Exercicios Tensões em vigas

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Capítulo Quarto: Tensões nas Vigas 
3.2 - Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples 
Exemplo 6: Considere a viga a seguir, de seção transversal T e submetida ao carregamento 
indicado. 
5m
q
y
x
1m
 
12 cm
3 cm
3 cm
18 cm
 
Para m/kNq 20= , determinar a distribuição da componente cisalhante de tensão na seção 
transversal reta de máximo esforço cortante em módulo da viga, esboçando o gráfico e 
destacando os valores de tensões máximas e mínimas, na alma e na mesa. 
A seção transversal é a mesma do exemplo da Aula Digital 16. Tem-se então: 
z
y
7,8 cm
13,2 cm
 
443866 cm,I z = 
Primeiramente, determinamos o diagrama de esforços cortantes da viga: 
 
q
V A V B
q
q/2
 
q,qqq,V
q,qq,V
B
A
63
25
152
42
25
152
=+⋅+=
=⋅−=
 
2,4q
2,6q
q
+
-
+ DQy
 
Determinam-se as expressões do momento estático de área *zS para a alma e para 
a mesa da seção: 
z
y
A*
y
13,2-y
 
(a) 
A*
A*
1
2
z
y
|y|
|y|-4,8
18 cm
 
(b) 
z
y
7,8-|y|
|y|
A*
 
(c) 
Expressão da tensão cisalhamento xyτ para pontos situados sobre a alma 
Ponto situado na alma → cmycm 2,138,4 1 ≤≤− 
Pela figura (a): 
( ) ( )
2
1
*
11
***
5,136,261
2,13
2
12,133
yS
yyyyAS
z
z
−=




−⋅+⋅−⋅=⋅=
 
cmt 3= 
Na seção de máximo cortante em módulo q,Qy 62= 
( )215,136,2614,38663
6,2 yqyx −⋅
⋅
=τ 
ou 
D.C.L 
D.E.C 
Expressão da tensão cisalhante xyτ para pontos situados sobre a mesa 
Ponto situado na mesa → cmycm 8,48,7 1 −≤≤− ; 
Para a determinação do momento estático de área podemos proceder de forma idêntica à 
anterior (que corresponde a realizar a integração no sentido de crescimento de y) ou realizar a 
integral no sentido de diminuição de y (fazendo y variando até seu valor mínimo de -7,8cm e 
invertendo o sinal da integração). 
- Primeira forma: variando a ordenada de y até 13,2cm (figura (b)). 
( ) ( ) ( )
2
1
*
2
1
2
1
*
111
*
*
2
*
2
*
1
*
1
*
604,365
604,365624,1388,226
8,4
2
18,41292,13183
*
2
*
1
yS
yyS
yyyS
yAyASSS
z
z
z
A
z
A
zz
−=
−=−+=










−−−⋅−⋅+−⋅⋅=
⋅+⋅=+=
 
- Segunda forma: variando a ordenada de y até -7,8cm e tomando o sinal do momento estático 
como o inverso (figura(c)): 
( ) ( )
( )
2
1
*
2
1
2
1
*
111
***
604,365
604,36504,3656
8,7
2
18,712
yS
yyS
yyyyAS
z
z
z
−=
−=−−=










−⋅+−⋅−⋅−=⋅−=
 
cmt 12= 
Na seção de máximo cortante em módulo q,Qy 62= 
( )21604,3654,386612
6,2 yqyx −⋅
⋅
=τ
 
Assim, em resumo, as leis de distribuição de τxy na seção reta (com q em kN/m) são as 
seguintes: 
( )
( )






−<≤−−⋅
⋅
≤<−−⋅
⋅
=
cmycmyq
cmycmyq
yx
8,48,7,604,365
4,386612
6,2
2,138,4,5,136,261
4,38663
6,2
1
2
1
1
2
1
τ 
(pontos da alma) 
(pontos da mesa) 
Para m/kNq 20= : 




−<≤−⋅−
≤<−⋅−
=
−
−
cmycmy
cmycmy
yx 8,48,7,107246,6409,0
2,138,4,107246,617,1
1
2
1
3
1
2
1
3
τ 
A partir destas equações, pode-se calcular: 
Para os pontos da alma 
( ) 21 /17,10 cmkNyxyalmamáx === ττ
 
(pontos sobre a LN) 
( ) 02,131 === yxyalmamín ττ
 
(pontos da extremidade inferior da alma) 
( ) 21 /015,18,4 cmkNyxy =−=τ (pontos da extremidade superior da alma) 
 
Para os pontos da mesa: 
( ) 21 /254,08,4 cmkNyxymesamáx =−==ττ (pontos da extremidade inferior da mesa) 
( ) 08,71 =−== yxymesamín ττ (pontos da extremidade superior da mesa) 
A distribuição das tensões de cisalhamento na seção reta é a seguinte: 
z
y
(kN/cm²)
0,254 1,015
1,17
 
 
 
(pontos da alma) 
(pontos da mesa)