Serie Numérica Infinita

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Métodos Analíticos e Computacionais
Modelagem Analítica
Capítulo III
Séries Numéricas Infinitas
III.1 – Introdução
Há casos em que a integral indefinida ou primitiva de certa função, de particular interesse, é de difícil obtenção, e, às vezes até mesmo inexistente. Uma solução para suplantar tal entrave, então, seria substituir a função no intervalo de trabalho por uma série de fácil manipulação que forneça valores aproximados.
A série é uma entidade matemática representada mediante a soma dos termos de uma seqüência A = {a1, a2, . . ., as}, sendo expressa, portanto, na forma: 
 (III.1)
onde os elementos “ai” representam os termos da série e “n” é um número pertencente ao universo dos números naturais, e, constitui sua quantidade total de termos. Se “n” é um número previamente conhecido, então, a série é finita. Caso contrário ela é infinita.
Consideremos o propósito de aproximar dada função, figura III.1, por uma série, em determinado intervalo de seu domínio. Nesse caso, uma tolerância de erro deve ser previamente fixada em conformidade com a precisão requerida para o problema em resolução.
Se f(xi) e s(xi) são os valores obtidos a partir da utilização da função e da série aproximada, respectivamente, em x = xi, então, a diferença percentual entre esses valores pode ser expressa mediante:
 (III.2)
Figura III.1 – Aproximação de função mediante uma série
Para que a série seja adequada para aproximar a função em x = xi, é necessário que em tal ponto, esta diferença seja menor que a tolerância. Ou seja, que:
 (III.3)
Assim, é necessário que o total de termos seja ajustado até o limite em que, a condição expressa mediante a equação III.3, seja atendida. Sob uma abrangência mais ampla, para que a série seja adequada para aproximar a função no intervalo considerado é necessário que em cada um de seus infinitos pontos, o total de termos da série seja ajustado até que se verifique a condição representada pela equação III.3.
De um modo geral, o total de termos para que uma série aproxime a função é diferente para cada um dos pontos do intervalo, e, a priori, desconhecido, daí a necessidade de recorrer-se à aproximação por séries infinitas. Além do mais, para representar bem uma função desejada a série tem de ser tal que, por mais que se lhe adicionem novos termos, o valor da soma deve tender para o valor real da função, refletindo a efetividade da série objeto de trabalho.
A soma dos termos de uma seqüência formada por uma quantidade finita de termos é de fácil obtenção mediante a aritmética elementar.
A soma dos termos de uma seqüência com um total de termos desconhecido, por outro lado, é de obtenção mais complexa, devendo-se, neste caso, recorrer-se ao conceito de convergência de séries numéricas infinitas.
Uma série numérica infinita é convergente se, e somente se, a soma da seqüência até o termo de ordem “k” tende para um determinado valor limite, quando “k” cresce progressiva e indefinidamente.
Assim, a série de termos A= {a1, a2, . . . , ak, . . .} converge, se 
 
. Em outras palavras, a série 
, é convergente se, e somente se o 
 
.
Teorema 1: A série associada à seqüência de termos A= {a1, a2, . . . , ak, . . .} só é convergente se 
. Ou seja, quando se tratar de uma série de termos decrescentes.
Há casos, porém, que esta condição é atendida e, entretanto, a série não é convergente, a exemplo da série de termos 
.
É natural que o estudante, ao primeiro contato com o conceito de convergência, encontre dificuldade para aceitar o fato de que, por mais que se lhe adicionem novos termos, ainda assim, o valor da soma mantenha-se limitado a certo valor, e, portanto, coloque em dúvida o conceito envolvendo a efetividade de séries numéricas. Esta celeuma poderá ser sanada a partir da atenção a exemplos de aplicação.
III.2 - Teste da razão
Uma série de termos “an” é convergente se 
, onde 0 < c < 1, e, 
Vale ressaltar que, se c = 1, o teste da razão não é conclusivo. 
A demonstração da validade do teste da razão encontra-se disponível no texto de qualquer livro de cálculo diferencial e integral. Tal tarefa será evitada neste trabalho em razão de fugir à filosofia do bojo da disciplina para a qual este texto serve de subsídio.
Exercícios propostos:
1- Utilizar o teste da razão para verificar a convergência das séries de termos:
a - ) 
; b - ) 
; c - ) 
; e, d - ) 
III.3 - Teste da integral
Seja “f” uma função definida, decrescente, positiva 
. A série 
 é convergente se, e somente se, a integral imprópria 
, existir.
Conforma a conceituação matemática uma função f(x) é:
positiva 
 se f(x) > 0 
;
definida 
 se 
 
 f(x) ; e, 
decrescente 
 se 
 uma vez que x1 < x2 então f(x1) > f(x2).
Além do mais, a integral imprópria 
 existe se 
 
Por razões idênticas àquelas apresentadas com referência ao este da razão, a demonstração da validade do teste da integral será, propositalmente, omitida.
Dentre as condições preliminares para a aplicabilidade do teste da integral a obrigatoriedade de a função ser decrescente não é novidade, pois, ela já foi expressa no teorema 1, da seção III.1, na forma:
A condição de que a função correspondente à lei de formação da série seja definida é crucial, pois, tal realidade determina a existência ou não de um termo ou vários termos de tal série. Por exemplo, para a série de termos 
, a função correspondente à sua lei de formação seria 
.
Observe-se que tal função não é definida para x = 1, de modo que isto inviabilizaria a existência do termo de ordem n = 1. Entretanto, tal realidade não inviabilizaria a série, em absoluto, pois, ela poderia ser iniciada a partir do termo de ordem n = 2.
A condição de que a série deve ser de termos, exclusivamente, positivos representa limitação do método, como pode ser constatado a partir do acompanhamento da demonstração de sua validade. Entretanto, mesmo assim, em muitos casos de séries contendo termos negativos, o teste pode ser empregado, auxiliando-o com algumas das propriedades de séries apresentadas na seção III.4.
Exercícios propostos:
2-) Utilizar o teste da integral para verificar a convergência das séries de termos:
a - ) 
; e, b - ) 
; c - ) 
; e, d - ) 
.
III.4 - Propriedades
I - ) Se uma série de termos “an” converge então a série de termos bn = c.an, onde “c” é um número do universo dos números reais, também converge.
II - ) Se duas séries de termos “an” e “bn” convergem então as série de termos cn = p.an + q.bn, onde “p” e “q” são números do universo dos números reais, também converge.
III - ) Se uma série de termos “an” converge então a série de termos “bn”, tal que bn < an, 
, também converge.
IV - ) Se uma série de termos “an” não converge então a série de termos “bn”, tal que bn > an, 
, também não converge.
III.5 – Aplicações em Problemas de Engenharia
III.5.1 - Análise de Flambagem de Colunas
Para efeito deste exemplo, considere-se como modelo a coluna apresentada na figura III.2, executada em material dúctil e homogêneo, apresentando imperfeição geométrica local, caracterizada pelo desvio da linearidade, de sorte que seu eixo longitudinal, ainda na condição descarregada, apresenta-se mediante a forma da curva descrita analiticamente a partir do ramo de senóide:
 (III.4)
Onde “a” é o desvio na seção situada a meia altura do elemento estrutural e “L” é seu comprimento.
Figura III.2 – Coluna modelo
Uma vez o pilar submetido à ação de uma carga axial de intensidade P, uma seção qualquer ao longo de seu eixo longitudinal, que apresenta desvio medindo y = yo, em relação à condição retilínea, será solicitada por um momento fletor cuja intensidade é expressa pela equação:(III.5)
O deslocamento horizontal de um ponto arbitrário situado no eixo da coluna, decorrente da ação de tal momento, pode ser obtido mediante a equação diferencial da linha elástica:
 (III.6)
onde "y" representa o deslocamento linear transversal do ponto do eixo longitudinal na seção considerada, "M(x)" é a função que descreve o momento fletor ao longo do eixo do pilar, "E" representa o módulo de elasticidade do material constituinte do pilar e "I" é o momento de inércia da seção em relação a um eixo baricêntrico normal ao plano de flexão.
Substituindo-se a expressão para o momento fletor dad mediante a equação III.5, na equação III.6, obtém-se:
 (III.7)
fazendo-se:
 (III.8)
a equação III.7 assume a forma:
 (III.9)
que, uma vez resolvida, resulta em:
 (III.10)
O domínio do problema pode ser caracterizado a partir de:
 (III.11)
Para a coluna modelo objeto de análise, figura III.2, as condições de fronteira são:
 (III.12)
Levando-se estas condições na equação III.10 obtém-se:
 (III.13)
 (III.14)
De modo que o deslocamento transversal será:
 (III.15)
Uma vez mobilizado este deslocamento, figura III.3, ocorre na seção considerada o acréscimo de momento fletor:
 (III.16)
Tal parcela de momento promove um deslocamento adicional “y2” do eixo da coluna, figura III.3, na seção em análise, que pode ser determinado a partir da resolução da equação diferencial da linha elástica, correlata. 
Figura III.3 – Deformadas da coluna modelo
Considerando-se o acréscimo de momento fletor “M1”, dado mediante a equação III.16, a equação diferencial da linha elástica assume a forma:
 (III.17)
ou:
 (III.18)
para a qual, uma vez adotado procedimento idêntico ao utilizado para determinação da equação III.15, obtém-se a solução particular:
 (III.19)
	Na medida em que o processo de carregamento progride ter-se-iam sucessivos acréscimos de deslocamentos que resultam em acréscimos de momentos fletores, dos quais decorre mais acréscimo de deslocamento e assim sucessivamente. A evolução dessa recorrência iterativa pode culminar em duas situações distintas. Em uma delas o deslocamento termina por se estabilizar em um valor finito "δ". Na outra, ter-se-ia o crescimento indefinido do deslocamento transversal, induzindo o elemento estrutural a perder a capacidade para absorver esforços mediante deformações excessivas, caracterizando o conhecido fenômeno de flambagem. Verificando-se a primeira hipótese, observa-se que do instante do carregamento até a configuração de equilíbrio para a carga em análise, ter-se-ia os acréscimos de deslocamentos y1 e y2 como já definidos, seguidos de:
; 
;. .; 
; 
 (IIII.20)
Uma vez que qualquer seção ao longo do eixo do pilar pode ser estudada, para o caso em análise, aquela situada à meia altura pode ser tomada como referência. Assim, para x = L/2, tem-se os acréscimos de deslocamentos:
;
;
;
; . . .; 
; 
; . . . (III.21)
O deslocamento total será:
 (III.22)
e, portanto:
 (III.23)
A expressão III.23 representa uma série numérica infinita de termos 
. O deslocamento “
” estabiliza-se em um valor finito, caracterizando a estabilidade da coluna, se tal série convergir. Recorrendo-se ao teorema do teste da razão tem-se:
 (III.24)
 (III.25)
 (III.26)
Se “c” for um número real atendendo a 0 < c < 1 a série converge. Ou seja, se:
 0 < 
 < 1 (III.27)
Observe-se que 
 > 0, pois k > 0. Por outro lado:
 (III.28)
Logo, a coluna mantém-se estável até o limite em que a intensidade da carga solicitante for menor que:
,
que representa, portanto, a carga crítica de flambagem. Observe-se que é a mesma expressão obtida a partir do procedimento proposto por Euler, constante dos postulados da Resistência dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, apresentada, inclusive, na seção II.2.2 do capítulo II.
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