EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIDADES I II III ATUALIZADA

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UNIDADES: I – II – III 
Equações Diferenciais: Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de 
igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação 
diferencial de ordem n. 
DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma 
função desconhecida (a incógnita da equação). Ou seja, é uma equação que envolve uma função 
incógnita e suas derivadas. 
Exemplos: 
1. 
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝟓𝒙 + 𝟑 (EDO) 2. 𝒆𝒙
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝟐 (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
)
𝟐
= 𝟏 (EDO) 3. 𝟒
𝒅𝟑 𝒚
𝒅𝒙𝟑
+ (𝐬𝐞𝐧 𝒙)
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 (EDO) 
4. (
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
)
3
+ 3𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
7
+ 𝑦3 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
= 5𝑥 (EDO) . 5. 
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒕𝟐
− 𝟒
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒙𝟐
= 𝟎 
Observação: As equações de 1 a 4 são exemplos de equações diferenciais ordinárias, pois a função 
incógnita 𝑦 depende somente da variável 𝑥. A equação 5 é uma equação diferencial parcial, pois 
𝑦 depende de ambas as variáveis independentes 𝑡 𝑒 𝑥. 
 
CLASSIFICAÇÃO: 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só 
variável independente. 
As equações diferenciais ordinárias aparecem de forma natural com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, 
descobertos por Newton e Leibnitz no final do século XVII, e se converteram na linguagem pela qual muitas das leis, 
em diferentes ramos da Ciência, se expressam. Assim, as equações diferenciais ordinárias modelam fenômenos que 
ocorrem na Física, Biologia, Economia e na própria Matemática. 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de 
mais de uma variável independente. 
 
ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
Exemplos: 
y' = 2x tem ordem 1 e grau 1 
y"+ x2(y'’)3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3 
[y"']3 + x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3 
RESOLUÇÃO: A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem 
diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a 
transforma em uma identidade). F(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … … , 𝑦(𝑛)) = 0 
Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 − 4x + 1 ⟹ dy = (3x2 - 4x + 1) dx 
dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C ⟹ y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) 
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição (condição inicial) 
y(-1) = 3 ⟹ 3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular). 
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, 
voltando à equação dada. 
 
AS SOLUÇÕES SE CLASSIFICAM EM: 
 
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, 
de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, 
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais 
ou condições de contorno). 
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PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E DE VALORES DE CONTORNO: 
Uma equação diferencial juntamente com condições auxiliares sobre a função incógnita e suas 
derivadas (todas especificadas para o mesmo valor da variável independente), constituem um problema 
de valores iniciais. As condições auxiliares são condições iniciais. Se as condições iniciais são 
especificadas para mais de um valor da variável independente, temos um problema de valores de 
contorno e as condições são condições de contorno. 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 01 
 
1. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das 
seguintes equações diferenciais: 
(a) 𝑦′′′ − 5𝑥𝑦′ = 𝑒𝑥 + 1 
 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
(b) 𝑡�̈� + 𝑡2�̇� − (𝑠𝑒𝑛 𝑡)̇ √𝑦 = 𝑡2 − 𝑡 + 1 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
 
(c) s2
𝑑2𝑡
𝑑𝑠2
+ 𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑠
= 𝑠 
 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
(d) 5 (
𝑑4𝑏
𝑑𝑝4
)
5
7 (
𝑑𝑏
𝑑𝑝
)
10
+ 𝑏7 − 𝑏5 = 𝑝 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
 
2. Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das 
seguintes equações diferenciais: 
(e) 𝑦
𝑑2𝑥
𝑑𝑦2
= 𝑦2 + 1 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
(f) 𝑦 (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)
2
= 𝑥2+1 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
 
(g) 2𝑥 ⃛ + 3�̇� −5𝑥𝑡 = 0 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
(h) 17𝑦(4) − 𝑡6𝑦(2) − 4,2𝑦5 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 
Ordem: ____________________ 
Função incógnita: ___________ 
Variável independente: _______ 
 
3. Determine se y(x) = 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 é uma solução de 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0. 
 
4. 𝑦(𝑥) ≡ 1 é uma solução de 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥? 
 
5. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 com constantes arbitrárias 𝑐1 e 𝑐2 , é solução de 𝑦
′′ + 4𝑦 = 0? 
 
6. Determine se y(x) = 𝑥2 − 1 é solução de (𝑦′)4 + 𝑦2 = −1. 
 
7. Mostre que 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 é solução de 𝑥𝑦′′ + 𝑦′ = 0 𝑒𝑚 ℐ = (0, ∞), mas não é solução em 
ℐ = (−∞, +∞) . 
 
8. Determine uma solução para o problema de valores de contorno 𝑦′′ + 4𝑦 = 0; 𝑦 (
𝜋
8
) =
0 𝑒 𝑦 (
𝜋
6
) = 1, considerando a solução geral da equação diferencial como sendo 
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 
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9. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial 𝑦′ − 3𝑦 = 6 ? 
(a) 𝑦 = −2 (b) 𝑦 = 0 (c) 𝑦 = 𝑒3𝑥 − 2 (d) 𝑦 = 𝑒2𝑥 − 3 (e) 4𝑒3𝑥 − 2 
10. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial �̇� − 2𝑡𝑦 = 𝑡? 
(𝑎) 𝑦 = 2 (b) 𝑦 = −
1
2
 (c) 𝑦 = 𝑒𝑡
2 
(d) 𝑦 = 𝑒𝑡
2
−
1
2
 (e) 𝑦 = −7𝑒𝑡
2
−
1
2
 
11. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑡⁄ =
𝑦
𝑡⁄ ? 
(𝑎) 𝑦 = 0 (b) 𝑦 = 2 (c) 𝑦 = 2𝑡 (d) 𝑦 = −3𝑡 (e) 𝑦 = 𝑡2 
12. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦4+𝑥4
𝑥𝑦3
 
(𝑎) 𝑦 = 𝑥 (b) 𝑦 = 𝑥8 − 𝑥4 (c) 𝑦 = √𝑥8 − 𝑥4
 
(d) 𝑦 = (𝑥8 − 𝑥4)
1
4⁄ 
13. Dentre as funções abaixo quais são soluções da equação diferencial 𝑦′′ − 𝑦 = 0? 
(𝑎) 𝑦 = 𝑒𝑥 (b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (c) 𝑦 = 4𝑒−𝑥 (d) 𝑦 = 0 (e) 𝑦 = 1 2⁄ 𝑥
2 + 1 
14. Dentre as funções abaixo quais são soluções da equação diferencial 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0? 
(𝑎) 𝑦 = 𝑥2 (b) 𝑦 = 𝑥 (c) 𝑦 = 1 − 𝑥2
 
(d) 𝑦 = 2𝑥2 − 2 (e) 𝑦 = 0 
15. Dentre as funções abaixo quais são soluções da equação diferencial ẍ − 4�̇�̈ + 4𝑥 = 𝑒𝑡? 
(𝑎) 𝑥 = 𝑒𝑡 (b) 𝑥 = 𝑒2𝑡 (c) 𝑥 = 𝑒2𝑡 + 𝑒𝑡
 
(d) 𝑥 = 𝑡𝑒2𝑡 + 𝑒𝑡 (e) 𝑥 = 𝑒2𝑡 + 𝑡𝑒𝑡 
Nos problemas 16 a 19, determine 𝒄 de modo que 𝒙(𝒕) = 𝒄𝒆𝟐𝒕, satisfaça a condição inicial 
indicada. 
16. 𝑥(0) = 0 17. 𝑥(0) = 1 18. 𝑥(1) = 1 19. 𝑥(2) = −3 
 
Nos problemas de 20 a 29, especifique 𝑐1 𝑒 𝑐2 de modo que 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
𝑐2 cos 𝑥 satisfaça as condições iniciais indicadas. Determine se tais condições são condições 
iniciais ou condições de contorno. 
20. 𝑦(0) = 1,𝑦′(0) = 2. 21. 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 1. 22. 𝑦 (
𝜋
2
) = 1, 𝑦′ (
𝜋
2
) = 2. 
23. 𝑦(0) = 1, 𝑦 (
𝜋
2
) = 1. 24. 𝑦′(0) = 1, 𝑦′ (
𝜋
2
) = 1. 25. 𝑦(0) = 1, 𝑦′(𝜋) = 1. 
26. 𝑦(0) = 1, 𝑦′(𝜋) = 2. 27. 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0. 28. 𝑦 (
𝜋
4
) = 0, 𝑦 (
𝜋
6
) = 1. 
29. 𝑦(0) = 0, 𝑦′ (
𝜋
2
) = 1. 
Nos problemas 30 a 34, calcule os valores 𝒄𝟏 𝒆 𝒄𝟐 de modo que as funções dadas 
satisfação as condições iniciais indicadas. 
30. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
−𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑦 (0) = 1, 𝑦′(0) = −1 
31. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2 + 𝑥
2 − 1 ; 𝑦(1) = 1, 𝑦′(1) = 2 
32. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
2𝑥 + 3𝑒3𝑥 ; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0 
33. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥 + 1 ; 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦
′(𝜋) = 0 
34. 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
𝑥 + 𝑥2𝑒𝑥 ; 𝑦(1) = 1, 𝑦′(1) = −1 
Nos problemas 35 e 36, encontre valores de m para que 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙 seja uma solução para 
cada equação diferencial. 
35. 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0 36. 𝑦′′ + 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 
Nos problemas 37 e 38, encontre valores de m para que 𝒚 = 𝒙𝒎 seja uma solução para cada 
equação diferencial. 
37. 𝑥2𝑦′′ − 𝑦 = 0 38. 𝑥2𝑦′′ + 6𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 
39. Mostre que 𝑦1 = 𝑥
2 𝑒 𝑦2 = 𝑥
3 são ambas soluções para 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 6𝑦 = 0 
40. Mostre que 𝑦1 = 2𝑥 + 2 𝑒 𝑦2 =
−𝑥2
2⁄ são ambas soluções de 𝑦 = 𝑥𝑦
′ +
(𝑦′)2
2
⁄ 
 
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UNIDADE II 
CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 
 
1. Forma Padrão e Forma Diferencial: A forma padrão de uma equação diferencial de 
primeira ordem na função incógnita y(x) é: 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), onde a derivada 𝑦′ aparece apenas no 
membro esquerdo. Muitas, porém não todas, equações diferenciais de 1ª ordem podem ser 
escritas na forma padrão. 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑒 𝑁(𝑥, 𝑦) ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑀(𝑥,𝑦)
−𝑁(𝑥,𝑦)
, que equivale à Forma Diferencial 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 . Portanto: 
𝐅𝐎𝐑𝐌𝐀 𝐏𝐀𝐃𝐑Ã𝐎: 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐅𝐎𝐑𝐌𝐀 𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐄𝐍𝐂𝐈𝐀𝐋: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
2. Equações Lineares: Considere uma equação diferencial na forma padrão, 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦). Se 
𝑓(𝑥, 𝑦) puder ser escrita como 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥), ou seja, como uma função de 𝑥 vezes 
𝑦 , mais outra função 𝑥, então a equação diferencial é linear. Equações diferenciais de 1ª ordem 
podem ser expressas como: 
𝑦′+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 
3. Equações de Bernoulli: Uma equação diferencial de Bernoulli é uma equação da forma: 
 
𝑦′+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛 
Onde 𝑛 é um número real. Quando 𝑛 = 1 𝑜𝑢 𝑛 = 0, a equação de Bernoulli se reduz a uma 
equação linear. 
4. Equações Homogêneas: Uma equação diferencial na forma padrão, 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), é 
homogênea se 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) para todo número real 𝑡. 
 
5. Equações Separáveis: Consideremos uma equação diferencial na forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +
𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, Se 𝑀(𝑥) = 𝐴𝑥 (𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥)𝑒 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝐵𝑦 (𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑦), a 
equação diferencial é separável, ou de variáveis separáveis. 
 
6. Equações Exatas: Uma equação diferencial na forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 é exata se: 
𝝏𝑴(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
 
 
UNIDADE III-IV 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM SEPARÁVEIS/EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE 
SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Solução Geral: A Solução de uma equação diferencial de primeira ordem separável 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 +
𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 0 é ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎. 
Nem sempre é possível se resolver algebricamente em relação a y em termos de x. Nesse caso, 
a solução é deixada em forma implícita. 
 
Soluções do Problema de Valor Inicial: A solução para o problema de valor inicial 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 +
𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 0; 𝑦(𝑥𝑜) = 𝑦𝑜 Pode ser obtida, usualmente, primeiro utilizando a Equação ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 +
∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐 para resolver a equação diferencial e depois aplicando a condição inicial 
diretamente para determinar c. 
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LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 02 
 
41. Escreva a equação diferencial 𝑥𝑦′ − 𝑦2 = 0 na forma padrão. 
42. Escreva a equação diferencial 𝑒𝑥𝑦′ + 𝑒2𝑥𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 na forma padrão. 
43. Escreva a equação diferencial (𝑦′ + 𝑦)5 = 𝑠𝑒𝑛(
𝑦′
𝑥
) na forma padrão. 
44. Escreva a equação diferencial 𝑦(𝑦𝑦′ − 1) = 𝑥 na forma diferencial. 
45. Escreva a equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ =
𝑦
𝑥⁄ na forma diferencial. 
46. Escreva a equação diferencial (𝑥𝑦 + 3)𝑑𝑥 + (2𝑦 − 𝑦2 + 1)𝑑𝑦 = 0 na forma padrão. 
47. Determine se as seguintes equações diferenciais são lineares: 
(a) 𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑦 + 𝑒𝑥 (b) 𝑞𝑦′ = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑒𝑥 (c) 𝑦′ = 5 (d) 𝑦′ = 𝑦2 + 𝑥 
(e) 𝑦′ + 𝑥𝑦5 = 0 (f) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = √𝑦 (g) 𝑦
′𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 (h) 𝑦′ +
𝑥
𝑦
= 0 
48. Determine quais das equações diferencias do problema 47 são equações de Bernoulli. 
49. Determine se as equações diferenciais apresentadas a seguir são homogêneas: 
(a) 𝑦′ =
𝑦+𝑥
𝑥
 (b) 𝑦′ =
𝑦2
𝑥
 (c) 𝑦′ =
2𝑥𝑦𝑒
𝑥
𝑦
𝑥2+𝑦2𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦
 (d) 𝑦′ =
𝑥2+𝑦
𝑥3
 
50. Determine se as equações diferenciais seguintes são separáveis: 
(a) 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0 (b) 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = 0 (c) (1 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0 
51. Determine se as equações diferencias seguintes são exatas. 
(a) 3𝑥2𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 + 𝑥3)𝑑𝑦 = 0 (b) 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0 
Nos problemas 52 a 62, escreva as equações diferenciais na forma padrão. 
52. 𝑥𝑦′ + 𝑦2 = 0 53. 𝑒𝑥𝑦′ − 𝑥 = 𝑦′ 
54. (𝑦′)3 + 𝑦2 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 55. e(𝑦
′+𝑦) = 𝑥 
56. 𝑥𝑦′ + cos (𝑦′ + 𝑦) = 1 57. (𝑦′)2 − 5𝑦′ + 6 = (𝑥 + 𝑦)(𝑦′ − 2) 
58. (x − y)dx + 𝑦2𝑑𝑦 = 0 59. 
x+𝑦
𝑥−𝑦
𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 
60. dx +
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑑𝑦 = 0 61. (e2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑒𝑥𝑑𝑦 = 0 
62. 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
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 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS 
 
PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAIMENTO: Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a 
crescimento ou decaimento (decrescimento). Admitindo que 𝑑𝑁 𝑑𝑡⁄ ,a taxa de variação da quantidade de substância 
em relação ao tempo, seja proporcional à quantidade de substância inicial, então 𝑑𝑁 𝑑𝑡⁄ = 𝑘𝑁, ou 
𝑑𝑁
𝑑𝑡⁄ − 𝑘𝑁 = 0 
onde 𝑘 é uma constante de proporcionalidade. 
PROBLEMAS DE TEMPERATURA: A lei do resfriamento de Newton, igualmente aplicável ao aquecimento, determina 
que a taxa de variação temporal da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o 
corpo e o meio circundante. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante. Então, a taxa de 
variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é 𝑑𝑇 𝑑𝑡⁄ , e a lei do resfriamento de Newton pode ser 
formulada como 𝑑𝑇 𝑑𝑡⁄ = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑜𝑢 
𝑑𝑇
𝑑𝑡⁄ + 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑚 onde 𝑘 é uma constante positiva de 
proporcionalidade. Escolhendo 𝑘 como sendo positivo, torna-se necessário o uso do sinal de menos na Lei de 
Newton, a fim de tornar 𝑑𝑇 𝑑𝑡⁄ negativo em um processo de resfriamento, quando 𝑇 > 𝑇𝑚 , e positivo em um 
processo de aquecimento, quando 𝑇 < 𝑇𝑚. 
PROBLEMAS DE QUEDAS DOS CORPOS: Consideremos um corpo de massa 𝑚 em queda vertical, influenciadoapenas 
pela gravidade 𝑔 e por uma resistência do ar proporcional a velocidade do corpo. Admitamos que tanto a massa 
quanto a gravidade permaneçam constantes e, por questão de conveniência, adotemos a direção para baixo como a 
direção positiva. 
SEGUNDA LEI DO MOVIMENTO DE NEWTON: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação do 
momento deste corpo em relação ao tempo, ou, para uma massa constante, 𝐹 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ onde 𝐹 é a força 
resultante que atua sobre o corpo e 𝑣 é a velocidade do corpo, ambas no instante de tempo 𝑡. No problema em 
questão, existem duas forças atuando sobre o corpo: (1) a força devido à gravidade representada pelo peso 𝒘 do 
corpo, igual a 𝒎𝒈, e (2) a força devido à resistência do ar dada por −𝒌𝒗, onde 𝑘 ≥ 0 é uma constante de 
proporcionalidade. O uso do sinal menos é necessário, pois essa força se opõe à velocidade; ou seja, atua para cima, 
na direção negativa. A força resultante 𝑭 que atua sobre o corpo é, então, 𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 substituindo em 
𝐹 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ , obtemos: 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡⁄ 𝑜𝑢 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑣 = 𝑔 como a equação de movimento do corpo. Se a 
resistência do ar for desprezível ou inexistente, então 𝒌 = 𝟎, então a equação de movimento do corpo será 
simplificada para 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ = 𝑔. Quando 𝒌 > 𝟎, a velocidade limite 𝑣𝑙 é definida por 𝒗𝒍 =
𝒎𝒈
𝒌
. 
ATENÇÃO: Essas equações são válidas somente se as condições iniciais forem satisfeitas. Essas equações não são 
válidas, por exemplo, se a resistência do ar não for proporcional à velocidade, mas for proporcional ao quadrado da 
velocidade, ou se a direção para cima for considerada como a direção positiva. 
PROBLEMAS DE DILUIÇÃO: Consideremos um tanque que contenha inicialmente 𝑉0 litros de salmoura com 𝑎 𝑘𝑔 de 
sal. Outra solução de salmoura contendo 𝑏 𝑘𝑔 de sal por litro, é derramada nesse tanque a uma taxa de 𝑒 1 𝑚𝑖𝑛⁄ , 
enquanto, simultaneamente, a mistura, bem agitada e homogeneizada, deixa o tanque à taxa de 𝑓 1 𝑚𝑖𝑛⁄ . O 
problema consiste em determinar a quantidade de sal no tanque no instante de tempo 𝑡. Seja 𝑄 a quantidade(em 
𝑘𝑔) de sal no tanque em um instante de tempo 𝑡. A taxa de variação temporal de 𝑄, 𝑑𝑄 𝑑𝑡⁄ é igual à taxa na 
qual o sal é adicionado ao tanque menos a taxa na qual o sal sai do tanque. O sal entra no tanque à taxa de 
𝑏𝑒
𝑘𝑔
𝑚𝑖𝑛⁄ . Para determinar a taxa com a qual o sal sai do tanque, inicialmente calculamos o volume de salmoura no 
tanque no instante de tempo 𝑡, que é igual ao volume inicial 𝑉0 mais o volume de salmoura adicionado 𝑒𝑡 menos o 
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volume de salmoura removido 𝑓𝑡. Assim, o volume de salmoura no instante arbitrário 𝑡 é: 𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡. A 
concentração de sal no tanque no instante de tempo 𝑡 é 𝑄 𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡
⁄ , de onde decorre que o sal deixa o tanque 
à taxa 𝑓(
𝑄
𝑉0+𝑒𝑡−𝑓𝑡
) 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛.⁄ Assim, 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑏𝑒 − 𝑓 (
𝑄
𝑉0+𝑒𝑡−𝑓𝑡
) ou 
𝒅𝑸
𝒅𝒕
+
𝒇
𝑽𝟎+(𝒆−𝒇)𝒕
𝑸 = 𝒃𝒆 
CIRCUITOS ELÉTRICOS: A equação básica que rege a quantidade de corrente 𝐼 (𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑝é𝑟𝑒𝑠) em um circuito simples 
𝑅𝐿 com uma resistência 𝑅(𝑒𝑚 𝑜ℎ𝑚𝑠), uma indutância 𝐿(𝑒𝑚 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑒𝑠) e uma força eletromotriz (abreviadamente 
𝑓𝑒𝑚) 𝐸(𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠) é
𝒅𝑰
𝒅𝒕
+
𝑹
𝑳
𝑰 =
𝑬
𝑳
. Para um circuito 𝑅𝐶 consistindo em uma resistência, uma capacitância 
𝐶(𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠), uma 𝑓𝑒𝑚 e nenhuma indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica 
𝑞(𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠) no capacitor é 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑹𝑪
𝒒 =
𝑬
𝑹
. A relação entre 𝒒 𝒆 𝑰 é: 𝑰 = 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 03/04 
 
RESOLVA (SOLUCIONE) AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, SEPARÁVEIS, ABAIXO: 
63. 𝑥𝑑𝑥 − 𝑦2 = 0 64. 𝑦′ = 𝑦2𝑥3 65. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ =
𝑥2+2
𝑦
 66. 𝑦′ = 5𝑦 
67. 𝑦′ =
𝑥+1
𝑦4+1
 68. 𝑦′ =
𝑦+𝑥
𝑥
 69. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥2 − 2𝑥 + 2 70. 𝑒𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1 
71. 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0 72. 𝑥𝑑𝑥 − 𝑦3𝑑𝑦 = 0 73. 𝑑𝑥 + 1 𝑦4⁄ 𝑑𝑦 = 0 74. 
(𝑡 + 1)𝑑𝑡 −
1
𝑦2
𝑑𝑦 = 0 
75. 
1
𝑥
𝑑𝑥 −
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0 76. 
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 77. 𝑥𝑑𝑥 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0 78. (𝑡2 + 1)𝑑𝑡 +
(𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0 79. 
4
𝑡
𝑑𝑡 −
𝑦−3
𝑦
𝑑𝑦 = 0 80. 𝑦′ = 
𝑦
𝑥2
 81. 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + (1 − 6𝑦5)𝑑𝑦 = 0; 𝑦(𝜋) = 0. 
82. 𝑑𝑥 −
1
𝑦2−6𝑦+13
𝑑𝑦 = 0 83. 𝑑𝑥 −
1
1+𝑦2
𝑑𝑦 = 0 84. 𝑦′ =
𝑥𝑒𝑥
2𝑦
 85. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+1
𝑦
 
86. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 87. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥2𝑡2 88. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑡
 89. 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3 + 5𝑦 
90. 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = −2 91. (𝑥2 + 1)𝑑𝑥 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0; 𝑦(−1) = 1 
92. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 8 − 3𝑥; 𝑥(0) = 4 93. 𝑥𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 + (𝑦5 − 1)𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0 94. 𝑦′ =
𝑥2𝑦−𝑦
𝑦+1
; 𝑦(3) = −1 
 
UNIDADE III – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS - PROBLEMAS APLICADOS 
CONTINUAÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 03 
 
95. Uma pessoa deposita $50.000,00 em uma poupança que paga 4,5% juros ao ano, compostos continuamente. 
Determine (a) o saldo na conta após três anos e (b) o tempo necessário para que a quantia inicial duplique, admitindo 
que não tenha havido retiradas ou depósitos adicionais. 
 
96. Uma pessoa deposita $ 7.000,00 em uma conta que paga juros compostos continuamente. Admitindo que não 
haja depósitos adicionais nem retiradas, qual será o saldo da conta após 7 anos, se a taxa de juros for de 7,5% durante 
os quatro primeiros anos e de 8,25% durante os últimos três anos? 
97. Uma conta rende juros compostos continuamente; qual é a taxa de juros necessária para que um depósito feito na 
conta triplique em 6 anos? 
Material para aplicação da NP1 Página 8 
 
98. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, 
observam-se 2.000 fileiras de bactérias na cultura, e, após quatro horas, observam-se 6.000 fileiras. Determine (a) a 
expressão do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante 𝑡 e (b) o número 
aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura. 
99. Sabe-se que a população de determinado País aumenta a uma taxa proporcional ao número de habitantes do País. 
Se, após dois anos, a população duplicou, e, após três anos, a população é de 50.000 habitantes, estime o número 
inicial de habitantes. 
100. Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 150 
miligramas de material, e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa original, determine (a) a expressão 
da massa remanescente em um instante 𝑡, (b) a massa do material após cinco horas e (c) o tempo para o qual o 
material perde metade de sua massa original. 
101. Cinco ratos em uma população estável de 500 são intencionalmente infectados com uma doença contagiosa para 
testar uma teoria de disseminação de epidemia, segundo a qual a taxa de variação da população infectada é 
proporcional ao produto entre o número de ratos infectados e o número de ratos sem a doença. Admitindo que essa 
teoria seja correta, qual o tempo necessário para que metade da população contraia a doença? 
102. Uma barra de metal à temperatura de 1000𝐹 é colocada em um quarto à temperatura de 00𝐹. Se após 30 
minutos a temperatura da barra for de 600𝐹, determine (a) o tempo necessário para a barra atingir a temperatura de250𝐹 e (b) a temperatura da barra após 15 minutos. 
103. Um corpo à temperatura de 500𝐹 é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 1000𝐹. Se após 10 minutos a 
temperatura do corpo for de 600𝐹, determine (a) o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 850𝐹 e 
(b) a temperatura do corpo após 30 minutos. 
104. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido a uma temperatura 
constante de 400𝐹. Se após 15 minutos a temperatura do corpo for de 00𝐹 e após 25 minutos a temperatura do 
corpo for de 100𝐹, determine a temperatura inicial desconhecida. 
105. Um corpo de 75 kg cai de uma altura de 30 m com velocidade zero. Admitindo que não haja resistência do ar, 
determine (a) a expressão da velocidade do corpo no instante 𝑡, (b) a expressão para a posição do corpo no instante 
𝑡, 𝑒 (c) o tempo necessário para o corpo atingir o solo. 
 
 
 
 Corpo em queda 
 𝒙 = 𝟎 
 
 
 Solo 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 
 
 Direção-x-positiva 
 
106. Uma bola de aço de 1 kg cai de uma altura de 1.000 m sem velocidade inicial. Na queda, a bola experimenta uma 
resistência do ar proporcional a 
1
4
𝑣, 𝑒𝑚 𝑘𝑔, onde 𝑣 indica a velocidade da bola (𝑒𝑚 𝑚 𝑠).⁄ Determine (a) a 
velocidade limite da bola e (b) o tempo necessário para a bola atingir o solo. 
107. Uma bola de 30 kg cai de uma altura de 30 m com uma velocidade inicial de 3 𝑚 𝑠⁄ . Consideremos que a 
resistência do ar seja proporcional à velocidade do corpo. Se a velocidade limite é de 43 𝑚 𝑠⁄ , determine (a) a 
expressão da velocidade do corpo no instante 𝑡 𝑒 (b) a expressão da posição do corpo no instante 𝑡. 
Material para aplicação da NP1 Página 9 
 
108. Um corpo de massa 𝑚 é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial 𝑣0. Se o corpo encontra 
uma resistência do ar proporcional à sua velocidade, determine (a) a equação do movimento no sistema de 
coordenadas da fig. abaixo, (b) uma expressão da velocidade do corpo para o instante 𝑡, e (c) o tempo necessário 
para o corpo atingir a altura máxima. 
 Direção-x-positiva 
 𝑣 
 Corpo em movimento ascendente 
 
 mg 
 kv 
 
 Solo x = 0 
 
109. Um corpo com massa de 2,548 kg cai sem velocidade inicial e encontra uma resistência do ar proporcional ao 
quadrado de sua velocidade. Determine uma expressão para a velocidade do corpo no instante 𝑡. 
 
110. Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. Em 𝑡 = 0, a água pura começa a ser 
adicionada ao tanque a uma taxa de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à 
mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante 𝑡. 
 
111. Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. Em 𝑡 = 0, outra solução de salmoura 
com 1 kg de sal por litro começa a ser adicionada ao tanque à razão de 10 litros por minuto, enquanto a mistura bem 
homogeneizada sai do tanque a mesma taxa. Determine, (a) a quantidade de sal no tanque no instante 𝑡 𝑒 (b) o 
instante em que a mistura no tanque contém 2 kg de sal. 
 
112. Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. Em 𝑡 = 0, começa a ser adicionada ao 
tanque uma solução de salmoura contendo 0,1 kg de sal por litro, à razão de 4 litros por minuto, enquanto a mistura 
bem homogeneizada sai do tanque à razão de 2 litros por minuto. Determine (a) o instante em que ocorre o 
transbordamento e (b) a quantidade de sal no tanque neste instante 𝑡. 
 
113. Um circuito RL tem uma força eletromotriz (fem) de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 
henry e não tem corrente inicial. Determine a corrente no circuito no instante de tempo 𝑡. 
 
114. Um circuito RL tem uma força eletromotriz (fem) de 3 sem 2t, uma resistência de 10 ohms, uma indutância de 0,5 
henry e uma corrente inicial de 6 ampéres. Determine a corrente no circuito no instante de tempo arbitrário 𝑡. 
 
115. Um circuito RC tem uma fem(em volts) de 400 cos 2t, uma resistência de 100 ohms, e uma capacitância de 
10−2𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑. Inicialmente, não existe carga no capacitor. Determine a corrente no circuito no instante de tempo t. 
 
116. Bactérias crescem em uma solução nutriente a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Inicialmente, existem 
250 fileiras de bactérias na solução, as quais aumentam para 800 fileiras após 7 horas. Determine (a) Uma expressão 
para o número aproximado de fileiras na cultura em um instante de tempo t, e (b) o tempo necessário para que o 
número de bactérias atinja 1600 fileiras. 
 
117. Bactérias crescem em uma solução nutriente a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Inicialmente, existem 
300 fileiras de bactérias na cultura, e após 2 horas esse número aumenta em 20%. Determine (a) Uma expressão para 
o número aproximado de fileiras na cultura em um instante de tempo t, e (b) o tempo necessário para a duplicação do 
número de bactérias original. 
Material para aplicação da NP1 Página 10 
 
118. Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Inicialmente há dois kg da substância e dois 
dias depois, 3 kg. Determine (a) a quantidade após um dia e (b) a quantidade após 10 dias. 
 
119. Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade original duplica em um dia, 
qual será a quantidade existente em cinco dias? 
 
120. Um fermento cresce a uma taxa proporcional à sua quantidade inicial. Se a quantidade original duplica, em duas 
horas, quantas horas serão necessárias para que a quantidade de fermento triplique? 
 
121. A população de um certo país tem crescido a uma taxa proporcional ao número de habitantes. No momento, 
existem 80 milhões de habitantes. Dez anos atrás, havia 70 milhões. Admitindo que esta tendência permaneça, 
determine (a) a expressão aproximada do número de habitantes no instante t, e (b) o número aproximado de 
habitantes no país ao fim dos próximos dez anos. 
 
122. Sabe-se que a população de um certo estado cresce a uma taxa proporcional ao número inicial de habitantes. Se 
após dez anos a população triplicou, e se após 20 anos a população é de 150.000 pessoas, determine o número de 
habitantes iniciais do estado. 
 
123. Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Se, inicialmente, há 100 miligramas 
de material, e se, após dois anos, observou-se o decaimento de 5% do material, determine (a) a expressão da massa 
para um instante de tempo arbitrário t e (b) o tempo necessário para o decaimento de 10% do material. 
 
124. Um depositante aplica $ 10.000,00 em um certificado de depósito que paga 6% de juros ao ano, compostos 
continuamente. Qual será o montante após 7 anos, considerando que não haja depósitos adicionais nem retiradas? 
 
125. Qualserá o montante para o problema anterior, caso a taxa anual de juros seja de 7
1
2
% ? 
 
126. Um depositante aplica $ 5.000,00 em uma conta em favor de um recém-nascido. Admitindo que não haja 
depósitos adicionais nem retiradas, de quanto a criança disporá após atingir a idade de 21 anos, considerando que o 
banco pague 5% de juros ao ano compostos continuamente durante todo o período ? 
 
127. Determine a taxa de juros necessária para dobrar o valor de um investimento em oito anos sob capitalização 
contínua. 
 
128. Determine a taxa de juros necessária para triplicar o valor de um investimento em dez anos sob capitalização 
contínua. 
 
129. Qual o tempo necessário para que um depósito bancário triplique de valor considerando que os juros sejam 
compostos continuamente à taxa de 5
1
4
% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜? 
 
130. Qual o tempo necessário para que um depósito bancário duplique de valor considerando que os juros sejam 
compostos continuamente à taxa de 8
3
4
% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜? 
 
131. Uma pessoa possui $ 6.000,00 e planeja investir esse dinheiro em uma conta que paga juros capitalizados 
continuamente. Qual deve ser a taxa anual a ser paga pelo banco para o caso em que o depositante necessite de 
$ 10.000,00 em quatro anos? 
 
132. Uma pessoa possui $ 8.000,00 e planeja investir esse dinheiro em uma conta que paga juros capitalizados 
continuamente à taxa de 6
1
4
% . Em quanto tempo o montante atingirá $ 13.500,00 ? 
 
Material para aplicação da NP1 Página 11 
 
133. Um corpo à temperatura de 00𝐹 é colocado em um quarto cuja temperatura é mantida a 1000𝐹. Se após 10 
minutos a temperatura do corpo for de 250𝐹, determine (a) o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 
500𝐹, e (b) a temperatura do corpo após 20 minutos. 
 
134. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador, com uma temperatura constante de 
00𝐹. Se após 20 minutos a temperatura do corpo for de 400𝐹, e após 40 minutos, for de 200𝐹, determine a 
temperatura inicial do corpo. 
 
135. Um corpo à temperatura de 500𝐹 é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em 1500𝐹. Se após 10 
minutos a temperatura do corpo for de 750𝐹, determine o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura 
de 1000𝐹. 
 
136. Um corpo de massa 15 kg cai de uma altura de 150 m, sem velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar, 
determine (a) a expressão da velocidade do corpo no instante t, e (b) a expressão da posição do corpo no instante t 
em relação ao sistema de coordenadas da figura abaixo, (c) o tempo necessário para que o corpo atinja o solo, (d) o 
tempo necessário para que o corpo atinja o solo se a massa do corpo fosse de 30 kg. 
 
 
 
 
 Corpo em queda 
 𝒙 = 𝟎 
 
 
 Solo 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 
 
 Direção-x-positiva 
 
137. Uma torta quente que foi cozida a uma temperatura constante de 3250𝐹, é retirada diretamente de um forno e 
colocada ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de 850𝐹. Após 5 minutos 
na sombra, a temperatura da torta foi reduzida para 2500𝐹. Determine (a) a temperatura da torta após 20 minutos e 
(b) o tempo necessário para que a temperatura da torta seja de 2750𝐹. 
 
138. Uma barra de ferro previamente aquecida a 1.2000𝐶 é resfriada em um tanque com água mantida à temperatura 
constante de 500𝐶. A barra resfria 2000𝐶 no primeiro minuto. Quanto tempo levará para resfriar outros 2000𝐶 ? 
 
139. Deixa-se cair um corpo de 30 kg de uma altura de 135 m, com uma velocidade inicial de 3 𝑚 𝑠.⁄ Desprezando a 
resistência do ar. Determine (a) a expressão da velocidade do corpo no instante t, (b) o tempo necessário para o corpo 
atingir o solo. 
 
140. Lança-se uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 150 𝑚 𝑠⁄ no vácuo sem resistência do 
ar. Qual o tempo necessário para que a bola retorne ao solo? 
 
141. Lança-se uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 80 𝑚 𝑠⁄ no vácuo sem resistência do 
ar. Qual altura a bola atingirá? 
 
142. Deixa-se cai uma bola de 75 kg de uma altura de 300 m. Determine a velocidade limite da bola, considerando 
que a força de resistência do ar seja de −
1
2
𝑣. 
 
143. Um corpo de massa 2kg é deixado cair de uma altura de 200 m. Determine a velocidade limite do corpo, 
considerando que a força de resistência do ar seja de −50𝑣. 
 
Material para aplicação da NP1 Página 12 
 
144. Um tanque contém inicialmente 35 litros de água pura. Uma solução de salmoura contendo 
1
2
kg de sal por litro 
começa a entrar no tanque à razão de 7 litros por minuto, enquanto a mistura homogeneizada sai do tanque a mesma 
taxa. Determine (a) a quantidade de sal e (b) a concentração de sal no tanque no instante t. 
 
 GABARITO DOS PROBLEMAS APLICADOS – LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 03 
 
95. (a) $ 57.226,83 (b) 15,33 anos. 96. $ 11.982,04 97. 18,31% 
98. (a) 𝑁(𝑡) = 1.387𝑒
0,366𝑡 (b) 1.387 fileiras de bactérias. 99. 17.655 habitantes. 
100. (a) 𝑁(𝑡) = 150𝑒
−0,053𝑡 (𝑏) 115 𝑚𝑔 (𝑐) 𝑀𝑒𝑖𝑎 − 𝑣𝑖𝑑𝑎 = 13 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
101. 
N
500−𝑁
=
1
99
𝑒500𝑘𝑡 Sem conhecermos o valor de 𝑘 , 𝑡 ≅ 
0,00919024
𝑘
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜. 
102. (a) 𝑡 ≅ 81,5 𝑚 (b) 𝑇 ≅ 77,50𝐹 ou 25,270𝐶 103. (a) 𝑡 ≅ 27 𝑚𝑖𝑛 (b) 𝑇(𝑡) = 113,11
0𝐹 𝑜𝑢 450𝐶 
104. 𝑇(0) ≅ −21,58
0𝐹 𝑜𝑢 −29,760𝐶. 105. (a) Expressão da velocidade: 𝑣 = 9,81 (b) 𝑥 = 4,905𝑡2 + 𝑐1 
(c) 𝑡 ≅ 2,47 𝑠 106. (a) Velocidade limite: 3,92 𝑚 𝑠⁄ (b) 𝑡 ≅ 255𝑠 107. (a) 𝑣(𝑡) = −39,65𝑒
−0,23𝑡 + 42,65 
(b) 𝑥(𝑡) = 172𝑒
−0,23𝑡 + 42,65𝑡 − 172 108. (a) 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ +
𝑘
𝑚⁄ 𝑣 = −𝑔 (b) 𝑣 = (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘⁄ )𝑒
−(𝑘 𝑚)⁄ 𝑡 −
𝑚𝑔
𝑘
 
(c) 𝑡 =
𝑚
𝑘
𝑙𝑛 [1 +
𝑣0𝑘
𝑚𝑔
] 109. 𝑣 =
5
√𝑘
𝑡𝑔ℎ0,77√𝑘𝑡 110. 𝑄 = 𝑐𝑒−0,057𝑡 111. (a) 𝑄 = −344𝑒−0,029𝑡 + 345 
(b) 𝑡 = 0,100 𝑚𝑖𝑛 112. (a) 𝑡 = 20 𝑚𝑖𝑛 (b) 𝑄 = 4,8 𝑘𝑔 113. 𝐼 = −
1
10
𝑒−50𝑡 +
1
10
114. 𝐼 =
30
101
𝑠𝑒𝑛2𝑡 −
3
101
𝑐𝑜𝑠2𝑡 
115. 𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
4
5
𝑒−𝑡 +
16
5
cos 2𝑡 −
8
5
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 116. (a) 𝑁 = 250𝑒0,166𝑡 (b) 11,2 h. 117. (a) 𝑁 = 300𝑒0,0912𝑡 (b) 7,6 horas. 
118. (a) 2,45kg (b) 15,19kg 119. Aumento de 32 vezes. 120. 3,17horas. 121. (a) 𝑁 = 80𝑒0,0134𝑡(𝑒𝑚 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠) 
(b) 91,5 milhões. 122. (a) 𝑁 = 16.620𝑒0,11𝑡 (b) 𝑁0=16.620 123. (a) 𝑁 = 100𝑒
−0,026𝑡 (b) 4,05 anos. 
124. $ 15.219,62. 125. $ 16.904,59 126. $ 14.288,26 127. 8,67% 128. 10,99% 129. 20,93 anos. 130. 7,93 anos. 
131. 12,78% 132. 8,38 anos. 133. (a) 𝑇 = −100𝑒−0,029𝑡 + 100: 23,9 min (b) 440𝐹 
134. 𝑇 = 80𝑒−0,035𝑡 (b) 𝑇0 = 80
0𝐹 135. 𝑇 = −100𝑒−0,029𝑡 + 150; 𝑡100 = 23,9 𝑚𝑖𝑛 
136. (a) 𝑣 = 9,81𝑡 137. (a) 138,60𝐹 (b) 3,12 min 138. Mais 1,24 min 
139. (a) 9,81t+3 (b) 4,95 s 140. 30,58 s 141. 326,20 m 142. 150 m/s 
143. 0,392 𝑚 𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠⁄ 2 144.(a) 𝑄 = −17,5𝑒−0,2𝑡 + 17,5 (b) 
𝑄
𝑣
=
1
2
(−𝑒−0,2𝑡 + 1)