leis de kirchoff

um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha (s). 
 
Exemplo resolvido 10.1: Calcule o sentido e o módulo da corrente elétrica no circuito da fig. 
10.4. 
1 Ω 4,7 Ω 3,3 Ω
6 V 15 V
 
Fig. 10.4 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.1. 
Resolução: 
 
a) Arbitra-se (escolhe-se) um sentido para a corrente elétrica no circuito. Por exemplo, 
no sentido indicado na figura 10.5. 
b) Polarizam-se as quedas de tensão nos resistores (polaridade positiva no terminal 
por onde a corrente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal maior é o positivo). 
c) Percorre-se a malha, somando algebricamente as tensões (o sinal da tensão corres-
ponde ao sinal da polaridade da tensão encontrada na entrada do componente). 
Estas etapas estão mostradas na figura 10.5 e na equação abaixo. 
 Leis de Kirchhoff X - 5 
I
1 Ω 4,7 Ω 3,3 Ω
6 V 15 V
+ − + − + −
+−+ −
 
Figura 10.5 Esquema de solução para o Exemplo 10.4. 
 
 1 4,7 3,3 15 6 0I I I+ + + − = 9 9I = − 1 AI = − 
 
O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I significa que o sentido esco-
lhido para ela está invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente elétrica I é para bai-
xo na fig. 10.5 e não para cima como foi arbitrado no início da resolução. 
 
Exemplo resolvido 10.2: Calcule os valores da I1, I2 e I3 a partir dos valores das f.e.m.s e das 
resistências elétricas usando obrigatoriamente as leis de Kirchhoff. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.10.6 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.2. 
Solução: 
 
a) O circuito possui 2 nós, 3 ramos e 3 malhas. 
b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.10.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.10.7 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.2 com sentidos de corrente e polarizações. 
 
c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em rela-
ção aos nós, pois (Ne1 = n - 1) 
 I3 = I1 + I2; 
 
d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas, 
pois [NE2 = (r − n + 1) = 3-2+1 = 2] 
1ª) Malha ACDA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegan-
do novamente ao no A tem-se: + I1.R1 + E2 - E1 = 0 
2ª) Malha ABCA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegan-
do novamente ao no A tem-se: + I2.R2 + I2 .R3 - I1 .R1 = 0 
A 
 
R1 
 
 R3 B C 
 
R2 
 
 
E1 
 
 E2 D 
R1 = 4 Ω; R2 = 3,3 Ω; R3 = 2,7 Ω; 
E1 = 36 V; E2 = 12 V; 
I3 
I1 I2 
A 
+ 
R1 
- 
- R3 + B C 
+ 
R2 
- 
+ 
E1 
- 
- E2 + D 
R1 = 4 Ω; R2 = 3,3 Ω; R3 = 2,7 Ω; 
E1 = 36 V; E2 = 12 V; 
X - 6 Eletricidade Básica 
e) Substituindo os valores numéricos disponíveis tem-se: 
 I3 = I1 + I2; 
+ I1.4Ω + 12 V – 36 V = 0 
+ I2.3,3 Ω + I2 . 2,7 Ω - I1 .4Ω = 0 
 
f) Colocando em forma de sistema de equações tem-se: 
 (1): I1 + I2 - I3 = 0; 
 (2): I1.4 = 24; 
 (3): - I1 .4 + I2.6 = 0 ; 
g) Usando um método de resolução de sistema de equação chega-se na resposta. Nesse caso 
foi usado o método da substituição. 
De (2) obtém-se: I1 = 24V/4Ω (4) I1 = 6 A; 
Substituindo I1 em (3) chega-se a - 24 + I2.6 = 0; I2 = 24/6 e (5) I2 = 4 A; 
Substituindo (4) e (5) em (1) chega-se a 6 + 4 - I3 = 0; I3 = 10 A 
 
 Com os resultados foram todos positivos significa que os sentidos de corrente arbitrados es-
tavam corretos. Estes mesmos resultados poderiam ser obtidos, neste caso mais simples, usan-
do a teoria dos circuitos em paralelo. 
 
Exemplo resolvido 10.3: Calcule os valores da E2 e da resistência elétrica do resistor R2 no 
circuito da figura 10.8. Sabe-se que as correntes que percorrem R1 e R2 valem, respectivamente, 
I1 = 8 A e I2 = 5 A. 
60 V
1 Ω
I1
4 Ω
I2
2 Ω
E2
R2
 
Figura 10.8 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.3. 
Resolução: 
 
a) Observa-se que o circuito possui 2 nós, 3 ramos e 3 malhas. 
b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.10.9. 
60 V
1 Ω
I1
4 Ω
I2
2 Ω
E2
R2
A
B
CD
E I3
+
−
+
−
+
−
+−
+
−
−
+
 
Fig. 10.9 - Esquema de solução para o Exemplo 10.3. 
 
c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em rela-
ção aos nós, pois (Ne1 = n-1) 
 Nó A: 1 2 3I I I= + , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 38 5 I= + 3 3 AI = ; 
d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas, 
pois [Ne2 = (r − n + 1) = 3-2+1 = 2] 
 
 Leis de Kirchhoff X - 7 
1ª) Malha ACDEA: 
 2 2 1 14 1 60 0R I I I+ + − = , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 
 25 4 8 1 8 60 0R + × + × − = 25 20R = 2 4 R = Ω 
 
2ª) Malha ABCA: 
 2 3 2 22 0E I R I+ − = 2 2 3 4 5 0E + × − × = 2 14 VE = 
 
Exemplo resolvido 10.4: Calcule o valor e o sentido correto das correntes em cada ramo do 
circuito da fig.10.10. 
 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
 
Fig. 10.10 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.4. 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
I1
I2
I3
+
−
+
−
+−
+ −
A B F
GD
C
E
 
Fig. 10.11 - Esquema de solução para o Exemplo 10.4 
 
Arbitrando-se os sentidos das correntes nos ramos como mostrado na fig.10.11, apli-
cando-se a lei das correntes de Kirchhoff ao nó B e a lei das tensões de Kirchhoff às malhas 
ABCDEA e BFGDCB, obtém-se: 
 
1 2 3
2 1
3 3 2
0 Lei das correntes de Kirchhoff no nó 
40 3 20 50 12 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha 
3 51 2 20 3 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha 
I I I B
I I ABCDEA
I I I BFGDCB
+ + = →�
�
− − − + = →�
�
− − − + + = →�
 
Substituindo-se os valores numéricos dos resistores e das fontes de tensão e rearran-
jando-se as correntes (incógnitas), obtém-se o seguinte sistema de equações lineares: 
 
1 2 3
1 2
2 3
0
12 3 30
 3 5 31
I I I
I I
I I
+ + =�
�
− =�
�
− =�
 
Este sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer, como mostrado a seguir. 
 
• Cálculo do determinante principal: 
 
1 1 1 1 1
12 3 0 12 3
0 3 5 0 3
∆ = − −
−
 
 
[1 ( 3) ( 5) 1 0 0 1 12 3] [1 ( 3) 0 1 0 3 1 12 ( 5)]∆ = × − × − + × × + × × − × − × + × × + × × − 
 
15 0 36 [0 0 60] 111∆ = + + − + − = 
 
X - 8 Eletricidade Básica 
• Cálculo do determinante para a corrente I1: 
1
0 1 1 0 1
30 3 0 30 3
31 3 5 31 3
I∆ = − −
−
 
 
1 [0 ( 3) ( 5) 1 0 31 1 30 3] [1 ( 3) 31 0 0 3 1 30 ( 5)]I∆ = × − × − + × × + × × − × − × + × × + × × − 
1 0 0 90 [ 93 0 150] 333I∆ = + + − − + − = 
 
• Cálculo do determinante para a corrente I2: 
2
1 0 1 1 0
12 30 0 12 30
0 31 5 0 31
I∆ =
−
 
 
2 [1 30 ( 5) 0 0 0 1 12 31] [1 30 0 1 0 31 0 12 ( 5)]I∆ = × × − + × × + × × − × × + × × + × × − 
2 150 0 372 [0 0 0] 222I∆ = − + + − + − = 
 
• Cálculo da corrente I1: 
1
1
333
111
II ∆= =
∆
 1 3 AI = 
 
• Cálculo da corrente I2: 
2
2
222
111
II ∆= =
∆
 2 2 AI = 
 
• Cálculo da corrente I3: 
1 2 3 0I I I+ + = 
3 1 2 3 2I I I= − − = − − 3 5 AI = − 
 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
3 A
2 A
5 A
 
Fig.10.12- Sentidos corretos para as correntes nos ramos no circuito do Exemplo 10.4. 
 Leis de Kirchhoff X - 9 
Questões propostas: 
 
10.1- Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura