Introdução à Estatística: Conceitos e Técnicas

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I In ns st ti i t tu ut to o d de e E En ns s i in no o J Jo os sé é R Ro od dr ri ig g u ue es s d da a S Si i l lv va a  
Autorizado Pelo Parecer  nº. 1144/002  – CEE/RJ 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
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Sumário 
1  Apresentação.......................................................................................................................4 
2  A Estatística.........................................................................................................................5 
3  População e Amostra...........................................................................................................5 
4  Estatística Descritiva e Indutiva ...........................................................................................6 
5  Tipos de Variáveis ...............................................................................................................6 
5.1  Exercícios:....................................................................................................................7 
6  Amostragem ........................................................................................................................7 
6.1  Exercícios:....................................................................................................................8 
7  Técnicas de descrição gráfica..............................................................................................9 
7.1  Tabelas.........................................................................................................................9 
7.2  Gráficos........................................................................................................................9 
7.2.1  Diagramas.............................................................................................................9 
7.2.2  Cartogramas........................................................................................................11 
7.2.3  Pictogramas.........................................................................................................12 
7.3  Exercícios...................................................................................................................12 
8  Distribuição de frequência..................................................................................................13 
8.1  Exemplo Resolvido: ....................................................................................................13 
8.2  Exercícios:..................................................................................................................15 
9  Representação gráfica de uma distribuição .......................................................................17 
9.1  Exercícios...................................................................................................................17 
10  Medidas de posição .......................................................................................................18 
10.1  Medidas de tendência  central ....................................................................................18 
10.1.1  Média Aritmética (x) .............................................................................................18 
10.1.2  Moda (Mo) ...........................................................................................................19 
10.1.3  Mediana (Md).......................................................................................................19 
10.2  Exercícios...................................................................................................................20 
10.3  Medidas Separatrizes .................................................................................................21 
10.3.1  Quartis.................................................................................................................21 
10.3.2  Percentis..............................................................................................................21 
11  Medidas de Dispersão....................................................................................................23 
11.1  Amplitude Total...........................................................................................................23 
11.2  Variância.....................................................................................................................23
3 
11.3  Desvio Padrão ............................................................................................................24 
11.3.1  Propriedades: ......................................................................................................24 
11.3.2  Exemplo resolvido:...............................................................................................25 
11.4  Coeficiente de variação (CV) ......................................................................................25 
11.5  Exercícios...................................................................................................................26 
12  Noções de assimetria.....................................................................................................27 
13  A distribuição Normal .....................................................................................................28 
13.1  Propriedades: .............................................................................................................28 
13.2  Exemplo Resolvido: ....................................................................................................28 
14  Noções de Probabilidade ...............................................................................................30 
14.1  Exemplos resolvidos:..................................................................................................31 
14.2  Eventos complementares............................................................................................31 
14.3  Eventos independentes...............................................................................................31 
14.4  Eventos mutuamente exclusivos.................................................................................32 
14.5  Exercícios Resolvidos:................................................................................................32 
14.6  Exercícios:..................................................................................................................33 
15  Correlação e Regressão.................................................................................................34 
15.1  Correlação..................................................................................................................34 
15.1.1  Características de r..............................................................................................36 
15.1.2  Exemplo resolvido:...............................................................................................36 
15.2  Regressão ..................................................................................................................37 
15.2.1  Exemplo resolvido:...............................................................................................37 
15.3  Exercícios...................................................................................................................38 
16  Números­índices............................................................................................................40 
16.1  Exemplo:.....................................................................................................................40 
16.2  Exercício resolvido:.....................................................................................................41 
16.3  Índice Agregativo........................................................................................................4116.4  Exercícios:..................................................................................................................42 
17  Introdução aos testes de hipóteses e significância .........................................................43 
17.1  Erros do Tipo I e II ......................................................................................................43 
17.2  Nível de significância ..................................................................................................43 
17.3  Tipos de testes ...........................................................................................................43 
18  Literatura recomendada / Referências bibliográficas......................................................44
4 
1  Apresentação 
Olá! 
Esta apostila é uma introdução a um dos mais importantes ­ e vastos ­ campos da matemática 
aplicada: a Estatística. 
O conteúdo está organizado sempre com introduções  teóricas, alguns exemplos resolvidos e 
exercícios para treinamento. 
Alguns  tópicos  básicos  de  matemática  como  funções,  logaritmos  e  probabilidade  são 
essenciais  para  a  compreensão  da  estatística.  Sempre  que  achar  necessário,  feche  esta 
apostila e procure aprofundar a teoria em matemática! Esse é um esforço que compensa, pois 
capacidade analítica é sem dúvida um dos diferenciais que as empresas procuram neste início 
de século XXI. 
Sempre  que possível  busque  também na  internet  referências atualizadas  sobre  os assuntos 
aqui tratados. 
Bom estudo, e boa sorte! 
Marco Fisbhen
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2  A Estatística 
Antes  de  começarmos  a    estudar  Estatística,  é  importante  que  saibamos  o  que  estamos 
estudando. 
A estatística, antes de mais nada, é um ramo da matemática aplicada. Seu objetivo é fornecer 
métodos  para  coleta,  organização,  resumo,  apresentação  e  análise  dos  dados,  visando 
obtenção de conclusões válidas e, finalmente, tomada de decisões. 
Assim, a estatística serve de instrumento de apoio a vários outros campos do conhecimento; na 
verdade,  a  todos os  ramos do conhecimento em que dados experimentais são manipulados. 
Podemos,  apenas  para  citar  alguns,  falar  da  importância  da  estatística  na  Física,  Química, 
Medicina, Engenharia, Ciências Socias, e, é claro, na Administração de Empresas. 
3  População e Amostra 
Ao coletarmos dados sobre um grupo de objetos ou  indivíduos, como por exemplo a cor dos 
olhos  ou  o  peso  de  estudantes  de  ensino  médio  ou  até  o  número  de  peças  defeituosas 
produzidas  em  um  dia,  nem  sempre  poderemos  observar  todo  o  grupo,  principalmente  nos 
casos em que tal grupo for muito grande ou até mesmo inacessível. 
Desse  modo,  em  vez  de  examinarmos  todo  o  grupo  ou  conjunto,  chamado  de  população, 
levantaremos os dados apenas de uma parte desta população, chamada amostra. 
De  maneira  mais  formal,  população  (ou  universo)  é  um  conjunto  de  elementos  com  pelo 
menos uma característica comum. 
Os  estudantes  universitários,  por  exemplo,  constituem  uma  população,  pois  no  mínimo 
apresentam uma característia em comum: são aqueles que estudam em universidades. Essa 
característica  em  comum  delimita  de  maneira  inequívoca  os  elementos  que  pertencem  à 
população, e os que não pertencem. 
No  entanto,  como  já  citei,  muitas  vezes  não  é  conveniente,  e  muitas  vezes  é  impossível 
levantar  os  dados  referentes  a  todos  os  elementos  da  população.  Devemos portanto  limitar 
nossas observações à uma amostra. Formalizando a idéia, amostra é um subconjunto finito de 
uma população. 
É importante mencionar neste ponto que embora a amostra seja finita, a população pode ser 
também finita ou infinita. 
Para  relembrar:  conjunto  finito  é  aquele  que  contêm  um  número  limitado  de  elementos  e 
conjunto infinito é aquele que contêm um número ilimitado de elementos.
6 
4  Estatística Descritiva e Indutiva 
Os métodos da estatística que buscam somente descrever e analisar certo grupo de dados, 
independentemente de serem dados extraídos de uma amostra ou de toda a população, são 
chamados de métodos de estatística descritiva. 
Por outro  lado,  se uma amostra é  representativa de uma população, e  tiramos conclusões a 
respeito  desta  população  com  os  dados  extraídos  da  amostra,  temos  uma  aplicação  da 
estatística  indutiva.  Raciocínio  indutivo é  aquele  que parte  do  conhecimento de uma parte 
para  tirar  conclusões  sobre  a  realidade  do  todo.  Assim,  estatística  indutiva  é  a  parte  da 
estatística que tira conclusões sobre a população partindo do conhecimento da amostra. 
É claro que o processo de indução não é exato, e a estatística indutiva está sujeita a erros. No 
entando,  os  métodos  de  indução  (ou  inferência)  estatística  são  capazes  de  definir  até  que 
ponto, e com que probabilidade, estamos errando. 
5  Tipos de Variáveis 
Dentro  de  um  estudo  estatístico,  precisamos  definir  quais  características  dos  elementos 
(população ou amostra) nos interessa estudar. 
Essa característica pode ser, por exemplo, o peso ou a cor dos olhos de um certo número de 
pessoas.  Assim,  “peso”  e  “cor  dos  olhos”  são  denominados  variáveis,  cujos  resultados 
dependerão  dos  elementos  considerados. E  fácil  perceber que  se  tivermos n elementos  (no 
caso, n pessoas) em nosso estudo, teremos n valores para a variável peso. 
Por  convenção,  definimos  variável  como  o  conjunto  de  resultados  possíveis  para  um 
fenômeno. 
Dependendo do objetivo de nosso estudo, a característica (variável) em foco poderá ser: 
a.  Qualitativa – quando for expressa por tipos ou atributos: sexo (masculino ou feminino), 
cor  dos olhos  (azuis,  castanhos,  etc.),  qualidade  de  uma peça produzida  (perfeita ou 
defeituosa). 
b.  Quantitativa – quando for expressa em números. É importante notar que as variáveis 
quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas. 
Variável  contínua  é  aquela  que  pode  assumir  qualquer  valor  entre  dois  limites.  Por 
outro  lado, uma variável discreta só pode asumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável. 
Preste atenção nos exemplos: 
b.1  Variáveis quantitativas discretas: número de alunos em uma turma, pontos obtidos 
em uma jogada de dados, número de peças produzidas em um dia de trabalho; 
b.2  Variáveis  quantitativas  contínuas:  peso  dos  alunos  em  uma  turma,  diâmetros  de 
peças produzidas em um dia. 
Ao  observarmos  os  exemplos,  podemos  perceber  que,  de  maneira  geral,  os  valores  das 
variáveis  discretas  são  obtidos  por  contagens,  enquanto  que  os  valores  das  variáveis 
contínuas são obtidos por medições.
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Por último, as variáveis são designadas por letras latinas. Em geral: x, y ou z. 
5.1  Exercícios: 
1)  Estabeleça quais dos dados seguintes são discretos e quais são contínuos: 
a)  Número de ações vendidas na bolsa de valores 
b)  Temperaturas registradas a cada meia hora em um posto de meteorologia 
c)  Meia­vida média das amostras de medicamentos 
d)  Diâmetros de 1000 parafusos produzidos por uma fábrica 
e)  Quantidade de pessoas no carnaval de olinda 
Respostas: Discretos, Contínuos, Contínuos, Contínuos, Discretos. 
2)  Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas): 
a)  Cor dos cabelos 
b)  Número de filhos 
c)  Comprimento de peças produzidas por certa máquina 
Respostas: Qualitativa, Quantitativa discreta, Quantitativa contínua. 
6  Amostragem 
Você neste ponto já sabe que a estatística indutiva busca tirar conclusões sobre a população 
baseado em resultados retirados das amostras. Porém o processo não é tão simples, porque 
precisamos garantir que a amostras sejam representativas da população, ou seja, a amostra 
deve teras mesmas características básicas da população em relação à variável em estudo. 
Existem basicamente dois tipos de amostragem, a probabilística e a não­probabilística. A 
amostragem probabilística é aquela em que todos os elementos da amostra tem probabilidade 
conhecida,  e  diferente  de  zero, de  pertencer à amostra.  Caso  contrário,  a  amostragem será 
não­probabilística. 
Exemplificando,  a  amostragem  probabilística  mais  simples  é  justamente  denominada 
amostragem  casual  simples,  e  é  equivalente  a  um  sorteio  lotérico,  em  que  todos  os 
elementos têm igual probabilidade de pertencer à amostra. 
Numeramos a população de 1 a n e sorteamos por meio de qualquer dispositivo k números 
desta sequência. 
Podemos numerar alunos de 1 a 40 e colocar os números dentro de uma caixa e retirar um a 
um, 10 números. A amostra aleatória simples terá, neste caso, 25% da população. 
Se o número de elementos da mostra for muito grande, o sorteio pode ser inviável. Neste caso 
podemos utilizar uma tabela de números aleatórios para realizar a amostragem. Procure na 
internet uma tabela de números aleatórios. Se você  tiver acesso à planilhas Excel, descubra 
como gerar nelas as tabelas de números aleatórios. 
Um  outro  tipo  de  amostragem  probabilística  é  a  amostragem  sistemática,  em  que  os 
elementos da população já se acham ordenados e a retirada de elementos para composição da
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amostra é feita periodicamente.  Em uma linha de produção, se retirarmos um item a cada 10 
produzidos para controle de qualidade, estaremos utilizando a abordagem sistemática. 
Poderíamos  utilizar  o  mesmo  método  para  retirar  uma  amostra  de  uma  população  de 
determinada rua. Se a rua contêm 500 prédios, e queremos que a amostra contenha 10% da 
população (50 prédios), podemos escolher aleatoriamente o 1º prédio e ir “pulando” de 10 em 
10 prédios até chegar ao 50º elemento. 
Se por acaso nossa população contiver subpopulações ou estratos, é  importante utilizar uma 
amostragem estratificada, em que os elementos da amostra são proporcionais aos elementos 
dos  estratos  da  população.  Um  bom  exemplo  é  uma  turma  com  60  alunos,  contendo  40 
meninos e 20 meninas. Temos uma proporção 2:1. É importante que a amostra contenha esta 
mesma  proporção.  Assim,  se  tivermos  uma  amostra  com  15  elementos,  10  deverão  ser 
meninos e 5 meninas. Mantendo a proporção 2:1. 
Amostras  não­probabilísticas  são  também  empregadas  em  trabalhos  de  estatística  por 
simplicidade ou inviabilidade de fazermos amostras probabilísticas. Os casos mais importantes 
são: 
a)  A  inacessibilidade  de  toda  a população  (e  neste  caso  seremos  forçados a  colher  a 
amostra somente na parte da população que está acessível); 
b)  Amostragem a esmo, em que o selecionador procura ser aleatório na amostragem, mas 
não utiliza nenhum método confiável de sorteio; 
c)  Amostragens  intencionais,  em  que  o  amostrador  delibaradamente  escolhe  alguns 
elementos para pertencer à amostra, julgando­os representativos; 
d)  Amostragens  por  voluntários,  no  caso  de  por  exemplo  aplicações  experimentais  de 
novos medicamentos. 
6.1  Exercícios: 
1)  Pesquise o peso dos seus colegas de classe (incluindo você), com uma amostra que 
corresponda a 30% da população utilizando amostragem casual (ou aleatória) simples. 
Não deixe de procurar na internet uma tabela de números aleatórios! 
2)  O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 320 meninas e 280 meninos deseja 
passar um questionário socio­econômico para uma amostra correspondente a 10% da 
clientela. Qual é o número de elementos componentes da amostra? 
Resposta: 64 meninas e 56 meninos. 
3)  Uma população encontra­se dividida em 3 estratos, com tamanhos 40, 100 e 60. 
Sabendo­se que 9 elementos foram retirados do 3º estrato em uma amostragem 
estratificada, determine o número total de elementos da amostra. 
Resposta: 30 elementos
9 
7  Técnicas de descrição gráfica 
Lembrando que um dos objetivos das estatística é a apresentação dos dados, é importante que 
saibamos trabalhar com tabelas e gráficos. 
7.1  Tabelas 
Muitas  vezes,  para  organizarmos melhor  os  dados,  fazemos  o  uso  de  tabelas.  De maneira 
simplificada, uma tabela é um quadro resumindo o nosso conjunto de observações. 
Toda  tabela  deve  conter,  resumidamente,  como  no  exemplo  a  seguir:  Título,  Cabeçalho, 
Células e Fonte 
Altura  média  dos  estudantes  do  Ensino  Médio  de 
Japaraíbe 
Escola  Altura (m) 
A  1.65 
B  1.71 
C  1.63 
D  1.67 
E  1.7 
F  1.69 
Média Geral  1.675 
Fonte: Censo Escolar do Município de Japaraíbe, 2006 
Obs: Se a tabela apresenta distribuição dos dados em função da época, do local ou de alguma 
espécie  (ou  categoria),  nós  a  denominamos Série  Estatística,  podendo  ser  classificada  em 
Série Histórica, Série Geográfica ou Série Específica. 
7.2  Gráficos 
A vantagem da apresentação gráfica é produzir uma rápida impressão visual. 
Para  sermos  realmente  úteis,  nossas  representações  gráficas  devem  ser  simples,  claras  e 
devem expressar a verdade sobre o fenômeno estudado. 
Os principais tipos de gráficos são os diagramas, os cartogramas e os pictogramas. 
7.2.1  Diagramas 
Diagramas são gráficos construídos, em geral, no plano cartesiano (x,y). O principal diagrama é 
o  gráfico  em  linha  ou  em  curva,  que  você  com  certeza  já  estudou  em  suas  aulas  de 
matemática. 
Título 
Cabeçalho 
Células 
Fonte
10 
Exemplo: 
Utilizando nossa tabela de alturas média em função das escolas, temos: 
Outro tipo importante de representação é o gráfico em colunas ou barras, em que utilizamos 
retângulos verticais (colunas) ou horizontais (barras) para visualizar as séries. 
Exemplos: 
Finalmente, devemos conhecer o gráfico circular ou em setores, em que um círculo é dividido 
com áreas proporcionais aos dados da série.
11 
Cada setor é obtido por meio de regra de três simples, com o total da série valendo 360º 
Exemplo: 
7.2.2  Cartogramas 
São  empregados  sobre  uma  carta  geográfica,  com  os  dados  diretamente  relacionados  ao 
recortes geográficos ou políticos. 
Podemos representar dados em pontos (em número ou tamanho proporcional aos valores) ou 
cores. 
Exemplo:
12 
7.2.3  Pictogramas 
São, de maneira resumida, uma representação gráfica baseada em figuras. 
Exemplo: 
7.3  Exercícios 
1)  Procure exemplos de séries estatísticas em jornais e revistas e copie­os, classificando 
as séries. 
2)  Procure em jornais e revistas especializados dois exemplos de cada um dos gráficos 
estudados. 
3)  Usando o gráfico em barras, represente a tabela: 
Prod. de Veículos de Autopropulsão ­ 
1993 
Tipo  Quantidade 
Automóveis  1.100.278 
Comerciais Leves  224.387 
Comerciais Pesados  66.771 
Fonte: Anfavea
13 
8  Distribuição de frequência 
Para descrevermos gráficamente os dados coletados, nosso primeiro passo é a determinação 
das frequências dos valores existentes da variável. 
Definimos  frequência  simples  (ou  absoluta)  como  o  número  de  vezes  que  um  valor  foi 
observado,  e  podemos  obter,  a  partir  de  dados  brutos,  uma  tabela  de  distribuição  de 
frequências. 
8.1  Exemplo Resolvido: 
Imagine  que  tenhamos  feito  uma  coleta  de  dados  relativos  à  quantidade  de  irmãos  de  10 
alunos, compondo uma amostra de uma turma da escola A, e ordenamos os dados de modo 
crescente (a tabela de dados ordenados chama­se rol). 
Em  nosso  exemplo,  a  frequência  será  o  número  de  alunos  relacionados  a  um determinado 
valor da variável, ou seja, um determinado número de irmãos. 
Tabela  ­  Número  de  irmãos  de  alunos  do  curso  de 
Estatística 
Número de irmãos  Frequência 
0  1 
1  4 
2  6 
3  3 
5  1 
Total  15 
Fonte:Autor 
Temos acima a construção de uma tabela de distribuição de freqüência pontual, equivalente à 
construção  de  uma  tabela  simples,  em  que  listamos  os  diferentes  valores  observados  da 
variável,  com  suas  freqüências  absolutas,  denotadas  por  fi,  onde  o  índice  i  corresponde  ao 
número de linhas da tabela. 
Olhando para a tabela, vemos que esta variável foi resumida em 5 linhas. Assim, i = 1,...,5,  e 
temos 5 valores para as freqüências absolutas. A freqüência absoluta da segunda linha, f2 = 4, 
por exemplo,  indica que quatro alunos têm um irmão, enquanto apenas um afirmou ter cinco 
irmãos, ou seja, f5=1. 
A soma de todas as freqüências absolutas deve ser igual ao número total de observações da 
variável, neste caso, 15. 
Temos, portanto, que: 
Frequências  relativas  (fri)  são  o  resultado  da  razão  entre  as  frequências  simples  e  a 
frequência total:
14 
fri =  = 
Logo, a frequência relativa da quarta linha em nosso exemplo é: 
A frequência relativa da quinta linha é:  , e assim por diante. 
Evidentemente temos que: 
Frequência acumulada  (Fi) é o  total das frequências de  todos os valores  inferiores ao  limite 
superior de uma dada classe: 
Fk = f1 + f2 + f3 + ... fk 
Temos portanto: 
F1 = f1, 
F2 = f1 + f2, 
F3 = f1 + f2 + f3 
E assim por diante. 
Podemos  desenhar  uma  nova  tabela,  mais  completa,  com  as  frequências  relativas  e 
acumuladas: 
Tabela ­ Número de irmãos de alunos do curso de Estatística 
Número  de 
irmãos  Frequência 
Frequência 
Relativa 
Frequência 
Acumulada 
0  1  0.067  1 
1  4  0.267  5 
2  6  0.400  11 
3  3  0.200  14 
4  1  0.067  15 
Total  15  1  15 
Fonte: Autor 
Você  deve  ter  percebido  que mencionei  duas  idéias  ainda  não  definidas:  classe  e  limite  de 
classe. 
Se estivermos  lidando  com variáveis discretas e  amostras  com poucos  elementos  (como no 
exemplo anterior), temos uma distribuição sem intervalos de classe. 
Porém, se trabalhamos com variáveis contínuas, ou até mesmo com variáveis discretas, mas 
com  muitos  elementos,  trabalharemos  com  classes  de  frequência,  que  são  simplesmente 
intervalos de variação. 
As classes serão representadas por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k é o número total de classes.
15 
Agora, precisamos de algumas outras definições: 
Os  limites de classe são os extremos de cada classe, e  teremos um limite  inferior  (li) e um 
limite superior (Li). 
Além  disso  também  definimos  a  amplitude  (hi),  obtida  pela  simples  subtração  dos  limites 
superior e inferior da classe: hi = Li  ­ li 
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o Limite superior máximo e o limite 
inferior mínimo: AT = Lmax ­ lmin 
Por último, ponto médio de uma classe é a média aritmética entre os limites superior e inferior 
da classe: 
Xi = 
Obs:  Na prática, para a determinação do número de classes de uma distribuição, usamos a 
seguinte equação (regra de Sturges): 
i ≈ 1 + 3,3 . log n 
Essa regra nos dá a seguinte tabela: 
N  I 
3 – 5  3 
6 – 11  4 
12 – 22  5 
23 – 46  6 
47 – 90  7 
91 – 181  8 
182 – 362  9 
…  … 
Definido o número de classes, precisamos determinar a amplitude do inervalo de classe: 
8.2  Exercícios: 
1)  Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências simples: 
I  xi  fi  Fi 
1  2  …  2 
2  3  …  9 
3  4  …  21 
4  5  …  29 
5  6  …  34
16 
∑ = 34 
2)  Os resultados do lançamento de um dado 20 vezes foram: 
6  5  6  3  4  3  5  2  4  1 
4  5  6  1  3  1  2  4  1  5 
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe. 
3)  Observe a distribuição de frequência 
Xi  3  4  5  6  7  8 
Fi  2  5  12  10  8  3 
Determine: 
a)  As frequências relativas 
b)  As frequências acumuladas 
c)  As frequências relativas acumuladas 
4)  Complete os dados que faltam: 
i  xi  fi  fri  Fi 
1  0  1  0,05  … 
2  1  …  0,15  4 
3  2  4  …  … 
4  3  …  0,25  13 
5  4  3  0,15  … 
6  5  2  …  18 
7  6  …  …  19 
8  7  …  …  … 
∑ = 20 
∑ = 
100
17 
9  Representação gráfica de uma distribuição 
Uma distribuição pode ser representada de diversas maneiras. As principais são o histograma 
e o polígono de frequência. 
O Histograma é traçado em um plano cartesiano (x,y), formado basicamente por uma série de 
retângulos justapostos, em que os pontos médios das bases dos retângulos são na verdade os 
pontos  médios  dos  intervalos  de  classe  e  as  larguras  dos  retângulos  são  as  larguras  dos 
intervalos de classe 
Polígono de frequência é um gráfico em linha, com as frequências das classes marcadas no 
eixo y do plano cartesiano. 
9.1  Exercícios 
1)  Construa o histograma relativo ao exercício 4 do item anterior
18 
2) 
10  Medidas de posição 
Estudando as distribuições de frequência, percebemos que existem alguns elementos  típicos 
que precisam ser ressaltados. 
O primeiro destes elementos é a posição de concentração dos valores. 
Imagine a seguinte pergunta: Os dados estão mais concentrados no início, no meio ou no final 
da distribuição? 
Para  que  possamos  respondê­la,  precisamos  conhecer  as  mais  importantes  medidas  de 
posição, que são as medidas de tendência central: a média, a mediana e a moda. 
10.1 Medidas de tendência  central 
As medidas de  tendência central  são assim chamadas por  indicarem um ponto em  torno do 
qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, ou o 
“centro de gravidade” dos dados. 
10.1.1  Média Aritmética (x) 
Antes de mais nada, é importante que você saibda que ao lidarmos com um conjunto de dados, 
podemos  calcular  diversos  tipo  de  médias.  Em  nosso  estudo  focaremos  a  média  mais 
importante, a média aritmética, mas não deixe de estudar posteriormente a média geométrica, 
a média harmônica e a média ponderada. 
A  média  aritmética  (x)  é  a  soma  de  todos  os  valores  observados  da  variável  dividida  pelo 
número total de observações. 
A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de 
dados. 
Propriedades e observações sobre a média: 
1. Depende de todos os dados coletados, sendo portanto afetada por valores extremos; 
2. É única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real, ou seja, nem sempre é 
igual  a  um  determinado  valor  observado.  É  muito  importante  perceber  que  a  média  não 
necessariamente é um dado da série de valores observados. 
3. Por depender de  todos os valores observados, qualquer modificação nos dados fará com 
que a média fique alterada. 
Isto quer dizer que somando­se, subtraindo­se, multiplicando­se ou dividindo­se uma constante 
a  cada  valor  observado,  a média  ficará  acrescida,  diminuída, multiplicada  ou  dividida  deste 
mesmo  valor.  Exemplificando:  se  somarmos  o  número  2  a  todos  os  valores  observados,  a 
média  será  acrescida  do  valor  2.  Se  multiplicarmos  todos  os  dados  por  3,  a  média  será 
automaticamente 3 vezes maior.
19 
4. A soma dos desvios em relação à média é zero. 
Σ (xi − x) = 0 
A  propriedade  4  é  de  extrema  importância  para  a  definição  de  variância,  uma  medida  de 
dispersão a ser definida posteriormente. Desvio em relação à média é a diferença entre cada 
elemento de um conjunto de dados e a média aritmética. 
di = xi – x 
Obs:  se  precisarmos  calcular  a  média  de  um  conjunto  de  dados  divididos  em  classes, 
convencionamos  que  todos  os  valores  incluídos  no  intervalo  coincidem  com  o  ponto  médio 
deste intervalo, e utilizamos a seguinte equaçao: 
10.1.2  Moda (Mo) 
Moda é simplesmente o valor que mais se repete em uma sequência de dados. 
Considere a seguinte série:  1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32 
Como o valor que aparece com maior frequênciaé o “4”, ele é o valor modal, ou simplesmente 
a moda. 
O  uso  da  moda  é  mais  indicado  quando  se  deseja  obter,  rapidamente,  uma  medida  de 
tendência central. Um outro aspecto que favorece a utilização da moda é que seu valor não é 
afetado pelos valores extremos do conjunto de dados analisado. 
Uma série numérica pode ser: 
Amodal: quando nenhum valor se repete; 
Modal: quando um valor se repete; 
Bimodal: quando dois valores se repetem; 
Trimodal: quando três valores se repetem; 
Polimodal: quando mais do que três valores se repetem. 
10.1.3  Mediana (Md) 
A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, 
dividindo o conjunto em duas partes iguais. Assim, 50% dos valores são maiores ou iguais ao 
valor da mediana e 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana. 
Formalizando, a mediana é o valor tal que separa o conjunto de dados em dois subconjuntos 
de mesmo número de elementos.
20 
Se  a  quantidade  de  dados  for  ímpar,  a  mediana  é  simplesmente  o  valor  central,  e  se  a 
quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. 
Sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será: 
­ O termo  , se n for ímpar; 
­ A média aritmética dos termos  e  + 1,  se n for par. 
Vamos começar com uma série de 7 dados observados: 
1, 5, 8, 9, 12, 17, 20 
Como temos um número ímpar de dados, a mediana é o valor central, ou seja, o valor 9. 
E se tivéssemos 8 valores observados? 
1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22 
Nesse  caso  a  mediana  seria  a  média  aritmética  dos  dois  dados  centrais.  Como  os  dados 
centrais são o 9 e o 12, a mediana seria  . 
Obs: Empregamos a mediana sempre que há valores extremos que afetam muito a média. 
Veja a série de dados sobre o valor dos salários dos colaboradores em um escritório: 
R$1.000,00, R$1.000,00, R$1.500,00, R$2.000,00, R$3.000,00 
A mediana dos dados é R$1.500,00 (valor central) e a média é R$1.700,00 
Imagine agora que um novo colaborador é contratado, com salário de R$10.000 
Repare que a nova série é: 
R$1.000,00, R$1.000,00, R$1.500,00, R$2.000,00, R$3.000,00, R$10.000,00 
e o novo valor da mediana é R$1.750,00 e da média R$3.083,33 
Reparou  com  um  valor  extremo  altera  muito  a  média,  mas  sem  alterar  muito  a  mediana? 
Nesses casos a mediana é uma medida de tendência central mais “estável”. 
10.2  Exercícios 
1)  Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série. Calcule 
a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda. 
Notas: 7,0   3,5   2,5   6,5   9,0   3,5 
Respostas: Média = 5,3, Mediana = 5,0, Moda = 3,5. Série Modal. 
2)  Classifique as série de acordo com a característica modal, indicando os valores. 
2.1) 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19 
2.2) 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65
21 
2.3) 47, 45, 90, 90, 47, 90, 47, 45, 41, 45 
10.3 Medidas Separatrizes 
Existem  outras  medidas  de  posição  (além  das  medidas  de  tendência  central),    e  aqui 
estudaremos mais duas delas: os quartis e os percentis. 
10.3.1  Quartis 
Já  aprendemos  que  a  mediana  divide  os  dados  coletados  em  dois  grupos  com  o  mesmo 
número de elementos. 
Os  quartis dividem o  conjunto de valores  em, como o  nome  já diz,  quatro  subconjuntos de 
mesmo número de elementos 
Assim, temos três quartis: 
a.  O primeiro quartil (Q1) é o valor situado de modo tal que um quarto (25%) dos dados 
são menores que ele, e o restante (75%) é maior que ele. 
b.  O segundo quartil (Q2) é evidentemente igual a mediana. Q2 = Md. 
c.  O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modo tal que três quartos (75%) dos dados 
são menores que ele, e o restante (25%) é maior que ele. 
Resumo: 
Estatística  Notação  Interpretação  Posição 
1o Quartil  Q1 
25% dos dados são menores ou iguais ao do 1o 
Quartil 
p = 0,25 (n + 
1) 
2o Quartil  Q2 = Md 
50% dos dados são menores ou iguais ao do 2o 
Quartil 
p = 0,50 (n + 
1) 
3o Quartil  Q3 
75% dos dados são menores ou iguais ao do 3o 
Quartil 
p = 0,75 (n + 
1) 
10.3.2  Percentis 
Percentis são os noventa e nove valores que dividem uma série de dados em 100 partes (ou 
subconjuntos) com o mesmo número de elementos. 
Indicamos o 1º percentil como P1, o 2º como P2 e assim por diante. 
É importante notar que P25 = Q1, P50 = Md e P75 = Q3 
Resumo: 
Estatística  Notação  Interpretação  Posição 
5o Percentil  P5 
5% dos dados são menores ou 
iguais ao do 5o Percentil  p = 0,05 (n + 1) 
50o Percentil  P50 = Q2 = Md 
50% dos dados são menores ou 
iguais ao do 50o Percentil  p = 0,50 (n + 1)
22 
95o Percentil  P95 
95% dos dados são menores ou 
iguais ao do 95o Percentil  p = 0,95 (n + 1)
23 
11  Medidas de Dispersão 
As medidas de dispersão auxiliam as medidas de tendência central a descrever nosso conjunto 
de dados observados adequadamente. Indicam se os dados estão, ou não, próximos uns dos 
outros. 
Observe os três conjuntos de dados: 
X: 10, 10, 10 
Y: 5, 10, 15 
Z: 0, 10, 20 
É fácil perceber que se calcularmos a média dos três conjuntos, encontraremos o mesmo valor: 
10.  Porém,  é  igualmente  fácil  perceber  que  o  conjunto  X  é  mais  homogêneo,  enquanto  o 
conjunto Z é o que tem maior diversificação. 
Chamamos  de  dispersão  ou  variabilidade  a maior  ou menor  diversificação  de  valores  em 
torno  de  um  valor  de  tendência  central.  É  necessário,  portanto,  ao  menos  uma medida  de 
tendência central e uma medida de dispersão para descrever um conjunto de dados. 
De todas as medidas de dispersão, estudaremos a amplitude total, a variância, o desvio padrão 
e o coeficiente de variação 
11.1  Amplitude Total 
A  amplitude  total  é  simplesmente  a  diferença  entre  o  maior  e  o  menor  valor  coletado.  A 
amplitude  total  é  uma  medida  de  dispersão  que  não  leva  em  consideração  os  valores 
intermediários,  não  dando  nenhuma  informação  de  como  os  dados  estão  distribuídos  (ou 
concentrados). 
AT = xmáx − xmín 
A amplitude total tem um claríssimo problema: só leva em consideração os valores extremos de 
nosso conjunto de dados, sem contabilizar os valores intermediários. 
É válido utilizarmos a amplitude total para comparamos temperaturas ao longo de um dia (ou 
ano) ou como controle rápido de qualidade em uma linha de produção. 
11.2  Variância 
A variância é uma medida baseada nos desvios em torno da média aritmética. 
Formalizando a idéia, na verdade a variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios 
(ou a média aritmética dos desvios ao quadrado). Representamos a variância por s 2 , e temos: 
ou
24 
Obs:  Se  nosso  interesse  for  a  inferência  estatística  (tirar  conclusões  sobre  a  população 
partindo de uma amostra) e não simplesmente a descrição dos dados, convém utilizarmos n­1 
no lugar de n (no denominador). 
Podemos portanto dizer que quanto maior a variância, mais heterogêneos são os dados, ou 
seja, maior será a variação entre os valores. Por outro  lado, quanto menor a variância, mais 
homogêneos são os dados, ou seja, menor será a variação entre os valores. 
11.3  Desvio Padrão 
Uma  vez  que  a  variância  é  obtida  por meio  dos  quadrados  dos  desvios,  a  sua  unidade  de 
medida é o quadrado da unidade de medida dos dados. Assim, por motivos práticos, utilizamos 
o desvio padrão, que é simplesmente a raiz quadrada da variância. 
Observações: 
1.  Tanto o desvio padrão quanto a variância são medidas de dispersão, o uso de uma ou 
outra medida dependerá da finalidade do estudo 
2.  A utilização da média aritmética torna o cálculo da variância (e do desvio padrão) pouco 
práticos,  pois  com  frequência  a  média  é  um  número  fracinário.  É  mais  frequente 
utilizarmosuma simplificação da fórmula: 
3.  No  caso  de  dados  agrupados,  teremos  que  levar  em  consideração  as  frequências. 
Assim, a equação será: 
4.  No caso de dados agrupados com intervalos de classe, os valores de xi serão os 
valores médios (média aritmética entre os limites inferior e superior) das classes. 
11.3.1  Propriedades: 
1)  Se  somarmos ou  subtrairmos  uma  constante  de  todos  os  valores  da  série,  o  desvio 
padrão não se altera. 
2)  Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante por todos os valores da série, o desvio 
padrão será multiplicado ou divido por esta mesma constante.
25 
11.3.2  Exemplo resolvido: 
Observe como montar a tabela para uma determinada distribuição de frequências e a utilização 
da equação para dados agrupados 
i 
Estaturas 
(cm)  fi  xi  fixi  fixi 2 
1  150 ­ 154  4  152  608  92416 
2  154 ­ 158  9  156  1404  219024 
3  158 ­ 162  11  160  1760  281600 
4  162 ­ 166  8  164  1312  215168 
5  166 ­ 170  5  168  840  141120 
6  170 ­ 174  3  172  516  88752 
∑ = 40 
∑ = 
6.440 
∑ = 
1.038.080 
s = 5,567 
11.4  Coeficiente de variação (CV) 
O coeficiente de variação resolve dois problemas do desvio padrão: 
1)  O  desvio  padrão  tem  a  mesma  unidade  dos  dados  coletados.  Assim,  se  quisermos 
comparar dados com unidades diferentes, o desvio padrão não é uma boa medida 
2)  O desvio padrão,  como valor absoluto, não nos diz muita coisa, pois um desvio de 5 
com média 500 é um desvio pequeno, mas um desvio de 5 com média 10 é um desvio 
grande. 
Ou seja, o valor absoluto do desvio padrão, no caso, 5, não nos diz nada. 
O coeficiente de variação é calculado pela seguinte equação: 
Sendo portanto uma grandeza admensional (sem unidades) e ponderada pelo seu valor médio.
26 
11.5  Exercícios 
1)  Complete o esquema abaixo e calcule o desvio padrão para a seguinte sequência de 
valores: 
8 10 11 15 16 18 
I  xi  xi 2 
1  8  64 
2  10  … 
…  …  … 
…  …  … 
…  …  … 
…  …  … 
n = …  ∑ = …  ∑ = … 
Resp: s = 3,559 
2)  Comprove as propriedades do desvio padrão somando 3 a cada número da série e 
depois multiplicando cada número por 2. 
3)  Calcule a amplitude total e o desvio padrão da seguinte distribuição: 
xi  2  3  4  5  6  7  8 
fi  1  3  5  8  5  4  2 
4)  Para os dados de peso de 2 grupos de alunos, calcule a média e o desvio padrão 
65 57 89 65 50 72 81 
Resp: Média =68,428kg,  Desvio = 13,464kg 
80 78 67 56 90 101 66 
Resp: Média =  76,857kg,  Desvio = 15,366kg
27 
12  Noções de assimetria 
A natureza básica da assimetria é simples. 
Se em uma distribuição em forma de sino (distribuição normal) temos x = Md = Mo, a curva é 
considerada simétrica 
Se Mo < Md < x, a curva é assimétrica positiva. 
Se x < Md < Mo, a curva é assimétrica negativa. 
Assim,  calculando  o  valor  da  diferença  (x  –  Mo),  para  valores  nulos  teremos  uma  curva 
simétrica,  para  valores  negativos  teremos  uma  assimetria  negativa  (ou  à  esquerda)  e  para 
valores positivos teremos uma assimetria positiva (ou à direita). 
Podemos também fazer uso do coeficiente de assimetria de Pearson, que tem a vantagem de 
ser admensional: 
Se  0,15  <  |As|  <  1,  a  assimetria  é  considerada  moderada.  Se  |As|  >  1  a  assimetria  é 
considerada forte.
28 
13  A distribuição Normal 
De todas as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais importantes é a 
distribuição normal. 
13.1  Propriedades: 
1)  A variável X pode assumir qualquer valor real 
2)  Graficamente,   a distribuição tem a forma de um sino, simétrico em torno da média. A 
curva recebe o nome de Curva de Gauss o Curva Normal 
3)  A área total sob a curva tem valor 1 e é a probabilidade da variável X assumir qualquer 
valor real. Dada a simetria da vurva, a probabilidade vale 0,5 para cada lado da média 
O  cálculo  da  área  (probabilidade)  para  cada  ponto  da  curva  exige  matemática  avançada, 
portanto  usaremos  um  conceito  simples  para  contornar  esta  restrição,  o  conceito  de 
distribuição normal reduzida 
A distribuição normal reduzida é uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1. As 
probabilidades associadas  (ou áreas sob a curva) são encontradas em uma tabela, de modo 
que não precisamos calculá­las. A fórmula que usaremos é: 
13.2  Exemplo Resolvido: 
Imagine um grupo de  trabalhadores com média salarial R$400,00 e desvio padrão R$50,00. 
Qual  a  probabilidade  de  encontrarmos  um  trabalhador  que  tenha  salário  entre  R$390,00  e 
R$450,00? 
Passo­a­passo: 
1)  A distribuição original (X) tem média R$400,00 e desvio R$50,00 
2)  Podemos  então  encontrar  os  valores  de  Z  correspondentes  a  X  =  R$390,00  e  X  = 
R$450,00 
Z1 = (390 – 400)/50 = ­0,2 
Z2 = (450 – 400)/50 = 1,0 
Assim, podemos dizer que a probabilidade do salário (X) ficar entre R$390,00 e R$450,00 é a 
mesma de termos Z entre ­0,2 e +1,0. 
Observando a tabela de distribuição normal de Z (peça ajuda de seu profesor para ler a tabela! 
Tabelas de probabilidade para Z  (0,1) podem ser  facilmente encontradas na  internet),  temos
29 
0,0793  para  ±0,2  (não  há  diferença  entre  ­0,2  e  +0,2,  uma  vez  que  a  curva  é  simétrica)  e 
0,3413 para 1,0. 
Como a distribuição Z tem média 0, temos 0 ­0,2 à esquerda do zero e o +1,0 à direita do zero. 
P (390 < X < 450) = P (­0,2 < Z < 0) + P (0 < Z < 1,0) = 0,0793 + 0,3413 = 0,4206. 
Ou seja, temos que em média 42% dos trabalhadores ganham entre R$390,00 e R$450,00. 
Obs:  Para  ler  a  tabela  de  distribuição  normal  Z,  procure  os  dois  primeiros  algarismos  na 
primeira coluna e depois o último algarismo na primeira linha. Para achar o 1,00 é fácil. Basta 
acharmos o 1,0 na primeira coluna e depois o 0,00 na primeira linha. Ficamos com 0,3413. Se 
quisermos  achar  Z  =  1,55,  temos  que  achar  o  1,5  na  primeira  coluna  e  depois  o  0,05  na 
primeira linha. Ficamos com 0,4395. Por último, se quisermos achar Z = 3,38, procuraremos o 
3,3 na primeira coluna e o 0,08 na primeira linha. Acharemos o valor 0,4996.
30 
14  Noções de Probabilidade 
Você  já deve  ter percebido que para compreendermos bem a estatística precisamos de uma 
boa noção de probabilidade, certo? 
Vamos  agora  fazer  uma  curta  revisão  dos  principais  conceitos  desta  importante  parte  da 
matemática. 
O primeiro conceito é o de experimento aleatório, que é aquele que, mesmo repetido sob as 
mesmas condições, apresenta resultado imprevisível. 
Por  exemplo,  se  jogarmos  uma  moeda  não  viciada  para  cima  sempre  sob  as  mesmas 
condições,  não  temos  como  prever  se  encontraremos  como  resposta  “cara”  ou  “coroa”.  O 
mesmo podemos dizer sobre um dado não viciado. Nunca saberemos se encontraremos como 
resposta “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ou “6”. 
Com  esses  dois  exemplos,  você  já  tem  automaticamente  condições  de  entender  o  que  o 
espaço  amostral  de  um  experimento.  É  simplesmente  o  conjunto  de  resultados  possíveis, 
representado por S. 
Para os nossos exemplos, teremos: 
Lançamento da moeda: S = {Cara, Coroa} 
Lançamento do dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Antes  de  começarmos  a  calcular  probabilidades,  temos mais  um  conceito,  o  evento,  que  é 
qualquer subconjunto do espaço amostral  S, e é sempre definido por uma sentença. 
Vamos a alguns exemplos de eventos para o experimento de lançar um dado: 
“Obter um número par na face superior” 
“Obter um número maior que 3 na face superior” 
“Obter o número 4 na face superior” 
Agora, com estes conceitos revisados, podemos começar a calcular probabilidades. 
De maneira  simplificada,  a  probabilidade  é  calculada  pela  quantidade  de  casos  favoráveis 
dividido pelo número total de casos, ou pelo número total de possibilidades. 
De maneiramais formal, chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), de 
modo que:
31 
Onde n (A) é o número de elementoa de A (o evento) e n (S) é o número de elementos de S (o 
espaço amostral). 
14.1  Exemplos resolvidos: 
1)  Em um lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de obter “cara”? 
A = {Cara} , n (A) = 1 
S = {Cara, Coroa}, n (S) = 2 
P(A) = 1 / 2 = 0,5 
O resultado nos mostra que em uma moeda não viciada, a probabilidade de obtermos “cara” é 
0,5 ou 50%. 
2)  Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de obter um número par? 
A = {2,4,6} , n (A) = 3 
S = {1,2,3,4,5,6}, n (S) = 6 
P(A) = 3 / 6 = 0,5 
Temos então 50% de chance de obtermos um número par. 
Pelo que vimos até agora, podemos afirmar que: 
a.  A probabilidade de um evento certo é igual a 1 
b.  A probabilidade de um evento impossível é igual a 0 
c.  A probabilidade de um evento A qualquer é um número real P(A) tal que 0 ≤ P(A) ≤ 1 
Para finalizarmos nossa curta revisão de probabilidade, é importante que você lembre de mais 
três  conceitos:  eventos  complementares,  eventos  independentes  e  eventos  mutuamente 
exclusivos. 
14.2  Eventos complementares 
Eventos complementares são aqueles cujas probabilidades somam 1. Sendo p a probabilidade 
de um evento e q a probabilidade de outro evento, eles são complementares se p + q = 1. 
Logo p = 1 ­ q 
Qual a utilidade deste conceito? Simples. Se a probabilidade de obter 2 no lançamento de um 
dado é 1/6, a probabilidade de não tirar 2 ( ou seja, tirar qualquer outro número ) é: 
1 – 1/6 = 5/6 
14.3  Eventos independentes 
Dois eventos são  independentes se a realização (ou não­realização) de um dos eventos não 
afeta a probabilidade de realização do outro.
32 
Se lançarmos por exemplo dois dados, o valor que obtivermos no 1º não afeta em nada o valor 
que obteremos no 2º, de modo que a probabilidade de que eles se realizem simultâneamente 
é o produto das probabilidades individuais. 
p = p1  . p2 
14.4  Eventos mutuamente exclusivos 
Como o nome já implica, eventos mutuamente exclusivos são aqueles em que a realização do 
primeiro exclui a realização do segundo. 
Voltando  ao  caso  clássico  do  lançamento de  uma moeda, o  evento  “cara”  automaticamente 
exclui o evento “coroa”, uma vez que  tiramos cara ou coroa. As duas  faces não podem ser 
obtidas no mesmo lançamento. 
Assim, a probabilidade de que um OU  outro evento se realize é a soma das probabilidades. 
p = p1 + p2 
A probabilidade de tirarmos cara OU coroa é 0,5 + 0,5 = 1 
A probabilidade de tirarmos 2 OU 4 no lançamento de um dado é 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. 
14.5  Exercícios Resolvidos: 
1)  Qual a probabilidade de obtermos um rei de espadas ao retirarmos uma carta de um 
baralho de 52 cartas? 
Resposta:  p = 1/52 
2)  Qual a probabilidade de obtermos um rei de qualquer naipe ao retirarmos uma carta de 
um baralho de 52 cartas? 
Resposta: p = 4/52 = 1/13 
3)  De dois baralhos de 52 cartas, qual a probabilidade de retirarmos um rei de cada 
baralho? Resposta: como os dois eventos são independentes, temos p = p1 . p2 
4)  De um baralho de 52 cartas retiram­se duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade 
da primeira ser o rei de espadas e a segunda o rei de paus? 
Resposta: mais uma vez como os eventos são independentes, temos p = p1 . p2. É 
importante notar que como no ato de retirada da segunda carta, restam somente 51 
cartas no baralho. 
5)  Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade da soma ser 11 ou 
maior. 
Resposta: A soma deverá ser 11 ou 12. 
Para a soma 11 temos as possibilidades (5,6) ou (6,5), de modo que a probabilidade é 
2/36. 
Para a soma 12 só temos a possibilidade (6,6), de modo que a probabilidade é 1/36 
Como queremos que a soma seja 11 ou 12 e os eventos são mutuamente exclusivos, 
temos
33 
14.6  Exercícios: 
1)  Um número inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso. 
a.  Qual a probabilidade de que este número seja ímpar? 
b.  Qual a probabilidade de que este número seja par? 
c.  Qual a probabilidade de que este número seja par e divisível por 4? 
2)  Dois dados são lançados simultâneamente. Determine a probabilidade de: 
a.  A soma ser 10; 
b.  A soma ser maior que 10; 
c.  O primeiro resultado ser maior que o segundo. 
3)  Uma moeda é lançada 3 vezes. Calcule a probabilidade de: 
a.  Obtermos 3 coroas; 
b.  Obtermos 2 coroas e 1 cara; 
c.  Obtermos pelo menos 1 cara; 
d.  Obtermos no máximo 1 cara.
34 
15  Correlação e Regressão 
A  correlação  e  a  regressão  são  técnicas  bem  relacionadas  envolvendo  estimação  de 
parâmetros. Até agora, analisamos e descrevemos a distribuição de valores de uma variável de 
cada vez. 
Agora, ao analisarmos as observações de duas ou mais variáveis conjuntamente,  temos um 
novo  problema:  as  relações  que  podem  existir  entre  as  variáveis  estudadas.  Assim, 
analisaremos dados  amostrais  para  saber  como  duas  ou mais  variáveis  estão  relacionadas 
entre si. 
Quando consideramos variáveis como peso e altura, é fácil notar que há um relacionamento 
entre as grandezas. Intuitivamente percebemos que, na média, quando maior a altura, maior o 
peso. 
A correlação mede a força, ou grau de relacionamento entre duas variáveis. Quanto maior a 
correlação, maior a intensidade de relacionamento. 
Uma vez caracterizada a correlação,  a  regressão é o  instrumento que dá uma equação que 
descreve o relacionamento em termos matemáticos. 
15.1  Correlação 
Considere  uma  amostra  aleatória  de  10  dos  45  alunos  de  uma  turma  de  e  suas  notas  em 
matemática e estatística: 
Aluno  Nota em Matemática  Nota em Estatística 
1  5  6 
4  7.5  8 
7  6.5  6 
13  8  9 
15  9.5  10 
22  3  4 
26  5.5  5 
31  9  10 
33  7  7.5 
40  2  2.5 
Repare  como  existe  um  forte  relacionamento  entre  as  notas.  Existe  uma  tendência  forte  no 
sentido de que quanto maior a nota em matemática, maior também a nota em estatística. 
Colocando em um gráfico em que o eixo x é o aluno e o eixo y é a nota, fica fácil perceber esse 
relacionamento:
35 
Um outro instrumento bem importante é o diagrama de dispersão, em que o eixo x e o eixo y 
são representados pelas notas em matemática e estatística, respectivamente: 
Os  pontos obtidos  claramente  tem uma  correlação  linear,  ou  seja,  tem  como  “imagem” uma 
reta. 
Como  temos  neste  caso  uma  reta  ascendente,  a  correlação  é  chamada  correlação  linear 
positiva.  Se  os  pontos  tivessem  como  “imagem”  uma  reta  descendente,  teríamos  uma
36 
correlação  linear  negativa.  Se  os  pontos  tivessem como  “imagem” uma  curva  (e  não  uma 
reta) teríamos uma correlação não linear. 
O grau de intensidade da correlação é medido pelo coeficiente de correlação. O coeficiente 
de correlação de Pearson é dado por: 
,  onde n é o número de observações 
Lembre  que  existem  vários  tipos  de  correlação:  Pearson;  Spearman;  parcial;  múltipla,  etc. 
Estudaremos somente a primeira. 
15.1.1  Características de r 
1) O valor de r varia de –1,00 a +1,00; 
2) Um relacionamento positivo (r é +) indica uma correlação positiva entre duas variáveis. Os 
valores altos (baixos) de uma das variáveis, correspondem valores altos (baixos) da outra; 
3) Um relacionamento negativo (r é ­) indica uma correlação negativa entre duas variáveis. Os 
valores altos (baixos) de uma das variáveis, correspondem valores baixos (altos) da outra; 
Logicamente  se  r  =  +1  temos  uma  correlação  perfeita  e  positiva,  se  r  =  ­1  temos  uma 
correlação perfeita e negativa e se r = 0 não temos correlação ou a relação é não linear. 
Obs: se 0,3 ≤ |r| ≤ 0,6 temos uma correlação fraca, e se 0 ≤|r| ≤ 0,3 a correlação é muito fraca e 
na prática não podemos afirmar nada sobre a relação entre as variáveis.15.1.2  Exemplo resolvido: 
Vamos  calcular  o  coeficiente  de  correlação  relativo  à  tabela  de  notas  de  matemática  e 
estatística. 
A melhor maneira é associar à tabela os valores de xy, x 2 e y 2 . 
Aluno 
Nota em Matemática 
(x) 
Nota em Estatística 
(y)  xy  x 2  y 2 
1  5  6  30  25  36 
4  7.5  8  60  56.25  64 
7  6.5  6  39  42.25  36 
13  8  9  72  64  81 
15  9.5  10  95  90.25  100 
22  3  4  12  9  16 
26  5.5  5  27.5  30.25  25 
31  9  10  90  81  100 
33  7  7.5  52.5  49  56.25 
40  2  2.5  5  4  6.25 
∑  63  68  483  451  520.5
37 
Lembrando que n = 10 temos: 
O que indica uma correlação linear positiva forte entre as variáveis, ou seja, quem estuda mais 
matemática, sabe mais estatística. Lembre­se disso! 
15.2  Regressão 
Após a análise de correlação,  temos  indicação de  forte  relacionamento entre duas variáveis. 
Agora  o  problema  é  determinar  uma  função  matemática  que  exprima  este  relacionamento. 
Esse é o problema da regressão, ou seja, descrever a relação entre duas variáveis de acordo 
com um modelo matemático. 
Assim, se uma variável explica o comportamento da outra, temos uma variável dependente e 
outra independente. Admitindo que a forma da linha de regressão seja uma reta, temos X como 
variável independente, Y como variável dependente (aquela sobre a qual queremos fazer uma 
estimativa) e queremos obter uma função definida por: 
Y = aX + b (função de 1º grau, que você com certeza já estudou em matemática) 
Para calcular os parâmetros a e b, usaremos as seguintes equações: 
b = y – ax 
onde n é o número de observações, x é a média dos valores xi e y é a média do valores yi  . 
Uma observação importante: como estamos utilizando uma amostra para obtermos os valores 
dos parâmetros, a equação que encontraremos é uma estimativa da “verdadeira” função que 
relaciona nossas variáveis. 
15.2.1  Exemplo resolvido: 
Vamos mais uma vez utilizar as notas de matemática e estatística e completar a tabela. 
Aluno 
Nota em Matemática 
(x) 
Nota em Estatística 
(y)  xy  x 2 
1  5  6  30  25 
4  7.5  8  60  56.25 
7  6.5  6  39  42.25 
13  8  9  72  64 
15  9.5  10  95  90.25 
22  3  4  12  9
38 
26  5.5  5  27.5  30.25 
31  9  10  90  81 
33  7  7.5  52.5  49 
40  2  2.5  5  4 
∑  63  68  483  451 
Sabendo que n = 10, temos: 
Nossa equação final portanto é: 
Yestimado = 1,009242 X + 0,44177 
Podemos finalmente fazer uma interpolação, ou seja, estimar valores de Y de acordo com um 
dado X. 
A nota de estatística correspondente a 4,0 em matemática (X) é: 
Yestimado = 1,009242 . 4 + 0,44177 = 4,478 
15.3  Exercícios 
1)  Complete a tabela de cálculo e encontre o coeficiente de correlação linear para as 
seguintes variáveis: 
xi  4  6  8  10  12 
yi  12  10  8  12  14 
xi  yi  xiyi  xi 2  yi 2 
4  12  48  16  144 
…  …  …  …  … 
…  …  …  …  … 
…  …  …  …  … 
12  14  168  144  196 
∑ = …  ∑ = …  ∑ = …  ∑ = …  ∑ = … 
Resposta: r = 0,42
39 
2)  Complete a tabela de cálculo e defina a reta de ajustamento aos dados: 
xi  2  4  6  8  10  12  14 
yi  30  25  22  18  15  11  10 
xi  yi  xiyi  xi 2 
2  30  60  4 
…  …  …  … 
…  …  …  … 
…  …  …  … 
…  …  …  … 
…  …  …  … 
14  10  140  196 
∑ = …  ∑ = …  ∑ = …  ∑ = … 
Resposta: Yestimado = ­1,69X + 32,28 
3)  A partir da tabela abaixo: 
xi  1  2  3  4  5  6 
yi  70  50  40  30  20  10 
a.  Calcule o coeficiente de correlação 
b.  Determine os parâmetros para ajuste da reta 
c.  Estime Y para X = 0 
d.  Estime Y para X = 5,5
40 
16  Números­índices 
Números­índices  são  usados  para  indicar  variações  relativas  em  quantidades,  preços,  ou 
valores de um artigo, durante um período de tempo ou em diferentes espaços. 
Como exemplo de utilização, temos a medição de perda do poder aquisitivo da população ao 
longo de um ano, ou o acompanhamento da inflação. 
O mais importante aqui é perceber que em muitas situações empregaremos números relativos, 
em vez de números absolutos, para facilitar comparações. 
16.1  Exemplo: 
Temos a seguir uma tabela com quantiades e preços para um determinado item de acordo com 
os meses do ano. 
Meses  Quantidade (Kg) 
Preço 
(R$/Kg)  Valor total 
Jan  2  6  12 
Fev  2.5  7.2  18 
Mar  3  7.8  23.4 
Abr  2.6  9  23.4 
Agora, podemos  calcular  como  evoluiram a quantidade  comprada,  o  preço por Kg e o  valor 
total pago tendo como base o mês de janeiro. A idéia é simplesmente chamarmos nossa base 
de 1 e calcularmos a razão entre os valores das variáveis no mês x e os valores das variáveis 
no mês base. 
Meses  Quantidade (Kg) 
Preço 
(R$/Kg)  Valor total 
Jan  1  1  1 
Fev  1.25  1.2  1.5 
Mar  1.5  1.3  1.95 
Abr  1.3  1.5  1.95 
Desse  modo,  podemos  perceber  que  a  quantidade  comprada  em  abril  é  30% maior  que  a 
quantidade comprada em janeiro, e o preço em fevereiro foi 20% maior que o preço de janeiro. 
Repare  que  todos  os  valores  são  relativos  ao  valores  base  de  janeiro,  ou  seja,  dividimos  a 
quantidade,  preço  e  valor  total  de  cada  mês  pelas  quantidades,  preços  e  valores  totais  de 
janeiro. 
Formalizando um pouco mais, representaremos por 0 a época base, e por t a época atual, de 
modo que teremos: 
P0 – preço na época base 
Pt – preço na época atual
41 
Q0 – quantidade na época base 
Qt – quantidade na época atual 
V0 – valor na época base 
Vt – valor na época atual 
Atribuindo o valor 100 à época base, teremos as seguintes equações (baseadas em regra de 
três simples) para calcularmos os relativos: 
(relativo de preço) 
(relativo de quantidade) 
(relativo de valor) 
16.2  Exercício resolvido: 
Sabendo que o preço de determinado produto era R$50 em 2004 e R$60 em 2005, calcule o 
relativo de preço em 2005, tomando como base o ano de 2004. 
Notação: P2004 = R$50 e P2005 = R$60 
P2004,2005 = (60 / 50) . 100 = 120, temos então P2004,2005 = 120% 
O aumento de preço foi de 120 – 100 = 20% 
16.3  Índice Agregativo 
O que estudamos até agora é a caracterização da evolução de preço, quantidade ou valor total 
pago  para  apenas  um  produto.  Porém,  para  estudar  variações  de  preços  no  mercado, 
precisamos  de  um  índice  que  caracterize  a  variação  de  preços  de  um  conjunto  de  bens 
(agregado). Assim, precisamos de um índice agregativo. 
Existem  algumas  possibilidades  de  cálculo  de  índices  agregativos.  Aqui  veremos  apenas  o 
índice de Laspeyres. Lembrando que 0 é a época base e t a época atual, temos: 
Obs: Muitos  índices são utilizados em nossa vida cotidiana. Pesquise na  internet alguns dos 
mais importantes como o Índice de custo de vida, o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) e o 
Índice Geral de Preços (IGP).
42 
16.4  Exercícios: 
1)  Dada a tabela abaixo, calcule os índices, tomando 1991 como ano base: 
Anos  1989  1990  1991  1992  1993  1994 
Índices (1989 = 
100)  100  152  203  321  415  580 
2)  Observando a  tabela abaixo,  calcule o  índice ponderado de preços de acordo com a 
fórmula de Laspeyres. 
1993  1994 BENS 
p  q  p  q 
A  20  4  28  3 
B  40  3  56  3 
C  15  8  30  12
43 
17  Introdução aos testes de hipóteses e significância 
Em situações cotidianas, precisamos com alguma frequência tomar decisões sobre populações 
com  base  apenas  em  amostras.  Assim,  é  conveniente  a  determinação  de  hipóteses  ou 
suposições, que podem ou não ser verdadeiras. 
Na prática, formulamos uma hipótese com o propósito de validação ou rejeição. Tal hipótese 
criada é chamada de hipótese nula e representada por H0. Qualquer outra hipótese é chamada 
de hipótese alternativa e denominada H1. 
Imagine que queremos descobrir se uma moeda é viciada. Temos por hipótese que ela não o 
é.  Assim  formulamos  p  =  0,5,  em  que  p  é  a  probabilidadede  obtermos  “cara”  em  um 
lançamento.  Essa  é  nossa  hipótese  H0  (moeda  não  viciada)  e  p  ≠  0,5  é  nosso  H1  (moeda 
viciada). 
Os processos que nos levam a definir se as hipóteses são ou não são válidas, ou seja, se os 
resultados das amostras diferem de modo significativo ou não dos resultados esperados, são 
chamados testes de hipóteses. É importante lembrar que em um teste de hipótese nosso foco é 
aceitar ou rejeitar nossa hipótese nula, ou seja, aceitar ou rejeitar H0 
17.1  Erros do Tipo I e II 
Se uma hipótese é rejeitada quando deveria ter sido aceita, temos um erro do tipo I. Se uma 
hipótese é aceita quando deveria ter sido rejeitada, temos um erro do tipo II. 
É claro que deveremos sempre atuar no sentido de diminuir ambos, mas na prática a tentativa 
de diminuir um tipo de erro leva ao aumento na chance de erro do outro tipo. O caminho para 
redução  dos  dois  tipo  de  erro  é  o  aumento  do  tamanho  da  amostra,  o  que  nem  sempre  é 
possível. 
17.2  Nível de significância 
Ao realizarmos os testes de hipóteses, chamamos de nível de significância (α) a probabilidade 
máxima que estamos sujeitos a correr para o erro do tipo I. Os níveis tradicionais são 0,01 (1%) 
ou 0,05 (5%). 
17.3  Tipos de testes 
Os principais tipo de testes são os que envolvem a distribuição normal e são testes de médias 
e proporções de populações com base em amostras. 
Podemos testar se as médias (ou proporções) de determinada população estão de acordo com 
nossas hipóteses. Um exemplo seria testar se a média de notas de uma turma de 100 alunos 
de estatística está dentro de uma meta estipulada. O teste seria feito com uma amostra de, por 
exemplo, 10% dos alunos. 
Também são comuns testes de diferenças nas médias e nas proporções, para comparações de 
duas  populações  diferentes.  Podemos,  utilizando  estes  métodos,  saber,  com  um  nivel  de
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significância determinado, se duas turmas tem mesmo rendimento (mesma média), com base 
em amostras. 
Não deixe de procurar na internet e na literatura recomendada mais referências aos testes de 
hipóteses.  Eles  são  de  grande  importância  para  uma  compreensão  mais  aprofundada  da 
estatística. 
18  Literatura recomendada / Referências bibliográficas 
Nível Básico: 
Crespo, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 17ª Edição. Saraiva, 2002. 
Pereira, Paulo Henrique. Noções de Estatística. Papirus, 2004. 
Nível aprofundado: 
Costa Neto, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 2ª Edição. Blucher, 2002.