Prévia do material em texto
Capítulo 8 Esforços em estruturas isostáticas 8.1 Esforços nas vigas Definição: As vigas são peças lineares, definidos como, uma peça em que uma das dimensões é consideravelmente superior às outras duas e que pode ser encarada como gerada por uma figura geométrica plana que se desloca ao longo de uma linha recta ou curva, mantendo-se perpendicular a essa linha. A forma e as dimensões dessa figura (secção transversal da peça) podem variar, mas não de uma maneira brusca. Usualmente as vigas são barras prismáticas, longos de eixo rectilíneo e secção transversal constante. eixo transversal secçao pi Do ponto de vista estrutural as vigas são elementos projectados para suportar car- gas aplicadas em vários pontos ao longo do seu comprimento e transmitir através dos apoios (apoio simples, fixo, encastramento) ao exterior ou à outros elemen- tos estruturais. As acções que actuam sobre as vigas (representáveis por forças e/ou momentos) podem ser: concentradas ou distribuídas. A distância entre apoios chama-se vão. Pi Pj q j q i M Classificação das vigas de acordo como são apoiadas: 96 Esforços em estruturas isostáticas • vigas isostáticas: viga simplesmente apoiada, viga simplesmente apoiada com consola e viga em consola L LL L/2 • vigas hiperstáticas: viga bi-encastrada, viga encastrada-simplesmente apoiada e viga contínua. LL L L As vigas podem ser ligadas entre si por apoios formando estruturas reticuladas: pórticos de edifícios, estruturas articuladas (caso particular são as treliças treliças). 8.1.1 Cálculo de reacções A análise das vigas têm o objectivo de cálculo das reacções externas e os esforços. As reacções externas (reacções nos apoios) podem ser determinadas a partir do diagrama de corpo livre da viga/estrutura ou das barras constituentes, sempre que a viga/estrutura é globalmente isostática. Problema 8.38 Calcular as reacções nas vigas sujeitas às acções indicadas. L P LL/2 L/2 P A B L/2 L/2 P A B VA VB HA a) b) c) d) PL/2PL/2 A B BA P As reacções obtêm-se a partir do diagrama de corpo livre, figura d), sendo iguais para os três casos de carregamento. ∑ Fx = 0∑ MA = 0∑ Fy = 0 ⇒ HA = 0 VB = P 2 ↑ VA = P 2 ↑ Obs As acções nas figuras a), b) e c) definem três sistemas de vectores equipolentes, têm os mesmos elementos de redução em qualquer ponto, sendo as reacções iguais nas três vigas. Para calcular as reacções as cargas distribuídas serão substituídas por cargas con- centradas, força resultante actuante no eixo central (centro de gravidade da super- fície que define a carga), de acordo com a Secção 3.18.5 Na Tabela 8.1 apresentam-se alguns exemplos de cargas distribuídas (sistemas de forças paralelas distribuídas em linha) e as correspondentes cargas concentradas equivalentes e a posição do eixo central. 8.1 Esforços nas vigas 97 Sistema p(x) xc , R EC a ~p ~R p(x) = p xC = a 2 , R = p a EC xC a ~p ~R p(x) = p x a xC = 2 3 a , R = p a 2 EC a xC ~p ~R p(x) = px 2 a2 xC = 3 4 a , R = p a 3 EC a xC ~R ~p p(x) = p(1− x2 a2 ) xC = 3 8 a , R = 2p a 3 Tabela 8.1: Exemplos de cargas distribuídas: força resultante e posição do eixo central 8.1.2 Esforços internos numa secção transversal Conhecidas as forças de acção e reacção que solicitam uma viga, interesse agora determinar como estas cargas actuam numa secção transversal arbitrária, com vista a verificação da segurança. Estas acções numa secção transversal, dão origem ao conceito de esforço. Se uma viga está em equilíbrio sob acção das forças actuantes e as reacções qual- quer parte da viga obtida fazendo um corte pelo um ponto que pertence a viga está em equilíbrio se além destas forças se adicionam as forças de ligação da outra parte. As forças de ligação da outra parte através da secção que as separa e chamam-se esforços numa secção. Considere-se o DCL de uma viga sob as acções, representada na figura a), junta- mente com as reacções determinadas. As acções e as reacções formam um sistema de forças em equilíbrio. VA HA VB Pj q j Pi Mm BA C Pj q j VB M BC −H C −M CPi VA HA mA C HC MC VC −V Ca) b) c) 98 Esforços em estruturas isostáticas As forças de ligação internas existentes no ponto C podem ser determinadas pelo método das secções: fazendo um corte pela viga e representando as forças de lig- ação correspondentes a um encastramento. Os diagramas de corpo livre para a parte à esquerda da secção C e a parte à direita da secção C são representadas nas figuras b) e c), respectivamente. As duas partes estão em equilíbrio sob acção dos sistemas de forças correspondentes, podendo calcular as forças (VC , HC e MC ) na parte esquerda e (−VC , −HC e −MC ) na parte direita. As forças de ligação (VC e −VC), (HC e −HC ) e (MC e −MC ), respectivamente, têm a mesma intensidade e a mesma linha de acção mas de sentido contrário para garantir o equilíbrio da viga (permite juntar as duas partes). Como as forças internas correspondem a ligação entre partes de um corpo rígido (viga) estes representam os esforços na secção transversal C, isto é: • a força reacção HC chama-se esforço normal, a linha de acção coincide com o eixo da viga; • a força reacção vertical VC representa o esforço de corte ou esforço transverso cuja linha de acção é normal a eixo da viga; • o momento (reacção) MC é o esforço momento flector. 8.1.3 Convenção dos sinais Os esforços não podem ser referenciados univocamente no referencial adoptado para o equilíbrio estático. Esta situação dá origem a necessidade de se estabelecer uma convenção de sinais que leve em conta a face da secção em que estão a ser calculados. Para estabelecer a convenção dos sinais dos esforços considere-se uma secção transversal numa barra, obtida com a intersecção com um plano normal ao eixo da barra. Adopta-se o referencial triedro direito (x1, x2, x3), com a origem no centro de gravidade da secção transversal à esquerda: o eixo x3 dirigido na segundo a linha tangente ao eixo da barra e sentido da versor normal exterior ~n da secção à esquerda, x1 e x2 , contidos no plano da secção, segundo os eixos de simetria (eixo principais centrais de inércia) da secção. Os esforços numa secção têm representação vectorial simétrica o que é a conse- quência de serem calculados na face positiva ou na face negativa, isto é à direita ou à esquerda da secção. Os sentidos positivos dos esforços são representados nas faces positivos (es- querda) e negativos (direita) das secções para o caso 3D e plano. 8.1 Esforços nas vigas 99 x2 N n Mt x1 x3 M1 V1 face positiva M2 V2 n x3x1 N V1 V2 Mt M2 x2 M1 face negativa V V M1M1 n n x2 x2 x3 N N G ESQ DIR G No caso 3D os esforços V1 e V2 representam esforços transversos e N esforço normal ou axial sendo as componentes cartesianas da resultante ~R. As compo- nentes cartesianas do momento resultante ~MG são M1 e M2 momentos flectores e Mt = M3 momento torsor. Para o caso plano a convenção dos sinais positivos podem ser interpretados da seguinte forma: V V VV V V V V N N N N N N NN x3 M M x3 MM x3 x3 E E E E E E D DD DD D DDD D D D E E E E E E M M M M + + _ _ + + _ _ + + _ _ • esforço normal N : Sentido positivo se o esforço axial têm a direcção do normal exterior ~n da secção no qual está avaliada. O valor numa secção é igual a soma das projecções na direcção do eixo da barra do sistema das forças exteriores (forças aplicadas e reacções) actu- antes na parte “retirada”. O seu efeito é o de comprimir ou traccionar a peça. 100 Esforços em estruturas isostáticas• esforço transverso V : Sentido positivo se o esforço transverso tenta rodar no sentido horário a secção no qual está avaliada. O valor numa secção é igual a soma das projecções na direcção do nor- mal ao eixo da barra do sistema das forças exteriores (forças aplicadas e reacções) actuantes na parte retirada. O seu efeito é de corte da peça na secção em que está calculada. • momento flector M : Sentido positivo depende da orientação da barra, respectivamente do refer- encial adoptado. Para a orientação da figura o sentido positivo do momento flector coincide com o sentido horário na face direita e sentido anti-horário na face esquerda. O seu valor numa secção é dado pelo momento do sistema da forças ex- teriores da parte à esquerda ou à direita em relação ao centro de massa da secção. O seu efeito é o de flectir a peça no plano (x3, x2) (provoca tracção na face inferior e compressão na face superior). Obs: No caso das estruturas constituídas por mais do que uma barra a aplicação da convenção dos sinais requer a identificação prévia do sentido do eixo x3, adoptado arbitrariamente em cada uma das barras. 8.1.4 Diagramas de esforços Para verificar a segurança de uma viga/estrutura é necessário conhecer qual é a secção em que actuam os esforços mais elevados. As diagramas de corpo livre das partes permite determinar os esforços numa única secção, por consequência é necessário encontrar um método que facilita o cálculo dos esforços ao longo do eixo da viga. Esta tarefa é facilitada com o traçado da variação dos esforços ao longo do eixo da viga, obtendo-se os diagramas dos esforços. Diagramas de esforço transverso e momento flector Para obter a variação dos esforços, a título de exemplo, considera-se uma viga sim- plesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída de densidade de distribuição q, Problema 8.39. Problema 8.39 Calculam-se os esforços numa secção arbitrária à distância x do apoio A. 8.1 Esforços nas vigas 101 VA VB HA x3 x2 x A B q lS x y B qA l Em base no diagrama do corpo livre da viga calculam-se as reacções nos apoios A e B, adoptando o referencial (x, y) para o equilíbrio estático: ∑ Fx = 0∑ MA = 0∑ Fy = 0 ⇒ HA = 0 VB × l − q l × l2 = 0 VA + VB − q l = 0 ⇒ HA = 0 VB = q l 2 ↑ VA = q l 2 ↑ Corte-se a viga pela secção S à distância x do apoio A e para a parte à esquerda da secção S obtém-se o diagrama de corpo livre, em que N ,VS e MS representam os esforços, obtidos em base das equações de equilíbrio: xH =0A VS MS N x3 V = ql/2A x2 x yA S q ∑ Fx = 0∑ Fy = 0∑ MS = 0 ⇒ N = 0 VA − q x− VS = 0 MS + q x x 2 − VA × x = 0 ⇒ N = 0 VS = q ( l 2 − x) MS = q l 2 x− q x2 2 Os resultados obtidos mostram que os esforços VS e MS variam com a posição da secção S e a representação destas funções correspondem a variação dos respectivos esforços ao longo do eixo da viga e são denominados diagramas de esforços. ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� ql/2 ql/2 x3 x3ql/2 ql/2 ql /82 x3 V M l A B V+ M+ q 0 + _ + As cargas e os diagramas que representam a variação dos esforços estão sujeitos a uma convenção de sinais. x3 V+, N+ x3 x3 M+, P V+, N+ M+, P ESQ DIR 102 Esforços em estruturas isostáticas A convenção adoptada, para a representação dos diagramas pressupõe a identifi- cação prévia do sentido do eixo x3 e o posicionamento do ‘‘observador”, como mostra na figura, de modo que permita percorrer o eixo no sentido positivo da es- querda para à direita. Assim o sentido positivo dos diagramas N e V desenham-se do lado oposto da viga relativamente ao ‘‘observador”, enquanto o sentido posi- tivo do momento flector e as cargas representam-se do lado do ‘‘observador”. A convenção adoptada para o diagrama do momento flector, reside na concordân- cia que existe entre momento flector e a deformada por flexão da viga, isto é o momento flector desenhado fornece o andamento aproximado da viga deformada por flexão (curvatura da viga). ����������������� ����������������� ����������������� ����������������� ��������������� ��������������� MM MM x2 x3 x2 M x3 x3 M M x3M M+M+ + _ + Se um troço de viga está submetida a um momento positivo flectira para baixo, presentá convexidade para o lado onde está representado. No exemplo anterior as funções que representam a variação dos esforços foram obtidas na base de diagrama do corpo livre de uma única secção e as expressões foram validas para todo comprimento da barra. No caso em que existe mudança na configuração das forças exteriores aplicadas, deve-se obter as funções para cada intervalo de configuração constante. Isto é sempre que existe uma carga concentrada aplicada num determinado ponto da peça, o diagrama de esforço transverso apresentará uma descontinuidade nesse ponto. Analogamente, se num ponto estiver aplicado um momento, o diagrama de momento flector terá uma descontinuidade nesse ponto. 8.1.5 Metodologia de resolução dos problemas Para traçar os diagramas dos esforços numa viga, devem ser seguidos os seguintes passos: 1. Identificar o sentido positivo do eixo (x3 ou z); 2. Desenhar o diagrama de corpo livre da viga e utilizar esse diagrama para calcular as reacções; 3. Considerar uma secção arbitrária S a uma distância x ao longo do eixo da viga para cada intervalo de configuração constante das forças exteriores (aplicadas e reacções) e fazer corte através deste ponto. Para cada intervalo e ponto: 8.1 Esforços nas vigas 103 • Escolher a parte à esquerda ou à direita da secção S (normalmente escolha-se a parte mais conveniente) e desenhar o diagrama do corpo livre correspondente, representando as forças exteriores actuantes e as forças interiores (esforços) em S. • Utilizar esse diagrama para determinar os esforços na secção S em função da sua posição x, tendo em conta os sinais positivos de cada esforço. 4. Para obter os diagramas dos esforços representam-se as funções obtidas para cada intervalo. 8.1.6 Caracterização dos diagramas de esforço transverso e momento flector para casos simples de carregamentos Viga submetida à acção de cargas uniformemente distribuídas: • O diagrama do esforço transverso consiste em segmentos de recta oblíquos - sendo necessário calcular o valor do esforço transverso apenas nos pontos imediatamente à esquerda ou imediatamente à direita dos pontos de apli- cação das forças aplicadas e reacções e nos pontos onde começam e acabam as cargas distribuídas. • O diagrama do momento flector consiste em arcos de parábola. Para obter o traçado basta calcular o momento flector apenas nos pontos de aplicação das cargas e reacções e os pontos onde começam e acabam as cargas dis- tribuídas. Exemplo Problema 8.39: • Diagrama V : linear, decrescente com declive −q. O esforço V se anula para x3 = l/2; • Diagrama M : diagrama do 2o grau, no intervalo V > 0 cres- cente e V < 0 decrescente. No ponto x3 = l/2 o momento é máx- imo M = ql2/8. ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ql/2 ql/2 x3 x3ql/2 ql/2 ql /82 x3 V M l A B V+ M+ q 0 + _ + Viga submetida apenas à acção de forças concentradas: • O diagrama do esforço transverso consiste em segmentos de recta horizon- tais - sendo necessário calcular o valor do esforço transverso apenas nos pontos imediatamente à esquerda ou imediatamente à direita dos pontos de aplicação das forças aplicadas e reacções. 104 Esforços em estruturas isostáticas • O diagrama do momento flector consiste em segmentos de rectas oblíquos, e para obter o traçado basta calcular o momento flector apenas nos pontos de aplicação das cargas e reacções. Problema 8.40 Viga simplesmente apoiada com carga concentrada aplicada no ponto C. VA HA x3 x2 a a x y VB B A lA B C P l C P Na base do diagrama do corpo livre da viga calculam-se as reacções nos apoios A e B, adoptando o referencial (x, y) para o equilíbrio estático: ∑ Fx = 0∑ MB = 0∑ Fy = 0 ⇒ HA = 0 −VA l + P (l − a) = 0 VA + VB − P = 0 ⇒ HA = 0 VA = P ( 1− a L ) VB = P a l Os diagramas do corpo livre para os intervalos 0 < x < a e a < x < l permitem obter a variação do esforço transverso e momento flector: xH =0A x3 x3 x2 a VA VS MS N S VS MS N SH =0A VA x2 x y 0<x<a A A C P x S a<x<l int 0<x<a: { V 1S = P ( 1− a L ) M1S = P ( 1− a L ) x int a<x<l: { V 2S = −P al M2S = P ( 1− a L ) x− P (x− a) Os diagramas completos do esforço transverso e momento flector: ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� V P(1−a/l) x3 a Pa/l P(1−a/l) x3 Pa/l M x3 M+ Pa(1−a/l) V+ A B 0 C P P + _ + • Diagrama V : constante nos in- tervalos com descontinuidade no ponto C igual a carga P ; • Diagrama M : diagrama do 1o grau, no intervalo V > 0 cres- cente e V < 0 decrescente. No ponto C declive à esquerda e à di- reita diferente. 8.1 Esforços nas vigas 105 Viga submetida á acção de um momento flector (binário): • O diagrama do esforço transverso tem o mesmo valor em ambos os lados do ponto de aplicação do binário. • O diagrama do momento flector apresenta uma descontinuidade nesse ponto. Problema 8.41 Viga simplesmente apoiada com momento aplicado no ponto C. VA HA x3 x2 a a VB x y B A lA Bl C M C M Na base do diagrama do corpo livre da viga calculam-se as reacções nos apoios A e B, adoptando o referencial (x, y) para o equilíbrio estático: ∑ Fx = 0∑ MB = 0∑ Fy = 0 ⇒ HA = 0 −VA l + M = 0 VA + VB = 0 ⇒ HA = 0 VA = M l ↑ VB = −Ml ↓ Os diagramas do corpo livre para os intervalos 0 < x < a e a < x < l permitem obter a variação do esforço transverso e momento flector: x x3 x3 x2 a x2 x y M/l M/l N VS MS N MS VS 0<x<a A A x a<x<l C M S VS = M l = const. int 0<x<l M1S = M l x int 0<x<a M2S = M l x−M int a<x<l Os diagramas de completos do esforço transverso e momento flector: ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� M/l a M/l M/l Ma/l M M(a/l−1) x3 x3 x3 M/l VV+ A B 0 C M M M+ + + − • Diagrama V : constante - acom- panha o diagrama de carga; • Diagrama M : diagrama do 1o grau, crescente (V > 0) descon- tinuidade no ponto C igual mo- mento M . 106 Esforços em estruturas isostáticas 8.1.7 Exemplos de diagramas de esforços Problema 8.42 Determine os diagramas dos esforços para a consola represen- tada na figura. A B 1 m 1 m 1 m 1 mC q=2kN/m M=2.4kNm D E P=6kN Q=12kN VA A B 1 m 1 m 1 m 1 mC q=2kN/m M=2.4kNm D E P=6kN Q=12kN VE x y HE x3 x2 ME I II III IV ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ��������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� HEVE x 3 x 2 ME x 3N V x 3 VE M x 3 M+ 1 2.4 0.6 1.4 ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� I II III B 1 m 1 m 1 mC q=2kN/m M=2.4kNm D EQ=12kNA 1 m P=6kN IV 12 N+ V+ 2 4 • intervalo I: 0 < x < 1 N(x) = 0 ; V (x) = −q x = −2 x ; M(x) = −q x 2 2 = −x2 • intervalo II: 1 < x < 2 N(x) = 0 ; V (x) = −q×1 = −2 ; M(x) = −q 1 (x−0.5) = −2 (x−0.5) • intervalo III: 2 < x < 3 N(x) = 0 ; V (x) = −q × 1 = −2 ; M(x) = −q × 1 (x− 0.5) + M = −2 (x− 0.5) + 2.4 • intervalo IV : 3 < x < 4 N(x) = −Q = −12 ; V (x) = −q × 1 + P = −2 + 6 = 4 ; M(x) = −q × 1 (x− 0.5) + M − P (x− 3) = 4 x− 14.6 As reacções em E são obtidos a partir das expressões dos esforços do in- tervalo IV para x = 4: NE = 12 kN ←; VE = 4 kN ↓; ME = 1.4 kNm 8.1 Esforços nas vigas 107 8.1.8 Relações entre carga e esforços Quando uma viga está solicitada à várias acções (cargas concentradas, uniforme- mente distribuídas, momentos) torna-se difícil traçar os diagramas dos esforços e localizar e calcular os valores extremos. Esta tarefa pode ser facilitada conhecendo as relações que existem entre carga e os esforços (equações diferenciais). Considere-se uma viga simplesmente apoiada solicitada a cargas concentradas e distribuídas continuamente em equilíbrio do qual se destaca um troço elementar de comprimento dx. x3 x2 x3 x2 p(x) x dx p q V+dV M+dM M V N N+dN dx q(x) A B No diagrama de corpo livre do troço elementar AB as cargas são uniformemente distribuídas e se pressupõe que existe continuidade nos esforços e a sua variação neste troço é elementar dV, dM, dN . Escrevendo as equações de equilíbrio no referencial (x2, x3) temos: ∑ Fx = 0 ; −N + q dx + (N + dN) = 0 ; (8.1)∑ Fy = 0 ; −V + p dx + (V + dV ) = 0 ; (8.2)∑ MB = 0 ; M + V dx− p (dx) 2 2︸ ︷︷ ︸ =0 −(M + dM) = 0 . (8.3) Efectuando os cálculos e desprezando os termos que correspondem a um in- finitésimo de ordem superior obtém-se: (8.1) ⇒ dN dx = −q ; (8.4)(8.2) ⇒ dV dx = −p ; (8.5) (8.3) ⇒ dM dx = V ⇒ d 2M dx2 = −p . (8.6) As equações (8.4), (8.5) e (8.6) traduzem as relações que devem existir entre os diagramas de carga e os esforços. Conhecendo as funções p(x) e q(x), os esforços podem calcular-se através de integração. As relações obtidas permitem observar se a carga p(x) {q(x)} for representado por um polinómio de um determinado grau o esforço transverso V {esforço normal 108 Esforços em estruturas isostáticas N} será um polinómio de um grau acima. O diagrama de momento flector M será um polinómio de dois graus acima da p(x). Em cada ponto o valor do esforço V é dada pelo tangente ao diagrama de momento flector M . Em cada ponto o valor da intensidade da carga p(x) {q(x)} é dada pelo tangente ao diagrama de esforço transverso V {esforço normal N} com sinal trocado. Os valores extremos do momento flector, do esforço transverso e esforço normal serão obtidos nos pontos em que os respectivos tangentes são horizontais. Estas relações são sintetizadas nas seguintes Tabelas: p (q) 0 Const Linear Pol. gr. n V (N ) Const Linear Parab gr 2 Pol.gr. n + 1 M Linear Parab. gr.2 Parab gr 3 Pol.gr. n + 2 x3 + x3 + x3 + ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ������������� ������������� ������������� ������������� x3 + x3 + x3 + x3 + ������������� ������������� ������������� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������� ������������� ����������� ����������� � � � � � � � � � � ����������� ����������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� x3 + x3 + x3 + x3 + p = − d M dx2 2 V = dM dx V decresce valor extremo V=constant V crescente concav p/cima ponto inflexao M linear concav p/baixo Func. M p > 0 p < 0 p = 0 num ponto no intervalo x3 + ������������� ������������� x3 ������������� ������������� ������������� ������������� x3 +������������������������ x3 + ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� x3 + ����������� ����������� ����������� ����������� ff�ff�ff�ff�ff�ff�ff ff�ff�ff�ff�ff�ff�ff fi�fi�fi�fi�fi�fi�fi fi�fi�fi�fi�fi�fi�fi x3 + V = dM dx fl�fl�fl�fl�fl�fl ffi�ffi�ffi�ffi�ffi�ffi M crescent valor extremo M=constant M decrescente V > 0 V < 0 V = 0 + Func. M num ponto no intervalo 8.1 Esforços nas vigas 109 8.1.9 Uso das relações diferenciais para traçar os diagramas dos esforços Integrando as relações (8.4),(8.5) e (8.6) num intervalo finito entre dois pontos A e B, obtém-se: ∫ B A dN = − ∫ xB xA q(x) dx ; ⇒ NB = NA − ∫ xB xA q(x) dx ; (8.7)∫ B A dV = − ∫ xB xA p(x) dx ; ⇒ VB = VA − ∫ xB xA p(x) dx ; (8.8)∫ B A dM = ∫ xB xA V dx ; ⇒ MB = MA + ∫ xB xA V dx ; (8.9) A equação (8.7) mostra que o esforço normal no ponto B pode ser obtido sub- traindo do esforço normal num ponto A a área abaixo do diagrama de carga axial compreendida entre A e B. No caso de existir carga concentrada aplicada rep- resentara uma descontinuidade aumentando/diminuindo o valor de esforço nesse ponto com o valor da carga. A equação (8.8) mostra que o esforço transverso no ponto B pode ser obtido subtraindo do esforço transverso no ponto A a área abaixo do diagrama de carga normal compreendida entre A e B. No caso de existir carga concentrada aplicada isto representara uma descontinuidade aumentando/diminuindo o valor de esforço nesse ponto com o valor da carga. A equação (8.9) mostra que o momento no ponto B pode ser obtido adicionando ao momento flector no ponto B a área abaixo do diagrama de esforço transverso compreendida entre A e B. No caso de existir momento aplicado isto representara uma descontinuidade aumentando/diminuindo o valor do momento nesse ponto com o valor do momento aplicado. Para determinar completamente os diagramas de esforços: • basta calcular os esforços em determinados pontos. Esses ponto são: – pontos na extremidade das barras e à esquerda e/ou à direita dos apoios; – à esquerda e/ou à direita dos pontos de aplicação de forças ou momen- tos concentrados; – pontos onde a carga distribuída p { q} apresenta uma variação brusca; – pontos onde os diagramas têm valores extremos (máximos e mínimos). • entre esses pontos o andamento dos diagramas é dado pelas equações (8.1) – (8.3). Os pontos 110 Esforços em estruturas isostáticas 8.1.10 Exemplos de uso das relações entre carga e esforços Problema 8.43 Utilizando as relações entre carga e esforços trace os diagramas dos esforços: Resolução:As reacções calculam-se em base do diagrama de corpo livre da viga. →∑Fx = 0 ↪→∑MB = 0 ↑∑Fy = 0 ⇒ HA = 0 −4 RA + 30× 4× 2− 40× 1 = 0 RA + RB − 30× 4− 40 = 0 ⇒ HA = 0 RA = 50 kN ↑ RB = 110 kN ↑ ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� ����������������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� RA RB HA x y x0 VA VB e x2 V M RB VB d x31 m q=30kN/m 4 m B P=40kN C A A 1 m q=30kN/m 4 m CB P=40kN V+ M+ V>0 V<0 V>0M decresce M crescente p>0 M crescente constlinear decr. 2ª gr. linear cres. P M tg 0 max Para traçar o diagrama V utiliza-se a equação (8.8): VA = RA = 50 kN ; V e B = VA − ∫ 4 0 30 dx = 50− 30 x|40 = −70 kN ; V dB = V e B + RB = −70 + 110 = 40 kN ; VC = V dB = 40 kN . No intervalo AB a carga p > 0 pelo que o diagrama V é decrescente, no ponto B apresenta uma descontinuidade igual ao valor da reacção RB e no intervalo BC é constante (p = 0). Para traçar o diagrama M utiliza-se a equação (8.9): MA = 0 kNm ; MB = MA + ∫ 4 0 (50− 30 x) dx = 0 + (50 x− 15 x2)|40 = −40 kNm ; MC = MB + ∫ 5 4 40 dx = −40 + 40 x|54 = 0 kNm. No intervalo AB a carga p > 0 pelo que o diagrama M têm a convexidade para baixo. No ponto x = x0 o esforço transverso se anula e o diagrama de momento flector têm valor extremo (têm tangente horizontal): VAB = 0 ; 50− 30 x = 0⇒ x0 = 1.667 m Mmax = (50 x− 15 x2)|x=1.667 = 41.668 kNm No ponto B observa-se a angulação, sendo a tangente à esquerda e à direita ao diagrama do momento flector diferente. taneB = V e B = −70 kN ; tandB = V dB = 40 kN 8.2 Diagramas de esforços em estruturas isostáticas 111 8.2 Diagramas de esforços em estruturas isostáticas As vigas podem ser ligadas entre si por apoios formando estruturas reticuladas: pórticos de edifícios, estruturas articuladas (treliças). Os apoios entre as vigas chamam-se nós. Com base nos esforços que transmitem, os nós de uma estrutura podem ser clas- sificadas em: • contínuos ou rígidos - o que corresponde a um encastramento. Não há deslocamentos (translações e rotações) relativos entre as secções à esquerda e à direita do nó. Consequentemente transmitem todos os esforços entre as peças que a eles se ligam. • articuladas ou articulações ou ainda rótulas ( correspondem ao apoio fixo) - impedem a translação relativa das secções à direita e à esquerda da rótula e permitem rotação relativa. Sendo o momento flector associado ao rotação relativa das secções, implica que o momento numa rótula é igual a zero Mrot = 0, excepto o caso em que há momento aplicado na rótula. Conse- quentemente as rótulas não transmitem momento flector entre aspeças que a eles se ligam isto é introduzem uma libertação. • com encastramento deslizante - impedem a translação relativa numa di- recção e a rotação relativa das secções à direita e à esquerda do encastra- mento deslizante e a permitem translação relativa na direcção normal a di- recção impedida. Consequentemente as transmitem momento flector e es- forço normal transverso entre as peças que a eles se ligam e introduzem uma libertação. Exemplos de nós com libertações: V=0M=0 N=0 N=0 Observações 1. Cada libertação de uma estrutura permite considerar uma equação adicional às equações de equilíbrio estático. (Exemplo: rótula vigas Gerber M = 0.) 2. Cada libertação diminui com um a estaticidade interna de uma estrutura e incrementa a hipostátia interna. (Cada libertação permite estaticidade ex- terna +1). Desde que a estaticidade global e a estabilidade geométrica da estrutura esteja garantida é sempre possível determinar os esforços nas es- truturas. 3. A estaticidade global é a propriedade que determina se uma estruture se pode ou não ser resolvido só com as equações de estática. 112 Esforços em estruturas isostáticas Para traçar os diagramas dos esforços depois de calcular as reacções externas e a orientação das barras procede-se a isolamento da cada viga e desenha-se o dia- grama do corpo livre e utilizam-se as reacções entre a carga e os esforços. 8.2.1 Exemplo de aplicação Problema 8.44 Determine os diagramas dos esforços para a seguinte estrutura e acções: HA HE RA RE x y 4 m 4 m 3 m 2 m 2 m A B D C 30kN/m 25kN/m E 20kN 50kN 50kN 4 m 4 m 3 m 2 m 2 m B D C 50kN 20kN 50kN A E 30kN/m 20kN 25kN/m 120kN 100kN Resolução: As reacções nos apoios A e E calculam-se em base do diagrama de corpo livre da estrutura, utilizando a libertação do momento flector no ponto B. ∑ M eB = 0∑ ME = 0∑ Fx = 0∑ Fy = 0 ⇒ 120× 2− 4 RA + 3 HA = 0 100× 2− 8 RA − 4 HA + 50× 2− 20× 4 + 120× 6 = 0 46 + 20− 50 + HE = 0 94.5 + RE − 120− 100− 50 = 0 HA = 46 kN → RA = 94.5 kN ↑ HE = −16 kN ← RB = 175.5 kN ↑ Para determinar a variação dos esforços na estrutura procede-se a isolamentos das vigas (fazendo cortes pelos nós), e desenham-se os diagramas de corpo livre para cada viga. 4 m 3 m HB RB RB HB HC RC MC 4 m HC RC MC 2 m 2 m C E D 16kN 50kN 20kN 50kN 175.5kN B 30kN/m 94.5kN A 46kN C 25kN/m B 3 m 8.2 Diagramas de esforços em estruturas isostáticas 113 A partir dos diagramas de corpo livre obtém-se as reacções internas. Para traçar os diagramas de esforços as cargas distribuídas são substiuídas pelas cargas equivalentes decompontas na direcções normal e tangencial relativamento ao eixo das barras. 4 m 3 m x3 x2 x3 x2 x3 x2 x y 2 m 2 m B 30kN/m 46kN C 25kN/m B 3 m 94.5kN A 4 m 46kN 25.5kN 25.5kN 46kN C E D 16kN 50kN 50kN 175.5kN 46kN 125.5kN 164kNm 164kNm 20kN 125.5kN 46kN Os diagramas dos esforços para as barras componentes e para a estrutura inteira: ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � x3 x3 x2 x3 x2 2 m 2 m x2 V ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� 48 48 M M =60kNm M N V N M V N � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� ����������� B C 3 m A 46kN 25.5kN 25.5kN C E D 16kN 50kN 50kN 175.5kN 46kN 125.5kN 164kNm 164kNm 20kN 125.5kN 46kN 46kN 19.2kN/m 14.4kN/m 3 m 94.5kN 93.5 21.5 164kNm B 46kN 16kN/m 12kN/m 72.8 7.2 52.1 112.1 164 175.566 16 50 ����������� ����������� ����������� ����������� ��������� ��������� ��������� ��������� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff ff�ff�ff fi�fi�fi�fi�fi�fi fi�fi�fi�fi�fi�fi fi�fi�fi�fi�fi�fi fi�fi�fi�fi�fi�fi fl�fl�fl�fl�fl�fl fl�fl�fl�fl�fl�fl fl�fl�fl�fl�fl�fl fl�fl�fl�fl�fl�fl M V N ffi�ffi�ffi�ffi�ffi�ffi ffi�ffi�ffi�ffi�ffi�ffi ffi�ffi�ffi�ffi�ffi�ffi ffi�ffi�ffi�ffi�ffi�ffi ����������� ����������� ����������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�!�!�!�!�! !�!�!�!�!�! !�!�!�!�!�! !�!�!�!�!�! !�!�!�!�!�! "�"�"�"�" "�"�"�"�" "�"�"�"�" "�"�"�"�" "�"�"�"�" #�#�#�#�# #�#�#�#�# #�#�#�#�# #�#�#�#�# #�#�#�#�# $�$�$�$�$�$ $�$�$�$�$�$ $�$�$�$�$�$ $�$�$�$�$�$ $�$�$�$�$�$ %�%�%�%�%�% %�%�%�%�%�% %�%�%�%�%�% %�%�%�%�%�% %�%�%�%�%�% BM =60kNm 16 72.8 7.2 175.5 112.1 52.1 21.5 93.5 164 M =32kNm M =32kNm 50 66 8.2.2 Grau de indeterminação estática de uma estrutura Método das estruturas arborescentes A avaliação da estaticidade global pode ser feita, utilizando o método das estruturas arborescentes. Uma estrutura arborescente é definida como sendo uma 114 Esforços em estruturas isostáticas peça contínua, com uma ligação ao meio exterior por encastramento e caracteri- zada pela existência de um caminho único que liga qualquer ponto de aplicação de forças ao meio exterior (nenhuma barra se fecha sobre si). O grau de indeter- minação estática de uma estrutura arborescente é igual a zero, pois é globalmente isostática. O método das estruturas arborescentes consiste em transformar a estrutura orig- inal numa ou mais estruturas arborescentes através de cortes de ligações ou in- trodução de ligações. Cortar ligações significa fixar em zero o valor do esforço ou reacção na ligação suprimida. Introduzir ligações significa fixar em zero deslocamento (rotação) correspon- dente, o que corresponde a considerar um esforço adicional na ligação introduzida. esforço ou reacção na ligação suprimida. O grau de indeterminação estática global é dado pela soma algébrica do numero de cortes (+) e do numero de ligações introduzidas (−). Para efeitos práticos os cortes serão feitos de modo que cada corte anule três es- forços, passa por um ponto que pertencente a barra (encastramento) e cada ligação introduz um esforço. Nesse caso a estatia global pode ser calculada utilizando a seguinte formula: αg = 3×Ncortes −Nligacoes (8.10) 8.2.3 Estaticidade externa, interna e global A estatiade uma estrutura pode ser avaliada em base da análise de numero das ligações em excesso, insuficiente ou estritamente necessário para manter o equi- líbrio, em base da estatia externa (αe) e interna (αi), Capítulo 6.1.6. Tendo em conta a equivalência dos apoios com o numero de reacções correspon- dentes, o número das ligações externas NLe obtêm-se: 2D : ∣∣ NRLe = NRREXT = AS + 2× AF + 3× ENC 3D : ∣∣ NRLe = NRREXT = AS + 2× AF + 3× AE + · · ·+ 6× ENC 8.2 Diagramas de esforços em estruturas isostáticas 115 onde AS, AF , AE e ENC representam o numero dos apoios simples, apoios fixos 2D, articulações esféricas e encastramentos, respectivamente presentes na estrutura. Estatia exterior calcula-se considerando a estrutura como um único corpo rígido e analisando as ligações com o exterior. αe = NLe − 3(6) Estatia interior mede a possibilidade dos deslocamentos relativos entre vários componentes ou seja é igual com o numero das ligações internas necessárias para impedir o deslocamento relativo ente as partes constituentes. Para o seu cálculo contam-se, em alternativa do número das reacções internas e dos corpos componentes (ver Capitulo 6.1.6, contam-se: 1. o numero das libertações internas: NLi de acordo com o tipo da ligação existente entre as várias componentes da estrutura. Exemplo - cada rótula corresponde a uma libertação no 2D e três mo 3D. 2. o número das malhas fechadas: NMF . Uma malha fechada é internamente três vezes hiperstática no plano e seis vezes no 3D. O grau de estatia interna calcula-se de acordo com a seguinte formula: αi = 3(6)×NMF −NLi Se o αi = 0 e se as ligações internas garantem a estabilidade geometricamente da estrutura, então é internamente isostática. Se αi > 0, as ligações, se bem colocadas, são em excesso e a estrutura é interna- mente hiperstática. Se αi < 0 existem graus de liberdade não suprimidos e a estrutura é internamente hipostática. Estatia global: Para efeitos de cálculo das reacções e dos esforços recorrendo apenas às equações de equilíbrio do corpo rígido é importante que a estrutura seja globalmente isostática. A seu valor obtêm-se somando o grau da estatia externa e interna: αg = αe + αi Alem dos métodos apresentados nas Secções 6.1.6 e 8.2.2 existem outros métodos para avaliação da estatia de uma estrutura. 116 Esforços em estruturas isostáticas 8.2.4 Exemplos de estudo da estatia Problema 8.45 Determine a estatia das seguintes estruturas planas: f) a) c) b) d) e) Nc =4 Est = 3x4−9 = 3 Nl = 9 Nc =3 Est = 3x3−9 = 0 Nl = 9 Nc =4 Est = 3x4−11 = 1 Nl = 11 Nc =5 Est = 3x5−11 = 4 Nl = 11 Nc =2 Est = 3x2−6 = 0 Nl = 6 Nc =4 Est = 3x4−6 = 6 Nl = 6 a) NLe = 3× 1 + 2 = 5 ; NLi = 2 ; NMF = 0 αe = 5− 3 = 2 ; αi = 3× 0− 2 = −2 ⇒ αg = αe + αi = 2− 2 = 0 b) NLe = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 8 ; NMF = 3 αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 3− 8 = 1 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 1 = 1 c) NLe = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 6 ; NMF = 2 αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 2− 6 = 0 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 0 = 0 d) NLe = 2× 1 + 2 = 6 ; NLi = 6 ; NMF = 2 αe = 6− 3 = 3 ; αi = 3× 2− 6 = 0 ⇒ αg = αe + αi = 3 + 0 = 3 e) NLe = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 8 ; NMF = 4 αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 4− 8 = 4 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 4 = 4 f) NLe = 3 + 2 = 5 ; NLi = 5 ; NMF = 3 αe = 5− 3 = 2 ; αi = 3× 3− 5 = 4 ⇒ αg = αe + αi = 2 + 4 = 6 8.2 Diagramas de esforços em estruturas isostáticas 117 Problema 8.46 Determine a estatia da estrutura: e) Nc =4 Est = 6x4−0 = 24 Nl = 0 NLe = 6× 4 = 24 ; NLi = 0 ; NMF = 1 αe = 24− 6 = 18 ; αi = 6× 1− 0 = 6 ⇒ αg = αe + αi = 18 + 6 = 24 8.2.5 Problemas Propostos Beer: P7.40,P7.43,7.49 (diagr. p/todas as barras); 7.50 (idem); 7,160; 7.85,7,86; 7.161