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Simulação computacional Método dos Deslocamentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Análise Estrutural II, oferecida pela Universidade 
Federal do Espírito Santo, como requisito para 
avaliação durante a graduação em Engenharia 
Civil - Bacharelado. 
 
Professor: Marcos Antonio Campos Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
1 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO………………..……………..………..…………..……………..……………...​3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA……………..………………...………..……………..​4 
B. SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO ……………..…………………..………..……………..​5 
C. CASO BÁSICO (0) ……………..……………..……………..………..……..……………..​6 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM AS DESLOCABILIDADES………….……………..​7 
D.1 Caso (1): deslocabilidade D​1​ isolada no SH …..………….…..…………………….​7 
D.2 Caso (2): deslocabilidade D​2​ isolada no SH …..………….…..…………………….​8 
D.3 Caso (3): deslocabilidade D​3​ isolada no SH …..………….…..…………………….​9 
D.4 Caso (4): deslocabilidade D​4​ isolada no SH​…..………….…..……………...……10 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO…………………………....……………..​10 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES …...………....……..​11 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS……………..…………....…..……………..​12 
CONCLUSÃO……………..……………..……………………....……………..……………..​12 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………..……………..……………..​13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
INTRODUÇÃO 
 
Para resolver uma estrutura hiperestática, é sempre necessário considerar os três 
grupos de condições básicas da análise estrutural: condições de equilíbrio, condições 
de compatibilidade entre deslocamentos e deformações, e condições impostas pelas 
leis constitutivas dos materiais. 
O segundo método básico para analisar uma estrutura – dado que o primeiro é o 
método das forças – é o chamado método dos deslocamentos. Em sua formalização, 
existe uma sequência de introdução das condições do problema: primeiro são 
utilizadas as condições de compatibilidade, em seguida são consideradas as leis 
constitutivas dos materiais e, finalmente, são utilizadas as condições de equilíbrio. 
Na prática, sua metodologia é: “somar uma série de soluções básicas (chamadas de 
casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, mas não satisfazem 
as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na superposição, restabelecer as 
condições de equilíbrio” (MARTHA, 2010). Este procedimento é o inverso do que foi 
feito na solução pelo método das forças, vista no T1 desta disciplina. 
O presente trabalho visa a analisar um pórtico hiperestático por meio do método dos 
deslocamentos. Para tanto, o software Ftool será uma ferramenta auxiliar no 
desenvolvimento deste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA 
Foi definido, arbitrariamente, o quadro plano com quatro deslocabilidades a seguir. O 
carregamento ao qual está submetido, a configuração deformada da estrutura e suas 
dimensões encontram-se na Figura 1. 
Quanto às propriedades, o material adotado apresenta módulo de elasticidade igual a 
E=2,05.10​8 ​kN/m² e todas as barras apresentam seção transversal com área A=6,7.10​-​³ 
m² e momento de inércia I=4,8.10​-5​ m​4​. 
 
 
 
 
 
 
A=6,7.10​-​³ m² 
I=4,8.10​-5​ m​4 
E=2,05.10​8 ​kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 -​ Estrutura original. 
 
As componentes de deslocamentos e rotações dos nós, que serão as incógnitas da 
solução da estrutura pelo método dos deslocamentos, estão representadas na Figura 2 
com seus valores e unidades (obtidos pelo software Ftool). D​1​, D​2 e D​3 ​correspondem, 
respectivamente, aos deslocamentos horizontal, vertical e à rotação no nó interno, ao 
passo que D​4​ ​corresponde à rotação no nó externo. 
Estas componentes, chamadas de deslocabilidades, são os parâmetros que definem a 
configuração deformada da estrutura vista anteriormente. 
 
4 
 
Figura 2 -​ Deslocabilidades obtidas pelo Ftool. 
 
Os sentidos representados na imagem são os convencionados positivos no método dos 
deslocamentos, assim, os sinais negativos indicam sentidos contrários. Posteriormente, 
esses valores serão utilizados para verificação da solução do problema. 
 
B. SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 
O equilíbrio da estrutura original é imposto na forma de equilíbrio dos nós isolados. 
Portanto, a solução deste problema pelo método dos deslocamentos recai em 
encontrar os valores que D​1​, D​2​, D​3 e D​4 ​devem ter para que os nós fiquem em 
equilíbrio. A determinação das deslocabilidades é feita através da superposição de 
casos básicos, que, neste trabalho, serão cinco: casos (0), (1), (2), (3) e (4). 
A estrutura utilizada na superposição de casos básicos é obtida, a partir da original, 
pela adição de vínculos externos (apoios fictícios). À vista disso, temos o quadro plano 
completamente indeslocável (todos os nós com deslocamentos e rotações impedidos) 
apresentado na Figura 3. Essa estrutura será o Sistema Hipergeométrico (SH) para o 
método dos deslocamentos. 
5 
 
Figura 3 -​ Sistema Hipergeométrico (SH). 
 
C. CASO BÁSICO (0) 
O caso (0) do método dos deslocamentos se refere à solicitação externa isolada no SH. 
Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios fictícios neste caso foram 
obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 4. 
 
 
Figura 4 -​ Configuração deformada do SH no caso (0). 
6 
A reação horizontal ​β​10​, a reação vertical ​β​20 e as reações momento ​β​30 e ​β​40​, nas 
direções dos vínculos adicionados para a criação do SH, são chamados de termos de 
carga. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para β indicam que a força apresenta sentido 
contrário ao sentido positivo da convenção de sinais para o método dos des- 
locamentos, a qual é representada pelas setas pretas na figura. 
 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM AS DESLOCABILIDADES 
Neste item, serão abordados os casos em que a estrutura do Sistema Hipergeométrico 
está sujeita às deslocabilidades uma a uma. Aqui, as reações de apoio nas direções 
dos vínculos adicionados correspondem aos coeficientes de rigidez. 
 
D.1 Caso (1): deslocabilidade D​1​ isolada no SH 
O caso (1) se refere à deslocabilidade D​1 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​1​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​1 deverá ter. Os valores das reações de apoio relacionadas aos apoios 
fictícios neste caso foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 5. 
 
 
Figura 5 -​ Configuração deformada do SH no caso (1). 
 
7 
A reação horizontal K​11​, a reação vertical K​21 ​e as reações momento K​31 e K​41​, 
causadas por D​1​=1​, ​nas direções dos vínculos adicionados para a criação do SH, são 
chamados de coeficientes de rigidez. Por definição, as unidades dos coeficientes de 
rigidez correspondem às unidades de força divididas pela unidade da deslocabilidade 
em questão, que é m. 
 
D.2 Caso (2): deslocabilidade D​2​ isolada no SH 
O caso (2) se refere à deslocabilidade D​2 ​aplicada com valor unitário no Sistema 
Hipergeométrico, de modo que, posteriormente, o efeito de D​2​=1 seja multiplicado pelo 
valor final que D​2 deverá ter. Os