cap 17 - Propagação de vazão em rios

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I N T R O D U Z I N D O H I D R O L O G I A 
Propagação de vazão em 
rios 
 
 objetivo dos cálculos de propagação de vazão em rios é determinar o 
hidrograma de vazões em uma seção transversal de um rio, com base no 
hidrograma conhecido em uma ou mais seções transversais localizadas a 
montante. A propagação de vazões é especialmente interessante quando é 
necessário determinar o comportamento de uma onda de cheia ao longo de um rio 
natural ou canal artificial. 
 
Propagação de 
cheias em rios 
Os efeitos principais que ocorrem 
quando uma cheia se propaga ao 
longo de um rio são a translação 
e o amortecimento, ilustrados na 
Figura 17. 2. 
Em um canal ideal e se a água 
não tivesse viscosidade, uma 
onda de cheia poderia se 
propagar sem alteração na forma 
do hidrograma. Neste caso 
haveria apenas a translação da 
onda de cheia, com o pico de 
vazão no ponto de jusante 
ocorrendo algum tempo depois 
do pico a montante. Entretanto, 
Capítulo 
17 
O 
 
Figura 17. 1: Hidrogramas do rio Uruguai em Garruchos e Itaqui (localizada cerca de 192 km a 
jusante) em 1987. 
W . C O L L I S C H O N N – I P H - U F R G S 
 228
existe perda de energia 
devida ao contato e atrito 
com as margens e com o 
fundo. Além disso, os canais 
e rios não são perfeitamente 
regulares, e a água é retida e 
armazenada em trechos mais 
largos e nas áreas inundáveis, 
sendo posteriormente 
devolvida ao rio. Como 
resultado uma onda de cheia 
é gradualmente amortecida 
enquanto se propaga para 
jusante. 
A intensidade do 
amortecimento de uma cheia 
depende de diversos fatores, 
como a rugosidade do leito 
do rio e das margens, da 
presença de vegetação no 
leito, ilhas e planície, e na 
quantidade de obstáculos 
como pilares de pontes e 
aterros. 
Além da translação e do 
amortecimento a onda de 
cheia em geral cresce de 
montante para jusante em 
função da contribuição que 
recebe dos afluentes. 
Em rios em regiões muito planas podem ocorrer ainda efeitos de jusante, afetando a 
vazão e o nível da água em função do que ocorre a jusante de um determinado local, 
como no caso de trechos de rio próximo ao mar, que sofrem o efeito da maré. 
 
Velocidade de propagação de ondas de cheias 
Ondas de cheia se propagam para jusante com uma velocidade que é maior do que a 
própria velocidade média da água. Assim, a velocidade de propagação da onde de cheia 
em um rio cuja velocidade média, durante uma cheia, é de 1 m.s-1, é superior a 1 m.s-1, 
podendo chegar a 1,6 m.s-1, por exemplo. 
 
Translação
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
 
Amortecimento
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
 
Figura 17. 2: Efeitos de translação e amortecimento de uma onda de cheia se propagando ao longo de um rio. 
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 229
A velocidade de propagação da onda de cheia é importante para estimar o momento 
de ocorrência do pico de vazão em locais a jusante de um ponto em que existe 
monitoramento. 
A velocidade de propagação das ondas de cheia em rios pode ser estimada pela 
celeridade cinemática, que pode ser obtida com base nas características médias das seções 
transversais do rio e de sua declividade. 
A celeridade cinemática é definida como (ver Ponce, 1989 ou Dingman, 2009): 
dA
dQ
c = (17.1) 
A celeridade cinemática pode ser estimada considerando válida a equação de Manning 
para o escoamento permanente e uniforme, isto é: 
n
SRAAuQ
2
13
2
h ⋅
⋅=⋅= (17.2) 
onde A é a área molhada da seção transversal; u é a velocidade média da água em m.s-1; 
Rh é o raio hidráulico da seção transversal (descrito a seguir); S é a declividade (metros 
por metro, ou adimensional); e n é um coeficiente empírico, denominado coeficiente 
de Manning. 
Combinando as equações 17.1 e 17.2 em um rio largo, onde o raio hidráulico pode ser 
aproximado pela profundidade média, obtém-se a seguinte aproximação para a 
celeridade da onda de cheia: 
u
3
5
c ⋅= (17.3) 
onde c é a velocidade de propagação da onda de cheia (celeridade cinemática - m.s-1); e 
u é a velocidade média da água (m.s-1). 
Da equação 17.3 se observa que a velocidade de propagação das ondas de cheia é 
maior do que a própria velocidade média da água. Além disso, a velocidade de 
propagação das cheias tende a ser maior para cheias maiores, porque o nível da água e 
a velocidade média tendem a ser maiores. 
Por outro lado, em rios com grandes planícies de inundação, a velocidade de 
propagação das ondas de cheia tende a diminuir drasticamente no momento em que o 
rio começa a transbordar. 
 
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 230
Cálculos de propagação de cheias em rios 
Historicamente, o objetivo dos cálculos de propagação de cheias ao longo de rios foi 
prever a magnitude e o tempo de ocorrência de vazões para que pudessem ser 
realizadas ações para proteger as vidas de pessoas e minimizar prejuízos materiais. 
Desde o final do século XIX é conhecido um conjunto de equações diferenciais 
parciais que descrevem o escoamento em rios, na condição que considera escoamento 
unidimensional e baixa declividade, entre outras simplificações. Estas equações são 
conhecidas como equações de Saint-Venant, em homenagem ao seu formulador, e são 
apresentadas abaixo na forma atualmente mais utilizada. 
 (17.4) 
onde A é a área molhada da seção transversal (m2); h é o nível da água na superfície em 
relação a um referencial (nível médio do mar) (m); Q é a vazão (m3.s-1); t é o tempo (s); 
g é a aceleração da gravidade; x é a distância linear ao longo do rio (m); e Sf é a perda 
de carga devida ao atrito com as margens e fundo (adimensional). 
A primeira equação é a equação de continuidade aplicada a um trecho infinitesimal do 
rio e a segunda equação é obtida a partir da equação de conservação de quantidade de 
movimento para o mesmo trecho infinitesimal. 
As equações de Saint-Venant permitem representar os efeitos de translação, 
amortecimento e também os efeitos de jusante sobre o escoamento a montante. 
Não existem soluções analíticas para as equações de Saint-Venant na maior parte das 
aplicações úteis. Somente nas décadas mais recentes é que os métodos numéricos e os 
computadores digitais permitiram a solução das equações completas de Saint-Venant. 
Atualmente existem diversos programas computacionais de modelos matemáticos que 
resolvem as equações de Saint-Venant numericamente para resolver problemas de 
propagação de vazão em rios e canais. 
 
Método Muskingum 
Antes do surgimento dos computadores e das facilidades atuais para solução das 
equações de Saint-Venant diversos métodos simplificados foram criados para 
representar a propagação de ondas de cheias em rios. Um dos métodos simplificados 
mais conhecidos é o método Muskingum, que recebeu este nome porque foi aplicado 
inicialmente ao rio Muskingum, nos EUA na década de 1930. 
0
0
2
=⋅⋅+
∂
∂
⋅⋅+





∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
fSAg
x
hAg
A
Q
xt
Q
x
Q
t
A
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 231
O método Muskingum combina a equação da continuidade a uma equação 
simplificada que relaciona o armazenamento em um trecho de rio às vazões de entrada 
e saída do trecho. 
A equação da continuidade de um trecho de rio: 
QI
dt
dS
−= (17.5) 
é aproximada em diferenças finitas como: 
2
QQ
2
II
t
SS ttttttttt ∆∆∆
∆
+++ +
−
+
=
−
 (17.6) 
onde S é o volume armazenado no trecho; I é a vazão de entrada; Q é a vazão de saída. 
O método Muskingum está baseado em uma relação entre a vazão e o armazenamento 
em que a vazão do trecho é representada por uma ponderação entre a vazão de entrada 
e saída: 
( )[ ]QX1IXKS ⋅−+⋅⋅=(17.7) 
Combinando as equações 17.6 e 17.7, a vazão de saída de um trecho de rio ao final de 
um intervalo de tempo ∆t pode ser relacionada às vazões de entrada e saída no início 
do intervalo de tempo (Qt e It) e à vazão de entrada ao final do intervalo de tempo 
(It+∆t), como mostra a equação seguinte: 
tttttt Q3CI2CI1CQ ⋅+⋅+⋅= ∆+∆+ (17.8) 
onde 
( ) tX1K2
XK2t1C
∆+−⋅⋅
⋅⋅−∆
= (17.9) 
( ) tX1K2
XK2t2C
∆+−⋅⋅
⋅⋅+∆
= (17.10) 
( )
( ) tX1K2
tX1K23C
∆+−⋅⋅
∆−−⋅⋅
= (17.11) 
sendo que C1+C2+C3 = 1. 
O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser 
definidos antes dos cálculos. 
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 232
O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 1, mas 
na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3. Dependendo do 
valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia. Para um valor de 
X igual a 0,5 não ocorre amortecimento. Quando X é igual a zero o amortecimento é 
máximo. 
O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de 
∆t. O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início 
ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade. Quanto maior o 
valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do 
trecho de canal. 
Para evitar minimizar a possibilidade de erros, os valores de K e X devem ser 
escolhidos de tal forma a satisfazer o seguinte critério: 
( )X1
K2
tX −≤
⋅
∆≤ 
 
EXEMPLO 
1) Calcule o hidrograma de saída de um trecho de rio, ao longo do qual o tempo 
de propagação da onda de cheia é de 2,4 horas. O hidrograma de entrada no 
trecho é dado na tabela. 
Tempo (horas) I (m3,s-1) Tempo (horas) I (m3,s-1) 
1 1,00 13 3,51 
2 1,20 14 2,87 
3 1,53 15 2,32 
4 2,03 16 1,90 
5 2,67 17 1,60 
6 3,43 18 1,39 
7 4,20 19 1,25 
8 4,78 20 1,15 
9 5,05 21 1,10 
10 5,01 22 1,05 
11 4,69 23 1,00 
12 4,16 24 1,00 
 
O valor de K do método de Muskingum pode ser considerado igual ao tempo de viagem do pico entre o 
início e o final do trecho (2,4 horas). O valor do ponderador X pode ser escolhido entre 0,1 e 0,3, que 
são valores típicos para os rios. Adotando um valor de X = 0,2, que corresponde ao meio do intervalo, 
os valores de C1, C2 e C3 ficam: 
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 233
C1 = 0,008 
C2=0,405 
C3=0,587 
O valor escolhido de X também satisfaz o critério ( )X1
K2
tX −≤
⋅
∆≤ . 
Considerando que a vazão de saída no primeiro intervalo de tempo é igual à vazão de entrada, a vazão 
no segundo intervalo de tempo pode ser calculada por: 
tttttt Q3CI2CI1CQ ⋅+⋅+⋅= ∆+∆+ 
ou seja 
001015870014050210080Q tt ,,,,,,, =⋅+⋅+⋅=∆+ 
no segundo intervalo de tempo 
081001587020140505310080Q tt ,,,,,,, =⋅+⋅+⋅=∆+ 
E as vazões nos intervalos seguintes pode ser calculada de forma semelhante, resultando nos valores 
apresentados na tabela que segue. 
Tempo (horas) I (m3/s) Q (m3/s) 
1 1.00 1.00 
2 1.20 1.00 
3 1.53 1.08 
4 2.03 1.27 
5 2.67 1.59 
6 3.43 2.04 
7 4.20 2.62 
8 4.78 3.28 
9 5.05 3.90 
10 5.01 4.37 
11 4.69 4.63 
12 4.16 4.65 
13 3.51 4.44 
14 2.87 4.05 
15 2.32 3.56 
16 1.90 3.04 
17 1.60 2.57 
18 1.39 2.17 
19 1.25 1.84 
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 234
20 1.15 1.60 
21 1.10 1.41 
22 1.05 1.28 
23 1.00 1.19 
24 1.00 1.11 
 
 
Em trechos longos de rios pode ser necessário fazer a divisão do comprimento total 
em sub-trechos e realizar a propagação para cada um destes sub-trechos, de montante 
para jusante. 
 
Método Muskingum-Cunge 
Um problema do método Muskingum para propagação de vazões é que para definir os 
valores dos parâmetros K e de X é necessário dispor de dados observados de vazão 
nos extremos de montante e jusante do trecho de rio, o que raramente se cumpre. 
O método de Muskingum-Cunge permite contornar este problema através de 
estimativas dos valores de K e X a partir de características físicas do rio. 
No método Msukingum-Cunge as equações 17.8 a 17.11 continuam valendo, porém o 
valor de K pode ser obtido dividindo o comprimento do trecho pela celeridade da 
onda de cheia: 
c
xK ∆= (17.12) 
onde ∆x é o comprimento do trecho de rio (m); K é o parâmetro do modelo 
Muskingum (s); e c é a celeridade cinemática da onda de cheia (m.s-1). 
O valor de X ideal para a aplicação do método Muskingum-Cunge pode ser obtido a 
partir da equação: 






∆⋅⋅⋅
−⋅=
xScB
Q1
2
1X
0
 (17.13) 
onde B é a largura do rio (m); S0 é a declividade de fundo do rio (m.m
-1); c é a 
celeridade da onda de cheia (m.s-1); Q é uma vazão de referência (m3.s-1) e ∆x é o 
comprimento do trecho de rio (m). 
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 235
O intervalo de tempo de cálculo ideal para o método Muskingum-Cunge deve ser 
relativamente pequeno se comparado ao tempo de ascensão do hidrograma. 
5
Tr
t ≤∆ (17.14) 
onde Tr é o tempo de ascensão do hidrograma. 
O valor de ∆x também deve ser cuidadosamente escolhido. Uma estimativa (Fread, 
1993) é: 














⋅∆⋅⋅
⋅++
∆⋅
≅∆
2
1
2
0 ctSB
Q5111
2
tc
x , (17.15) 
onde Q é uma vazão de referência (m3.s-1) e c a celeridade cinemática (m.s-1). 
A aplicação do método Muskingum-Cunge inicia pela definição do intervalo de tempo 
adequado para a representação da onda de cheia. A seguir é definida uma vazão de 
referência. Uma boa estimativa da vazão de referência pode ser uma vazão um pouco 
inferior à vazão máxima do hidrograma de entrada do trecho. 
A partir da definição da vazão de referência, pode ser calculada a celeridade, usando 
uma equação de escoamento permanente uniforme, como a de Manning, e 
considerando que o rio tem uma seção transversal simples (trapézio ou retângulo). 
Com base na celeridade e no intervalo de tempo de cálculo é possível estimar o valor 
de ∆x, pela equação 17.15. Se o valor de ∆x for próximo do comprimento total do 
trecho (L), é adotado em lugar do ∆x calculado o comprimento total do trecho. Caso o 
valor de ∆x calculado seja bastante inferior ao comprimento total do trecho (L), o 
trecho deve ser dividido em sub-trechos. 
Com base nos valores ideais de ∆x e ∆t são calculados os valores de K e X, e os valores 
de C1, C2 e C3 para aplicação do método. 
 
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 236
EXEMPLO 
2) Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio de 30 m de 
largura, declividade de 70 cm por km, coeficiente de Manning n=0,045. Os 
dados do hidrograma de entrada são dados na tabela. 
Intervalo de 
tempo 
Tempo 
(minutos) Vazão montante (m3/s) 
1 40 20 
2 80 30 
3 120 60 
4 160 90 
5 200 100 
6 240 130 
7 280 115 
8 320 95 
9 360 80 
10 400 60 
11 440 40 
12 480 20 
13 520 20 
14 560 20 
15 600 20 
 
O primeiro passo da solução é estimar a vazão de referência para o cálculo dos parâmetros. 
Considerando que a vazão máxima do hidrograma de entrada no trecho de rio é 130 m3.s-1, uma opção 
para a vazão de referência é 90 m3.s-1, que é ligeiramente inferior à vazão máxima (cerca de 70% do 
pico). 
Considerando um rio com seção transversal retangular, e considerando que o raio hidráulico pode ser 
considerado igual à profundidade, a vazão de 90 m3.s-1 corresponde ao nível d’água 2,66 m. A 
velocidade média na seção, nesta mesma vazão de referência, é de 1,13 m.s-1. A celeridade pode ser 
obtida pela equação 17.3, o que resulta em 1,88 m.s-1. 
O intervalo de tempo em que existem dados observados é de 40 minutos, o que corresponde a um sexto 
do tempo de pico da onda de cheia. Assim, observa-se pelaequação 17.14 que o intervalo de tempo de 
40 minutos é adequado. Isto corresponde a ∆t=2400 s. 
 
Com base nestes dados a equação 17.15 pode ser utilizada para determinar o ∆x ideal. O resultado é 
∆x=5249 m. Com base neste ∆x ideal é necessário decidir como o comprimento total do trecho será 
dividido. Uma primeira estimativa é calcular o número de sub-trechos necessários para atingir o ∆x 
ideal: 
I N T R O D U Z I N D O H I D R O L O G I A 
 237
433
5249
18000
x
LN ,==
∆
= 
 Assim, seriam necessários 3,43 sub-trechos. Como não é possível trabalhar com valores não inteiros de 
sub-trechos, o número de sub-trechos adotado é N=3. Assim, cada um dos trechos tem ∆x=6000 m. 
O valor de K pode ser calculado pelo tempo que uma onda com celeridade c leva para percorrer um ∆x, 
isto é: 
 3190
881
6000
c
xK ==∆=
,
s 
e o valor de X pode ser calculado pela equação 17.13, resultando em X=0,31. 
Observa-se que estes valores de X e K satisfazem o critério ( )X1
K2
tX −≤
⋅
∆≤ 
Com base nestes valores de X e K obtém-se C1=0,062; C2=0,644 e C3=0,294 usando as equações 
17.9 a 17.11. 
Considerando que no primeiro intervalo de tempo a vazão de saída de cada um dos 3 subtrechos é igual 
à vazão de entrada do primeiro sub-trecho, pode ser iniciado o cálculo para o segundo intervalo de 
tempo: 
No primeiro sub-trecho: 
tttttt Q3CI2CI1CQ ⋅+⋅+⋅= ∆+∆+ 
ou seja 
620202940206440300620Q tt ,,,, =⋅+⋅+⋅=∆+ 
a vazão de saída deste sub-trecho passa a ser a vazão de entrada do subtrecho seguinte, assim a vazão 
de saída do segundo subtrecho no segundo intervalo de tempo é calculada por: 
0202029402064406200620Q tt ,,,,, =⋅+⋅+⋅=∆+ 
e no terceiro sub-trecho segue que: 
020202940206440200620Q tt ,,,, =⋅+⋅+⋅=∆+ 
repetindo estes cálculos para cada intervalo de tempo são obtidas as vazões de saída de cada sub-trecho, 
como mostra a tabela a seguir: 
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 238
Intervalo de tempo 
Tempo 
(minutos) 
Vazão montante 
(m3/s) 
Vazão 
subt 1 
Vazão 
subt 2 
Vazão 
subt 3 
1 40 20 20.0 20 20 
2 80 30 20.6 20.0 20.0 
3 120 60 29.1 21.0 20.1 
4 160 90 52.8 28.2 21.2 
5 200 100 79.7 47.2 27.3 
6 240 130 95.9 71.1 42.8 
7 280 115 119.0 90.0 64.0 
8 320 95 114.9 110.2 83.6 
9 360 80 99.9 112.6 102.6 
10 400 60 84.6 102.7 109.1 
11 440 40 66.0 88.8 103.7 
12 480 20 46.4 71.5 92.1 
13 520 20 27.8 52.6 76.4 
14 560 20 22.3 34.7 58.5 
15 600 20 20.7 25.9 41.2 
 
A vazão máxima na entrada do trecho é de 119 m3.s-1 e a vazão máxima na saída é de 109,1 m3.s-1. 
O pico na vazão de saída ocorre 160 minutos (2 horas e 40 minutos) depois do pico de vazão na 
entrada do trecho. 
 
Leituras adicionais 
A propagação de vazões em rios e canis é tema de livros dedicados exclusivamente ao 
assunto. Em português uma referência útil é o livro Hidráulica Fluvial, de Rui Vieira da 
Silva, Flávio Mascarenhas e Marcelo Miguez; além do livro Modelos Hidrológicos 
(Tucci, 199). 
Programas de computador comerciais ou distribuídos gratuitamente, como o HEC-
RAS, permitem calcular problemas de propagação de vazões em rios e canais usando 
modelos hidrodinâmicos, que resolvem as equações de Saint-Venant numericamente. 
Os manuais destes programas também podem servir de leitura complementar. 
 
Exercícios 
 
1) Refaça o exemplo 2 considerando que o rio tem uma seção transversal 
trapezoidal com margens com inclinação de 50% e largura do fundo de 10 m e 
declividade de 20 cm por km. 
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 239
2) Utilize o método de Muskingum-Cunge para propagar o hidrograma dado pela 
equação abaixo, em um rio com 15 km de extensão, largura média de 60 m, 
coeficiente de Manning n = 0,030, com declividade de 0,0002. Utilize intervalo 
de tempo horário. 
( ) ( )
β
















−⋅⋅−+=
pp
basepicobase T
t1
T
tQQQtQ exp 
onde t é o tempo; Qbase=10 m
3.s-1 ; Qpico=230 m
3.s-1 ; Tp = 35 horas; β = 10 
3) Utilize o método Muskingum-Cunge para calcular o hidrograma do rio 
Uruguai em Itaqui, a partir dos dados observados em Garruchos, no período 
de outubro e novembro de 1987 dado na tabela a seguir. Garruchos está 
localizada 192 km a montante de Itaqui. Considere que a largura média do rio 
neste trecho é de 900 m, a declividade do fundo é de 7 cm/km, coeficiente de 
Manning n = 0,040 e que a seção transversal é retangular. Compare os 
resultados aos valores observados em Itaqui. Se for necessário use um 
intervalo de tempo de cálculo inferior a um dia, interpolando linearmente os 
dados de entrada. 
Data Vazão em Garruchos (m3.s-1) Vazão em Itaqui (m3.s-1) 
16/10/1987 3597 3011 
17/10/1987 5738 3537 
18/10/1987 7194 4823 
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