figura 2 -​ Deslocabilidades obtidas pelo Ftool. 
 
Os sentidos representados na imagem são os convencionados positivos no método dos 
deslocamentos, assim, os sinais negativos indicam sentidos contrários. Posteriormente, 
esses valores serão utilizados para verificação da solução do problema. 
 
B. SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 
O equilíbrio da estrutura original é imposto na forma de equilíbrio dos nós isolados. 
Portanto, a solução deste problema pelo método dos deslocamentos recai em 
encontrar os valores que D​1​, D​2​, D​3 e D​4 ​devem ter para que os nós fiquem em 
equilíbrio. A determinação das deslocabilidades é feita através da superposição de 
casos básicos, que, neste trabalho, serão cinco: casos (0), (1), (2), (3) e (4). 
A estrutura utilizada na superposição de casos básicos é obtida, a partir da original, 
pela adição de vínculos externos (apoios fictícios). À vista disso, temos o quadro plano 
completamente indeslocável (todos os nós com deslocamentos e rotações impedidos) 
apresentado na Figura 3. Essa estrutura será o Sistema Hipergeométrico (SH) para o 
método dos deslocamentos. 
5 
 
Figura 3 -​ Sistema Hipergeométrico (SH). 
 
C. CASO BÁSICO (0) 
O caso (0) do método dos deslocamentos se refere à solicitação externa isolada no SH. 
Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios fictícios neste caso foram 
obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 4. 
 
 
Figura 4 -​ Configuração deformada do SH no caso (0). 
6 
A reação horizontal ​β​10​, a reação vertical ​β​20 e as reações momento ​β​30 e ​β​40​, nas 
direções dos vínculos adicionados para a criação do SH, são chamados de termos de 
carga. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para β indicam que a força apresenta sentido 
contrário ao sentido positivo da convenção de sinais para o método dos des- 
locamentos, a qual é representada pelas setas pretas na figura. 
 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM AS DESLOCABILIDADES 
Neste item, serão abordados os casos em que a estrutura do Sistema Hipergeométrico 
está sujeita às deslocabilidades uma a uma. Aqui, as reações de apoio nas direções 
dos vínculos adicionados correspondem aos coeficientes de rigidez. 
 
D.1 Caso (1): deslocabilidade D​1​ isolada no SH 
O caso (1) se refere à deslocabilidade D​1 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​1​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​1 deverá ter. Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios 
fictícios neste caso foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 5. 
 
 
Figura 5 -​ Configuração deformada do SH no caso (1). 
 
7 
A reação horizontal K​11​, a reação vertical K​21 ​e as reações momento K​31 e K​41​, 
causadas por D​1​=1​, ​nas direções dos vínculos adicionados para a criação do SH, são 
chamados de coeficientes de rigidez. Por definição, as unidades dos coeficientes de 
rigidez correspondem às unidades de força divididas pela unidade da deslocabilidade 
em questão, que é m. 
 
D.2 Caso (2): deslocabilidade D​2​ isolada no SH 
O caso (2) se refere à deslocabilidade D​2 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​2​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​2 deverá ter. Osvalores das reações de apoio relacionadas aos apoios 
fictícios neste caso foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 6. 
 
Figura 6 -​ Configuração deformada do SH no caso (2). 
 
A reação horizontal K​12​, a reação vertical K​22 ​e as reações momento K​32 e K​42​, 
causadas por D​2​=1, ​nas direções dos vínculos adicionados para a criação do SH, 
também são coeficientes de rigidez. Por definição, as unidades dos coeficientes de 
rigidez correspondem às unidades de força divididas pela unidade da deslocabilidade 
em questão, que é m. 
8 
Vale ressaltar que o sinal negativo para K​32 ​indica que a reação apresenta sentido 
contrário ao sentido positivo da convenção de sinais adotada no método dos des- 
locamentos, representada pelas setas pretas na imagem. 
 
D.3 Caso (3): deslocabilidade D​3​ isolada no SH 
O caso (3) se refere à deslocabilidade D​3 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​3​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​3 deverá ter. Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios 
fictícios neste caso foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 7. 
 
Figura 7 -​ Configuração deformada do SH no caso (3). 
 
De maneira análoga aos casos (1) e (2), a reação horizontal K​13​, a reação vertical K​23 ​e 
as reações momento K​33 e K​43​, causadas por D​3​=1​, são coeficientes de rigidez. As 
unidades destes coeficientes são unidades de força divididas pela unidade da 
deslocabilidade em questão, que é rad. 
Vale ressaltar que o sinal negativo para K​23 ​indica que a reação apresenta sentido 
contrário ao positivo da convenção de sinais adotada no método dos deslocamentos, 
representada pelas setas pretas na imagem. 
9 
D.4 Caso (4): deslocabilidade D​4​ isolada no SH 
O caso (4) se refere à deslocabilidade D​4 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​4​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​4 deverá ter. Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios 
fictícios neste caso foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 8. 
 
Figura 8 -​ Configuração deformada do SH no caso (4). 
 
Como em todos os casos do item D, as reações K​14​, K​24​, K​34 e K​44​, são coeficientes de 
rigidez. As unidades destes coeficientes são unidades de força divididas pela unidade 
da deslocabilidade em questão, que é rad. 
 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
A partir dos resultados obtidos nos cinco casos mostrados, utiliza-se a superposição 
dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio. As resultantes de forças e 
momentos externos devem ser nulas nos nós analisados, tal como feito a seguir em um 
sistema de 4 equações: 
 K D K D K D K D β 10 + 11 1 + 12 2 + 13 3 + 14 4 = 0 
 K D K D K D K D β 20 + 21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = 0 
10 
 K D K D K D K D β 30 + 31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = 0 
 K D K D K D K D β 40 + 41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = 0 
Escrevendo na forma matricial, na qual a matriz de rigidez é formada pelos coeficientes 
de rigidez, e substituindo os valores das reações obtidas, temos: 
 
 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
A solução do sistema de equações de equilíbrio do item E foi obtida com o auxílio de 
uma calculadora online de matrizes e resultou nos seguintes valores: 
 , 44.10 mD 1 = − 1 3
−5 
 , 97.10 mD 2 = − 6 3
−5 
 1, 59.10 radD 3 = 2
−3 
 , 30.10 radD 4 = − 5 2
−4 
Os sinais negativos indicam sentidos contrários aos convencionados positivos no 
método dos deslocamentos (​→​+, ↑​+ e ​↺​+), os quais foram impostos às 
deslocabilidades nos casos básicos. 
Nota-se que as deslocabilidades obtidas com a solução do sistema de equilíbrio são 
iguais às anotadas a partir da estrutura original no item A (Figura 2), conforme o 
esperado. Esses valores fazem com que as resultantes de forças e momentos externos 
que atuam nos nós analisados sejam nulas. Assim, obteve-se a solução correta da 
estrutura porque, além de satisfazer as condições de compatibilidade – que sempre 
são satisfeitas nos casos (0), (1), (2), (3) e (4) –, ela também satisfaz as condições de 
equilíbrio. 
 
11 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS 
Para complementar o cálculo pelo método dos deslocamentos, utiliza-se a própria 
superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos. Tendo os 
diagramas dos casos básicos, os esforços internos finais da estrutura hiperestática 
original serão: 
 N D N D N D N D N D N = N 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
N j j 
 Q D Q D Q D Q D Q D Q = Q 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
Q j j 
 M D M D M D M D M D M = M 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
M j j 
 
Onde , , e , 44.10 mD 1 = − 1 3
−5 , 97.10 mD 2 = − 6 3
−5 , 59.10 radD 3 = 1 2
−3 
. , 30.10 radD 4 = − 5 2
−4 
 
CONCLUSÃO 
O cálculo do quadro plano feito ao longo deste trabalho ilustrou a resolução da 
estrutura pelo método dos deslocamentos. Foi possível compreender que só há uma 
solução em que é garantido o equilíbrio da estrutura e as condições de compatibilidade 
simultaneamente, a qual é obtida pela superposição de casos básicos. Nestes, ora são 
isolados os carregamentos, ora são isoladas as deslocabilidades – uma a uma – no 
sistema hipergeométrico. 
Observa-se que o método dos deslocamentos aborda a solução de estruturas de 
maneira inversa ao que é feito no método das forças. Cabe salientar que o método 
abordado no presente trabalho é melhor adaptável à programação automática que o 
método das forças, porque neste todos deslocamentos são restringidos, ao contrário do 
que acontece no método das forças, em que apenas algumas liberações são 
introduzidas para se obter a estrutura isostática. 
Sendo assim, ainda que o Ftool tenha auxiliado no que tange a informar os valores das 
reações nos nós ao invés de termos que calcular, o presente trabalho foi essencial para 
entender conceitos relevantes acerca do método dos deslocamentos. 
12 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MARTHA, Luiz Fernando. ​Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos.​ Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2010. 
 
 
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