flambagem P1 (1)

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Departamento de Eng. Mecânica
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Mecânica dos Materiais 2
Flambagem – 1a Parte
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Introdução 
Estudo das Condições de Instabilidade de um Elemento Esbelto submetido a esforços compressivos.
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Introdução 
Equação da Linha Elástica
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
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Introdução 
Equação da Linha Elástica
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Equação Diferencial Ordinária
De Segunda ordem com 
Coeficientes Constantes 
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Introdução 
Equação da Linha Elástica
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Solução
onde A, B e p são parâmetros a determinar.
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Introdução 
Equação da Linha Elástica
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Derivando a solução resultará na seguinte expressão:
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Introdução 
Determinação de p
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Substituindo os Resultados na EDO :
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Introdução 
Determinação de A e B
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Usando a Condição de Contorno x = 0, y = 0 :
= 0
B = 0
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Introdução 
Determinação de A e B
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Usando a Condição de Contorno x = L, y = 0 :
A = 0  Solução Trivial 
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Introdução 
Carga Crítica – Eq. de Euler
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
Condição Limite de Carregamento
que Causará Instabilidade 
Geométrica na Coluna.
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Introdução 
Tensão Crítica – Eq. de Euler
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
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Introdução 
Tensão Crítica – Eq. de Euler
x
y
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = L, y = 0
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Introdução 
Tensão Crítica – Efeitos Diversos
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Exemplo 
Calcule a carga necessária para causar flambagem em uma coluna com as seguintes características : 
L = 170 mm
b = 15 mm
h = 1 mm
E = 200 kN/mm2
x
y
h
b
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Resolução 
Calculo dos Índices de Esbeltez
L = 170 mm, b = 15 mm, h = 1 mm, E = 200 N/mm2
A = bh = 151= 15 mm2 
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Resolução 
Calculo das Cargas de Flambagem
L = 170 mm, b = 15 mm, h = 1 mm, E = 200 N/mm2
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Equação de Euler
Efeito das Condições de Vinculação da Coluna
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Equação de Euler
Efeito das Condições de Vinculação da Coluna
Dependendo das Condições de Contorno nas extremidades da coluna, a EDO terá uma solução específica e a Equação de Euler tomará a seguinte forma geral:
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Equação de Euler
Efeito das Condições de Vinculação da Coluna
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A Fórmula da Secante
Estudo das Condições de Instabilidade de um Elemento Esbelto submetido a esforços Flexo-Compressivos.
Diagrama de Corpo Livre
M(x) = P(e+d-y)
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A Fórmula da Secante
Considerando que a Tensão não excedo o limite de proporcionalidade e que a deflexão é muito pequena, a Equação diferencial da Linha Elástica tomará a seguinte forma:
Diagrama de Corpo Livre
Rearranjando:
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A Fórmula da Secante
Diagrama de Corpo Livre
Equação Diferencial Ordinária
De Segunda ordem com 
Coeficientes Constantes 
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A Fórmula da Secante
Diagrama de Corpo Livre
Solução
onde A, B, C e p são parâmetros a determinar.
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = 0, 
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A Fórmula da Secante
Diagrama de Corpo Livre
Condições de Contorno
x = 0, y = 0
x = 0, 
Determinação de p
De forma similar a usada para o desenvolvimento da Eq. de Euler:
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A Fórmula da Secante
Diagrama de Corpo Livre
Determinação de A
0
1
 A = 0
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A Fórmula da Secante
Diagrama de Corpo Livre
Determinação de B
1
 B = -C
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A Fórmula da Secante
Determinação de C
Substituindo y’’ em y(x) teremos:
C = ( e + d )
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A Fórmula da Secante
Solução
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A Fórmula da Secante
Deflexão Máxima
Ocorre em x = L/2. Portanto
Rearranjando
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A Fórmula da Secante
Deflexão Máxima
A última Eq. indica que, para uma coluna em que E, I e L são fixos e a carga é aplicada excentricamente (e > 0), a coluna exibirá desvio lateral até mesmo para valores pequenos de P. 
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A Fórmula da Secante
Carga Critica
Para qualquer valor de e, a função
tende para infinito quando 
N é impar
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A Fórmula da Secante
Carga Critica
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