Aula 02 MPN

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Matemática para Negócios 
Antonio Nascimento 
Aula 2 
Objetivos Gerais 
Modelar e solucionar vários tipos de problemas com o 
uso do conhecimento Matemático Básico, no que se 
refere a: 
• Intervalos Numéricos; 
• Potenciação; 
• Radiciação; 
• Fatoração e Produtos Notáveis. 
 
Intervalos Numéricos 
Números Reais (R) 
 
• Pode-se representar o conjunto dos números reais 
associando cada número x ∈ R a um ponto de uma 
reta r. 
N 
Z 
Q 
R 
I ∞ ∞ 
Representação de Intervalos 
Intervalos Fechados 
 
• Intervalo fechado pelos números reais a e b: 
 
 
• [ a, b ] 
• { x ∈ R | a ≤ x ≤ b } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
maiores ou iguais que a e menores ou iguais que b. 
Representação de Intervalos 
Intervalos Abertos 
 
• Intervalo aberto pelos números reais a e b: 
 
 
• ] a, b [ 
• { x ∈ R | a < x < b } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
maiores que a e menores que b. 
Intervalo Misto 
 
• Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à 
direita) definido pelos números reais a e b: 
 
 
• ] a, b ] 
• { x ∈ R | a < x ≤ b } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
maiores que a e menores ou iguais a b. 
Representação de Intervalos 
Intervalo Misto 
 
• Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à 
esquerda) definido pelos números reais a e b: 
 
 
• [ a, b [ 
• { x ∈ R | a ≤ x < b } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
maiores ou iguais a a e menores que b. 
Representação de Intervalos 
Intervalo envolvendo o infinito 
 
• Intervalo fechado à esquerda, definido pelo número 
real a: 
 
 
• [ a, ∞ [ 
• { x ∈ R | x ≥ a } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
maiores ou iguais a a. 
Representação de Intervalos 
∞ 
Intervalo envolvendo o infinito 
 
• Intervalo fechado à direita, definido pelo número real b: 
 
 
• ]∞ , a ] 
• { x ∈ R | x ≤ b } 
• Estão definidos todos os números reais que são 
menores ou iguais a b. 
Representação de Intervalos 
∞ 
Exemplos de Intervalos Numéricos 
• Considere os conjuntos de números reais A={x∈R|0<x<2} 
e B={x∈R|−3<x<1}. Usando a reta dos R, determine os 
conjuntos: AUB e A∩B. 
AUB = ] -3, 2 [ 
A∩B = ] 0, 1 [ 
• Represente os seguintes subconjuntos de R na reta 
numérica: 
 
a) A = {x∈R | x>–3/2} 
 
 
b) B = {x∈R | 2<x<5} 
 
Exemplos de Intervalos Numéricos 
Potenciação 
Definição 
 
• Potenciação é apenas a multiplicação de um dado 
número ou expressão matemática, de acordo com 
sua potência. 
 
 
 
• a → base 
• n → expoente 
 
fatoresn
n aaaaa 
Exemplos de Potenciação 
• 10³ = 10 x 10 x 10 = 1000 
 
• − 2³ = (− 2) x (− 2) x (− 2) = − 8 
 
• (3 − 1)³ = 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 
Propriedades de Potenciação 
• Multiplicação de potências de mesma base ܽ௠. ܽ௡ = ܽሺ௠+௡ሻ 
 
• Divisão de potências de mesma base ܽ௠ܽ௡ = ܽሺ௠−௡ሻ, com a ≠ Ͳ 
 
• Potência de potência ܽ௠ ௡ = ܽሺ௠.௡ሻ 
 
Propriedades de Potenciação 
• Multiplicação de potências de mesmo expoente ܽ௡. ܾ௡ = ܽ. ܾ ௡ 
 
• Divisão de potências de mesmo expoente ܽ௠ܾ௠ = ܾܽ ௠ , ܿ݋𝑚 ܾ ≠ Ͳ 
 
• Potência de expoente inteiro negativo ܽ−௡ = ଵ𝑎೙ 
Propriedades de Potenciação 
• Potências de expoente racional (fração) ܽ௠௡ = ܽ௠೙ 
Exemplos de Potenciação 
• ͵ଶ. ͵ସ = ͵ሺଶ+ସሻ = ͵଺ 
• ݔ. ݔହ = ݔሺଵ+ହሻ = ݔ଺ 
• ହరହమ = ͷሺସ−ଶሻ = ͷଶ 
• 𝑥ళ𝑥ఱ = ݔሺ଻−ହሻ = ݔଶ 
• ͷݔ ଶ = ʹͷݔଶ 
• − ହଷ ଶ = ଶହଽ 
• 𝑥ଷ ସ = 𝑥ర଼ଵ 
• ͻభమ = ͻ = ͵ 
• ͺభయ = ͺయ = ʹ 
Radiciação 
Definição 
 
• A Radiciação é a operação inversa da potenciação. 
Pela definição de radiciação, temos que: 
 
 
 
• n → índice da raiz; 
• a → radicando. 
ࢇ𝒏 = ࢈ → ࢈𝒏 = ࢇ 
Propriedades de Radiciação 
• O radical possui índice igual ao expoente do radicando ݔ௡೙ = ݔ 
• O produto de radicais de mesmo índice é igual ao 
produto de radicandos ݔ. ܽ೙ = ݔ೙ . ܽ೙ 
• O quociente de radicais de mesmo índice é igual ao 
quociente de radicandos ܽݔ೙ = ݔ೙ ܽ೙ , ܿ݋𝑚 ܽ ≠ Ͳ 
Propriedades de Radiciação 
• A potência de radical é igual a potência do 
radicando ݔ೙ ௠ = ݔ௠೙ 
 
• O radical de um radical é igual ao produto dos 
índices de mesmo radicando ݔ೙೘ = ݔ೘.೙ 
Exemplos de Radiciação 
• ͳ͸ = Ͷ 
 
• ͺయ = ʹ 
 
• −ͺయ = −ʹ 
 
• Ͷݔଶ = Ͷ. ݔଶ = ʹ. ݔ 
 
• ͳయ = ͳయ.మ = ͳల = ͳ 
• ଶ଻଼య = ଶ଻య ଼య = ଷଶ 
 
• ͵ʹͶ = ʹଶ. ͵ସ =ʹଶ. ͵ଶ. ͵ଶ = ʹ.͵.͵ = ͳͺ 
 
• ͸ʹͷయ = ͷସయ = ͷଷ. ͷଵయ =ͷ. ͷయ 
Fatoração 
Definições 
 
• A fatoração de um polinômio é a sua transformação 
num produto. 
 
• O termo fatorar significa decompor uma expressão 
ou número em fatores ou parcelas, de modo que o 
produto destas parcelas resulte na expressão ou 
número original. 
Fatoração 
Casos mais importantes 
 
• Fator Comum; 
 
• Diferença de dois quadrados; 
 
• Trinômio do quadrado perfeito 
Fator comum 
Fator comum 
• Fator em evidência ➪ expressões algébricas que 
possuem um fator comum a todos os termos. 
Exemplo: ࢇ. ࢞ + ࢇ. ࢟ + ࢇ. ࢠ ➪ (fator comum 𝒂) ܽ. ݔ + ܽ. ݕ + ܽ. ݖ = ܽ. ሺݔ + ݕ + ݖሻ 
 
• O produto ܽ. ሺݔ + ݕ + ݖሻ é a forma fatorada do 
polinômio dado. 
Fator comum – Exemplos 
• ͳͺݔ + ͻݔ݌ − ͵ݔܽ = ͵ݔ. ሺ͸ + ͵݌ − ܽሻ 
 
• Ͷݔଶ − ͷݔଶ = ݔଶ. Ͷ − ͷ = −ݔଶ 
 
• ͷ. ݔଶ + ʹͲ. ݔସ − ͳͲ. ݔଷ = ͷ. ݔଶ. ሺͳ + Ͷ. ݔଶ − ʹݔሻ 
Diferença de dois quadrados 
Diferença de dois quadrados 
 
• A diferença entre dois quadrados é o produto da 
soma pela diferença das bases deles. 
 ࢇ𝟐 − ࢈𝟐 = ࢇ + ࢈ . ሺࢇ − ࢈ሻ 
 
• Quadrado perfeito: 
• ͻܽଶ é o quadrado perfeito, pois ͻܽଶ = ሺ͵ܽሻଶ 
• ݔସݕ଼ é quadrado perfeito, pois ݔସݕ଼ = ሺݔଶݕସሻଶ 
Diferença de dois quadrados - Exemplos 
• ʹͷݔଶ − ͳ͸ = ሺͷݔ + Ͷሻሺͷݔ − Ͷሻ 
 
• ݔଶ − ͻ = ሺݔ + ͵ሻሺݔ − ͵ሻ 
 
• ݔ଼ − ݕ଼ = ሺݔସ + ݕସሻሺݔସ − ݕସሻ 
Trinômio do quadrado perfeito 
Trinômio do quadrado perfeito 
 ࢇ𝟐 + 𝟐ࢇ࢈ + ࢈𝟐 
 
• É um produto notável que pode ser escrito como o 
quadrado da soma (ou diferença): ܽ + ܾ ଶ = ܽ + ܾ ܽ + ܾ = ܽଶ + ʹܾܽ + ܾଶ 
 ܽ − ܾ ଶ = ܽ − ܾ ܽ − ܾ = ܽଶ − ʹܾܽ + ܾଶ 
Trinômio do quadrado perfeito - Exemplos 
• ݔଶ + ͳͲݔݕ + ʹͷݕଶ = ݔ + ͷݕ ଶ 
 
• ͻܽଶݔଶ − ͸ܽݔ + ͳ = ͵ܽݔ − ͳ ଶ 
 
• 𝑚ଶ + ͸𝑚 + ͻ = 𝑚 + ͵ ଶ 
Antonio Sérgio Alves do Nascimento 
 
Possui graduação em Engenharia Civil pela UFPA 
(1997) e Mestrado em Geotecnia pela PUC-Rio (2000) 
 
http://lattes.cnpq.br/1054089193025531 
. 
Obrigado!