filtros (8)

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Filtros Digitais 1 
 
 
Luciano Scandelari 
FILTROS DIGITAIS 
 
 
 Um filtro digital é um sistema temporal discreto projetado para 
passar o conteúdo espectral de um sinal de entrada em uma determinada 
banda de freqüências [DEF 88] ,isto é, a função de transferência do filtro 
forma uma janela espectral através da qual somente é permitida a 
passagem da parte desejada do espectro de entrada. Com base na 
resposta da função de transferência, os filtros são classificados em quatro 
tipos: passa-baixas (PB), passa-altas (PA), passa-faixa (PF) e rejeita-faixa 
(RF). 
 
 
5.1 - Tipos de Filtros 
 
 Uma ampla classe de filtros digitais são descritos por uma equação 
diferencial linear [HAM 89], com coeficientes constantes, como: 
 
(5.1) ..
00
åå
=
-
=
- =
L
l
lnl
K
k
knk xCyD 
 
onde C Dl k e representam os sinais de saída e entrada, respectivamente. 
Apesar desta equação ser geral, somente os sistemas causais serão 
discutidos, com yn e xn iguais a zero para n<0. 
 Um sistema causal refere-se a um sistema que é realizável em 
tempo real [OPP 75]. É um sistema, que a um dado tempo m, produz uma 
saída que é dependente somente das entradas presente e passadas, n£m , 
e saídas passadas, n<m. Isto sempre será verdadeiro para uma resposta 
ao impulso unitário, que é zero para n<0. Entretanto, um sistema discreto, 
linear e invariante no tempo é causal se e somente se hn=0 para n<0. 
 Reescrevendo a equação (5.1) para expressar a saída presente em 
termos das entradas presentes e passadas e saídas passadas, temos: 
 
y A x B yn l n l
l
L
k n k
k
K
= --
=
-
=
å å. .
0 1
 (5.2)
onde A = C / D e B =D / D l l o k k o
 
 A expressão (5.2) pode ser implementada como um conjunto de 
multiplicações, somatórios e atrasos. 
Filtros Digitais 2 
 
 
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 A tarefa de projetar filtros digitais consiste na determinação dos 
coeficientes da equação (5.2) para preencher os critérios de entrada e 
saída. Existem duas classes principais de filtros digitais, que são: filtros 
de resposta ao impulso infinita (IIR) e filtros de resposta ao impulso finita 
(FIR). 
 
 
5.1.1 - Filtros de Resposta Finita ao Impulso (FIR) 
 
 
 Se as saídas do sistema dependem somente da entrada presente e 
de um número finito de entradas passadas, então o filtro tem uma resposta 
impulsiva finita. A equação (5.2) com os coeficientes Bk iguais a zero 
representa um filtro FIR de duração L, 
 
y A xn l n l
l
L
= -
=
å .
0
 (5.3) 
 
onde os coeficientes do filtro são equivalentes a sua resposta impulsiva. 
 Devido ao fato de que os valores de saída passados não 
influenciam no cálculo dos valores de saída presentes, este filtro também 
é chamado de filtro não-recursivo [JAC 89]. 
 
 
5.1.2 - Projeto de Filtros FIR 
 
 
 Existem duas implementações eficientes adotáveis para filtros FIR: 
implementação no domínio do tempo e implementação no domínio da 
freqüência [ROC 84]. 
 A implementação no domínio do tempo utiliza poucos coeficientes 
do filtro e efetua a filtragem através de uma convolução do sinal de 
entrada com estes coeficientes. Esta implementação é bastante eficiente 
quando a ordem do filtro não é grande (tipicamente abaixo de 32). 
 A implementação no domínio da freqüência modela a curva de 
resposta em freqüência desejada com o mesmo número de pontos do sinal 
de entrada. Então, é feita a FFT do sinal e o resultado é multiplicado no 
domínio da freqüência pela curva desejada. Após ser efetuada a FFT 
inversa do sinal resultante, obtemos um sinal no domínio do tempo 
Filtros Digitais 3 
 
 
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filtrado da melhor forma possível dentro daquele espaço amostral. A 
desvantagem deste método é que se necessita efetuar duas FFTs, uma 
direta e uma inversa, além de que este método só pode ser utilizado em 
aplicações que não exijam processamento em tempo real e onde o número 
de amostras consideradas é fixo e limitada ao tamanho da maior matriz 
suportada pelos algoritmos utilizados. 
 
 
5.1.3 - Filtros de Resposta Infinita ao Impulso (IIR) 
 
 
 A resposta de um filtro de resposta infinita ao impulso é função dos 
sinais de entrada presentes e passados, e dos sinais de saída passados. A 
equação diferencial (5.2) representa um filtro IIR porque é uma função 
dos elementos de excitação e resposta. A dependência das saídas 
passadas (recursividade) faz com que a duração da resposta seja infinita, 
mesmo quando cessaram os sinais de entrada [ANG 81]. 
 Devido ao fato que nestes filtros os sinais de saída já calculados 
farão parte no cálculo dos sinais de saída ainda por calcular, estes filtros 
tambem são chamados de filtros recursivos. 
 
 
5.1.4 - Projeto de Filtros IIR 
 
 
 No caso dos filtros IIR, o problema da aproximação para o projeto 
de filtros digitais não é conceitualmente diferente ao problema para 
projeto de filtros analógicos. A abordagem para o projeto de filtros 
analógicos envolve uma aproximação analítica das especificações do 
filtro por uma função de transferência, a partir da qual projeta-se uma 
rede analógica que implemente esta função. 
 Uma função de transferência realizável é uma das características de 
uma rede linear estável e causal. Estas características podem ser obtidas 
fazendo com que a função de transferência seja uma função racional de s 
com coeficientes reais, que os polos do filtro analógico estejam na metade 
esquerda do plano s e o grau do numerador seja igual ou menor que o 
grau do polinômio denominador. 
 O problema do projeto de filtros digitais requer a determinação dos 
coeficientes da equação diferencial para preencher as características 
Filtros Digitais 4 
 
 
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desejadas para o filtro, como resposta em freqüência. Como já existem 
abordagens clássicas para o projeto de filtros analógicos, foram 
desenvolvidas aproximações que mapeiam os polos e zeros analógicos do 
plano s para o plano z, de forma a alcançar as características desejadas do 
filtro digital. 
 A abordagem tradicional para o projeto de filtros IIR envolve a 
transformação de um filtro analógico em um filtro digital, com as mesmas 
especificações. Esta é uma abordagem razoável, porque: 
 
1. A tecnologia de projeto de filtros analógicos está bastante avançada 
e, desde que resultados úteis possam ser alcançados, é vantajoso 
utilizar procedimentos já desenvolvidos para filtros analógicos. 
2. Muitos métodos de projetos analógicos têm formulas de projeto 
relativamente simples. Desta maneira, métodos de projetos de 
filtros digitais baseados nestas fórmulas são também simples de 
implementar. 
3. Em muitas aplicações é de interesse utilizar filtros digitais para 
simular o desempenho de um filtro analógico. 
 
 Considerando uma função analógica, 
 
H s
d s
c s
Y s
X sa
k
k
k
M
k
k
k
N
a
a
( )
( )
( )
= ==
=
å
å
0
0
 (5.4) 
 
onde xa(t) é a entrada e ya(t) é a saída e Xa(s) e Ya(s) são suas 
respectivas transformadas de Laplace. Assume-se que Ha(s) foi obtido 
por um método de projeto para filtros digitais [OPP 89]. A entrada e a 
saída deste sistema estão relacionadas pela convolução integral, 
 
(5.5) )().()( ttt dthxty aaa -= ò
¥
¥-
 
 
onde ha(t), a resposta impulsiva, é a transformada inversa de Laplace de 
Ha(s). 
 A função racional correspondente para filtros digitais têm a forma: 
 
Filtros Digitais 5 
 
 
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H z
b z
a z
Y z
X z
k
k
k
M
k
k
k
M( )
( )
( )
= =
-
=
-
=
å
å
0
0
 (5.6) 
 
onde a entrada e a saída são relacionadas pela soma convolucional: 
 
y n x k h n k
k
k
( ) ( ). ( )= -
=-¥
=¥
å (5.7)ou, equivalentemente, pela equação diferencial: 
 
a y b xk n k
k
N
k n k
l
M
. .-
=
-
=
å å=
0 0
 (5.8) 
 
que é semelhante a eq. (5.1). 
 Na transformação de um sistema analógico para um digital, 
deve-se então obter H(z) ou h(n) do projeto do filtro analógico. Nesta 
transformação, geralmente necessita-se que as propriedades essenciais da 
resposta analógica em freqüência seja preservada no filtro digital 
resultante. Desta maneira, deve-se mapear os eixos imaginários do plano-
s no circulo unitário do plano-z. Uma segunda condição é que um filtro 
analógico estável deva ser transformado em um filtro digital estável, isto 
é, se o filtro analógico têm polos somente na metade esquerda do plano-s, 
então o filtro digital deve conter polos apenas dentro do circulo unitário 
do plano-z [LAM 79]. 
 Os principais métodos para a transformação de filtros 
analógicos em filtros digitais são [END 89]: 
 
1. Invariância ao Impulso 
2. Projeto baseado em soluções numéricas da equação diferencial 
3. Transformação Bilinear 
 
 No sistema foi utilizada a técnica de Transformação Bilinear, 
devido ao fato de que esta técnica é a mais utilizada em aplicações onde 
se deseja preservar a magnitude da resposta em freqüência do filtro 
analógico, ainda que com a inclusão de distorção de fase. 
 
5.2 - Método das Séries de Fourier 
Filtros Digitais 6 
 
 
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 O método das séries de Fourier é utilizado para o projeto de filtros 
FIR, gerando uma série, a princípio infinita, a qual é posteriormente 
transformada em finita, de coeficientes no domínio do tempo que são 
equivalentes à transformada inversa da curva de resposta desejada no 
domínio da freqüência [HAM 89]. Esta série de coeficientes deve ser 
convoluída circularmente no tempo, com o sinal de entrada, para se gerar 
o sinal de saída filtrado. 
 A resposta em freqüência de um filtro digital é periódica, com 
período igual à freqüência de amostragem f. Da análise das séries de 
Fourier, sabe-se que qualquer função periódica pode ser expressa como 
uma combinação linear de exponenciais complexas. Desta forma, a 
resposta em freqüência desejada de um filtro digital FIR pode ser 
representada pela seguinte série de Fourier: 
 
H e h n ej fT j fnT
n
d( ) ( )
2 2p p= -
=-¥
¥
å (5.9) 
 
onde os coeficientes de Fourier hd(n) são a resposta impulsiva desejada 
do filtro, que pode ser obtida através de: 
 
(5.10) )(
1
)(
2/
2/
22ò-=
F
F
fnTjfTj dfeeH
F
nhd
pp 
 
Fazendo-se ejwt=z na equação (5.9), obtem-se a função de transferência 
do filtro digital, isto é: 
 
H z h n zd
n
n
( ) ( )= -
=-¥
¥
å (5.11) 
 
 Existem dois problemas de implementação com a equação (5.11), 
isto é, a função de transferência representa um filtro digital não causal de 
duração infinita. Um filtro causal de duração finita pode ser obtido 
truncando-se a resposta impulsiva de duração infinita, isto é 
multilplicando-a por uma janela retangular e, posteriormente, tornando-a 
causal através da multiplicação da mesma por z-(N-1)/2. 
 
Filtros Digitais 7 
 
 
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ú
û
ù
ê
ë
é
++=
=
å
å
-
=
---
-
--=
---
2/)1(
1
2/)1(
2/)1(
2/)1(
2/)1(
))(()0( 
(5.12) )()(
N
n
nnN
N
Nn
nN
zznhhz
znhzzH
dd
d
 
 
 Pode-se observar da equação (5.11) que a causalidade foi 
introduzida através da multiplicação da função de transferência por um 
fator de atraso (N-1)/2. Esta modificação não altera a resposta em 
amplitude do filtro. Entretanto, o abrupto truncamento da série de Fourier 
resulta em oscilações na banda de passagem e de rejeição. 
 
 
(A) (B)
(C) (D)
(E) (F)
 
Figura 5.1 - Ilustração do Efeito Gibbs. 
 Estas oscilações são devido a lenta convergência das séries de 
Fourier, particularmente perto de pontos de descontinuidade. Este efeito é 
conhecido como fenômeno Gibbs. Estas oscilações podem ser diminuídas 
Filtros Digitais 8 
 
 
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através da multiplicação dos coeficientes da resposta impulsiva desejada 
por uma função de janela apropriada. Também com o aumento do número 
de coeficientes hd(n) podemos diminuir a amplitude das oscilações 
devido ao efeito Gibbs [KUN 86], porém a amplitude da ondulação perto 
dos pontos de descontinuidade continua inalterada. Somente uma função 
de janela pode ajudar a diminuir tal ondulação. A figura 5.1 ilustra a 
oscilação da curva devido ao fenômeno de Gibbs. 
 Na figura 5.1, temos a função de transferência com 512 pontos em 
(a). Os coeficientes de Fourier foram calculados através da FFT inversa, 
com 512 pontos, em (b). Então estes coeficientes são truncados, passando 
a ter 32 pontos em (c). A sua função de transferência resultante, obtida 
através de uma FFT, está em (d), ilustrando o fenômeno Gibbs. Então os 
coeficientes truncados são alterados com uma função de janela e estão 
mostrados em (e), com sua curva de resposta em freqüência em (f), 
demonstrando a redução nas oscilações devidas ao fenômeno Gibbs. 
 
 
5.3 - Funções de Janela 
 
 
 Para reduzir as oscilações devidas ao efeito Gibbs em filtros FIR 
com uma série de coeficientes de Fourier finita, é usada uma classe 
particular de funções de ponderação para modificar os seus coeficientes 
[PRO 88]. Estas funções de ponderação no domínio do tempo são 
geralmente chamadas de funções de janelas. Considerando que truncar 
uma série de Fourier inifinita se equivale multiplicar a mesma por uma 
função de janela retangular da forma: 
 
(5.13) )( 2
1
 para 1
demais 0
î
í
ì
=
-
£
N
n
R na 
obtendo-se: 
 
h n h n a nd R( ) ( ). ( )= (5.14) 
 
 Como a multiplicação no domínio do tempo corresponde à 
convolução no domínio da freqüência, o critério no projeto de filtros FIR 
é encontrar uma função de janela finita cuja transformada de Fourier 
tenha baixos níveis em seus lóbulos secundários com respeito ao pico do 
Filtros Digitais 9 
 
 
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lóbulo principal. Desta forma, a técnica para o projeto dos filtros FIR será 
multiplicar a resposta impulsiva desejada h por uma classe de funções no 
domínio do tempo conhecidas como funções de janela. Em geral tem-se: 
 
h n h n a nd( ) ( ). ( )= (5.15) 
 
onde a(n) é a função de janela utilizada. 
 
 
5.3.1 - Janela Retangular 
 
 
 A função da janela retangular é dada pela equação (5.13). O 
primeiro e maior lóbulo lateral está aproximadamente 13 dB abaixo do 
lóbulo principal e o rolloff é de 6 dB por oitava. 
 
 
5.3.2 - Janela de HAMMING 
 
 
 A equação da janela de Hamming é dada por: 
 
(5.16) )( 2
1
 para 
1
2
cos46,054,0
demais 0
ïî
ï
í
ì
=
-
£÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
N
n
N
n
H na
p
 
 
 Para esta janela, o maior lóbulo secundário está aproximadamente a 
-43 dB e o rolloff é de 6 dB por oitava. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.3 - Janela de BLACKMAN 
 
 
 A janela de Blackman em sua forma não causal é dada por: 
Filtros Digitais 10 
 
 
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(5.17) )( 2
1
 para 
1
2
cos5,0
1
2
cos5,042,0
demais 0
ïî
ï
í
ì
=
-
£÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
N
n
N
n
N
n
B na
pp
 
 
 Pode ser demonstrado que o espectro para esta janela tem o nível 
do maior lóbulo lateral 58 dB abaixo do pico do lóbulo principal. 
 
 
5.3.4 - Janela de KAISER 
 
 
 Para as janelas apresentadas anteriormente, a largura do lóbulo 
principal é inversamente proporcional a N,isto é, aumentando-se o 
tamanho da janela diminui-se a largura do lóbulo principal, o que resulta 
em uma diminuição na banda de transição do filtro. Entretanto, a minima 
atenuação da banda de rejeição do filtro é independente do tamanho da 
janela e é função da janela selecionada. Desta forma, para se alcançar 
uma atenuação desejada na banda de rejeição, deve-se encontrar uma 
janela que preencha as especificações do projeto. Deve-se enfatizar que 
janelas com baixos níveis em seus lóbulos secundários têm um lóbulo 
principal mais largo, desta forma necessitando um acréscimo na ordem N 
do filtro para obter uma largura de transição desejada. 
 As janelas de Kaiser têm um parâmetro variável alfa, que pode ser 
variado de forma a controlar o nível dos lóbulos secundários com respeito 
ao lóbulo principal. Tal como em outras janelas, a largura do lóbulo pode 
ser variada ajustando-se o tamanho da matriz de coeficientes da janela, o 
que também ajusta a largura da faixa de transição do filtro. Desta maneira 
pode-se projetar filtros FIR com o auxílio das janelas Kaiser de uma 
forma extremamente eficiente. 
 É desejável que a janela utilizada tenha uma função que seja de 
duração limitada no domínio do tempo e que sua transformada de Fourier 
seja a mais próxima possível de uma função de limitação de banda, isto é, 
tenha o máximo de energia no lóbulo principal para uma dada amplitude 
limite no lóbulo secundário. As funções esféricas têm esta propriedade; 
entretanto, a forma destas funções é complicada e difícil de processar. 
Uma aproximação bastante simples a estas funções foi desenvolvida por 
J.F.Kaiser em termos de funções modificadas de Bessel de ordem zero do 
primeiro tipo, isto é, Io(x). Esta janela é dada por: 
Filtros Digitais 11 
 
 
Luciano Scandelari 
 
(5.18) )(
)(
 0)(
2
1
 para 
demais
ï
î
ï
í
ì
=
-
£
N
n
o
o
K
I
I
na a
b
 
 
 
 
onde a é a variável independente determinada empiricamente por Kaiser. 
O parâmetro b é expresso por: 
 
(5.19) 
1
2
1
5,02
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-=
N
n
ab 
 
 A função modificada de Bessel de primeiro tipo, Io(x), pode ser 
calculada por sua expansão em séries de potências dada por: 
 
(5.20) 
2!
1
1)(
2
1
å
¥
= ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ+=
n
k
o
x
k
xI 
 
 Esta série converge rapidamente e pode ser calculada para qualquer 
precisão, onde 25 termos são suficientes para a maioria dos propósitos 
[HAM 89]. Neste caso, foram utilizados 30 termos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 - Projeto de Filtros FIR Usando a Janela de Kaiser 
 
 
Filtros Digitais 12 
 
 
Luciano Scandelari 
 O procedimento de projeto de filtros FIR utilizando a janela de 
Kaiser pode ser aplicado a filtros passa-baixas (PB), passa-altas (PA), 
passa-faixa(PF) e rejeita-faixa (RF), com um número de coeficientes N 
ímpar. As equações para o projeto são dadas em [HAM 89]. 
 
 
 
 
5.4.1 - Especificação do Filtro 
 
 
 As especificações suficientes e necessárias para o projeto são as 
seguintes: 
 
· Tipo de filtro: PB,PA,PF,RF. 
· freqüências críticas de corte inferior e superior: 
 PB/PA: fp e fs 
 PF/RF: fp1,fp2,fs1,fs2 (ver figura 12) 
· Ondulação máxima permitida da banda de passagem e atenuação 
mínima em decibéis positivos: Ap e As. 
· Freqüência de amostragem utilizada, em Hz: F 
· Ordem do filtro: N(deve ser ímpar) 
 
1-d p
1+d p
d s
0
[H(w)]
fp fc fs F/2
1-d p
1+d p
d s
0
[H(w)]
fp fc fs F/2
1-d p
1+d p
d s
0
[H(w)]
fp1
fc1
fs2 fp2
fc2
fs2
1-d p
1+d p
d
s
0
[H(w)]
fp1
fc1
fs2 fp2
fc2
fs2 F/2
(a) (b)
(c) (d)
F/2
 
 
Figura 5.2 - Freqüência de resposta idealizada: (a) filtro passa-baixa (b) filtro passa-
alta (c) filtro passa-faixa (d) filtro rejeita-faixa. 
Filtros Digitais 13 
 
 
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 As características da freqüência de resposta idealizada , que são 
indicadas pelas linhas sólidas, estão na figura 5.2 para f³0. As áreas 
hachuradas na figura mostram as regiões de tolerância onde, 
normalmente, a amplitude da resposta em freqüência pode ser 
aproximada, e as freqüências fp e fs representam as freqüências limites 
passa-faixa e rejeita-faixa. Finalmente, a faixa de freqüências entre 
fp£f£fs representam a faixa de transição. Devido à descontinuidade nas 
freqüências da faixa de passagem, estas características ideais de 
freqüência não são fisicamente realizáveis. Entretanto, uma função de 
aproximação para o filtro que se aproxime das freqüências ideais de 
resposta, dentro das tolerâncias especificadas para as regiões de 
passagem e rejeição, pode ser utilizada. 
 
 
5.7 - Abordagens para Filtros Digitais IIR 
 
 
 O problema da aproximação no projeto de filtros digitais IIR é 
normalmente resolvido utilizando-se uma das seguintes abordagens: 
 
· Filtros de Butterworth 
· Filtros de Chebyshev 
· Filtros Elípticos 
 
 Os filtros de Butterwort são definidos de forma que a magnitude da 
resposta em freqüência seja maximamente plana, na banda de passagem. 
 Os filtros de Chebyshev são definidos de forma que a magnitude da 
sua resposta em freqüência apresente ondulação na banda de passagem e 
seja plana na banda de rejeição (tipo 1), ou seja plana na banda de 
passagem e apresente ondulação na banda de rejeição (tipo 2). Neste caso 
foi adotado o tipo 1, por ser o mais utilizado. 
 Os filtros elípticos são projetados para que a magnitude da resposta 
em freqüência apresentae ondulação na banda de passagem e na banda de 
rejeição. Estes filtros são ótimos no sentido que, para uma dada condição 
de projeto, a transição entre a banda de passagem e a banda de rejeição é 
minimizada. 
 
 
Filtros Digitais 14 
 
 
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5.7 - Transformação Bilinear 
 
 
 A transformação bilinear é uma técnica de mapeamento, ou 
transformação, do plano-s, analógico, para o plano-z, digital. A conversão 
transforma os polos e zeros analógicos em polos e zeros digitais, onde 
cada ponto no plano-s é transformado em um único ponto no plano-z. A 
transformação bilinear têm a propriedade de conservar a magnitude da 
resposta em freqüência do filtro analógico, porém introduzindo distorção 
de fase. Desta forma, caso se necessite resposta em frequência linear em 
fase e magnitude, então deve-se utilizar filtros FIR. Porém, como nem 
todas as aplicações necessitam de linearidade na fase da resposta em 
freqüência, os filtros IIR também têm sua utilidade nestes casos. 
 
 
 A transformação bilinear é uma transformação simples do plano-s 
para o plano-z. Esta transformação é definida por: 
 
s
z
z
=
-
+
1
1
 (5.21) 
 
 
para s j= w' , a eq(5.21) resulta: 
 
j
e
e
e e
e e
j T
j T
j T j T
j T j T
w
w
w
w w
w w'
/ /
/ /
=
-
+
=
-
+
-
-
1
1
2 2
2 2
 (5.22) 
 
onde w' é a variável analógica da freqüência, e w é a variável digital da 
freqüência. fazendo w=wi, e a freqüência de amostragem F=1/T, a eq. 
(5.22) é usada para obter a relação entre a variável da freqüência 
analógica e a digital, dada pela equação: 
 
w w pi i iT f F' tan( / ) tan( / )= =2 (5.23) 
 
 As freqüências fi são as freqüências digitais críticas da banda de 
passagem e de rejeição, relacionadas às especificações do filtro. Da 
equação (5.23), uma freqüência analógica wi' no eixo-w é transformada 
em uma freqüência fi, no circulo unitário. Como resultado, uma função de 
Filtros Digitais 15 
 
 
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transferência de um filtro analógico é relacionada com uma função de 
transferência digital correspondente,pela relação H j H ej f Ti( ') ( )w p= 2 . 
 
 
5.8 - Topologia Adotada 
 
 
 A função de transferência de um filtro digital pode ser expressa por 
uma razão polinomial em z-1 , que é: 
 
H z
A z
Bz
i
i
i
M
i
i
i
N( ) =
+
-
=
-
=
å
å
0
1
1
 (5.24) 
 
 Em [DEF 88], é demonstrado que os erros de quantização dos 
coeficientes dos filtros são menos severos para uma implementação em 
cascata como apresentado na figura 5.3, a seguir: 
 
 
Ck
- -
z
-1
z
-1
+ + + +
A1k
A2kB2k
B1k
x(z)
y(z)
Hk(z)
(a)
x(z) y(z)
H1(z) H2(z) Hk(z)
(b)
 
Filtros Digitais 16 
 
 
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Figura 5.3: implementação da seção de segunda ordem para filtro digital IIR; (a) 
representação da forma canônica da seção de segunda ordem; (b) representação da 
implementação em cascata das seções de segunda ordem. 
 
 
 É vantajoso fatorar a função de transferência de N-ésima ordem em 
um produto de seções de segunda ordem dada por: 
 
H z C H z
H z
A z A z
B z B z
k k
k
N
k
k k
k k
( ) ( )
( )
/
, ,
, ,
=
=
+ +
+ +
=
- -
- -
Õ 1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
 (5.25)
onde
 (5.26)
 
 
 A função de transferência dada em 5.25 representa um 
cascateamento de seções de segunda ordem, como mostrado na figura 
5.3.a. Esta implementação requer a implementação da equação diferencial 
obtida tomando-se a transformada Z inversa da eq. 5.26, como: 
 
Y nT C x nT A x nT T A x nT T
B y nT T B y nT T
k k k k
k k
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
, ,
= + - + -
- - - -
1 2
1 2
2
2
 (5.27)
 
 
 
onde Ck é a constante de escala de segunda-ordem e os coeficientes da 
seção são dados por Ai,k e Bi,k. Esta implementação representa a forma 
digital canônica da rede, pois tem o número mínimo de elementos 
multiplicadores, somadores e atrasadores. O número de atrasos é igual à 
ordem do filtro. 
 Uma vez que os polos e zeros das seções de segunda ordem são 
ambos reais, ou ocorrem em pares complexos conjugados, os coeficientes 
da função de transferência são reais. A ordem dos fatores de segunda 
ordem do numerador e denominador são importantes quando 
considerando os efeitos do tamanho finito da palavra, sobre o 
desempenho do filtro. 
 
 
5.9 - Procedimento de Cálculo para Filtro IIR 
 
 
Filtros Digitais 17 
 
 
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 A abordagem utilizada para a implementação dos filtros IIR pode 
ser encontrada em [DEF 88], assim como as equações utilizadas para 
todos os filtros implementados. 
 Para o projeto dos coeficientes do filtro elíptico, foi adotada a 
seguinte metodologia: 
 
1) Entrada das Especificações do filtro. 
2) Cálculo dos zeros analógicos passa-baixa 
3) Cálculo dos polos analógicos passa-baixa 
4) Cálculo dos polos e zeros digitais 
5) Cálculo dos coeficientes de segunda ordem 
6) Determinação dos coeficientes de Normalização 
7) Cálculo do coeficiente para a seção de primeira ou segunda 
ordem em filtros de número de seções ímpar 
 
 
 
 
 
 
 As especificações necessárias para os filtros são: 
 
··Tipo - Definir o tipo de filtro, a saber: 
 [A] - Passa Altas 
 [B] - Passa Baixas 
 [P] - Passa Faixa 
 [R] - Rejeita Faixa 
 
··Abordagem - Definir a abordagem utilizada, entre as seguintes: 
 [B] - Filtro de Butterworth 
 [C] - Filtro de Chebishev 
 [E] - Filtro eliptico 
 
··Ondulação - Informar a ondulação máxima permitida. 
 
··Atenuação - Informar a atenuação mínima desejada, em dB, da 
banda de rejeição. 
 
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··Faixa de transição - Informar a faixa de transição máxima, em 
Hz, permitida entre a banda de passagem e a banda de rejeição. 
 
··Freqüência de corte - Informar a freqüência de corte desejada, 
para filtros passa-baixas ou passa-altas. 
 
··Freqüência de corte inferior - Informar a freqüência de corte 
inferior, para filtros passa-faixa ou rejeita-faixa. 
 
··Freqüência de corte superior - Informar a freqüência de corte 
superior, para filtros passa-faixa ou rejeita-faixa. 
 
 
 
5.11 - Comparação entre Filtros FIR e IIR 
 
 
 Existem algumas vantagens e desvantagens [DEF 88] dos filtros 
FIR se comparados com os filtros IIR. Algumas delas estão citadas a 
seguir: 
 
 · Filtros FIR podem ser projetados com resposta em fase linear. Fase 
linear é importante para aplicações onde a distorção de fase devido à 
resposta em fase não linear pode degradar o desempenho, como é o 
caso de processamento de voz e transmissão de dados. 
 
 · Os filtros FIR podem ser mais eficientemente implementados em 
sistemas de multitaxas. 
 
 · Os filtros FIR podem ser implementados em tempo real com um 
esforço computacional de F(L+1) multiplicações por segundo, onde F 
é a taxa de amostragens por segundo e L é o número de coeficientes 
do filtro. Filtros IIR requerem um número de multiplicações igual a 
F(L+K+1), onde os fatores L e K são o número de coeficientes do 
filtro e F é a taxa de amostragens por segundo. 
 
 · Uma desvantagem dos filtros FIR, em comparação com os filtros 
IIR é o considerável aumento necessário na ordem do filtro para se 
alcançar uma resposta em freqüência especificada, desta forma 
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necessitando mais espaço de armazenamento para os coeficientes, e 
maior velocidade de processamento devido ao aumento do número de 
multiplicações causado pela maior ordem do filtro.