Apostila Hidráuica pt. 2

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UNIDADE 9 
 Escoamento em superfície livre 
 Nos condutos livres ou canais, a característica principal é a presença da pressão 
atmosférica atuando sobre a superfície do líquido, em uma seção aberta como nos canais 
de irrigação e drenagem, ou fechada, como nos condutos de esgotos ou galerias pluviais. 
Neste caso, o escoamento se processa necessariamente por gravidade. 
 Classificação dos canais 
- Naturais – São os cursos de água existentes na natureza, como as pequenas correntes, 
córregos, rios, estuários, etc. 
- Artificiais – De seção aberta ou fechada, construídos pelo homem, como canais de 
irrigação, de navegação, aqueduto, galerias etc.. 
- Prismáticos – Os canais são ditos prismáticos se possuírem ao longo do comprimento 
seção reta e declividade de fundo constante. 
 
 
 
 
 
- Não prismáticos – Casos contrários ao prismático. (Natural) 
 
 
 
 
 
 
- Canais de leito fixo – Parede e fundo são fixas. 
- Canais de leito móvel – Variam ao longo do tempo. 
 
 
 
66 
 
Características do escoamento 
 A variabilidade do escoamento ao longo do tempo e do espaço. 
1 – Quanto à variabilidade no tempo 
- Permanente – Não existe variação no tempo. Há continuidade de vazão, os 
parâmetros hidráulicos da mesma seção não variam. 
 
 
 
 
- Não permanente – Existem variações no tempo. Passagem de uma onda de cheia pelo 
canal, não há continuidade da vazão. 
2 – Quanto à variabilidade no espaço 
- Uniforme – Não existem variações no espaço. 
 
 
 
- Não uniforme ou variado – Existem variações ao longo do espaço. 
V(x1)  V(x2)  V(x3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 Elementos geométricos dos canais 
 
 
 
 
 
 
- Área molhada (A) – É a área da secção reta do escoamento, normal à direção do 
fluxo. 
- Perímetro molhado (P) – É o comprimento da parte da fronteira sólida da seção do 
canal (fundo e paredes) em contato com o líquido; a superfície livre não faz parte do 
perímetro molhado. 
- Raio hidráulico (Rh) – É a relação entre a área molhada e o perímetro molhado. 
 
 
 
 
- Altura da água ou tirante d’água (y) – É a distância vertical do ponto mais baixo da 
seção do canal até a superfície livre. 
- Altura do escoamento da seção (h) – É a altura do escoamento medida 
perpendicularmente ao fundo do canal. 
- Largura do topo (B) – É a largura da seção do canal na superfície livre, função da 
forma geométrica da seção e da altura d‟água. 
- Altura hidráulica média (Hm) – É a relação entre a área molhada e a largura da 
seção na superfície livre. É a altura de um retângulo de área equivalente à área molhada. 
 
 
 
 
- Declividade do fundo (Io) – É a declividade longitudinal do canal. Em geral as 
declividades dos canais são baixas, podendo ser expressas por . 
- Declividade piezométrica (Ia) – É a declividade da linha d‟água. 
- Declividade da linha de energia (IE) – É a variação de energia da corrente no sentido 
do escoamento. 
 
 
68 
 
 Adimensionais 
- Reynolds – 
 
 
 
V – Velocidade média da seção; 
Rh – Raio hidráulico; 
 - Viscosidade cinemática da água. 
 O número de Reynolds permite classificar os escoamentos em três tipos, como 
segue: 
a) Escoamento Laminar Rey < 500; 
b) Escoamento Turbulento Rey > 2000; 
c) Escoamento de Transição 500 < Rey < 2000. 
- Número de Froude – 
 
√ 
, no qual Hm é a altura hidráulica. 
 O número de Froude é utilizado para classificar os escoamentos livres que 
ocorrem nas aplicações práticas em três tipos, como segue: 
a) Escoamento Subcrítico ou Fluvial Fr < 1; 
b) Escoamento Supercrítico ou Torrencial Fr > 1; 
c) Escoamento Crítico, Fr = 1. 
Distribuição de velocidades 
 
 
 
 
 
 
 
 A velocidade média em uma seção longitudinal é calculada, na prática, como 
sendo a média aritmética entre as velocidades pontuais a 0,2h e 0,8h, em que h é a 
profundidade da seção longitudinal, ou aproximadamente igual à velocidade pontual a 
0,4h. 
 
69 
 
 Distribuição de pressão 
 - Escoamento paralelo 
 
 
 
 
 
 
h é a hipotenusa do triangulo. 
 
 
 
 
 
 
 Na maioria dos casos a serem estudados em canais de fraca declividade 
(Io<0,01m/m), abertos ou fechados, existirá a distribuição hidrostática de pressão e a 
linha piezométrica coincidirá com a linha d‟água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Escoamento Permanente e Uniforme 
 Este escoamento só ocorre em condições de equilíbrio dinâmico, isto é quando 
houver um balanceamento entre a força aceleradora e a força de resistência que tente 
sustentar o movimento. 
 A força de resistência depende da velocidade média do escoamento, portanto é 
necessário que esta velocidade atinja um determinado valor para que haja o equilíbrio 
 
 
70 
 
entre essas forças. Também, é necessário que o canal prismático tenha um comprimento 
razoável, declividade e rugosidade constantes, para que haja a possibilidade do 
estabelecimento do escoamento permanente e uniforme fora dos trechos onde exista a 
influência das extremidades de montante e jusante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação √ é conhecida como fórmula de Chézy, em que C é o 
coeficiente de resistência ou coeficiente de rugosidade de Chézy. Esta equação é 
indicada para os escoamentos turbulentos rugosos em canais. A partir da equação de 
Chézy, chegaremos à fórmula de Manning, usada no dimensionamento de canais. 
 Utilizando a equação da continuidade ( ), a equação de Chézy torna-se: 
 √ esta é a equação fundamental do escoamento permanente uniforme em 
canais. 
 Fórmula de Manning 
 Diferentes fórmulas de origem empírica são propostas para o cálculo do 
coeficiente C de Chézy, ligando-o ao raio hidráulico da seção. Uma relação simples, e 
atualmente mais empregada, foi proposta por Manning em 1889, através da análise de 
resultados experimentais obtidos por ele e outros pesquisadores. A relação empírica é da 
forma: 
 
 
 
 substituindo a equação em √ chegamos à 
equação de Manning: 
 
√ 
 
 
 
 Esta equação será base de cálculo para os problemas sobre escoamentos livres. 
 
71 
 
 O “n” é chamando de coeficiente de rugosidade de Manning e encontra-se na 
tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Rodrigo Melo Porto 
 
 
 
72 
 
 Calculo de canais em regime uniforme 
 
 
 
 
 
 Seja uma seção transversal de forma definida e  uma dimensão característica da 
seção, em função da qual são dadas outras dimensões para que se possa desenhar a 
seção. 
 
Onde  e  são chamados parâmetros de forma da seção. Substituindo os 
parâmetros na equação de Manning temos: 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 é chamado coeficiente dinâmico. 
 é chamado coeficiente de forma. 
 
 
 
 
Usado para canal trapezoidal, triangular e retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A forma trapezoidal pode variar em função de dois adimensionais , 
chamado razão de aspecto e a inclinação do talude Z ou Z . 
 Escolhendo para dimensão característica 
 
 
“A” é a área do trapézio: 
 
 
 relacionando temos: 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
Fazendo as devidas simplificações obtemos: 
 
 
 onde então 
“Rh” é o raio hidráulico: 
 
 
 relacionando temos: 
 
( )
 
 √ 
 
( )
 
 √ 
 
Desenvolvendo a expressão obtemos: 
 
 √√ 
 onde então 
 
 √ 
 
 
Portanto: 
 [
 
 √ 
]
 
 
 
( √ )
 
 
 
74 
 
Como 
 [
 
( √ )
 
]
 
 
 Desta forma, a fórmula de Manning pode ser escrita de modo compacto como: 
 
 
 
, onde onde (
 
√ 
)
 
 
 O coeficiente “K” foi tabelado para vários valores de “m” e “Z” e apresentado na 
tabela do anexo (8.2). Nesta tabela, para Z=0 e m=0 têm-se, respectivamente, os valores 
do coeficiente de forma para a seção retangular e triangular. 
Exemplo: 
Canal retangular (Z=0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Canal triangular (m=0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Determinação da altura de d’água 
 Na equação de Manning, substituímos a área e o raio hidráulico. 
 
√ 
 
 
, 
 onde “” e “” são: 
 
 
 √ 
 
Então temos: 
 
√ 
 
 *
 
 √ 
+
 
 
 A equação a cima, desenvolvida e adimensionalizada fica: 
 
 √ 
 (
 
 
)
 ( (
 
 
) )
 
( (
 
 
)√ )
 
 
 Fazendo 
 
 √ 
 , com o valor “Z” e “K2” podemos tirar na tabela do 
anexo (8.3) a relação yo/b. 
 
 Dimensionamento de canais com o critério de máxima eficiência 
 A máxima eficiência esta associada ao mínimo perímetro molhado. 
 Condição de mínimo perímetro molhado. 
 Trapezoidal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
Área do trapézio 
 (*) 
 
Perímetro molhado Substituindo “a” por √ temos: 
 ( √ 
 ) (**) 
 
Observação a Área (A) e a inclinação do talude (Z) são constantes. 
 
Da expressão (*) isola-se o “yo” 
√ 
√ 
 
 
Substitui “yo” na expressão (**) 
√ 
√ 
( √ ) 
 
Derivando a expressão do “P” em relação à “m” e igualando a zero, (
 
 
 ) 
temos a condição de mínimo perímetro molhado para seção trapezoidal. 
 (√ ) 
A condição de mínimo perímetro molhado para a seção retangular é obtida 
substituindo na expressão a cima o valor de Z=0, obtemos assim o valor de m=2, ou 
seja, o dimensionamento de um canal retangular na condição de mínimo perímetro 
molhado se faz com a largura da base igual ao dobro da altura. 
Para o canal triangular simétrico, um desenvolvimento algébrico semelhante 
fornecerá a condição de mínimo perímetro molhado. 
 
77 
 
Seção Circular 
Utilizada em projetos de sistemas de esgotos sanitários e galerias pluviais, um 
desenvolvimento adimensional análogo pode ser realizado. De acordo com a notação da 
figura podemos expressar as seguintes relações geométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo como dimensão característica da seção circular =D, diâmetro da 
seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
Portanto: 
 
 
 
*
 
 
+
 
 
Finalmente, o coeficiente de forma da seção circular é dado por: 
 
 {
 
 
*
 
 
+
 
}
 
 
 
78 
 
Desta forma, a fórmula de Manning para a seção circular, de modo condensado, 
torna-se: 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 (
 
√ 
)
 
 
 
 
 
 
 como então 
 
 
 
Dando-se valores à relação , lâmina relativa, pode-se calcular os 
correspondentes valores de  e daí os valores de K1, pela equação a cima descrita, com 
os quais se montou a tabela do anexo (8.1) 
Elementos hidráulicos da seção circular 
É interessante conhecer os elementos hidráulicos e geométricos para várias 
alturas d‟água. Também é necessário saber, para uma determinada lâmina d‟água, qual é 
a relação entre a vazão que está escoando e aquela que escoaria se a seção fosse plena. 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Pela fórmula de Manning, as relações entre as velocidades e entre as vazões, em 
que Vp e Qp são, respectivamente, a velocidade e a vazão na seção plena, são dadas por: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
Como para a seção plena de um conduto circular tem-se 
 e 
 as equações a cima ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
Estas relações foram postas em forma gráfica, como na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos hidráulicos da seção circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
As relações também foram colocadas na tabela como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos hidráulicos da seção circular. 
 
 À medida que a lamina de água aumenta, há um aumento gradual da área 
molhada e do perímetro molhado. Entretanto, a partir de uma certa altura, devido à 
conformação geométrica da cobertura, um pequeno acréscimo na altura d‟água provoca 
aumento proporcionalmente maior no perímetro molhado do que na área molhada. 
 
81 
 
Portanto o raio hidráulico aumenta até uma altura d‟água em que o perímetro molhado 
cresce mais lentamente que a área molhada, e decresce daí em diante. 
 Pode-se observar que a curva de velocidade acusa uma diminuição no 
crescimento no mesmo ponto em que ocorreu a diminuição do raio hidráulico. Isto é 
evidente uma vez que, pela fórmula de Manning, para “n” e “Io” fixados, a velocidade é 
diretamente proporcional ao raio hidráulico. 
 V =Vmáx, quando  = 257
o
, que corresponde a yo = 0,81D. 
 Q = Qmáx, quando  = 302,5
o
, que corresponde a yo = 0,94D. 
 Isto mostra que os máximos ocorrem em alturas diferentes e que a vazão 
máxima no conduto livre circular não ocorre quando a seção é plena. Para propósitos 
práticos, esta particularidade não é explorada porque a altura da lâmina na seção de 
máxima vazão é tão próxima do diâmetro que, se houver qualquer instabilidade o 
escoamento, o conduto passa a funcionar à seção plena como conduto forçado. 
 Nos projetos usuais, o limite da lâmina é fixado em yo = 0,75D. 
 
82 
 
UNIDADE 10 
 Energia ou carga específica 
Muitos fenômenos que ocorrem em canais podem ser analisados utilizando-se o 
princípio da energia. 
Conceito: Em 1912, Bakneteff, engenheiro russo introduziu o Conceito de Energia ou 
carga específica, com sendo a energia (carga) disponível em uma seção, tomando como 
plano de referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal, naquela seção. 
Em outras palavras, a energia é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de 
energia, o que corresponde a fazer Z=0 na equação abaixo. 
 
Equação da Energia Total por 
Unidade de Peso. 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito de energia é simples e de extrema importância para estudar os 
problemas de escoamentos através de singularidade em canais, como alteração da cota 
de fundo, alargamentos e estreitamentos. 
Fazendo Z = 0, na equação da energia total por unidade de peso, temos: 
 
 
Portanto, a energia específica em uma seção do canal é a soma da altura d‟água 
com a carga cinética. 
Podemos expressar a equação da energia específica da seguinte forma: 
 
83 
 
 Sendo 
 
Logo para uma dada seção do canal e para uma dada vazão, a energia específica 
é função só da geometria e em particular da altura d‟água. 
Para uma melhor compreensãodo conceito de energia específica, é conveniente 
iniciar o estudo pelo escoamento em um canal retangular e supondo que o coeficiente de 
Coriolis seja igual à unidade. 
Supondo um canal retangular e  = 1 
 
 Assim: 
 
  
 
 
Como o canal é de seção retangular podemos utilizar o conceito de vazão 
específica ou vazão unitária. 
 
 q é Vazão por unidade de largura 
 
  
 
Temos então: 
 
Considerando que E varia com y, para um dado valor constante de q, pode-se 
construir um gráfico da equação anterior no plano e E-y. 
A equação acima pode ser imaginada como sendo a somo de duas funções: 
E = A + B 
84 
 
Sendo: 
A = y, que é uma reta de 45
o
. 
 , que é uma curva do tipo hiperbólico. 
 
Como condições de contorno, tem-se: 
Se y  0, A  0, B    E = B   
Se y  , B  0, A    E = A = y   
Isto indica que a curva y x E tem duas assíntotas, uma ao eixo das abscissas 
E=B e outra à bissetriz dos eixos coordenados, E=y. 
Assim, somando graficamente a reta a 45
o
 e a hipérbole, chega-se ao gráfico a 
seguir. 
Relação altura d’água-energia específica (vazão constante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hidráulica Básica- Rodrigo de Melo Porto 
 
É também de interesse prático o estudo de como a vazão unitária q varia com a 
altura d‟água y para uma dada energia específica constante, E = Eo . 
A equação 
 
 
 pode ser escrita como: 
   
 
 
85 
 
Aqui, também pode-se traçar um gráfico y x q, observando-se que as condições 
de contorno são: 
Se y  0, q  0 (não há água) 
Se y  Eo, q  0 (há água em condição estática) 
Isto mostra claramente que deve haver um valor máximo de q para algum valor 
de y entre 0 e Eo. A curva tem o aspecto apresentado na figura a seguir. 
Relação altura d’água-vazão (energia específica constante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hidráulica Básica- Rodrigo de Melo Porto 
 
Com referência ao gráfico, Relação altura d’água-energia específica, pode-se 
observar que, para cada nível de energia prefixado, existem duas possibilidades de 
veicular uma vazão q no canal retangular. O escoamento pode se dar com uma altura 
d‟água y1, que corresponde à raiz da equação 
 
 
 que se encontra no ramo 
inferior da curva, ou pode se dar com uma altura d‟água y2, que corresponde à raiz da 
mesma equação que se encontra no ramo superior da curva. Estes dois escoamentos têm 
características bem diferentes, o de altura y1 é chamado de escoamento rápido, 
torrencial ou supercrítico e o de altura d‟água y2 é chamado de escoamento lento, 
fluvial ou subcrítico e as profundidades y1 e y2 são chamadas de profundidades 
alternadas ou correspondentes. 
 
86 
 
Os dois gráficos tem um ponto em comum, que é o de Energia Mínima ou Vazão 
Máxima. Evidentemente, estes pontos são correspondentes, já que ambos os gráficos 
são a representação da mesma equação. 
A profundidade associada a estes pontos é denominada de Profundidade Crítica 
yc. 
Sintetizando podemos concluir que: 
1) Se y > yc  V < Vc , escoamento subcrítico; 
2) Se y < yc  V > Vc , escoamento supercrítico; 
3) Se y = yc  V = Vc , escoamento crítico; 
4) Uma diminuição no nível de energia específica disponível provoca um 
abaixamento na linha d‟água, no escoamento fluvial e uma elevação no 
escoamento torrencial. 
 
Escoamento Crítico 
O escoamento crítico é definido como o estágio em que a energia específica é 
mínima para uma dada vazão ou o estágio em que a vazão é máxima para uma dada 
energia específica. 
Diferenciando a equação tem-se: 
 
 como e 
 
  
 
Número de Froude 
É um adimensional muito utilizado em estudos de canais, definido como a raiz 
quadrada da relação entre a força de inércia e a força da gravidade, e expresso por: 
 
 
87 
 
Lc é uma dimensão característica do escoamento. Nos canais é comum definir 
como dimensão característica a altura hidráulica da seção. 
Assim 
 
 
Para seção retangular  
 
Substituindo na equação temos: 
 
 
 
Estudando o sinal da derivada da equação anterior, pode-se escrever: 
 
Se  Fr < 1 (Regime Fluvial) 
 
Se  Fr > 1 (Regime Torrencial) 
 
Se  Fr = 1 (Regime Crítico) 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico do sinal da derivada 
 
88 
 
Para o regime crítico temos as expressões abaixo relacionadas: 
 
 Fr
2
 = 1 
 
  então 
 
yc é chamado altura crítica. 
Em continuação, a energia específica mínima ou energia específica crítica pode 
ser desenvolvida da seguinte forma: 
 
 Energia 
 
Energia mínima esta relacionada com a altura crítica. 
 
 
 
  
Substituindo q
2
 em Emín 
 
  ou 
 
Assim podemos expressar a altura crítica como sendo 
A velocidade crítica Vc pode ser calculada a partir da expressão da vazão 
unitária. 
  
 
89 
 
   
 
 
 
Outro parâmetro importante a ser analisado é a declividade crítica Ic, declividade 
de um longo canal em que ocorre o escoamento uniforme crítico. Para um canal 
retangular de grande largura, pode-se aproximar o raio hidráulico pela altura d‟água. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
A partir da equação de Manning podemos chegar à equação da declividade 
crítica. 
   
 
 como 
 
  
 
 
 
 
90 
 
Se: 
Io < Ic  Escoamento uniforme subcrítico “fraca declividade” 
Io > Ic  Escoamento uniforme supercrítico “forte declividade” 
 
Seções de controle 
É importante em hidráulica dos canais o conhecimento de seções nas quais 
alguma característica determina uma relação entre altura d‟água e vazão. Tais seções 
são chamadas de seção de controle, porque controlam as profundidades do escoamento 
em trechos do canal a sua montante ou a sua jusante, dependendo do tipo de escoamento 
que está ocorrendo. Para o regime crítico, pode ser estabelecida uma relação entre altura 
d‟água e vazão, portanto uma seção crítica é uma seção de controle. As maneiras como 
estas seções influenciam no escoamento são as mais variadas possíveis. O conceito pode 
ser exemplificado através de uma estrutura de transbordamento de um reservatório 
mantido em nível constante, constituído por um vertedor de crista espessa como mostra 
a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Esquema – Conceito de seção de controle 
Considerando, para simplificar, que a estrutura seja retangular de largura b e 
relativamente curta para que a perda de carga entre a seção de entrada e a queda livre a 
jusante seja desprezível, duas situações são analisadas. 
a) Quando a comporta de controle a jusante estiver totalmente fechada, não 
haverá escoamento e a água estará parada, com altura y = Eo (energia 
específica disponível), situação correspondente ao ponto A da curva de 
vazão. Abrindo-se parcialmente a comporta até a posição B, ocorrerá uma 
 
91 
 
pequena vazão e a altura d‟água no vertedor cairá, pois haverá transformação 
de energia potencial em cinética. Continuando a abrira comporta de jusante, 
a vazão vai crescendo e a altura d‟água y, diminuindo, até que se atinja o 
valor da vazão máxima dada pela equação √
 
 
√ , e compatível 
com a energia disponível Eo, cuja profundidade correspondente é a crítica, 
ponto C curva de vazão. A partir desta situação, a comporta não mais influirá 
no escoamento e a vazão e a altura d‟água não mais se alterarão. 
b) Deixando a comporta de jusante totalmente aberta e operando outra a 
montante, como indicado pontilhado na figura, quando esta estiver 
totalmente fechada, a vazão será nula (não há água na estrutura), portanto 
y=0 (ponto D na curva de vazão). Abrindo-se esta comporta crescerão 
continuamente a vazão e a altura d‟água até que se atinja, como no caso 
anterior, a vazão máxima compatível com a energia específica Eo, cuja 
profundidade é a crítica, ponto C da curva de vazão. 
No primeiro caso, que corresponde ao trecho AC da curva de vazão, o elemento 
controlador do escoamento está à jusante da seção correspondente, e o escoamento é 
fluvial. No trecho DC da curva de vazão, o elemento controlador do escoamento está à 
montante da seção correspondente e o escoamento é torrencial. 
Este fato tem uma importância significativa. O regime subcrítico é controlado 
por alguma característica, colocada a sua jusante e as perturbações originadas em 
determinada posição propagar-se-ão para montante. No caso do escoamento 
supercrítico, este é controlado por uma característica, colocada a sua montante. Como 
exemplo das duas situações, tem-se a construção de uma barragem em um rio (regime 
fluvial), condicionando a linha d‟água a sua montante pelo aparecimento de um 
remanso de elevação que se faz sentir à grande distância da barragem, seção de controle, 
ver figura a seguir. Ainda na figura, a seção de controle, barragem, condiciona o 
escoamento torrencial, a sua jusante, pelo vertedor. 
No jargão técnico, costuma-se dizer que o escoamento torrencial “ignora” o que 
está ocorrendo águas abaixo; por exemplo, a descarga do vertedor da figura a seguir não 
é afetada pela existência de um ressalto hidráulico localizado ao pé do mesmo. 
 
92 
 
 
 
 
 
 
Tipos de escoamentos 
 
Aplicações da energia específica em transições 
1 – Contração ou alargamento sem alterar o fundo 
Considere como na figura que segue um canal retangular com largura b1 na 
seção 1 e largura b2 < b1 na seção 2, sem variação na cota do fundo entre as seções. A 
vazão unitária q2 na seção 2 é maior que a vazão unitária q1 na seção 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como b2 < b1  q2 > q1 e como yc2 > yc1 
 
Considerando o escoamento na seção 1fluvial, podemos observar na figura que 
segue, a altura d‟água compatível com a energia disponível E1 = cte, vale y1 (ponto A). 
A altura d‟água na seção 2 é menor que y1 e maior que yc e corresponde ao ponto B, 
pois E1 = cte. Considerando o escoamento na seção 1 torrencial, a altura d‟água 
compatível com a energia disponível E1 = cte vale y1
*
 (ponto A
*
). A altura d‟água na 
seção 2 é maior que y1
*
e menor que yc e corresponde ao ponto B
*
. 
 
 
 
 
93 
 
Portanto, a altura d‟água decresce se o escoamento a montante for fluvial e 
cresce se for torrencial, sem haver, em cada caso, mudança de regime. 
Se a largura da seção 2 for reduzida ainda mais, aumentando a vazão unitária, 
até que a reta E1 = cte tangencie a curva da energia específica desenhada para a vazão 
qc2, a altura d‟água nesta seção será a altura crítica, independente do tipo de escoamento 
na seção 1 ser fluvial (AC) ou torrencial (A
*
C). Trata-se portanto, de uma situação 
limite na qual a energia disponível em 1 ainda é suficiente para veicular a vazão. 
Reduzindo-se ainda mais a largura em 2, conforme a figura que segue, a reta E1 = cte 
não cortará a curva da energia desenhada para q2 > qc2, portanto não há solução 
matemática para o problema físico, nas condições de montante. Supondo que o 
escoamento em 1 seja fluvial, as perturbações originadas pela transição propagar-se-ão 
para montante e a altura d‟água deverá ajustar-se por si mesma, até que condições 
críticas sejam produzidas na seção 2, seção de controle. Em outras palavras, haverá 
alterações nas condições de montante pelo aparecimento de uma curva de remanso com 
a altura d‟água na seção 1 aumentando para o valor y1
+
, ponto A
+
, até atingir uma 
energia, necessária para veicular a vazão unitária q2 > qc2 condizente com a largura da 
seção 2, b
+
 < bc. Nesta situação, o escoamento passará de fluvial a montante da 
transição para crítico na transição e, na sequência, para torrencial, retornando ao 
escoamento fluvial através de um ressalto hidráulico se, a jusante, o canal for de fraca 
declividade. Desta forma, a condição limite de largura na seção 2, para que o 
escoamento se processe sem que sejam alteradas as condições de montante, é que o 
escoamento na seção 2 seja crítico e não haja elevação da linha de energia a montante. 
Se o escoamento na seção 1 for torrencial e a largura em 2 for menor que a 
largura limite, haverá a formação de ressalto hidráulico a montante da transição e a 
perda de energia que ocorre no ressalto torna impossível analisar o problema usando 
somente o diagrama de energia específica y x E. 
 
 
 
 
 
94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico y x E 
 
Observação: No subcrítico  abaixamento da linha d‟água 
 No supercrítico  elevação da linha d‟água 
 
2 – Elevação ou abaixamento do fundo do canal (degrau) 
Considere como na figura abaixo, um canal retangular de largura constante, 
portanto com vazão unitária q constante, no qual, em uma determinada seção, há uma 
elevação no fundo de altura ∆Z. Desprezando as perdas de carga, a equação da 
conservação da energia entre as seções 1 e 2 é escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
Deve ser observado que a energia específica E é sempre medida na seção em 
relação ao fundo do canal. Como no caso da transição devida a uma redução na largura, 
serão analisadas duas condições iniciais na seção a montante, seção 1. 
Considerando o escoamento na seção 1 fluvial, na figura a seguir, a altura d‟água 
compatível com a energia disponível E1 vale y1 (ponto A). A altura d‟água y2 na seção 2 
é menor que y1 e maior que yc e corresponde ao ponto B, pois E2 = E1 - ∆Z. 
Considerando o escoamento na seção 1 torrencial, na mesma figura, a altura d‟água 
compatível com a energia disponível E1 vale y1
*
 (ponto A). A altura d‟água na seção 2 é 
maior que y1
*
 e menor que yc e corresponde ao ponto B
*
. Portanto, a altura d‟água 
decresce se o escoamento for fluvial e cresce se for torrencial, sem haver, em cada caso, 
mudança de regime. 
Se a altura ∆Z na seção 2 for aumentada ainda mais, até que a reta E2 tangencie a 
curva da energia específica desenhada para a vazão q = cte. (∆Z = ∆Zc e E2 = Ec), a 
altura d‟água nesta seção será a altura crítica, independente do tipo de escoamento na 
seção 1 ser fluvial (AC) ou torrencial (A
*
C). Trata-se, portanto, de uma situação 
limite na qual a energia disponível em 2 ainda é suficiente para veicular a vazão. 
Aumentando-se ainda mais o nível do fundo em 2, conforme a figura, a reta E2 estará à 
esquerda da reta Ec e não cortará a curva da energia desenhada para q = cte., portanto 
não há solução matemática para o problema físico nas condições iniciais de montante. 
Supondo que o escoamento em 1 seja fluvial, as perturbações originadas pela transição 
propagar-se-ão para montante e a altura d‟água deverá ajustar-se por si mesma, até que 
condições críticas sejam produzidas na seção 2, seção de controle. Em outras palavras, 
haverá alterações nas condições de montante pelo aparecimento de uma curva de 
remanso com a altura d‟água na seção 1 aumentada para o valor y1
+
, ponto A
+
, até 
atingiruma energia E1
+
 = Ec + ∆Z
+
, necessária para veicular a vazão unitária q 
condizente com a altura de fundo da seção 2, ∆Z
+
 > ∆Zc. Nesta situação, o escoamento 
passará de fluvial a montante da transição para crítico na transição e, na sequência, para 
torrencial, retornando ao escoamento fluvial através de um ressalto hidráulico se, a 
jusante, o canal for de fraca declividade. Desta forma, a condição limite de elevação de 
fundo na seção 2, para que o escoamento se processe em que sejam alteradas as 
condições de montante, é que o escoamento na seção 2 seja crítico e não haja elevação 
da linha de energia. 
96 
 
Se o escoamento na seção 1 for torrencial e ∆Z > ∆Zc, haverá a formação de uma 
ressalto hidráulico a montante da transição e a perda de energia que ocorre no ressalto 
torna impossível analisar o problema usando somente o diagrama de energia específica 
y x E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico y x E 
 
Observação: No subcrítico  redução da profundidade 
 No supercrítico  elevação da profundidade 
 
Z > Zmáx  E2 = Emín  Seção 1 será alterada 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
3 – Contração da seção e elevação do fundo 
É a soma dos dois efeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Canais de forma qualquer 
As propriedades e características desenvolvidas na análise dos escoamentos na 
seção retangular podem ser generalizadas para canais de forma qualquer (trapezoidal, 
circular, triangular, parabólica etc.), e observando que para seções irregulares, seguindo 
a definição de energia específica, o referencial deve passar no ponto mais baixo da 
seção e a distribuição hidrostática de pressão deve ser preservada. 
Pela equação 
 
 
 , para =1, a equação da energia específica em 
uma determinada seção é dada por: 
 
 
 
 
Para Q = cte., a condição de escoamento crítico é obtida como antes, 
diferenciando a equação anterior em relação à altura d‟água y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A variação da área molhada A com a altura y pode ser obtida utilizando-se a 
notação da figura a seguir. 
 
 
98 
 
 
 
 
 
 
Sendo B a largura da seção na superfície livre, tem-se dA = Bdy e assim: 
 
 
 
 
 
 
Observe que a equação a cima é a correspondente da equação 
 
 
 
 
 
, para 
seção retangular, e que essa a ser um caso particular da equação a cima desenvolvida. 
Nas condições de regime crítico, dE/dy = 0, portanto: 
 
 
 
Equação importante cuja raiz é a profundidade crítica para a seção em questão. 
A relação A/B foi definida como a altura hidráulica ou média da seção e, desta 
forma a expressão do número de Froude pode ser generalizada, em termos da vazão, na 
forma: 
 
 
 
 
Combinando as equações, pode-se estabelecer a relação entre a energia mínima 
Ec, em um canal de forma qualquer, e a geometria do escoamento. Na condição de 
regime crítico. 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 em 
 
 
 temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
Que substituída em 
 
 
 fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação geral que torna a equação 
 
 
 
 
 
 , um caso particular 
e mostra que a carga cinética no regime crítico é metade da altura hidráulica da seção. 
 
Problemas típicos 
A determinação dos parâmetros do escoamento crítico, vazão, altura d‟água, 
energia mínima, largura do fundo etc. é facilmente alcançada quando a seção é 
retangular. Para a seção trapezoidal e circular, a complexidade geométrica torna mais 
difícil tal determinação e, desta forma, é necessário desenvolver gráficos para facilitar o 
cálculo, em vários tipos de problemas. 
A determinação das condições críticas em um canal trapezoidal será feita com 
auxílio de um ábaco mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
Primeiro Caso: 
Determinação da altura crítica em um canal trapezoidal, conhecendo-se a vazão 
(Q), a largura de fundo (b) e a inclinação do talude (Z). 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo numérico: 
 
 yc = ? 
 Q = 90 m
3
/s 
 b = 10 m 
 Z = 2 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
 
 = 0,257  Entramos no ábaco acima, vamos até a curva  e tiramos no lado 
direito o valor de . 
 
 = 2,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yc = 1,789 
 
 
 
 
101 
 
Segundo Caso: 
Determinação da altura crítica em um canal trapezoidal, conhecendo-se a vazão 
(Q), a energia mínima (Ec), e a inclinação do Talude (Z). 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
Exemplo numérico: 
 
 yc = ? 
 Q = 40 m
3
/s 
 Ec = Emín= 2,50 m 
 Z = 2 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 = 0,228  Entramos no ábaco acima, vamos até a curva  e tiramos no lado 
esquerdo o valor de . 
 = 0,755 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
Terceiro Caso: 
Determinação da altura crítica em um canal trapezoidal, conhecendo-se, a 
energia mínima (Ec), e a inclinação do Talude (Z), a base do canal (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
Exemplo numérico: 
 
 yc = ? 
 Ec = Emín = 2,40 m 
 Z = 2 
 b = 5,6 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  = -0,635 (não serve) e  = 0,735 
 
 
 
 
Com o valor de  no ábaco, vai até a curva  e tira o valor de . 
 = 0,37 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
A determinação das condições críticas em um canal circular será feita com 
auxílio dos ábacos apresentados a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
Quarto Caso: 
Dimensionar uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro que escoa uma 
determinada vazão, em regime uniforme, funcionando na seção de máxima velocidade. 
Qual deve ser a declividade de fundo para que este escoamento seja crítico? Determine 
a capacidade de vazão da galeria nestas condições. Adote n = 0,014. 
 
Velocidade Máxima yo/D = 0,81 yo = yc (pág. 50) 
 
Com a relação yc/D = 0,81 entramos no ábaco “altura crítica em canais 
circulares” (pág. 73) 
 
 
 
 
 
Novamente com a relação yc/D entramos na tabela da página 74 e retiramos as 
relações: 
 
 
 
 
 
 
 
Se de D = 1m, então A = 0,6815 e Rh = 0,3043. 
 
Aplicando a equação de Manning: 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
107 
 
UNIDADE 11 
Ressalto hidráulico 
O ressalto hidráulico ou salto hidráulico é o fenômeno que ocorre na transição de 
um escoamento torrencial ou supercrítico para um escoamento fluvial ou subcrítico. O 
escoamento é caracterizado por uma elevação brusca no nível d‟ água, sobre uma 
distância curta, acompanhada de uma instabilidade na superfície com ondulações e 
entrada de ar do ambiente e por uma consequente perda de energia em forma de grande 
turbulência. 
Ocorrência: 
a) Saída de comporta plana vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mudança de declividade de canal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
c) Pé de vertedor de barragem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ressalto estacionário fica confinado entre duas seções, uma a montante, onde o 
escoamento é torrencial, e outra a jusante, onde o escoamento é fluvial, nas quais a 
distribuição de pressão é hidrostática. As alturasd‟água destas seções, y1 e y2, são as 
alturas ou profundidades conjugadas do ressalto. A diferença, y2 - y1, chama-se altura 
do ressalto e é um parâmetro importante na caracterização do ressalto como dissipador 
de energia. A diferença de cotas na linha de energia E chama-se perda de carga no 
ressalto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação do Ressalto Hidráulico 
 
 
 
 
109 
 
Classificação do tipo de ressalto 
A figura a seguir estabelece uma classificação do tipo de ressalto em função do 
número de Froude na seção a montante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de ressaltos hidráulicos em função do número de Froude a montante 
 
No ressalto ondulado, a transição entre o escoamento torrencial e o fluvial ocorre 
de modo gradual e as perdas de carga são essencialmente devidas ao atrito nas paredes e 
fundo. 
O ressalto fraco ainda tem aspecto ondular, mas com zonas de separação na 
superfície líquida, e as perdas da carga são baixas. Em geral, para Fr1 < 2,5, não se 
considera o fenômeno como ressalto propriamente dito. 
Para 2,5 < Fr1 < 4,5 , o ressalto já se apresenta sob seu aspecto típico. Nesta 
faixa o ressalto tem a tendência de se deslocar para jusante, não guardando posição 
junto à fonte geradora. 
O ressalto ordinário ou ressalto estacionário, é aplicado como dissipador de 
energia em obras hidráulicas. Para números de Froude na faixa entre 4,5 e 9,0, a energia 
varia entre 45 % e 70 % de energia disponível a montante. 
Para Fr1 > 9, que caracteriza o ressalto forte, em geral não é utilizado nas 
construções hidráulicas devido a efeitos colaterais sobre as estruturas de dissipação, 
como processos abrasivos ou mesmo cavitação. 
 
 
 
110 
 
Força específica 
Como problema importante no estudo do ressalto, apresenta-se aquele relativo 
ao relacionamento das alturas conjugadas, para uma dada geometria do canal e uma 
dada vazão. Por ser o escoamento bruscamente variado, acompanhado de uma brusca 
mudança na força hidrostática, seu estudo deverá ser feito a partir do teorema da 
quantidade de movimento, aplicado ao líquido confinado ao volume de controle 
limitado pelas seções nas quais ocorrem as alturas conjugadas. 
Supondo um canal de fraca declividade e observando que a componente do peso 
e a força tangencial nas paredes e fundo são opostas e de pequenas magnitudes, pode-se 
desprezá-las com o intuito de obter uma expressão simples. Assim, sobre o volume de 
controle atuarão as forças de distribuição de pressão nas seções 1 e 2 da figura 
anteriormente apresentada. Desta forma, tem-se, para escoamento unidimensional: 
 
 ou 
 
 
 
 
 
Da Estática dos Fluídos, a força de pressão sobre uma área plana é dada por: 
 ̅̅̅̅ , em que, ̅ é a distância vertical desde a superfície livre até o centro de 
gravidade da seção molhada. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
111 
 
Na equação anterior, para um dado valor de Q, os demais termos são funções da 
altura d‟água y. 
Definindo como força específica ou, como impulsão total a função: 
 
 
verifica-se que, no ressalto hidráulico estacionário, esta função assume o mesmo 
valor a montante e a jusante, isto é: 
 
 
Colocando-se em gráfico a altura d‟água y contra a força específica F, para 
uma dada geometria do canal e vazão, obtém-se a curva de força específica que possui 
as seguintes propriedades: 
a) se y  0  F   e a curva assintótica ao eixo das abscissas; 
b) se y    F   e a curva estende-se indefinidamente para a direita; 
c) se y = yc , F passa por um mínimo, qualquer que seja a forma do canal; 
d) para um dado valor da força específica F, a curva apresenta duas alturas y1 e 
y2 , que são as alturas conjugadas do ressalto. 
A terceira propriedade da curva da força específica pode ser facilmente deduzida 
observando a figura a seguir, diferenciando a equação abaixo e igualando a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
112 
 
Curva da força específica 
Assim: 
 
 
 
 
 ̅ é a própria área. 
 
  
 
A raiz da equação é y=yc, portanto no regime crítico de escoamento a força 
específica é mínima, para uma dada vazão, qualquer que seja a forma do canal. 
 
Canais Retangulares: 
Para uma seção retangular, a equação que segue, 
 
 
Pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
Como y1  y2 , tem-se: 
 
 
Dividindo por y1
3
 , fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
 
  
 
 
 
Como para haver ressalto y2 / y1 > 1 tem-se: 
 
 
Equação essa que fornece a relação entre as alturas conjugadas em função do 
número de Froude na seção de montante, em canais retangulares. 
Se somente as condições de jusante, seção 2, forem conhecidas, um 
desenvolvimento análogo leva a: 
 
 
Então, se a altura e a velocidade média do escoamento forem conhecidas em um 
dos lados do ressalto, os correspondentes valores do outro lado podem ser determinados 
usando-se as equações anteriores. 
Para que o ressalto ocorra é necessário que y2 > y1 , portanto: 
 
 
Logo: 1 + 8Fr1
2 
 > 9  Fr1
2
 > 1  Fr1 > 1 
Da onde se conclui que só haverá ressalto se o escoamento a montante da 
singularidade for torrencial. 
É importante observar que esta condição não é necessária, isto é, se o 
escoamento for torrencial e a singularidade produzir a altura requerida y2 no regime 
fluvial, o ressalto se forma; se não, o escoamento continua torrencial, sem a formação 
do ressalto. Isto é válido qualquer que seja a forma da seção. 
 
 
 
 
 
 
114 
 
Canais não retangulares: 
Para canais trapezoidais, circulares, triangulares ou parabólicos, podem ser 
desenvolvidas, a partir da equação abaixo, expressões adimensionais que relacionam as 
alturas conjugadas com o número de Froude na seção em que o escoamento é torrencial. 
 
 
Profundidades conjugadas para canais retangulares, trapezoidais, triangulares, 
observar figura a seguir. 
O gráfico da figura a seguir, apresenta curvas para a determinação da relação das 
alturas conjugadas para canais trapezoidais e triangulares. Para os canais trapezoidais as 
curvas são apresentadas em função do adimensional k, razão de aspecto da seção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Alturas Conjugadas 
 
Onde Z é a inclinação dos taludes e b é a largura de fundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
115 
 
Perda de carga no ressalto 
A perda de carga no ressalto é igual à diferença de energia antes e depois do 
salto. Desta forma: 
 
 
No caso particular do canal retangular, a equação anterior pode ser desenvolvida, 
chegando-se a: 
 
O que mostra que a perda de carga aumenta consideravelmente com a altura do 
ressalto ( y2 - y1 ). 
Se a perda de carga no ressalto pode ser calculada a partir de uma expressão 
deduzida analiticamente, o mesmo não se dá com o comprimento do ressalto, distância 
entre a seções em que, para canais retangulares, o comprimento Lj de um ressalto 
estacionário é bem definido e se situa normalmente entre 5 e 7 vezes o valor de sua 
altura ( y2 - y1 ) , ou, o comprimento é da ordem de 6y2. 
A figura abaixo apresentada, mostra o gráfico adimensional do comprimento do 
ressalto, em canais retangulares, em função do número de Froude na entrada do ressalto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características do ressalto. Canais retangulares 
 
 
 
 
116 
 
UNIDADE 12 
Escoamento permanente gradualmente variado 
O escoamento permanente é gradualmente variado quando os parâmetros 
hidráulicos variam de uma maneira progressiva ao longo da corrente. 
Assim, a construção de uma barragem em um canal de fraca declividade, por 
exemplo, interfere no tirante d‟água criando uma sobrelevação do nível da água que 
pode ser sentida a quilômetros da barragem, a montante da corrente. A nova linha 
d‟água originada a montante da barragem é chamada de Curva de Remanso. Sendo y a 
altura d‟água em uma determinadaseção no escoamento variado e yo a altura d‟água no 
escoamento uniforme, a diferença y - yo é chamada de remanso. 
 
 
 
 
 
 
 
y = altura d‟água no escoamento variado 
yo = altura d‟água no escoamento uniforme 
y - yo = remanso, (y - yo) pode ser positivo ou negativo 
Objetivo do estudo das curvas de remanso 
a) Formato das curvas de remanso 
b) Conhecer o perfil d‟água 
 y = y(x) 
Equação diferencial do escoamento gradualmente variado 
A equação diferencial de tal movimento pode ser deduzida utilizando-se 
algumas hipóteses simplificadoras: 
a) a declividade pequena, tal que: y = d cos y = d 
 
117 
 
 
 
 
 
 
b) canal é prismático, isto é, qualquer seção é constante em forma e dimensão; 
c) a distribuição de velocidades em uma seção é fixa; 
  = 1(1,01 - 1,12) 
d) a distribuição de pressão é hidrostática numa seção, isto é, linhas de corrente 
são paralelas 
À luz destas hipóteses e utilizando-se da figura abaixo, determina-se a equação, 
para uma seção qualquer, como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos do escoamento variado 
A energia disponível por unidade de peso do líquido, em uma seção S, em 
relação a um referencial arbitrário, vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
 
Diferenciando a equação anterior com respeito a x, abscissa medida ao longo do 
canal e orientada no sentido do escoamento, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Observando que a derivada dH/dx é sempre negativa, devido à orientação de x, e 
que vale dH/dx=-If, em que If é a declividade da linha de energia, e que dz/dx, definida 
como o seno do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal, também é negativa e 
igual a dz/dx=-Io, em que Io é a declividade de fundo, a cima descrita torna-se: 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
119 
 
  
 
 
 
 Equação Diferencial do Movimento Permanente 
Gradualmente Variado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos Perfis 
If = J = Perda de carga = inclinação da linha piezométrica 
Utilizando uma das equações de resistência do escoamento permanente e 
uniforme: Por exemplo: Manning: 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120 
 
Para a discussão das propriedades e características das curvas de remanso é 
necessário analisar os sinais do numerador e denominador da equação abaixo e como 
estes sinais são afetados pela magnitude de y. 
 
 
Inicialmente, deve ser observado que o numerador da equação, Io - If, depende 
somente das grandezas relativas da altura d‟água y e da altura normal yo, e que o 
denominador 1-Fr
2
 depende somente dos valores relativos da altura d‟água y e da altura 
crítica yc. A partir da equação de Chézy é fácil ver que If decresce à medida que o 
produto A
2
 x Rh cresce e, como este produto aumenta com o aumento da altura d‟água, 
conclui-se que If deve decrescer com o aumento da profundidade. 
Desta forma, pode-se chegar facilmente às seguintes conclusões: 
Se y = yo  Io = If (escoamento uniforme) 
Se y > yo  Io > If 
Se y < yo  Io < If 
Se y > yc  Fr
2
 < 1 
Se y < yc  Fr
2
 > 1 
Se y = yc  Fr
2
 = 1 (condição critica) 
Estas relações são fundamentais para estudar o sinal da derivada dy/dx e as 
propriedades das curvas de remanso. 
Formas de Curvas de Remanso 
a) Tendências assimptóticas 
a.1) y = yc  Fr = 1  (1-Fr
2
) = 0 dy/dx   
 
 
 
 
 
 
 
 
121 
 
a.2) y = yo  If = Io  dy/dx = 0 
Cálculo de If : manning 
Dado y (da curva de remanso) 
 
 „ Rh 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de curvas de remanso 
Curvas de Remanso são classificadas em função da declividade dos canais. 
 
 Canais de declividade fraca Io < Ic , classe M 
Canais de declividade forte Io > Ic , classe S 
Canais de declividade crítica Io = Ic , classe C 
 
M “Milde slope” 
S “Steep slope” 
C “Critical slope” 
Io = 0 , canais horizontais, classe H “Horizontal slope” 
Io < 0 , canais em aclive, classe A “Adverse slope” 
 
 
 
 
 
Io > 0 
122 
 
Canais de fraca declividade 
Io < Ic , classe M 
yo > yc 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: zona 1 
y > yo > yc Io > If Fr
2
 < 1 (subcrítico) 
dy/dx = (+)/(+) = +  y cresce com x, 
M1 (montante da barragem) 
 
 
Exemplo : zona 2 
y > yc Fr < 1 (1 - Fr
2
) > 0 
y < yo If > Io (Io - If) < 0 
dy/dx = (-)/(+) = -  y decresce com x 
M2 (montante queda brusca) 
 
 
Exemplo: zona 3 
yo > yc > y Io < If Fr
2
 > 1 (supercrítico) 
dy/dx = (-)/(-) = +  y decresce com x 
M3 (jato sob uma adufa formação de ressalto) 
 
 
 
 
 
 
123 
 
Canais de forte declividade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: zona 1 
y > yc > yo Io > If Fr
2
 < 1 (subcrítico) 
dy/dx = (+)/(+) = +  y cresce com x 
Curva S1 
 
 
Exemplo: zona 2 
yc > y > yo Io > If Fr
2
 > 1 (supercrítico) 
dy/dx = (-)/(+) = -  y decresce com x 
Curva S2 
 
 
Exemplo: zona 3 
yc > yo > y Io > If Fr
2
 > 1 (supercrítico) 
dy/dx = (-)/(-) = +  y cresce com x 
Curva S3 
 
 
 
 
 
 
 
124 
 
Canais com declividade crítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: zona 1 
y > yo = yc  Io > If Fr
2
 < 1 (subcrítico) 
dy/dx = (+)/(+) = +  y cresce com x 
Curva C1 
 
 
 
Exemplo: zona 3 
yo = yc > y  Io < If Fr
2
 > 1 (subcrítico) 
dy/dx = (-)/(-) = +  y cresce com x 
Curva C3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 
 
Canais horizontais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: zona 2 
yo =  y > yc e Fr
2
 < 1 (subcrítico) 
dy/dx = (+)/(-) = -  y decresce com x 
Curva H2 
 
 
 
Exemplo: zona 3 
yo =  y > yc e Fr
2 
 > 1 (subcrítico) 
dy/dx = (-)/(-) = +  y decresce com x 
Curva H3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
126 
 
Canais em aclive 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: zona 2 
yo =  y > yc e Fr
2 
< 1 (subcrítico) 
dy/dx = (-)/(+) = -  y decresce com x 
Curva A2 
 
 
 
 
Exemplo: zona 3 
yo =  y < yc e Fr
2 
> 1 (subcrítico) 
dy/dx = (-)/(-) = +  y cresce com x 
Curva A3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
128 
 
BIBLIOGRAFIA 
PORTO, R. M. – Hidráulica Básica. EESC. Projeto Reenge. 2
o
 Edição. 2001. 
HWANG, N. H. C. – Sistemas de Engenharia Hidráulica. Editora Prentice Hall 
do Brasil. 1984. 
ARCHIBALDO MACINTYRE – Instalações Hidráulicas 
AZEVEDO NETO – Manual de Hidráulica