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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer - E. Russel Johnston Jr. Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 Parte 01: Propriedades geométricas de superfícies planas; - Centróide de uma área; - Momento de inércia; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 2 y x CG �� �� A y x A1 y1 x1 A2 A3 y2 y3 x2 x3 1- Centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana A localização do centróide de uma superfície plana qualquer de área A ilustrada na figura 1 é definida por meio das coordenadas �� � �� . Figura 1: centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana qualquer As coordenadas �� � �� do centróide de uma superfície plana qualquer são determinadas pelas seguintes equações: X� = ∑ Ai. x�ii ∑ Aii (1) Y� = ∑ Ai. y�ii ∑ Aii (2) Para aplicar as equações (1) e (2) é necessário dividir a superfície plana qualquer em n superfícies planas de geometria simples (retângulos, quadradas, triângulos, círculos, etc), cujas coordenadas do centróide são conhecidas, conforme ilustra a figura 2. A tabela 1 ilustrada a seguir apresenta as coordenadas x e y do centróide de algumas superfícies planas de geometria simples. X� = A1. � + A2. � + A3. �A1 + A2 + A3 Y� = A1. �� + A2. �� + A3. ��A1 + A2 + A3 Figura 2: Divisão em superfície de geometria simples Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 3 Tabela 1: Coordenadas x e y do centróide ou centro de gravidade de algumas superfícies planas de geométricas simples; Superfície Plana x� y� Área Retângulo e Quadrado x� = �2 y� = ℎ2 � = �. ℎ Triângulo retângulo x� = �3 y� = ℎ3 � = �. ℎ 2� Círculo x� = 0 y� = 0 � = �. �� Semicírculo x� = 0 y� = 4�3� � = �. �� 2� 1/4 círculo x� = 4�3� y� = 4�3� � = �. �� 4� Losango x� = 0 y� = 0 � = �� x y CG a a x y CG r x y r CG x y CG r x y CG b h x y CG b h Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 4 y x y x A3 A2 A4 y x A1 A2 A1 y x y x A3 A1 A2 A4 y x A1 A2 OBS1: Caso a superfície plana apresente área vazada ou chanfro: - Para simplificar a análise recomenda-se considerar a superfície plana cheia (completa) e descontar a contribuição da área vazada ou chanfro, conforme apresentado nos casos 1 e 2 ilustrados a seguir nas figuras 3 e 4. Caso1: Mais trabalhoso Mais prático X� = A1. � + A2. � + A3. � + A4. �A1 + A2 + A3 + A4 ; X � = A1. � − A2. � A1 − A2 ; Y� = A1. �� + A2. �� + A3. �� + A4. ��A1 + A2 + A3 + A4 ; Y � = A1. �� − A2. �� A1 − A2 ; Figura 3: Superfície plana com área vazada (furo); Caso2: Mais trabalhoso Mais prático X� = A1. � + A2. � + A3. � + A4. �A1 + A2 + A3 + A4 ; X � = A1. � − A2. � A1 − A2 ; Y� = A1. �� + A2. �� + A3. �� + A4. ��A1 + A2 + A3 + A4 ; Y � = A1. �� − A2. �� A1 − A2 ; Figura 4: Superfície plana com área chanfro (recorte); Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 5 y x 20 cm 35 cm 24 cm y x 20 cm 15 cm 24 cm 10 cm 12 cm 8,0 cm 5,0 cm A1 A2 y Exemplo 1: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana ilustrada a seguir; Resolução: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 24 . 15/2 = 180 cm2 x1 = 10 cm x2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm y1 = 12 cm y2 = 8,0 cm X� = �� . � + �� . ��� + ��! = "480 . 10$ + "180 . 25,0$480 + 180 = 14,09 () Y� = �� . �� + �� . ���� + ��! = "480 . 12$ + "180 . 8,0$480 + 180 = 10,91 () Tabela 1 x� y� Área x� = �2 y� = ℎ2 � = �. ℎ x� = �3 y� = ℎ3 � = �. ℎ 2� x CG b h x y CG b h Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 6 y x 60 cm 30 cm r = 15 cm y x 60 cm 30 cm 30 cm 15 cm r = 15 cm 6,37 cm A1 A2 r = 15 cm *+ ,- = ., ,/ 01 Exemplo 2: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana ilustrada a seguir; Resolução: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = 60 . 30 = 1800 cm2 A2 = pi. 152/2 = 353,4cm2 x1 = 30 cm x2 = 60 – 6,37 = 53,63 cm y1 = 15 cm y2 = 15 cm X� = �� . � − �� . ��� − ��! = "1800 . 30$ − "353,4 . 53,63$1800− 353,4 = 24,23 () Y� = �� . �� − �� . ���� − ��! = "1800 . 15$ − "353,4 . 15$1800 − 353,4 = 15 () Tabela 1 x� y� Área x� = �2 y� = ℎ2 � = �. ℎ x� = 0 y� = 4�3� � = �. � � 2 x y r CG x y CG b h Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 7 y x 50 cm 25 cm r = 12,5 cm r = 6,25 cm y x 25 cm 25 cm 12,5 cm A1 A2 r 1 = 12,5 cm 12,5 cm 25 cm 8,33 cm r2 = 6,25 cm 5,31cm A3 A4 8,33 cm 2,65 cm *+3 ,- = 4, ,3 01 *+5 ,- = 5, .4 01 Exemplo 3: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana ilustrada a seguir; Resolução: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = pi. 12,52/2 = 245,4 cm2 A2 = 25 . 25 = 625 cm2 A3 = 25 . 25 /2 = 312,5 cm2 A4 = pi. 6,252/2 = 61,4 cm2 x1 = 12,5 cm x2 = 12,5 cm x3 = 25 + 8,33 = 33,33 cm x4 = 25 cm y1 = 25 + 5,31 = 30,31 y2 = 12,5 cm y3 = 8,33 cm y4 = 2,65 cm X� = �� . � + �� . � + �� . � − �� . ��� + �� + �� − ��! X� = "245,4 . 12,5$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 33,33$ − "61,4 . 25$245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 17,62 () Y� = �� . �� + �� . �� + �� . � − �� . ���� + �� + �� − ��! Y� = "245,4 . 30,31$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 8,33$ − "61,4 . 2,65$245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 15,77 () Tabela 1 x� y� Área x� = �2 y� = ℎ2 � = �. ℎ x� = �3 y� = ℎ3 � = �. ℎ 2� x� = 0 y� = 4�3� � = �. � � 2 x y r CG x y CG b h x y CG b h Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 8 2 - Momento de Inércia de uma superfície plana O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos de construção (vigas, colunas, etc), pois fornece através de valores numéricos, uma noção de resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça, maior será a resistência da peça. A figura 5 ilustra bem o conceito de momento de inércia de elemento de construção; Figura 5: Ilustração do conceito de momento de inércia A unidade do Momento de inércia no sistema internacional é dada em metros a quarta. I � No SI: m4 A A Corte AA: seção transversal Corte AA: seção transversal X’ X’ Ix1 >>> Ix2 A P P Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 9 y x y x X' Y' c Os momentos de inércia de uma superfície plana qualquer podem ser calculados em relação a quaisquer eixos de referência x e y. A figura 6 ilustra dois exemplos de sistemas de eixos x e y de referência para os quais os momentos de inércia podem ser verificados. 6a) Cálculo dos Momentos de Inércia 6b) Cálculo dos Momentos de Inércia da superfície plana em relação da superfície plana em relação aos eixos de referência x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ ou eixos baricêntricos da superfície plana; OBS: Eixos centroidais = eixos baricêntricos ���� eixo x e y que passa pelo centróide da superfície Figura 6: Exemplos de sistemas de eixos de referência para os quais os momentos podem ser verificados; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 10 y' x' Y X A1 dy1 dx1 A2 A3 dy2 dy3 dx2 dx3 y' x' y' x' y' x' Y X A1 dy1 dx1 A2 A3 dy2 dy3 dx2 dx3 y' x' y' x' X' Y' Os momentos de inércia ( Ix e Iy ) em relação a qualquer eixo de referência x e y de uma superfície plana qualquer (figura 1) são determinados pelas seguintes equações: Ix= 7"I8xi i + Aidyi2 $ (3) Teorema dos Eixos Paralelos Iy= 7"I8yi i + Aidxi2 $ (4) Para aplicar as equações (3) e (4) é necessário dividir a superfície plana qualquer em n superfícies planas de geometria simples conforme ilustram as figuras 7a e 7b. 7a) Cálculo dos Momentos de Inércia 7b) Cálculo dos Momentos de Inércia da superfície plana em relação da superfície plana em relação aos eixos de referência x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ da superfície plana; Figura 7: Distâncias dx e dy para o cálculo dos momentos de Inércia; Nas equações 3 e 4 tem-se: I 8xi , I 8yi � momento de inércia de cada superfície plana de geometria simples em relação ao seu eixo x’ centroidal e ao eixo y’ centroidal, respectivamente; Ai � área de cada superfície de geometria simples; dxi , dyi � distância entre o eixo centroidal de cada superfície plana de geometria simples até o eixo no qual o momento é verificado; OBS: A tabela 2 ilustrada a seguir apresenta os momentos de inércia I 8xi , I8yi em relação os eixos centroidais x’ e y’ respectivamente de algumas superfícies planas de geometria simples. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 11 Tabela 2: momento de inércia em relação aos eixos centroidais de algumas superfícies planas de geométricas simples; 9 8:; e 9 8<; � em relação aos eixos centroidais x’e y’; Superfície Planas Momento de Inércia Retângulo E Quadrado Forma geral: 9 8 = =>?�� . Substituindo os valores: 9 8:; = @A ? �� ; 9 8<; = A@? �� Triângulo retângulo Forma geral: 9 8 = =>?�B . Substituindo os valores: 9 8:; = @A ? �B ; 9 8<; = A@? �B Círculo 9 8:; = 9 8<; = CD E � Semicírculo 9 8:; = 0,1098 �� 9 8<; = 0,3927 �� 1/4 círculo 9 8:; = 9 8<; = 0,0549 �� Losango 9 8:; = 98<; = F E �� x = x’ y = y’ CG a a x y CG r x' y' x y = y’ r x' CG x = x’ y = y’ CG r x y CG b h y' x' x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 12 y x 3a a a a 2a a y x 4a 2,5a 3a y x 3a 1,20a 1,20a 0,5a a 1,25a r = 0,5a Simetria vertical: X = 1,5 a Y = ? Simetria horizontal: X = ? Y = 1,25 a Simetria horizontal: X = ? Y = 1,45 a c c c 2,9a y x 3a a a a a 3a y x 4a 2,5a 2a y x 1,2a 3,5 0,5a 1,25a r = 0,5a Simetria vertical e horizontal: X = 1,5 a Y = 1,5 a Simetria vertical e horizontal: X = 2a Y = 1,25 a Simetria vertical e horizontal: X = 1,7a Y = 1,75a c c c a a a 1,2a 1,2a 0,5a 1,2a a OBS2: Caso a superfície plana com eixos de simetria: - 1 eixo de simetria � Neste caso uma coordenada do centróide é conhecida; - 2 eixos de simetria � Neste caso as duas coordenadas do centróide são conhecidas; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 13 y x 20 cm 35 cm 24 cm Coordenadas do centróide: �� = 3*, GH 01 �� = 3G, H3 01 y x 20 cm 15 cm 24 cm 10 cm 12 cm 8,0 cm 5,0 cm A1 A2 Exemplo 4: Utilizando a mesma superfície plana do exemplo 1 determine os momentos de inércia em relação os eixos x e y e em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana no sistema internacional. Resolução: Parte 1: momentos em relação aos eixos de referência x e y: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; Ix= 7"I 8xi i + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1 2 $ + " I 8 x2+A2dy2 2 $ Iy= 7"I 8yi i + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1 2 $ + " I 8y2+A2dx2 2 $ A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 24 . 15/2 = 180 cm2 d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos de referência x e y: dx1 = 10 cm dy1 = 12 cm dx2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm dy2 = 8,0 cm I 8x1 = �ℎ� 12 = 20 . 24� 12 = 23040,0 () � I 8y1 = ℎ�� 12 = 24 . 20� 12 = 16000,0 () � I 8x2 = �ℎ� 36 = 15 . 24� 36 = 5760,0 () � I 8y2 = ℎ�� 36 = 24 . 15� 36 = 2250,0 () � Ix = "23040,0 + 480 . 12�$ + "5760,0 + 180 . 8, 0�$ = 109440,0 ()� = 109440109440109440109440,,,,0 0 0 0 . . . . 3GIJ 1* Iy = "16000,0 + 480 . 10�$ + "2250,0 + 180 . 25, 0�$ = 178750,0 ()� = 178750178750178750178750,,,,0 0 0 0 . . . . 3GIJ 1* Tabela 1 e Tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área x� = �2 y� = ℎ2 9 8:L = �ℎ� 12 9 8:; = ℎ�� 12 � = �. ℎ x� = �3 y� = ℎ3 9 8:L = �ℎ� 36 9 8:; = ℎ�� 36 � = �. ℎ 2� x y CG b h y' x' x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 14 y x 20 cm 24 cm 10 cm 12 cm 8,0 cm A1 A2 c Y’ X’ 5,0 cm 15 cm Resolução: Parte 2: momentos em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’: O centróide possui as seguintes coordenadas: �� = 3*, GH 01; �� = 3G, H3 01; Ix= 7"I 8xi i + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1 2 $ + " I 8 x2+A2dy2 2 $ Iy= 7"I 8yi i + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1 2 $ + " I 8y2+A2dx2 2 $ A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 20 . 15/2 = 180 cm2 d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 14,09 – 10 = 4,09 cm dy1 = 12,00 – 10,91 = 1,09 cm dx2 = 25,0 – 14,09 = 10,91 cm dy2 = 10,91 – 8,00 = 2,91 cm I 8x1 = �ℎ� 12 = 20 . 24� 12 = 23040,0 () � I 8y1 = ℎ�� 12 = 24 . 20� 12 = 16000,0 () � I 8x2 = �ℎ� 36 = 15 . 24� 36 = 5760,0 () � I 8y2 = ℎ�� 36 = 24 . 15� 36 = 2250,0 () � Ix = "23040,0 + 480 . 1,09�$ + "5760,0 + 180 . 2,91�$ = 30894,55 ()� = 30894308943089430894,,,,55 55 55 55 . . . . 3GIJ 1* Iy = "16000,0 + 480 . 4,09�$ + "2250,0 + 180 . 10,91�$ = 47704,55 ()� = 47704477044770447704,,,,55 55 55 55 . . . . 3GIJ 1* Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área x� = �2 y� = ℎ2 9 8:L = �ℎ� 12 9 8:; = ℎ�� 12 � = �. ℎ x� = �3 y� = ℎ3 9 8:L = �ℎ� 36 9 8:; = ℎ�� 36 � = �. ℎ 2� x y CG b h y' x' x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 15 y x 20 mm40 mm 20 mm r =7,5 mm 10 mm y x 20 mm 40 mm 20 mm r =7,5 mm 10 mm Y’ X’ A1 A2 c Exemplo 5: determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana a seguir no sistema internacional. Resolução: Devido à simetria: as coordenadas do centróide são conhecidas: X=20 mm; Y=10 mm; Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; Ix= 7"I 8xi i + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1 2 $ + " I 8 x2+A2dy2 2 $ Iy= 7"I 8yi i + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1 2 $ + " I 8y2+A2dx2 2 $ A1 = 20 . 40 = 800 mm2 A2 = pi . 7,52 = 176,71 mm2 d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 0 mm dy1 = 0 mm dx2 = 0 mm dy2 = 0 mm I 8x1 = �ℎ� 12 = 40 . 20� 12 = 26666,67 )) � I 8y1 = ℎ�� 12 = 20 . 40� 12 = 106666,67 )) � I 8x2 = ��� 4 = � . 7,5� 4 = 2485,05 )) � I 8y2 = ��� 4 = � . 7,5� 4 = 2485,05 )) � Ix = "26666,67 + 800 . 0�$ ---- "2485,05 + 176,71. 0�$ = 24181,62 m)� = 24181241812418124181,,,,62 62 62 62 . . . . 3GI35 1* Iy = "106666,67 + 800 . 0�$ ---- "2485,05 + 176,71 . 0�$ = 104181,62 m)� = 104181104181104181104181,,,,62 62 62 62 . . . . 3GI35 1* Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área x� = �2 y� = ℎ2 9 8:L = �ℎ� 12 9 8:; = ℎ�� 12 � = �. ℎ x� = 0 y� = 0 9 8:; = ��� 4 9 8<; = ��� 4 � = �. �� x = x’ y = y’ CG r x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 16 y x 15 dm 25 dm r = 7,5 dm Coordenadas do centróide: �� = H, 4* O1 �� = 3,, *4 O1 y x 15 dm 25 dm r = 7,5 dm 7,5 dm 12,5 dm 3,18 dm 17,5 dm c Y’ X’ 18,18 dm *+ ,- = ,, 3J O1 Exemplo 6: determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana a seguir no sistema internacional. Resolução: Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ podem ser determinados; �� = H, 4* O1; �� = 3,, *4 O1; A1 = 15 . 25 = 375 dm2 A2 = pi. 7,52/2 = 88,36 dm2 d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixo centroidal X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 9,54 - 7,5 = 2,04 dm dy1 = 13,45 - 12,5 = 0,95 dm dx2 = 18,18 - 9,54 = 8,64 dm dy2 = 17,5 - 13,45 = 4,05 dm Ix= 7"I 8xi i + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1 2 $ + " I 8 x2+A2dy2 2 $ Iy= 7"I 8yi i + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1 2 $ + " I 8y2+A2dx2 2 $ I 8x1 = �ℎ� 12 = 15 . 25� 12 = 19531,25 P) � I 8y1 = ℎ�� 12 = 25 . 15� 12 = 7031,25 P) � I 8x2 = 0,3927 �� = 0,3927 . 7,5� = 1242,53 P)� I 8y2 = 0,1098 �� = 0,1098 7,5� = 347,41 P)� Ix = "19531,25 + 375 . 0,95�$ + "1242,53 + 88,36. 4,05�$ = 22561,54 P)� = = = = 22561225612256122561,,,,54 54 54 54 . . . . 1111GI* 1* Iy = "7031,25 + 375 . 2,04�$ + "347,41 + 88,36 . 8,64�$ = 15535,30 P)� = = = = 15535155351553515535,,,,30 30 30 30 . . . . 1111GI* 1* Tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área x� = �2 y� = ℎ2 9 8:L = �ℎ� 12 9 8:; = ℎ�� 12 � = �. ℎ x� = 0 y� = 4�3� 9 8:L = 0,1098 �� 9 8<; = 0,3927 �� � = �. �� x y = y’ r x' CG x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 17 y x 25 cm 40 cm 80 cm a =14 cm 20 cm a a y x 25 cm 40 cm 80 cm a =14 cm 20 cm a a 55 cm A1 A2 40 cm c Coordenadas do centróide: �� = 5G, G 01 �� = *., 5 O1 Exemplo 7: determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X e Y da superfície plana a seguir no sistema internacional. Resolução: Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos podem ser determinados; A1 = 40 . 80 = 3200 cm2 A2 = 14 . 14 = 196 cm2 Ix= 7"I 8xi i + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1 2 $ - " I 8 x2+A2dy2 2 $ Iy= 7"I 8yi i + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1 2 $ - " I 8y2+A2dx2 2 $ d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 0 cm dy1 = 46,2 - 40 = 6,2 cm dx2 = 0 cm dy2 = 55 - 46,2 = 8,8 cm I 8x1 = �ℎ� 12 = 40 . 80� 12 = 1706666,67 () � I 8x2 = �� 12 = 14� 12 = 3201,33 () � I 8y1 = ℎ�� 12 = 80 . 40� 12 = 426666,67 () � I 8y2 = �� 12 = 14� 12 = 3201,33 () � Ix = "1706666,67 + 3200 . 0�$ - "3201,33 + 196 . 0�$ = 1703465,34 ()� = 1703465170346517034651703465,,,,34 34 34 34 . . . . 1111GIJ 1* Iy = "426666,67 + 3200 . 6,2�$ - "3201,33 + 196 . 8,8�$ = 531295,10 ()� = 531295531295531295531295,,,,10 10 10 10 . . . . 1111GIJ 1* Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área x� = �2 y� = ℎ2 9 8:L = �ℎ� 12 9 8:; = ℎ�� 12 � = �. ℎ x� = 0 y� = 0 9 8:; = �� 12 9 8<; = �� 12 � = �� x = x’ y = y’ CG a a x y CG b h y' x' Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 18 9Q = 83,08 cm4 = 83,08 . 10ISm4 R: V�=W= 0; 9X =29,08 cm4 = 29,08 . 10ISm4 9Q =83,70 cm4 = 83,70 . 10ISm4R: V�=0; W�=2,19 cm; 9X =260,66 cm4 = 260,66 . 10ISm4 1 Lista de exercícios: 1) Determine a distância W� para o centróide C da área da seção transversal da viga T e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro; Forneça os momentos de inércia em mm4 e m4 R: W�=206,82 mm; 9Q =22163,83 . 10�mm4 = 22163,83 . 10ISm4 9X =111510,42 . 10�mm4 = 11510,42 . 10ISm4 2) Determine a distância x� e y� para o centróide C da área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4. R: V�=1,5 cm; W�= 1,0 cm; 9Q = 4,0 cm4 = 4,0 . 10ISm4 9X = 8,5 cm4 = 8,5 . 10ISm4 3) Determine os momentos de inércia em relação; ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4. 4) Determine a distância W� para o centróide C da da área da seção transversal da viga e depois calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos de inércia em em cm4 e m4. 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 50 mm 150 mm 150 mm 250 mm 25 mm 25 x y x y 3 cm 1 cm 3 cm 1 cm x y 4 cm 1 cm 1 cm 3,5 cm 5 cm 1 cm x y 3 cm 2 cm 3 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 19 9Q =5,365 cm4 = 5,365 . 10ISm4 R: V�=1,36 cm; W�=1,50 cm; 9X =5,21cm4 = 5,21 . 10ISm4 9Q =19,91 . 10� cm4 = 19,91 . 10I�m4 R: V�=0; W�=18,3 cm; 9X =17,12 . 10� cm4 = 17,12 . 10I�m4 9Q =23,71 . 10� cm4 = 23,71 . 10I�m4 R: V�=14,97 cm; W�=-0,0306 cm; 9X =13,70 . 10� cm4 = 13,70 . 10I�m4 5) Determine a distância x� e y� para o centróide C da área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4. 6) Determine a distância y� para o centróide C da área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4; 7) Determine a distância V � K W� para o centróide C da área da seção transversal e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro Forneça os momentos em cm4 e m4; 15 cm 25 cm 20 cm 35 cm 20 cm r1 r1 r1 r1 r2 r2 r1 = 10 cm r2 = 7 cm x y x 3 cm 1,5 cm r = 1,5 cm y x 30 cm 10 cm r = 5 cm 15 cm y 50 cm
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