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Física I - Centro de Massa de um Sistema de Partículas 
 
 
 
 
Centro de Massa 
 
Existe um ponto do sistema que se move como se toda massa estivesse concentrada nele e 
todas as forças externas fossem a ele aplicadas. 
 
 
Centro de Massa e Centro de Gravidade 
 
 
 
 
 Coincidem para campos 
gravitacionais 
uniformes. 
 
 
 
 
 
Centro de Massa de Um Sistema de Partículas 
 
 
 
 
 
 
Rcm = (m1r1 + m2r2 +......+ mnrn) / 
M 
 
Estrelas Binárias 
 
Estrela Próxima 61 Cygni 
(oito anos-luz da Terra) 
 
 
Sistema Terra-Lua 
 
 
 
Centro de Massa de Corpos Rígidos 
 
xG = (1/M) ∫∫∫ x ρ(x,y,z) dxdydz 
ρ (x,y,z)  é a densidade em função da 
posição 
dxdydz = dV (elemento de volume) 
ρdV = dm (elemento de massa) 
 
Exemplo 
1) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de partículas indicado ao lado. 
 Solução: 
 
 
2) Determine o centro de massa da configuração de massas abaixo (com várias partículas) 
 
 
 
 
 
 
Centro de Massa de Corpos Homogêneos (com simetria) 
 
Xc = 8  1 + 4  2 + 4  1 + 4  2
8 + 4 + 4 + 4
= 1,4 cm
Xc = 8  2 + 4  2 + 4  1 + 4  1
8 + 4 + 4 + 4
= 1,6 cm
Cm = (1.4 , 1.6)
Movimento do Centro de Massa 
O centro de massa de um sistema se desloca como se fosse uma partícula de massa 
M = Σ mi 
Sob ação de uma força que é igual à soma das forças externas que atuam sobre o sistema. 
M acm = Σ Fext 
 
Quantidade de Movimento (Momento Linear) de Uma Partícula 
 
dp/dt = mdv/dt = ma 
F = dp /dt 
 
A força resultante sobre uma partícula é 
igual à taxa temporal da variação de sua 
quantidade de movimento 
Unidade: kg.m/s 
 
Quantidade de Movimento de Um Sistema de Partículas 
P = p1 + p2 + ....... + pn = Σ pi A soma é vetorial 
 
P = M vcm A quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual ao produto de 
sua massa total pela velocidade do centro de massa do sistema. 
 
dP / dt = M dVcm /dt = M acm 
 
dP / dt = Σ Fext 
 
Exemplo 
Duas partículas A e B têm massas respectivamente 
iguais a 4 kg e 6 kg. Ambas movem-se com velocidades 
constantes vA = 5 m/s e vB = 3 m/s, tais que suas 
direções formam um ângulo de 60º. Pede-se: 
a) A velocidade do centro de massa; 
b) A quantidade de movimento do sistema. 
Solução: 
 
 
b) p =(mA + mB).v  p = (4 + 6).3,27  p = 32,7 kg.m/s 
 
 
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento 
 
Se a Σ Fext = 0, dP / dt = 0  P = cte (vcm = cte.) 
 
Quando a somatória das forças externas é zero a quantidade de movimento total do sistema se 
conserva, ou seja, Pi = Pf . 
O princípio tem caráter vetorial ! 
Rotação de Corpos Rígidos 
 
 
 
O deslocamento angular no sentido 
anti-horário é considerado positivo 
e no horário negativo.
 
 
 
Velocidade Angular Média 
 
Unidade = rad/s 
 
 
Velocidade Angular Instantânea 
 
 
 
 
Mais sobre ω 
Velocidade angular média não é um vetor, a instantânea é. 
 
 
O polegar aponta no sentido do vetor velocidade angula. Invertendo-se o sentido da rotação, o vetor 
velocidade angular também inverte seu sentido. 
Quando a rotação ocorre em torno de um eixo fixo, o vetor velocidade angular e o vetor aceleração 
angular possuem direção ao longo deste eixo. 
 
Aceleração Angular 
 
 
 
 
Aceleração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia no Movimento de Rotação 
 
 
Momento de Inércia 
 
 
 
Inércia de um Corpo Rígido 
 
Densidade Uniforme:
 
 
 
Inércia - Cilindro Homogêneo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Origem do sistema no centro de massa e o segundo e terceiro termos são proporcionais a xcm e 
ycm  são nulos. 
 
Se tivermos dois eixos paralelos, um deles passando pelo centro de massa do corpo: 
 
 
Sendo h a distância entre os eixos.