fisica I

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1. Introdução e objectivos. 
O presente trabalho visa abordar sobre o Centro de Massa. Sendo um tema bastante 
complexo, este trabalho tem como foco, a velocidade do Centro da massa. Como 
objectivos do trabalho tem-se, determinação da velocidade do Centro de massa relativo 
ao observador, e determinação de velocidade de cada partícula relativamente ao centro 
de massa. 
2. Velocidade do Centro de Massa relativo ao Observador e velocidade de 
cada partícula relativamente ao centro de Massa. 
Antes de falar se da velocidade do centro de massa tanto relativo ao observador como 
de cada partícula relativo ao centro de massa é preciso entender o que é centro de massa 
de um corpo. 
Segundo Bonjorno e Clinton (2005), Centro de massa de um corpo é o ponto onde toda 
sua massa se concentra. Este ponto pode ser no centro geométrico (centroide), que 
ocorre caso o corpo seja homogéneo. Porém se o corpo não for homogéneo o centro de 
massa pode estar em qualquer ponto. O centro de massa é designado pela sigla CM. 
A velocidade de uma partícula relativamente ao centro de massa pode ser obtida pela 
expressão: 
 
 
 
 [1.0] 
2.1. Velocidade do centro de massa relativo ao observador. 
Segundo Bonjorno e Clinton (2005), quando um sistema de partículas esta em 
movimento em relação ao observador, o CM do sistema também se moverá com uma 
velocidade designada por . Partindo da definição de centro de massa pode-se dizer 
que o centro de massa é um ponto de um sistema cuja posição é a média, ponderada 
pelas massas, das posições ocupadas por cada uma das partes do sistema. Supondo que 
existe uma partícula de massa igual à massa total M do sistema movendo se com a 
velocidade V do centro de massa, o momento linear total desta partícula seria o 
momento linear total do sistema. A aceleração do centro de massa é dada 
pela razão entre a resultante das forças externas ao sistema e a massa total do sistema. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Centroide
 
 
 
 [1.1] 
 
 
 
( [1.2] 
 
 
 
 [1.3] 
 
Onde R, V e A são posição, velocidade e aceleração do centro de massa 
respectivamente. 
O ponto de partida é que no referencial centro de massa o momento linear total do 
sistema é nulo 
 [1.4] 
Assim usa se anotações linha para diferenciar a uma grandeza observada com um 
referencial que se move com o centro de massa. 
 é o momento linear total do sistema medido pelo observador que se move com centro 
de massa. 
V é a velocidade de centro de massa do sistema medido pelo um observador que se 
move com o centro de massa do sistema. 
Assim pode se considerar os seguintes referenciais da figura 1. Seja r′ a posição da 
partícula no referencia CM, r a posição da partícula no sistema 0 do referencial inércial 
rCM , posição do sistema CM é dada pela: 
 
 [1.5] 
 
Derivando esta posição teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [1.6] 
 
Assim pode se escrever das equações 1.4 e 1.5, pode se escrever: 
 
 [1.7] 
 
 [1.8] 
 
 
 
 Y´ 
 
 
 
 
 r 
 
 y x′ 
 r rCM CM 
 
 z′ 
 
 0 x 
Z 
 
Figura 1: Referencial CM, relativo ao observador 
Agora pode se deduzir a velocidade de uma partícula no referencial centro de massa 
para um sistema de duas partículas. Da equação 1.7 pode se escrever 
 ⇒ 
 
 
⇒ 
 
 
 
 
 
⇒ 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [1.9] 
Logo pode se escrever também: 
 
 
 
 [2.0] 
 Tendo a relação , pode se concluir que: 
 
 
 
 
 [2.1] 
 
2.2. Quantidade de movimento no referencial Centro de Massa 
Tendo a velocidade no referencial centro de massa pode se calcular também a 
quantidade de movimento no referencial centro de massa. 
 
 
 ⇒ 
 
 
⇒ 
 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 ⇒ Onde é μ a massa reduzida. 
 [2.2] 
Segundo Alonso e Finn (1999), isto sugere que o momento do sistema é o mesmo que o 
sistema teria se toda a massa estivesse concentrada no seu centro de massa e se movesse 
com velocidade . Por essa razão, é conhecida como velocidade do sistema. 
Assim, quando fala-se da velocidade de um corpo constituído por muitas partículas 
refere-se, na realidade, à velocidade do seu centro de massa . Por isso trata-se, 
algumas vezes, um sistema de partículas como se fosse uma só partícula colocada no 
CM. 
Exemplo: Num plano horizontal liso tem-se dois blocos de massas e unidos por 
uma mola ideal de rigidez “ ”. Desloca-se o bloco “2” uma pequena distância “x” para 
a esquerda e solta. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do sistema 
uma vez que o bloco 1 se separa da parede. 
 
Figura 2. 
 
Quando a bloco 2 é deslocado x para a esquerda, voltará para sua posição inicial com 
uma velocidade tal que: 
 
(principio de conservação da energia mecânica) 
 
e bloco 1 estará "na iminência" de desgrudar da parede, ou seja . 
 
Da equação 1.2, tem-se: 
 
 
elevando os lados ao quadrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Pratico: 
5. Uma Força constante de F=24i (N) é aplicada em t= 0s a um sistema de duas 
partículas de 3 kg cada e a velocidade v1=2i + 3j (m/s) e v2=4i-6j (m/s). Determine a 
velocidade do centro de massa em t=5 s. 
Dados: Aplicação da Fórmula: 
F=24i 
 
 
( ) 
t= 0s 1
o
 Passo: 
m1=m2= 3kg ⇒ 
 
 
 
v1= 2i + 3j (m/s) ⇒
 
 
 
 
 
⇒ ∫ 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
v2= 4i-6j (m/s) ⇒ ∫ 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 ⇒ 
t= 5,0 s ⇒ 
 
2
o 
 Passo : 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ 
⇒ 
3
o
 Passo: 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 √
 
 
 
3. Conclusão 
Terminado o trabalho, concluiu-se que, o momento linear total do CM é nulo, facto que 
torna com que a velocidade do Centro de Massa seja, considerada velocidade do 
Sistema. Quando a velocidade do CM relativo ao observador, á que dizer que é a 
velocidade do observador, é diferente entre a velocidade do sistema e a velocidade CM. 
E a velocidade de cada partícula relativamente ao CM é dada pela derivada temporal do 
vector posição dessa partículaem função do tempo. 
4. Referências Bibliográficas 
Alonso e Finn (1999). Física, um curso universitário, Volume 1, Addison- Wesley, 
Espanha. 
Bonjorno e Clinton (2005). Física: História e Cotidiano; 2
a
 Edica, Editora FTD, São 
Paulo 
D. Halliday e R. Resnick (1991). Fundamentos de física, Volume 1, Livros técnicos e 
científicos Editorial, Rio de Janeiro. 
James, L. (2007). Sebenta de Física, Vol. 1. Rio de Janeiro .