CAP. 3.1

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
3. MODELAGEM COM E.D. 
DE PRIMEIRA ORDEM
3.1 – Modelos Lineares
CRESCIMENTO E DECAIMENTO
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥 , 𝑥 𝑡0 = 𝑥0
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑘𝑥 = 0 é 𝑢𝑚𝑎 𝐸.𝐷. 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟, 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 é 𝑒−𝑘𝑡 , 𝑙𝑜𝑔𝑜
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝑒−𝑘𝑡 = 0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑥𝑒−𝑘𝑡 = 𝑐,
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑒𝑘𝑡 . 𝑆𝑒 𝑡0 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑐 = 𝑥0, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚:
𝑥 𝑡 = 𝑥0𝑒
𝑘𝑡
EXEMPLO 1
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑖𝑎 − 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 𝐶 − 14 é 5600 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑚 𝑜𝑠𝑠𝑜
𝑓𝑜𝑠𝑠𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑖 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑢𝑚𝑚𝑖𝑙é𝑠𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡é𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑣𝑖𝑑𝑎.
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑓ó𝑠𝑠𝑖𝑙.
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝐸. 𝐷.
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴, 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 é 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
𝑘𝑡 . 𝐶𝑜𝑚𝑜
1
2
𝐴0 = 𝐴 5600 𝑜𝑢
1
2
𝐴0 = 𝐴0𝑒
5600𝑘
5600𝑘 = ln
1
2
𝑘 = −0,00012378
𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−0,00012378𝑡
EXEMPLO 1
𝐴 𝑡 =
1
1000
𝐴0
1
1000
𝐴0 = 𝐴0𝑒
−0,00012378𝑡
ln
1
1000
= −0,00012378𝑡 𝑡 = 55.800 𝑎𝑛𝑜𝑠
LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 𝑇 − 𝑇𝑚
EXEMPLO 2
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑏𝑜𝑙𝑜 é 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑜, 𝑠𝑢𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝑑𝑒 3000𝐹. 𝑇𝑟ê𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑒, 𝑠𝑢𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 2000𝐹. 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 700𝐹?
EXEMPLO 2
𝑇𝑚 = 70
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑘 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑇 3 = 200.
𝑑𝑇
𝑇 − 70
= 𝑘𝑑𝑡
𝐴 𝐸.𝐷. é 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑒 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟á𝑣𝑒𝑙. 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 𝑇 − 70 , 𝑇 0 = 300
ln 𝑇 − 70 = 𝑘𝑡 + 𝑐1 𝑇 = 70 + 𝑐2𝑒
𝑘𝑡
𝑇 0 = 300 300 = 70 + 𝑐2 𝑇 𝑡 = 70 + 230𝑒𝑘𝑡
𝑇 3 = 200 200 = 70 + 230𝑒3𝑘 𝑇 𝑡 = 70 + 230𝑒−0,19018𝑡
CIRCUITOS EM SÉRIE
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸 𝑡
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸 𝑡
EXEMPLO 2
𝑈𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 12 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑢𝑚 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒, 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑜
𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑚
1
2
ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝑒 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 é 𝑑𝑒 10 𝑜ℎ𝑚𝑠. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑡
𝑠𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 é 𝑛𝑢𝑙𝑎.
1
2
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 10𝑖 = 12
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 20𝑖 = 24
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒20𝑡 , 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑑
𝑑𝑡
𝑒20𝑡𝑖 = 24𝑒20𝑡 𝑖 𝑡 =
6
5
+ 𝑐𝑒−20𝑡
𝑖 0 = 0
𝑖 𝑡 =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑡
EXERCÍCIOS 3.1
6. 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, ℎ𝑎𝑣𝑖𝑎 100 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎. 𝐴𝑝ó𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑢 3%. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
à 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝑎𝑝ó𝑠 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
32.𝑈𝑚𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 200 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 é 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑢𝑚 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑅𝐶 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙
𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 é 𝑑𝑒 1.000 𝑜ℎ𝑚𝑠 𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 é 5 × 10−6 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠. 𝐴𝑐ℎ𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑞 𝑡 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝐼 0 = 0,4. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑡 = 0,005 𝑠.
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 → ∞.