Prova - 1º Exame (3)

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UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
Séries & EDO - 09.2 Prof. MPMatos
Exame N. 1 Seqüências e Séries Numéricas
Gabarito - prova 4
01. (2,0 pts) Falso (F) ou verdadeiro (V). Justi…que as a…rmativas falsas.
(a) Se limn2an = 1, então lim an = 0:
(b) Se
P
an e
P
bn são séries de termos positivos convergentes, então
P
anbn converge.
(c) Se
P
an converge, então
Pp
nan converge.
(d) A seqüência (an) de…nida pela recorrência: a1 = 1 e an+1 = 1� an é convergente.
Solução:
(a) Verdadeiro.Temos
an =
�
1=n2
�| {z }
#
0
�
n2an
�| {z }
#
1
�! 0
(b) Verdadeiro. Denote por Sn e Rn as n-ésimas soma de
P
an e
P
bn, respectivamente.
Se Un é a n-ésma soma de
P
anbn, então:
0 � Un � SnRn;
de onde resulta que a seqüência (Un) –e conseqüentemente a série
P
anbn –converge.
(c) Falso. Considere an = (�1)n =
p
n:
(d) Falso. A seqüência an é na verdade 1,0,1,0,1,0,. . . que é divergente (a subseqüência
par e ímpar convergem para valores distintos).
02. Assinale a alternativa correta.
1) Se an =
2
3n� 4 e bn =
(�1)np
n
+ n sen(3=n); então o valor de sup an + 2 inf an + 2 lim bn é
igual a:
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2.
2) As séries
P1
n=1 sen
2 (1=n) e
P1
n=1 n sen (1=n) são respectivamente:
(a) Convergente e Convergente
(b) Convergente e Divergente
(c) Divergente e Divergente
(d) Divergente e Convergente.
3) Se Sn é a n-ésima soma parcial da série
P1
n=1 an de termos positivos, então:
(a)
P1
n=1 an é convergente se fSng for monótona;
(b)
P1
n=1 an é sempre convergente;
(c)
P1
n=1 an é divergente quando limn!1
Sn 6= 0;
(d)
P1
n=1 an é convergente se fSng for limitada.
4) Com respeito a série
P1
n=1
(�1)n
n2
pode-se a…rmar que:
(a) Ela é convergente e sua soma é maior do que �1=4;
(b) Ela é convergente e sua soma é menor do que �3=4;
(c) Ela é convergente e sua soma está entre �3=4 e �1=2;
(d) Ela é divergente.
5) Se 1 < an < 2; então as séries
X1
n=1
an e
X1
n=1
p
nan
(a) São ambas convergentes
(b) São ambas divergentes
(c) A primeira converge e a segunda diverge
(d) A primeira diverge e a segunda converge
03. (2,0 pts) Complete os espaços:
(a) Se (an) é uma seqüência monótona e limitada, então (an) é convergente.
(b) Se lim
p
n an =1, então a série
P
an é divergente.
(c) A série geométrica
P1
n=1 (1� x)n�1 converge para 1=x, se 0< x <2.
2
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Realce
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Realce
Admin_
Realce
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Realce
Admin_
Realce
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Realce
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(d) Se lim jan+1=anj < 1, então a série
P
an é absolutamente convergente.
(e) (e) Se (bn) é decrescente, bn > 0 e lim bn =0, então a série
P
(�1)n bn convergente.
04. (2,0 pts) Use o critério especi…cado e investigue a convergência das séries:
(a)
X1
n=1
3n
3
p
n3 + 1
(critério da comparação ou comparação no limite)
(b)
X1
n=1
n lnn
n3 + 3
(critério da comparação ou comparação no limite)
(c)
X1
n=1
nrn+1 (critério da razão)
(d)
X1
n=1
ln
�
3n
2n+ 1
�
(critério do n-ésimo termo)
Solução:
(a) an =
3n
3
p
n3 + 1
� 3n
3
p
n3 + 26n3
=
3n
3
p
27n3
= 1 = bn. Como a série de prova
P
bn é
divergente, então
P
an diverge.
(b) an =
n lnn
n3 + 3
� n lnn
n3
=
lnn
n2
= bn. Em sala de aula mostramos que a série
P
bn é
convergente usando comparação no limite. De fato,
lim
(lnn)=n2
1=n3=2
= lim
lnnp
n
= (usar L’Hôpital) = lim
1
2
p
n
= 0:
Como
P
1=n3=2 é convergente (critério da p-série), então
P
bn converge e por comparaçãoP
an também converge.
(c) lim
n!1
����an+1an
���� = limn!1
����(n+ 1) rn+2nrn+1
���� = jrj limn!1
�
n
n+ 1
�
= jrj. Pelo Critério da Razão a
série
P
an converge absolutamente se jrj < 1 e diverge se jrj > 1. Se jrj = 1, então r = �1 e
com esses valores de r a série torna-se
P
(�1)n n e como o termo dessa série não tem limite
zero, a série diverge. Conclusão: a série converge absolutamente se jrj < 1 e diverge caso
contrário.
(d) lim
n!1
an = lim
n!1
ln
�
3n
2n+ 1
�
= ln (3=2) 6= 0 e, sendo assim, a série P an é divergente.
04. (2,0 pts) Siga os seguintes passos para calcular a soma da série
P1
n=1 nx
n; 0 < x < 1:
Passo 1: Mostre que Sn � xSn = x (1 + x+ x2 + � � �+ xn�1)� nxn+1;
3
Admin_
Realce
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Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
Admin_
Realce
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Passo 2: Use 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1 = 1� x
n
1� x e deduza uma expressão para Sn;
Passo 3: Calcule a soma da série
Solução:
Passo 1:
Temos
Sn = x+ 2x
2 + 3x3 + � � � (n� 1)xn�1 + nxn
xSn = x
2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1
e subtraindo xSn de Sn chegamos a Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1, isto é:
(1� x)Sn = x(1 + x+ x2 + x3 + � � �+ xn�1)� nxn+1 (I)
Passo 2: Se em (I) substituirmos a expressão 1 + x + x2 + x3 + � � � + xn�1 por 1� x
n
1� x ,
chegaremos a
(1� x)Sn = x
�
1� xn
1� x
�
� nxn+1 =) Sn = x (1� x
n)
(1� x)2 � nx
n+1:
Passo 3: A soma da série é, por de…nição, S = limSn e para calcular o limite da sequência
(Sn) observamos que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, porque 0 < x < 1: Assim,
S = limSn =
x (1� limxn)
(1� x)2 � lim
�
nxn+1
�
=
x
(1� x)2
4
Admin_
Realce