Series de Funções

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1 
Métodos Analíticos e Computacionais 
 
Modelagem Analítica 
 
Capítulo IV 
 
 
Séries de Funções 
 
 
IV.1 - Série de Taylor 
 
Uma série de Taylor é uma série em termos de potencias da variável 
independente “x” que aproxima funções, e, cujos coeficientes envolvem os 
valores de suas sucessivas derivadas em um ponto específico. 
 
Para efeito desta seção adotar-se-á a notação: 
 
n
n
n
dx
xfd
xf
)(
)()( 
 e 
)()()0( xfxf 
 
 
Teorema: Seja “f” uma função contínua e definida em um intervalo de extremos 
“a” e “b” com a

R e b

R, figura 1. Consideremos que a função “f” admita as 
primeiras “n” derivadas sucessivas nesse intervalo, e que essas derivadas 
constituam funções contínuas nesse mesmo intervalo, então: 
 
n
n
n
Rab
n
af
ab
af
abafafbf 

 

)1(
)1(
2
)2(
)1( )(
)!1(
)(
...)(
!2
)(
))(()()(
 
 
 2 
 “Rn” é o termo complementar e é avaliado mediante a expressão: 
 
 



b
a
n
n
n dttf
n
tb
R )(
)!1(
)( )(
)1( 
 
Ou, na forma sumarizada: 
 
n
n
n ab
n
cf
R )(
!
)()(

 com 
bca 
 
 
 
Figura 1 
 
 Fazendo-se, particularmente, a = 0 e b = x, ou seja, buscando a 
aproximação da função em pontos na vizinhança da origem obtém-se: 
 
n
n
n
Rx
n
f
x
f
xffxf 

 

)1(
)1(
2
)2(
)1(
)!1(
)0(
...
!2
)0(
)0()0()(
 
 
e o termo complementar “Rn” passa a ser avaliado mediante: 
 
 



x
n
n
n dttf
n
tx
R
0
)(
)1(
)(
)!1(
)( ou 
n
n
n x
n
cf
R
!
)()(

 com 
xc 0
 
 3 
 
 O termo complementar “Rn” representa o erro que se comete ao 
aproximar-se a função utilizando-se a série até o termo de ordem “(n-1)”. Haja 
vista a necessidade de atendimento à precisão desejada em todos os pontos 
do intervalo de trabalho, o valor de “Rn” a ser adotado deve ser o máximo 
verificado no referido intervalo. Desta forma, adota-se para “c” o valor de “x” 
que maximiza a função “f(n)(x)” no intervalo estudado, e, para “x”, seu valor 
máximo no referido intervalo. 
 
 Os valores de “x”, “a” e “b” condicionam a quantidade total de termos 
necessários para uma série de Taylor que aproxima uma dada função 
conforme a precisão exigida. Quanto menor a amplitude do intervalo de 
abrangência da série que aproxima a função tanto menor será a quantidade de 
termos necessários para atender à precisão exigida. 
 
 A série de Taylor representa, portanto, instrumento hábil para aproximar 
funções em pequenos intervalos. Para aplicá-la a intervalos maiores procede-
se à sua partição em subintervalos menores. 
 
 
 - Exercícios propostos: 
 
1 - Determinar as séries de Taylor para trabalhar no intervalo entre os pontos 
de abscissa x = 0 e x = 0,1 com precisão até a quinta casa decimal, para 
aproximar as funções: 
 
a - ) f(x) = cos(x) [ x em radianos]; e, b - ) f(x) = ln(1+x). 
 
2 - Com base em pesquisa sobre a bibliografia recomendada para a disciplina, 
demonstrar a validade da formulação referente à série de Taylor. Ver Serge 
Lang – Cálculo I. 
 
 4 
 
 
IV.2 - Séries de Fourier 
 
 Uma função “f” é dita periódica, se, para um certo T 

 R, 
)()( nTxfxf 
 
Rx
 e 
Nn
. “T” é denominado de período básico ou 
fundamental da função “f”. 
 
 Uma série de Fourier representa uma aproximação de uma função 
periódica qualquer em termos das funções trigonométricas elementares. 
 
 Constitui uma combinação linear envolvendo as funções seno e 
cosseno, e é útil quando se faz necessário trabalhar com funções periódicas 
descontínuas ou de complexa manipulação algébrica. 
 
 Se “f” é uma função periódica, de período “T”, então a série de Fourier 
que a aproxima apresenta-se sob forma: 
 
)
22
cos()(
1
0
T
nx
senb
T
nx
aaxf
n
nn




 
 
onde os coeficientes “a0”, “an” e “bn” são denominados coeficientes de Fourier, 
e, devem ser obtidos mediante as equações de Euler, escritas mediante: 
 



2/
2/
0 )(
1
T
T
dxxf
T
a
; 



2/
2/
2
cos)(
2
T
T
n dx
T
nx
xf
T
a
; e, 



2/
2/
2
)(
2
T
T
n dx
T
nx
senxf
T
b
. 
 
Exercícios propostos: 
3 - Determinar as séries de Fourier que aproximam as funções de período 
fundamental T = 2, definidas no intervalo –1 < x < 1, a partir de: 
a - ) f(x) = x; e, b - ) f(x) = 
x
. 
 5 
 
 
 
 
IV.3 - Funções pares e funções impares 
 
Uma função “f(x)” é par se f(-x) = f(x) 
Rx
. Seu gráfico é, portanto, 
simétrico em relação ao eixo das ordenadas. Diante desta realidade, a integral 
de tais funções entre limites simétricos em relação à origem são obtidos 
mediante: 
 
 

aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
 
Ra
 
 
Conforme as regras de integração: 
 
 

a
a
a
a
dxxfdxxfdxxf
0
0
)()()(
 
 
Além do mais, sabe-se que a integral definida de uma função em dado 
intervalo é igual à área compreendida entre a curva que representa 
graficamente a função e o eixo das abscissas “x”, no referido intervalo. 
 
Portanto, se a curva da figura 2 representa graficamente a função então 
a área sob a curva para o intervalo aberto 0 < x< a, vale “A”, de modo que: 
 
Adxxf
a

0
)(
 
 
 6 
Se seu gráfico é simétrico então a área compreendida entre a curva e o eixo 
“x”, para o intervalo –a < x < 0, também é igual a “A”, logo: 
 
Adxxf
a


0
)(
 
 
Conseqüentemente: 
 
 

aa
a
a
a
dxxfAAAdxxfdxxfdxxf
00
0
)(22)()()(
 
 
 
Figura 2 
 
Uma função “f(x)” é impar se f(-x) = -f(x) 
Rx
. Seu gráfico é anti-
simétrico em relação ao eixo das ordenadas, e: 
 
)(0)( zerodxxf
a
a


 
Ra
 
 
Considerando ainda que: 
 

a
a
a
a
dxxfdxxfdxxf
0
0
)()()(
 e 
Adxxf
a

0
)(
 
 
 7 
Uma vez seu gráfico sendo anti-simétrico, figura 3, então, a área 
compreendida entre a curva e o eixo das abscissas “x”, para o intervalo 
definido por –a < x < 0, é igual a “-A”. Assim sendo: 
 
Adxxf
a


0
)(
 
 
 
Figura 3 
 
Conseqüentemente: 
 
0)()()(
0
0
 

AAdxxfdxxfdxxf
a
a
a
a
 
 
O produto entre uma função par e uma função ímpar resulta em uma 
função ímpar. De fato se “f” é par e “g” é impar e h = f.g, então: 
 
f(-x) = f(x);e g(-x) = -g(x); e, 
 
 h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)[-g(x)] = -f(x)g(x) = -h(x), logo “h” é impar 
 
 8 
O produto entre duas funções pares ou entre duas funções ímpares é 
uma função par. De fato se “f” e “g” são funções pares, “h” e “i” são funções 
ímpares, e, j = f.g, e, k = h.i, então: 
 
f(-x) = f(x); g(-x) = g(x); h(-x) = -h(x); e, i(-x) = -i(x); e, 
 
j(-x) = f(-x).g(-x) = f(x)g(x) = j(x), logo, “j” é par, e, 
 
k(-x) = h(-x)i(-x) = -h(x)[-i(x)] = h(x)i(x) = k(x), logo, “k” também é par. 
 
 
IV.4 - Coeficientes de “Fourier” de Funções Pares e Funções 
Ímpares 
 
A função seno é ímpar enquanto a função cosseno é par. Assim sendo 
se uma função “f(x)” é ímpar então 
T
nx
xf
2
cos)(
é uma função impar enquanto 
T
nx
senxf
2
)(
 é uma função par. 
 
Se função a aproximar por uma série de “Fourier” é ímpar então, os 
coeficientes de Fourier correspondentes ficam assim definidos:0)(
1
2/
2/
0  

T
T
dxxf
T
a
; 
0
2
cos)(
2
2/
2/
 

T
T
n dx
T
nx
xf
T
a
; e, 
 
 

2/
0
2/
0
2/
2/
2
)(
42
)(
2
.2
2
)(
2
TTT
T
n dx
T
nx
senxf
T
dx
T
nx
senxf
T
dx
T
nx
senxf
T
b
 
 
 9 
Por outro lado, se a função “f(x)” é par observa-se que 
T
nx
xf
2
cos)(
é 
uma função par e 
T
nx
senxf
2
)(
 é uma função ímpar. Logo para sua 
aproximação mediante uma série de “Fourier” os coeficientes de Fourier devem 
ser assim definidos: 
 
 

2/
0
2/
2/
0 )(
1
.2)(
1
TT
T
dxxf
T
dxxf
T
a
; 
 
 

2/
0
2/
2/
2
cos)(
2
.2
2
cos)(
2
TT
T
n dx
T
nx
xf
T
dx
T
nx
xf
T
a
; e 
 
0
2
)(
2
2/
2/
 

T
T
n dx
T
nx
senxf
T
b
 
 
Exercício proposto: 
 
 4 - Resolver os exercícios de número “3” utilizando o conceito de funções 
pares e funções ímpares. 
 
 
 
IV.5 - Desenvolvimentos de meio período 
 
Seja “f” uma função arbitrária definida no intervalo 0 < x < a, a R . Tal 
função mesmo não sendo periódica pode ser aproximada por uma série de 
Fourier. Com vistas ao cumprimento deste objetivo existem duas alternativas. 
 10 
Uma delas é proceder à extensão da função para o ramo negativo do eixo das 
abscissas de modo a transformá-la em uma função par, figura 4, preservando a 
sua lei de formação no intervalo original de definição. 
 
 
Figura 4 
 
A série de Fourier que aproxima a função será então: 
 








111
cos
2
2
cos
2
cos)(
n
no
n
no
n
no
a
xn
aa
a
xn
aa
T
xn
aaxf
 
 
e, 




1
cos)(
n
no
a
xn
aaxf
 ( I ) 
onde: 
 
aaT
o dxxf
a
dxxf
a
dxxf
T
a
00
2/
0
)(
1
)(
2
2
)(
2 ; e, 
 
aT
n dx
a
xn
xf
a
dx
T
xn
xf
T
a
0
2/
0
2
2
cos)(
2
42
cos)(
4  
 
Ou seja, 

a
n dx
a
xn
xf
a
a
0
cos)(
2 . 
 11 
 
A outra alternativa seria realizar, de forma idêntica, a sua extensão 
transformando-a em uma função ímpar, figura 5: 
 
 
Figura 5 
 
A série de Fourier que aproximaria a função seria então: 
 








111
2
22
)(
n
n
n
n
n
n
a
xn
senb
a
xn
senb
T
xn
senbxf
 
 
e, 
 




1
)(
n
n
a
xn
senbxf
 ( II ) 
Sendo: 
 
 
aT
n dx
a
xn
senxf
a
dx
T
xn
senxf
T
b
0
2/
0
2
2
)(
2
42
)(
4  
 
Resultando em 

a
n dx
a
xn
senxf
a
b
0
)(
2 . 
 12 
 
A série apresentada sob a forma da equação “I” constitui o 
desenvolvimento de meio período par da função “f”. A série apresentada sob a 
forma da equação “II” seu desenvolvimento de meio período ímpar. 
 
Em aplicações práticas deve-se utilizar uma das duas alternativas 
optando-se por aquela que resulte em maior precisão com o menor número 
possível de termos. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
5 – Determinar os desenvolvimentos de meio período da função f(x) = x2 no 
intervalo 0 < x < 3. 
6 – Determinar o desenvolvimento de meio período par da função: 
f(x) = 0 para 0 < x < 1 e f(x) = 1 para 1 < x < 2. 
7 – Determinar o desenvolvimento de meio período ímpar da função: 
f(x) = a para 0 < x < 1 e f(x) = 2a para 1 < x < 2. 
 
 
IV.6 - Desenvolvimentos de meio período ímpar para funções 
de duas variáveis independentes 
 
 São aplicáveis a problemas bidimensionais de engenharia. 
 
 Seja uma função “f(x,y)” definida para 0 < x < a e 0 < y < b, sendo “a” e 
“b” números reais. O desenvolvimento de meio período ímpar que a aproxima 
no intervalo de definição acima prescrito é definido a partir da série: 
 







11 n
mn
m
b
yn
sen
a
xm
senByxf ),(
 
 
 13 
Onde o coeficiente de Fourier é dado mediante: 
 

b a
mn dxdy
b
yn
sen
a
xm
senyxf
ba
B
0 0
),(
.
4  
 
IV.7 - Desenvolvimentos de meio período ímpar para funções 
de três variáveis independentes 
 
 São aplicáveis a problemas tridimensionais de engenharia. 
 
 Seja uma função “f(x,y,z)” definida nos intervalos definidos por 0 < x < a, 
0 < y < b, e 0 < z < c , sendo “a” e “b” e “c” números reais O desenvolvimento 
de meio período ímpar que a aproxima no intervalo de definição acima prescrito 
é definido a partir da série: 
 
c
yn
sen
b
ym
sen
a
xl
senBzyxf
n
lmn
ml








111
),,(
 
 
Onde o coeficiente de Fourier é dado mediante: 
 

c b a
lmn dxdydz
c
zn
sen
b
ym
sen
a
xl
senzyxf
cba
B
0 0 0
),,(
..
8 