Conservação de QMA em Turbomáquinas

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Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Conservação de
quantidade de movimento angular:
aplicações em turbomáquinas
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de Reologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
1 de agosto de 2011
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Sumário
Conservação de quantidade de movimento angular
O balanço de QMA em um pedaço de fluido
Aplicação em turbomaquinaria
Turbinas
Acionadores primários
Exemplos
Exemplo: ventilador de fluxo axial
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
O balanço de QMA em um pedaço de fluido
O
V(t)
M = const
n
t = n.T
V
r
dA
gr V
dV
T = dH
dt
onde
H =
∫
∀(t)
(r × V ) ρd∀
e
T = T eixo +
∫
S(t)
r × (n · T )dA +
∫
∀(t)
(r × g) ρd∀
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Equação de conservação de QMA para um ∀C
• usando o teorema do transporte, obtemos a equação para
um volume de controle ∀C
T eixo +
∫
SC
r × (n · T )dA +
∫
∀C
(r × g) ρd∀
=
d
dt
∫
∀C
(r × V ) ρd∀+
∫
SC
(r × V ) ρV · ndA
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Aplicação em turbomaquinaria
• Usa-se tipicamente apenas o componente da equação na
direção do eixo de rotação da máquina (direção z, por
exemplo)
• Desprezam-se os torques devidos às forças de superfície
e de corpo
• supondo que as propriedades são uniformes ao longo das
secções 1 (entrada) e 2 (saída), obtemos simplesmente
Teixo,z = m˙(r2Vt2 − r1Vt1) e W˙eixo = ωTeixo,z
onde Vt1 e Vt2 são os componentes tangenciais da velocidade
absoluta do fluido na entrada e na saída, respectivamente, e ω
é a velocidade angular do eixo.
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Turbomáquinas: Turbinas e acionadores primários
Turbinas extraem energia (ou QMA) do fluido
de impulso o jato é acelerado externamente ao
rotor
a reação existem palhetas fixas (ou guias),
presas à carcaça, e palhetas móveis
(giratórias), presas ao eixo. Parte da
aceleração ocorre nas palhetas fixas,
e parte nas móveis.
eficiência:
η =
energia que sai pelo eixo
energia extraída do fluido
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Turbomáquinas:Turbinas e acionadores primários
Acionadores primários entregam energia (ou QMA) ao fluido
bombas para líquidos e pastas
centrífugas líquidos
de deslocamento positivo pastas
ventiladores gases e vapores, altas vazões e
pequenos ∆p’s
compressores gases e vapores, baixas vazões e
altos ∆p’s
eficiência:
η =
energia entregue ao fluido
energia que entra pelo eixo
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Turbinas hidráulicas: roda d’água
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Turbinas hidráulicas: roda Pelton
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Turbinas hidráulicas: roda Pelton
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Turbinas hidráulicas: Francis
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Turbinas hidráulicas: Francis
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Turbinas hidráulicas: Kaplan
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Turbinas hidráulicas: Kaplan
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Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica
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Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica
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Turbinas a gás
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Turbinas a gás
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Turbinas a gás
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Outras turbinas
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Outras turbinas
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Outras turbinas
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Bombas centrífugas
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Bombas centrífugas
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Bombas parafuso
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Bombas parafuso
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Bombas a diafragma
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Bombas a diafragma
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Ventiladores
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Ventiladores
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Ventiladores
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Compressores
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Compressores
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Compressores
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Exemplo: ventilador de fluxo axial
Rm
ωe
scoamento
1 2
Di
Do
Dados:D1,Do, ω, α1, β1, β2
Achar:
• vazão, Q
• torque no rotor, Teixo,z
• potência transmitida ao
fluido, W˙eixo.
Utilizar o raio médio Rm = (Di + Do)/4 para avaliar a
quantidade de movimento angular na entrada 1 e na saída 2.
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
velocidades absolutas e relativas
 z
2
1
Vrb1
V1ROTOR
CARCAÇA
U = ω.Rm
Vrb2V2
fluxo de ar
U = ω.Rm
U = ω.Rm
β1
α1
β2α2
Solução: os dados do
problema são mostrados na
figura ao lado. Para usarmos
a equação de conservação
de quantidade de movimento
angular, a saber,
Teixo,z = m˙(r2Vt2 − r1Vt1)
precisamos primeiro avaliar
os componentes tangenciais
da velocidade absoluta Vt1 e
Vt2. Para isso, precisamos
dos assim chamados
polígonos de velocidade.
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polígono de velocidade na secção 1
1
U = ω.Rm
V1
Vrb1
Vn1
Vt1
β1α1
Na entrada 1, conhecemos os
ângulos α1 e β1, e a velocidade da
palheta U = ωRm.
Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta
~V1 = ~U + ~Vrb1. Da figura, podemos escrever:
U = Vrb1 cosβ1 + Vt1;
Vt1
Vn1
= tanα1; Vn1 = Vbr1 sinβ1
Logo,
Vn1 =
ωRm
cotβ1 + tanα1
; Vt1 =
ωRm tanα1
cotβ1 + tanα1
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Cálculo da vazão
A vazão é obtida simplesmente multiplicando o componente
normal da velocidade absoluta, Vn1, pela área de secção reta:
Q = Vn1
pi
4
(D2o − D2i )
ou
Q =
piωRm(D2o − D2i )
4(cotβ1 + tanα1)
Além disso, do princípio de conservação de massa obtemos
que
Vn2 = Vn1
pois as áreas na entrada e saída são iguais.
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polígono de velocidade na secção 2
2
U = ω.Rm
Vrb2
V2
Vn2 = Vn1Vt2
α2 β2
Na saída 2, conhecemos o ângulo
β2, a velocidade da palheta
U = ωRm. e o componente normal
da velocidade absoluta, Vn2.
Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta
~V2 = ~U + ~Vrb2. Da figura, podemos escrever:
U = Vrb2 cosβ2 + Vt2;
Vt2
Vn2
= tanα2; Vn2 = Vbr2 sinβ2
Logo,
tanα2 =
ωRm
Vn1
− cotβ2; Vt2 = ωRm − Vn1 cotβ2
Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos
Cálculo do torque e da potência
De posse das velocidades Vt1 e Vt2, determinam-se o torque e
a potência utilizando as expressões já obtidas:
Teixo,z = ρQRm(Vt2 − Vt1); e W˙eixo = ωTeixo,z
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