Circuito RLC EDO

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ESTADO DO MATO GROSSO 
SECRETÁRIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
ACADÊMICOS: 
ELLYAKIN JESSE SANTOS FIGUEIREDO 
 ELTON FERNANDES DOS SANTOS 
MATHEUS FRANCO DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015 
Trabalho 
De 
Cálculo III 
 
 
ELLYAKIN JESSE SANTOS FIGUEIREDO 
 ELTON FERNANDES DOS SANTOS 
MATHEUS FRANCO DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial Integral III 
 
 
 
Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral 
III apresentado como requisito parcial a 
obtenção do grau de bacharel em Engenharia 
Elétrica pela Universidade do Estado de 
Mato Grosso. 
 
 
Orientadora: Profº. Mrs. Polyanna Possani 
da Costa 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015 
 
 
INTRODUÇÃO 
A modelagem matemática está presente em diversos aspectos do cotidiano, tendo 
aplicações práticas em áreas como engenharia, medicina, química e biologia entre outras. 
A equações diferencias ordinárias (EDO’s) destacam comportamentos fenômenos da 
natureza, taxas de crescimento, vibrações, circuitos elétricos entre os mais diversos 
aspectos. Justo relatarmos que as EDO’s foram fruto de estudo avançado do cálculo 
diferencial integral através de Newton e outros estudiosos moldaram as equações 
diferencias. 
 Partindo como ponto de estudo das EDO’s no campo da engenharia elétrica, 
estudaremos aplicação de circuitos elétricos denominados RLC, circuito formado pelo 
conjunto de componentes como resistor, indutor e capacitor, através deste circuito 
conseguimos visualizar as oscilações de Neper e ressonância, resolvendo a equação 
característica da solução homogênea, neste circuito modelamos a taxa de variação da 
tensão com a equação diferencial ordinária de segunda ordem linear não homogênea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESENVOLVENDO A EDO. 
As EDO’s podem ser usadas para modelar diversos fenômenos ocorrente em um 
circuito RLC, como tensão corrente e carga para qualquer componente presente no 
circuito. Nesse caso vamos analisar a resposta a um degrau do circuito na figura abaixo. 
 
 A resposta ao degrau, é a representação da tensão em um circuito quando 
um capacitor está sendo carregado, logo só se faz presente quando a fonte de tensão é 
constante. O processo inverso, denomina-se resposta natural do circuito, em que a análise 
é análoga. Porém antes deve-se tomar conhecimento sobre o comportamento de cada 
componente presente no circuito. 
 Um capacitor consiste em dois os mais condutores isolado entre si por 
meio de dielétricos, tendo como principal função armazenar energia potencial elétrica na 
forma de campo elétrico durante um intervalo de tempo, figura abaixo é apresentado de 
uma forma didática, a construção de um capacito. 
 
 A capacidade elétrica ou capacitância é dado pela razão entre a quantidade de 
carga armazenada entre os condutores do capacitor pela diferencia de potencial existente 
entre os mesmos. A capacitância é medida em Farads, como essa unidade é relativamente 
grande geralmente são utilizados seus submúltiplos, microfarad, nanofarad e picofarad. 
 
 
𝑄 = 𝐶𝑉 
 
Q quantidade de carga. 
C capacitância 
 V tensão. 
Por definição, a corrente, que passa por um capacitor é igual a variação da carga, 
derivando a equação assim pode-se obter as seguintes relações 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
𝐼(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
 O indutor, também conhecido por hoke ou reator, é um dispositivo elétrico passivo 
geralmente constituído, por uma bobina de metal condutor, e um núcleo de material 
ferromagnético, como na figura abaixo. A indutância é um parâmetro dos circuitos 
lineares que relaciona a tensão induzida por um campo magnético variável 
à corrente responsável pela tal, sendo uma grandeza física medida em Henry(H). A tensão 
entre os terminais de um indutor é proporcional ao produto da indutância e a taxa de 
variação da corrente que o atravessa. 
 
 
𝑉(𝑡) = 𝐿 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 
 
 
 
 
Em que V (t) é a diferencia de potencial nos terminais da bobina, L a indutância e 
I a corrente. 
 
 
 Os resistores são componentes que oferecem oposição a passagem de corrente em 
circuito elétrico, esse fato é denominado de resistência elétrica ou impedância, tendo 
como unidade de media o ohm. Os resistores causam uma queda de tensão, porém, a 
corrente elétrica que entra em um terminal é exatamente a mesma que sai, ou seja, não 
provoca queda de corrente, sendo assim é possível utilizar resistor para limitar uma 
corrente num circuito. 
 A relação entre tensão, corrente e resistência é dado pela lei de Ohms em que: 
𝑅 = 𝑉𝐼 
𝑅 Resistência. 
V Tensão. 
I Corrente. 
A segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas afirma que percorrendo uma malha 
(qualquer caminho condutor fechado) num certo sentido, partindo e chegando ao mesmo 
ponto, a soma algébrica das diferenças de potencial nula. 
Buscamos encontrar a tensão presente no capacitor em um determinado instante 
de tempo, usando a lei das malhas temos: 
𝑉𝑟 + 𝑉𝑐 + 𝑉𝐿 = 𝑉𝑜 
𝑉𝑟 Tensão no resistor. 
𝑉𝑐 Tensão no capacitor. 
𝑉𝐿 Tensão no indutor. 
𝑉𝑜 Tensão da fonte 
 Usando as relações anterior. 
𝑅𝑖 + 𝑉𝑐 + 𝐿 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝑉0 
𝑅𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+ 𝑉𝑐 + 𝐿𝐶
𝑑2𝑉
𝑑𝑡2
= 𝑉0 
𝑑2𝑉
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝑉𝑐
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐶
 
 
 
Temos uma EDO de segunda ordem não homogênea, para resolvermos basta 
encontrarmos a solução homogênea mais uma solução particular em que a solução 
homogênea referencia-se a resposta transitória e a particular resposta permanente, logo 
solução será do tipo. 
 
Tendo como a EDO: 
𝑉𝑐
′′ +
𝑅
𝐿
𝑉𝑐′ +
𝑉𝑐
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐶
 
 
Solução homogênea: 
𝑉𝑐
′′ +
𝑅
𝐿
𝑉𝑐′ +
𝑉𝑐
𝐿𝐶
= 0 
Polinômio característico: 
𝜆2 +
𝑅
𝐿
𝜆 +
𝑉𝑐
𝐿𝐶
= 0 
A partir da equação de segundo grau obtém-se: 
𝜆 = −
𝑅
2𝐿
± √(
𝑅
2𝐿
)
2
−
1
𝐿𝐶
 
 
Os índices dentro das raízes são correspondentes a frequência de ressonância e 
frequência de Neper: 
Frequência de Neper α = 
𝑅
2𝐿
 
Frequência de ressonância Ϣ =
1
√𝐿𝐶
 
Frequência de Neper: corresponde ao fator de amortecimento ou coeficiente de 
amortecimento medido em (Neper/s). 
Frequência de ressonância: frequência natural do circuito, conhecida com 
frequência ressonante, medida em (rad/s). 
 
 
𝜆 = −𝑎 ± √𝑎2 − Ϣ2 
Temos três casos possíveis para solução dessa equação, em que é definido a 
seguinte forma. 
Se 𝑎 > Ϣ temos o caso superamortecido, em que as raízes da equação do 
polinômio característico são diferentes e reais. 
Se 𝑎 = Ϣ temos o caso criticamente amortecido, em que as raízes do polinômio 
característico são iguais e reais. 
Se 𝑎 < Ϣ temos o caso sub-amortecido em as raízes do polinômio são complexas 
conjugas. 
 A solução particular e os problemas de valor iniciais são análogos para todos os 
casos. 
Solução Particular 
𝑉𝑐𝑝 = 𝐴. 𝑉𝑜 
Sendo 𝐴 uma constante qualquer e 𝑉𝑜 a tensão da fonte sempre constante, a 
derivada primeira e segunda, em relação ao tempo é igual a zero 
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑡
= 0 
𝑑2𝑉𝑐
𝑑𝑡
= 0 
Substituindo as derivadas na EDO: 𝑉𝑐′′ +
𝑅
𝐿
𝑉𝑐′ +
𝑉
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐶
 temos que: 
0 + 0 +
𝐴𝑉𝑜
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐶
 
𝐴= 1 
Logo a solução particular é 𝑉𝑐𝑝 = 𝑉𝑜 
PROBLEMA DE VALOR INICIAL P.V.Is 
Como a EDO é de segunda ordem temos que encontrar dois (P.V.Is), supondo que 
no instante t =0 não há tensão no circuito, capacitor encontrasse totalmente descarregado 
tendo. 
 
 
𝑉𝑐(0) = 0 
Para encontramos o segundo P.V.I, aplicamos as leis das malhas para corrente 
no circuito: 
𝐼𝑟 + 𝐼𝑐 + 𝐼𝐿 = 𝐼𝑜 
Substituindo temos: 
𝑉𝑟(0)
𝑅
+ 𝐶
𝑑𝑉𝑐(0)
𝑑𝑡
+
1
𝐿
∫ 𝑉𝐿(0)𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝐼0 
 
Como a tensão no instante t = 0 é 0: 
𝐶
𝑑𝑉𝑐(0)
𝑑𝑡
+
1
𝐿
∫ 𝑉𝐿(0)𝑑𝑡
0
0
= 𝐼0 
Derivando: 
𝐶𝑉′′ +
1
𝐿
𝑉(0) = 𝐼′0 
𝐶𝑉′′ = 𝐼′0 
𝑉′(0) =
𝐼𝑜
𝐶
 
 Supondo que a corrente inicial 𝐼0seja 0 temos que: 
𝑉′(0) = 0 
Exemplo circuito para o caso superamortecido, (𝒂 > Ϣ) 
 A solução geral 
𝑉𝑐(𝑡) = 𝐶1𝑒
𝜆𝑡 + 𝐶2𝑒
𝜆𝑡 + 𝑉𝑂 
Supondo condições iniciais de constantes. 
 
 
 
 
 
 
𝑉0 5 Volts 
𝐶 1F 
𝑅 4Ω 
𝐿 1 H 
𝑉𝑐(0) 0 segundos 
𝑉𝑐′(0) 0 segundos 
 
Substituindo na equação abaixo: 
𝜆 = −
𝑅
2𝐿
± √(
𝑅
2𝐿
)
2
−
1
𝐿𝐶
 
Temos que: 
𝜆1 = −0,2679 
𝜆2 = −3,7320 
Logo a solução é: 
𝑉𝑐(𝑡) = 𝐶1𝑒
−0,2679𝑡 + 𝐶2𝑒
−3,7320𝑡 + 5 
Aplicando o P.V.I 𝑉𝑐(0) = 0 
0 = 𝐶1 + 𝐶2 + 5 
Derivando: 
𝑉𝑐
′(0) = −0,2679𝐶1𝑒
−0,2679𝑡 − 3,7320𝐶2𝑒
−3,7320𝑡 
Segundo P.V.I 𝑉𝑐′(0) = 0 
0 = −0,2679𝐶1 − 3,7320𝐶2 
 
 
 
{
𝐶1 + 𝐶2 = 0
−0,2679𝐶1 − 3,7320𝐶2 = 0
 
Solução para os respectivos P.V.Is: 
𝑉𝑐(𝑡) = −5,3866𝑒
−0,0423𝑡 + 0,38866𝑒−2,9577𝑡 + 5 
 Quando a tensão no capacitor se iguala a da fonte os demais componentes tende 
se comportar como um curto, e o capacitor entra em um regime de circuito aberto, logo a 
tensão no capacitor quando tempo aumenta é igual à da fonte, em que podemos ver no 
gráfico abaixo. 
 
Exemplo para o caso criticamente amortecido (𝑎 = Ϣ) 
 Solução Homogênea. 
Tendo como a EDO: 𝑉𝑐′′ +
𝑅
𝐿
𝑉𝑐′ +
𝑉
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐾
 
Solução homogênea da EDO: 𝑉𝑐′′ +
𝑅
𝐿
𝑉𝑐′ +
𝑉
𝐿𝐶
= 0 é: 
𝜆2 +
𝑅
𝐿
𝜆 +
𝑉𝑐
𝐿𝐶
= 0 
A partir da equação de segundo grau obtém-se: 
 
 
𝜆 = −
𝑅
2𝐿
± √(
𝑅
2𝐿
)
2
−
1
𝐿𝐶
 
 
 Então a solução da EDO homogênea é: 
𝑉𝑐 = 𝐶1𝑒
−(
𝑅
2𝐿)𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
−(
𝑅
2𝐿)𝑡 
Solução Geral 
Tendo a solução homogênea e particular basta soma-las para obter a solução da 
EDO. 
𝑉𝑐 = 𝐶1𝑒
−(
𝑅
2𝐿)𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
−(
𝑅
2𝐿)𝑡 + 𝑉𝑜 
Aplicando o P.V.I 
𝑉0 5 Volts 
𝐶 1F 
𝑅 2Ω 
𝐿 1H 
𝑉𝑐(0) 0 segundos 
𝑉𝑐′(0) 0 segundos 
 
Aplicando o PVI na raiz da equação temos: 
𝜆 = −
2
2𝑥1
± √
1
4
𝑥 (
2
1
)
2
−
1
1𝑥1
 
𝜆 = −1 ± √0 
𝜆 = −1 
Substituindo o 𝜆 na solução final temos: 
𝑉𝑐 = 𝐶1𝑒
−𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
−𝑡 + 𝑉𝑜 
 
 
Agora, devemos encontrar os valores das constantes 𝐶1 e 𝐶2. Para isso, devemos 
derivar a solução final e aplicar no P.V.I: 
 
𝑉𝑐(0) = 0 
𝐶1𝑒
0 + 𝐶20𝑒
0 + 5 = 0 
𝐶1 = −5 
𝑉𝑐′(0) = 0 
𝑉𝑐′(𝑡) = −𝐶1𝑒
−𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝑡 − 𝐶2𝑡𝑒
−𝑡 
0 = −𝐶1𝑒
0 + 𝐶2𝑒
0 − 0 
𝐶1 = 𝐶2 
𝐶2 = −5 
Portanto a solução geral para obter a tensão do capacitor em relação ao tempo é: 
𝑉𝑐(𝑡) = −5𝑒
−𝑡 − 5𝑡𝑒−𝑡 + 5 
Nesse caso o coeficiente de amortecimento α é igual a 1, assim a tensão no 
capacitor se iguala a da fonte em um intervalo de tempo muito curto, sem oscilações, 
representado no gráfico abaixo 
 
 
 
 
 
Exemplo para o caso sub-amortecisdo (𝑎 < Ϣ) 
𝑉𝑐" + 
𝑅
𝐿
𝑉′ +
𝑉𝑐
𝐿𝐶
=
𝑉𝑜
𝐿𝐶
 
Solução Homogênea 
𝜆2 +
𝑅𝜆
𝐿
+
1
𝐿𝐶
= 0 
Procurando a solução homogênea através da equação do segundo grau temos que 
𝜆 =
−𝑅
𝐿 ±
√𝑅
2
𝐿2
−
4
𝐿𝐶
2
 
 Vamos atribuir essa divisão por dois em ambos os membros, contudo iremos 
colocar esses dois dentro da raiz. 
𝜆 =
−𝑅
2𝐿
± √
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
 
 Logo a Solução homogênea será 
𝑉𝑐ℎ = 𝑒
−
𝑅𝑡
2𝐿 [𝐶1 cos (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
 𝑡) + 𝐶2 sin (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
 𝑡) ] 
Solução Geral 
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑐ℎ + 𝑉𝑐𝑝 
𝑉(𝑡) = 𝑒−
𝑅𝑡
2𝐿 [𝐶1 cos (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
 𝑡) + 𝐶2 sin (√
𝑅2
4𝐿2
−
1
𝐿𝐶
 𝑡) ] + 𝑉0 
Problema do Valor Inicial 
Atribuindo os seguintes valores para as variáveis, e substituindo na EDO 
 
 
 
 
 
Logo encontramos lambda 
𝜆 = −1 ± √1 − 2 
Temos que as duas raízes da equação são 
𝜆 = −1 + 1𝑖 𝜆 = −1 − 1𝑖 
Portanto como possuem parte imaginaria a solução homogênea correspondente a 
EDO será 
𝑉𝑐𝑝 = 𝑒
−𝑡[𝐶1 cos(𝑡) + 𝑐2 𝑠𝑖𝑛(𝑡) ] 
Como possuímos o valor de 𝑉0, basta substituirmos na solução particular 
𝑉𝑐𝑝 = 5 
Logo a função que modela a tensão do capacitor é 
V (t) = 𝑒−𝑡[𝐶1 cos(𝑡) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(𝑡) ] + 5 
Iremos agora resolver o problema do valor inicial 
P.V.I {
𝑉(0) = 0
𝑉′(0) = 0
 
Aplicando na função temos que 
𝑒0[ 𝐶1 cos 0 + 𝐶2 sin 0] + 5 = 0 
R 2 Ω 
C 1/2 F 
L 1 H 
V0 5 Volts 
𝑉𝑐(0) 0 segundos 
𝑉𝑐′(0) 0 segundos 
 
 
Logo 𝐶1 = −5 
Fazendo a derivada da função de tensão temos 
𝑉′(𝑡) = −𝑒−𝑡[𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡] + 𝑒
−𝑡 [−𝐶1 sin 𝑡 + 𝐶2 cos 𝑡] 
Aplicando V’(0) =0 
 −𝑒0[𝐶1 cos 0 + 𝐶2 sin 0] + 𝑒
−0 [−𝐶1 sin 0 + 𝐶2 cos 0] = 0 
−𝐶1 + 𝐶2 = 0 
𝐶2 = 𝐶1 
Substituindo 𝐶1 por -5 , descobrimos a segunda constante. 
𝐶2 = −5 
Solução P.V.I 
V (t) = 𝑒−𝑡[−5 cos(𝑡) − 5 𝑠𝑖𝑛(𝑡) ] + 5 
 Nesse caso a frequência de ressonância é menor que a frequência de Neper, 
logo o processo de carregamento do capacitor tende a sofrer pequenas oscilações, em que 
é apresentado no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
Através deste trabalho, apresentamos a modelagem do circuito RLC, utilizando as 
equações diferenciais ordinárias, fazendo uma análise à resposta ao degrau em 
representação a um circuito quando carrega-se o capacitor, de forma análoga podem-se 
modelar corrente, carga, e tensão em qualquer componente elétrico, podendo também ser 
analisado resposta ao estado zero, resposta ao impulso, resposta excitação, oscilações, 
resistência negativas e estabilidade. 
As EDOs proporcionam um crescimento quantitativo e qualitativo enorme para a 
ciência, através de implementação de software possibilita a simulação de circuitos, 
evitando possíveis erros, obtendo um melhor rendimento tornando as tecnologia mais 
acessível e didática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS 
Imagem capacitor. Disponível em 
http://www.rogercom.com/CursoOnlineLPT/Modulo01/CapacitorArmadura.gif. 
Acessado 09 de dez. de 2015 
Imagem indutor. Disponível em http://iccel.com.br/img/indutores_bastao_2.jpg. 
Acessado 09 de dez. de 2015 
Lei da Kirchooff. Disponível em http://www.colegioweb.com.br/leis-de-
kirchhoff/segunda-lei-de-kirchhoff-ou-lei-das-malhas.html#ixzz3rlq8VGlQ. Acessado 
09 de dez. de 2015