RESPOSTAS Calculo Semana 3

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1. (4,0) Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a. 
𝑓(𝑢) = 𝑡𝑎𝑛(𝑢) → 𝑓′(𝑢) = sec2(𝑢) . 𝑢 
𝑢(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 1 → 𝑢′(𝑥) = 10𝑥 + 3 
𝑓′(𝑢) = sec2(𝑢) . 𝑢 
𝑢(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 1 
𝑢′(𝑥) = 10𝑥 + 3 
𝑓′(𝑥) = sec2(5𝑥2 + 3𝑥 + 1) . 10𝑥 + 3 
𝒇′(𝒙) = (𝟏𝟎𝒙 + 𝟑) 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏) 
b. 
𝑓(𝑢) = 𝑢8 → 𝑓′(𝑢) = 8𝑢7. 𝑢′ 
𝑢(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 → 𝑢′(𝑥) = 12𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓′(𝑢) = 8𝑢7. 𝑢′ 
𝑢(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 
𝑢′(𝑥) = 12𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓′(𝑥) = 8(4𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥)7. (12𝑥2 − 2𝑥 + 2) 
𝒇′(𝒙) = 𝟖(𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟕 
c. 
𝑢(𝑥) = sin3(𝑥) + 3 → 𝑢′(𝑥) = 3 sin2(𝑥) cos(𝑥) 
𝑓′(𝑢) = 
𝑢′
𝑢
 
𝑢(𝑥) = sin3(𝑥) + 3 
𝑢′(𝑥) = 3 sin2(𝑥) cos(𝑥) 
𝒇′(𝒙) =
𝟑 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝐬𝐢𝐧𝟑(𝒙) + 𝟑
 
d. 
𝑓(𝑢) = √𝑢
5
→ 𝑢(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 
𝑓(𝑢) = √𝑢
5
<→ 𝑓(𝑢) = 𝑢
1
5 
𝑓(𝑢) = 𝑢
1
5 → 𝑓′(𝑢) =
1
5
𝑢
1
5. 𝑢′ 
𝑓′(𝑢) =
𝑢′
5
𝑢
1
5
−1. 𝑢′ 
𝑓′(𝑢) =
𝑢′
5
𝑢−
4
5 <→ 𝑓′(𝑢) =
𝑢′
5𝑢
4
5
<→ 𝑓′(𝑢) =
𝑢′
5 √𝑢4
5 
𝑢(𝑥) = sin3(𝑥) → 𝑢′(𝑥) = 3 sin2(𝑥) cos(𝑥) 
𝑓(𝑥) =
3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) cos(𝑥)
5√(𝑠𝑒𝑛3(𝑥))
45
→ 
3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) cos(𝑥)
5 √𝑠𝑒𝑛12(𝑥)
5
→ 
3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) cos(𝑥)
5 𝑠𝑒𝑛
12
5 (𝑥)
 
𝑓(𝑥) = 
3𝑠𝑒𝑛2−
12
5 (𝑥) cos(𝑥)
5 
 
𝑓(𝑥) = 
3𝑠𝑒𝑛−
2
5(𝑥) cos(𝑥)
5 
 
𝒇(𝒙) = 
𝟑𝐜𝐨𝐬 (𝒙)
𝟓 √𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
𝟓
 
 
 
2. (2,0) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função 
 no ponto de abscissa 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 
𝑥0 = 4 
𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = √42 + 9 → 𝑦0 = √16 + 9 = 5 
𝑓(𝑢) = √𝑢 → 𝑓(𝑥) = 𝑢
1
2 
𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 9 
𝑓(𝑢) =
1
2
𝑢
1
2−1. 𝑢′ → 𝑓(𝑢) =
𝑢′
2√𝑢
 
𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 9 → 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 
𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 9 
𝑢′(𝑥) = 2𝑥 
𝑓(𝑥) =
2𝑥
2√𝑥2 + 9
 
𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥2 + 9
 
𝑓(𝑥) =
4
√42 + 9
→ 
4
√16 + 9
→ 
4
5
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 5 =
4
5
(𝑥 − 4) 
𝑦 =
4
5
𝑥 −
16
5
+ 5 
𝒚 =
𝟒
𝟓
𝒙 +
𝟗
𝟓
 𝒐𝒖 𝒚 =
𝟒𝒙 + 𝟗
𝟓
 
 
 
 
3. (2,0) Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O 
raio da base r=r(t) e a altura h=h(t) variam com o tempo. No instante em que a altura 
vale 10 cm, ela está aumentando a uma taxa de 2cm/s e, nesse mesmo instante, o 
raio da base vale 12cm e está aumentando a uma taxa de 1cm/s. Calcule a taxa de 
variação do volume do cone neste instante. Adote 
 
 
𝑉′(𝑡) =
1
3
𝜋𝑟(𝑡)2. ℎ(𝑡) 
𝑦 = 𝑢 − 𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢 
𝑢 = 
1
3
𝜋𝑟(𝑡)2 → 𝑢′ = 
2
3
𝜋𝑟(𝑡). 𝑟′(𝑡) 
𝑣 = ℎ(𝑡) → 𝑣′ = ℎ′(𝑡) 
𝑉′(𝑡) =
2
3
𝜋𝑟(𝑡)𝑟′(𝑡). ℎ(𝑡) + ℎ′(𝑡).
1
3
𝜋𝑟(𝑡)2 
ℎ(𝑡) = 10 
ℎ′(𝑡) = 2 
𝑟(𝑡) = 12 
𝑉′(𝑡) =
2
3
𝜋12.1.10 + 2.
1
3
𝜋122 
𝑉′(𝑡) =
2
3
120𝜋 + 288𝜋.
1
3
 
𝑉′(𝑡) = 2 . 40𝜋 + 96𝜋 
𝑉′(𝑡) = 176 . 3 
𝑽′(𝒕) = 𝟓𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟑/𝒔 
 
 
 
4. (2,0) Calcule os limites indicados: 
 
a. 
 
lim
𝑥→∞
(
ln 𝑥
𝑥3
) =
ln ∞
∞3
=
∞
∞
 
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑥) =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3) = 3𝑥2 
lim
𝑥→∞
(
1
𝑥
3𝑥2
) = lim
𝑥→∞
(
1
3𝑥3
) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟏
𝟑𝒙𝟑
) =
𝟏
𝟑. ∞𝟑
=
𝟏
∞
= 𝟎 
 
 
b. Sugestão 
 
 
 
lim
𝑛→∞
𝑥3 ln(𝑥) = 03 ln 0 = 0. −∞ 
lim
𝑛→∞
ln(𝑥)
1
𝑥3
 
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑥) =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑥3
) = −
3
𝑥4
 
lim
𝑥→∞
1
𝑥
−
3
𝑥4
= lim
𝑥→∞
−
𝑥4
3𝑥
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
−
𝒙𝟑
𝟑
=
𝟎𝟑
𝟑
=
𝟎
𝟑
= 𝟎