Notas de aula matrizes e determinantes trabalho 2017 1

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Cursos da Área de Gestão 
– Matemática para Decisões Administrativas 1 – 
Prof. José Renato Buêncio 
 
 1 























mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
....
.......
.......
.......
....
....
....
321
3333231
2232221
1131211
MMAATTRRIIZZEESS 
I. Introdução 
O crescente uso dos computadores tem feito com que a 
teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas 
como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre 
outras. Vejamos um exemplo. 
 
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em 
uma etapa: 
 
 QUIMICA INGLÊS LITERATURA ESPANHOL 
A 8 7 9 8 
B 6 6 7 6 
C 4 8 5 9 
 
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta 
procurar o número que fica na segunda linha e na terceira 
coluna da tabela. 
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos 
em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas 
colocados entre parênteses ou colchetes: 
 
 
 
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. 
As linhas são enumeradas de cima para baixo e as 
colunas, da esquerda para direita: 
 
 
 
Assim, chama-se de matriz de ordem m por n a um quadro 
com 
nm
 elementos ou entradas (números, polinômios, 
funções, etc) dispostos em m linhas e n colunas: 
 
 
 
 
 
 
II. Representação dos elementos da Matriz 
Cada elemento da matriz A é definido por dois índices i e j, 
que indicam respectivamente a linha e coluna na qual se 
encontra o elemento na matriz. Assim para um elemento 
genérico da linha i e da coluna j indica-se: 
jia
 
 
III. Representação de uma Matriz 
A matriz A pode ser representada abreviadamente por 
 
mxnij
aA 
,com i variando de 1 a m, ou seja, 
mi ,...,3,2,1
 e j variando de 1 a n 
(
nj ,...,3,2,1
) 
 
IV. Ordem da Matriz – Notação 
Se a matriz possui m linhas e n colunas, diz-se que ela é 
de ordem m por n e representa-se da seguinte forma: A(m 
x n). 
 
Exemplo: A(3 x 4) , diz-se: Matriz de ordem 3 por 4. 
 
4.1. Matriz Retangular: ma matriz na qual m  n. 
Exemplo: 





 

240
321
B
 é uma matriz 2 x 3 
4.2. Matriz-Coluna: É a matriz de ordem m por 1 
(
1m
) 
Exemplo:























1
31
21
11
.
.
.
ma
a
a
a
C
 
4.3. Matriz-Linha: É a matriz de ordem 1 por n (
1 n
). 
Exemplo:
 11 12 13 1nC a a a a
 
4.4. Matriz quadrada: Quando o número de linhas é igual 
ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada. 
 
4.4)1. Diagonal principal: Em uma matriz 
quadrada A = [
jia
] de ordem n, os 
elementos 
jia
 nos quais i = j, 
constituem a diagonal principal, ou seja, os 
elementos a11 , a22 , a33 , ... ann 
formam a diagonal principal. 
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 2 
11
22
33
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
A
a
a
 
 
 
 
 
 
5 0 0
0 5 0
0 0 5
A
 
 
 
  
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
 
  
2
1 0
0 1
I
 
  
 
3 3
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
x
 
 
 
  
4.4)2. Diagonal secundária: Na matriz quadrada 
A = [
jia
] de ordem n, os elementos 
jia
 
para os quais 
1 nji
, constituem 
a diagonal secundária. Assim, os elementos 
a1n, a2n-1 , a3 n-2 , ... an1 formam a 
diagonal secundária. 
 
Exemplo: Na matriz de ordem 4 a seguir, estão indicados 
os elementos que formam as diagonais, principal e 
secundária. 
 
 
 
 
 
4.5. Matriz Diagonal: É a matriz quadrada 
ijA a   
 
que tem os elementos 
0ija 
 quando 
i j
. Em 
outras palavras, a matriz diagonal é aquela na qual os 
elementos que não fazem parte da diagonal principal 
são todos nulos. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
4.6. Matriz Escalar: É uma matriz diagonal onde os 
elementos 
ija
 são iguais entre si. 
Exemplo: 
 
 
 
 
4.7. Matriz Identidade ou Matriz Unidade: A matriz 
quadrada de ordem n que tem os elementos da 
diagonal principal iguais a 1 e todos os demais 
elementos iguais a zero. Indica-se esta matriz por In , 
ou simplesmente por I. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
4.8. Matriz Nula ou Matriz Zero: É uma matriz, de ordem 
0m x n
, cujos elementos 
jia
 são todos iguais a zero. 
Exemplo: 
 
 
 
4.9. Matriz transposta: matriz tA obtida a partir da matriz 
A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas 
ou as colunas por linhas. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo, se a matriz
A
é do tipo mxn, tA é do tipo 
nxm. 
Note que a 1ª linha de 
A
 corresponde à 1ª coluna de tA 
e a 2ª linha de 
A
 corresponde à 2ª coluna de tA . 
 
 
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES 
V. Igualdade de Matrizes: 
Duas matrizes A = [
jia
] e B = [
jib
] de mesma ordem são 
iguais se, e somente se, 
jiji ba 
. 
NOTA: A matriz identidade é um caso particular 
de uma matriz escalar, portanto toda matriz 
identidade também é uma matriz diagonal. 
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 3 
2 5 2 5
9 0 9 0
   
   
   
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
       
      
       
Exemplo: 
 
 
VI. Soma e Subtração de Matrizes: Dadas duas 
matrizes A = [
i ja
] e B = [
i jb
] de mesma ordem 
( nm ), a soma destas duas matrizes resulta em 
uma matriz C = [ jic ] também de ordem ( nm ) tal 
que: 
i j i j i jc a b 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
6.1. Propriedades da Adição de Matrizes 
 
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem. São válidas as 
propriedades: 
a) Comutativa: A + B = B + A 
b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
c) Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A 
d) Elemento oposto: –A + A = A + (–A) = 0 
e) Cancelamento: se A = B, então A + C = B + C 
 
VII. Produto de uma Matriz por um Escalar: 
Seja 
k
 um escalar (
k
). O produto deste número 
k
 pela matriz A = [
jia
] , de ordem 
nm
, resulta em 
uma matriz 
B = [
jib
] , de mesma ordem 
nm
, tal que: 
jiji akb 
 
 
 
 
 
7.1. Propriedades do produto de uma matriz por um 
escalar 
 
Sejam 

 e 

 números reais e A e B matrizes de mesma 
ordem. São válidas: 
a) 
   AA  
 
b) 
  AAA   
c) 
  BABA   
d) 
AA 1
 
 
VIII. Produto Entre Matrizes: 
O produto de uma matriz por outra não é determinado por 
meio do produto dos seus respectivos elementos. Assim, o 
produto das matrizes A = (aij) m x p e B = (bij) p x n é a 
matriz C = (cij) m x n em que cada elemento Cij é obtido por 
meio da soma dos produtos dos elementos 
correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da j-
ésima coluna B. 
 
Vamos multiplicar as matrizes A e B a seguir para entender 
como se obtém cada Cij: 
 
 1ª linha e 1ª coluna 
 
 
 
 
 1ª linha e 2ª coluna 
 
 
 
 
 2ª linha e 1ª coluna 
 
 
OBSERVAÇÃO: A diferença A – B de duas matrizes é 
uma matriz C tal que: 
i j i j i jc a b 
 
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 4 
 
 
3 2 2 5 3 54 1 2 3
4 2 2 1 4 1
 Se e , então .
 Se e , então NÃO existe o produto
 Se e , então .
x x x
x x
x x x
A B A B
A B
A B A B



 
 2ª linha e 2ª coluna 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
Observe: 
 
B. A = 
 
 
Portanto, 
. .A B B A
, ou seja, para a multiplicação de 
matrizes não vale a propriedade comutativa. 
 
Vejamos outro exemplo do produto entre duas matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se 
o número de colunas de A for igual ao número de linhas de 
B: 
 
 
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o 
número de colunas de B (n): 
 
 
 
 
 
8.1. Propriedades 
Verificadas as condições de existência para a multiplicação 
de matrizes, valem as seguintes propriedades: 
a) associativa: (A . B) . C = A . (B . C ) 
b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C 
ou ( A + B ).C = A.C + B.C 
c) elemento neutro: A.In = In. A = A, sendo In a matriz 
identidade de ordem n. 
 
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale 
para a multiplicação de matrizes. 
 
Não vale também o anulamento do produto, ou seja: 
Sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n 
Não implica, necessariamente, que A= 0 mxn ou B= 0 mxn. 
 
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 5 
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS 
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo 
número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual 
damos o nome de determinante. 
Dentre as várias aplicações dos determinantes na 
Matemática, temos: 
 resolução de alguns tipos de sistemas de equações 
lineares; 
 cálculo da área de um triângulo situado no plano 
cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos 
seus vértices; 
I. Determinante de 1ª ordem 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o 
seu determinante é o número real a11: 
 11 11 11det =M a M a a  
 
 
 
 
II. Determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz , de ordem 2, por 
definição o determinante associado a M, determinante 
de 2ª ordem, é dado por: 
 
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado 
pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. Veja o exemplo a seguir. 
 
 
 
 
III. Regra de Sarrus 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por 
meio de um dispositivo prático, denominado regra de 
Sarrus. 
Acompanhe como aplicamos essa regra para 
. 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da 
terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos 
da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal 
(a soma deve ser precedida do sinal positivo): 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos 
da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal 
(a soma deve ser precedida do sinal negativo): 
 
Assim: 
OBSERVAÇÃO: Representamos o determinante de uma matriz 
entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. 
Por exemplo: 
 5 det 5 ou 5M M  
 
 3 det 3 ou 3M M     
 
 
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 1 
1) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. 
 
2) Construa as seguintes matrizes: 
A = (aij)3x3 tal que aij = 





ji ,0
ji ,1
se
se
 B = (bij)3x3 tal que bij = 





ji se 3j,-i
ji se2j, i
 
 
3) Determine a soma dos elementos da 3ª coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –j. 
 
4) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal 
secundária da matriz A = (aij)3x3. 
 
5) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i 2 – 7 j. 
 
6) Determine a e b para que a igualdade 







 
7 10
b 4 3a
= 






7 10
b 2a
seja verdadeira. 
 
7) Sejam A = 










2 0
1- 4
3 2
e B = 










5 8
1- 7
0 2
, determine (A + B)t. 
 
8) Dadas as matrizes A = 






2- 4
1 3
e B = 





 
2- 1
y- xyx
, determine x e y para que A = B t. 
 
9) Resolva a equação matricial: 





















2 2 4
3 5 1
2 5 3
2- 1- 1
7 2 0
5 4 1
= x + 










 5 9 1
3- 1- 8
2 7 2
. 
 
10) Determine os valores de x e y na equação matricial: 






















4 3
2 1
.2
5 7
4- 4
3 
 x2
y
. 
 
11) Dadas as matrizes A = 
,
5- 2
3 0






 B = 






1- 0
4 2
e C = 






 0 6
2 4
, calcule: 
 
a) A + B b) A + C c) A + B + C 
 
12) Dadas as matrizes A = 






8 2 6
2- 4 0
, B = 






0 6- 12
9 6 3
e C = 






2 1- 1
0 1- 0
, calcule o resultado 
das seguintes operações: 
a) 2A – B + 3C b) 






 CBA
3
1
2
1
 
13) Sendo A = 






1 5
2 3
 e B = 






0 2
1- 3
e C = 






4
1
, calcule: 
 
a) AB b) BC 
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 2 
 
14) Calcule os seguintes determinantes: 
a) 






3- 1
8 4-
 b) 








7- 3
3 8 c) 










 8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
 
15) Se a = 
4 3
1 2

, b = 
1 3
7 21

 e c = 
3 5
2- 1-
, determine A = a 2 + b – c 2. 
16) Calcule o valor do determinante da matriz A = 










3 1 2
6 7 5
0 1- 4
 
17) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, 
concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz 
A, em que: A=
3
2
 2 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = det A, determine: 
a) o peso médio de uma criança de 7 anos 
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg. 
 
18) Resolva as equações: 
a) 
7 5
2x x 
= 0 b)
2 1 3
 x4 2
1 4 2
= 0 
19) Dada a matriz A = 
3 1
4 2
, calcule: a) det A b) det A2 
20) 
 
 
 
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