2017 C5 N2 avaliacao

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Lista de Questões – OBMEP NA ESCOLA
Grupo N2 – Ciclo 5
Em 2017 o Planejamento Acadêmico do Programa OBMEP na Escola prevê a realização de atividades avaliativas em forma de listas de questões. A cada ciclo serão elaboradas pelo Comitê Acadêmico listas com 5 exercícios, sendo que três dessas questões são retiradas de provas anteriores da OBMEP, OBM ou do Banco de Questões. Essas três questões devem ser resolvidas pelos alunos em casa e, posteriormente, as soluções são discutidas com os professores. As duas outras questões devem ser resolvidas em sala de aula, como forma de avaliação e de estímulo ao estudo contínuo.
As três questões distribuídas para os alunos em cada ciclo podem ser entendidas como uma espécie de “tarefa de casa”. Entre duas aulas quinzenais com os Professores da Educação Básica (PEB), desejamos que os alunos estudem continuamente, resolvendo pelo menos essas questões, além de assistirem videoaulas no Portal da Matemática, estudarem os bancos de questões, etc.
Não existe uma recomendação explícita para os PEBs recolherem dos alunos as soluções destas três questões, embora isso possa ser feito. Entretanto, existe a recomendação de que, em algum momento, essas questões sejam discutidas e que as dúvidas dos alunos sejam esclarecidas pelos professores. Este momento de discussão será muito mais proveitoso para aqueles alunos que leram, tentaram entender o enunciado e tentaram resolver as questões. Para os alunos que não leram as questões, este momento de discussão será menos proveitoso e, deste modo, esperamos que as discussões coletivas das questões deixadas como “tarefa de casa” motivem que todos os alunos se dediquem para resolverem as tarefas deixadas para casa.
As duas questões resolvidas em sala de aula devem ser corrigidas pelos Professores da Educação Básica (PEB) e as soluções ou os eventuais erros mais frequentes também devem ser discutidos com os alunos. A participação dos alunos nessas questões deve ser entendida como mais um momento de aprendizado. Esta é uma oportunidade para os alunos perceberem as partes dos conteúdos que já entenderam melhor e aqueles conceitos e resultados que ainda precisam de maior dedicação. Para essas duas questões, os professores atribuirão uma nota de 0 a 10 para cada aluno da sua turma.
A seguir fornecemos a lista com as cinco questões referentes aos conteúdos presentes no ciclo 5, as soluções, os critérios de correção e alguns comentários, se for o caso.
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 5
ENUNCIADOS: três questões para serem resolvidas em casa com discussão posterior
Tarefa de casa 1 (Banco de Questões 2010, Nível 3, questão 25, página 73, Adaptado)
Manoel testa sua pontaria lançando cinco flechas que atingiram o alvo nos pontos A, B, C, D e E de coordenadas A=(1;−1), B=(2,5;1), C=(−1;4), D=(−4;−4), e E=(6;5).
A tabela a seguir mostra quantos pontos se ganha quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões de um alvo mapeado num sistema de coordenadas cartesianas. Observe que a pontuação será nula se a flecha acertar fora de qualquer uma dessas três regiões.
(a) Marque os pontos A, B, C, D e E.
(b) Quantas flechas ele acertou no interior do menor círculo?
(c) Ao todo, quantos pontos Manoel fez?
Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP 2005 – 1a Fase – N3 – Questão 10 -Adaptado)
No Brasil, usa-se a escala Celsius para medir temperaturas e, em outros países, usa-se a escala Fahrenheit.
A Escala Fahrenheit foi construída, em 1727, pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit e a escala Celsius construída em 1742, pelo físico e astrônomo sueco Anders Celsius. As comparações do ponto de fusão do gelo e do ponto de vapor da água, sob pressão de 1 atmosfera é vista na figura acima. Observe que intervalo dividido em 100 partes iguais pelo sueco (Celsius) é dividido em 180 partes iguais pelo alemão (Fahrenheit), assim temos a proporção
(a) Determine a função que relaciona as medidas de uma mesma temperatura medida em graus Celsius °C (indicados por ) em função da temperatura medida em graus Fahrenheit °F (indicados por ).
(b) Construa o gráfico da função afim obtida no item (a). Essa função é crescente?
Tarefa de casa 3 (Prova da OBM, primeira fase, nível 2 - 2006)
No fim de 1994, Neto tinha metade da idade de seu avô. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completou em 2006?
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 5
ENUNCIADOS: duas questões para serem resolvidas em sala de aula
Questão 1 
Na figura apresentada a seguir, a reta r é a representação gráfica da função afim 
y = f(x) = a.x + b, em que a e b são constantes. Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 4 cm2 e que as coordenadas cartesianas de C são x=2 e y=0, determine o valor da soma a + b.
Questão 2 
Em um acampamento recreativo para jovens, os instrutores inventaram uma competição curiosa, o jogo “acerte o animal”. São feitas “mímicas” imitando animais e o jogador faz uma tentativa para adivinhar o animal. Cada tentativa custa R$1,00 e quando a pessoa acerta, ela não paga e ainda fica com um crédito de R$ 0,50. Suponha que uma determinada pessoa tenha finalizado o jogo após 12 tentativas, pagando R$ 6,00. Determine o número de vezes que ela acertou.
Sugestão: Considere x igual ao número de acertos e y igual ao número de erros cometidos pela pessoa. Observe como estruturar um sistema nas variáveis x e y representando o texto – base acima. 
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 5
SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS
Solução da tarefa de casa 1:
(a) Os cinco pontos dados estão marcados na figura a seguir.
(b) No círculo menor temos apenas o ponto A, portanto Manoel acertou apenas uma vez neste círculo, o que lhe dá 300 pontos.
(c) Para calcular o total de pontos, observe que pelo ponto B ele ganha 100 pontos, por C ele ganha 50 pontos e, por D, 50 pontos. Entretanto, pelo ponto E, ele não ganha pontos, porque está fora da zona de pontuação. Logo, o número total de pontos que Manoel fez é 300 + 100 + 50 + 50 = 500.
Solução da tarefa de casa 2:
(a) De acordo com o enunciado, a expressão que fornece a temperatura em graus Celsius ( ) em função da temperatura em graus Fahrenheit ( F ) é obtida isolando na expressão dada, que fornece a igualdade
Logo, trata-se de uma função afim com coeficiente angular e coeficiente linear .
(b) O gráfico dessa função é uma reta que passa pelos pontos (32,0)=(32,(32)) e (212,100)=(212,(212)) representada na figura a seguir.
Como seu coeficiente angular é positivo trata-se de uma função crescente.
Solução da tarefa de casa 3:
Suponha que Neto tenha nascido no ano x e seu avô no ano y. Então, as idades de Neto e do avô no final de 1994 são respectivamente e . De modo que podemos escrever
Além disso, perceba que . Portanto, os anos de nascimento satisfazem o sistema em duas incógnitas 
A subtração da segunda equação da primeira fornece a igualdade e concluímos que o sistema tem resposta com x = 1946 e y = 1898. Por fim, em 2006, Neto completou 2006 -1946= 60 anos.
Solução da Questão 1: (resolvida em sala de aula)
Suponha que as coordenadas cartesianas de B sejam B(0,h). Como h = f(0) = a.0 + b, segue que b = h, ou seja, o coeficiente linear de r é b. Logo, a área de ABC é dada por , consequentemente, b=4. Assim, f(x) = a.x + 4 e, então, f(2) = a . 2 + 4 = 0, logo a = – 2. Portanto, a + b= – 2 + 4 = 2.
Critérios de correção da Questão 1: (resolvida em sala de aula)
Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira:
1,0 ponto para determinar que o coeficiente linear de r é b, ou seja, h = b;
2,0 pontos para calcular corretamente o valor b = 4;
2,0 pontos pela obtenção do valor de a e o correto cálculo de a + b = 2.
Solução da Questão 2: (resolvida em sala de aula)
Observe que x + y = 12 (I), equação representativa do número total de tentativas. Por outro lado, para cada acerto o jogador irá ganhar R$0,50 e para cada erro irá perder R$ 1,00, então 0,5.x – y = – 6 (II) é a equação representativa do total do prejuízo. Então, para resolver o sistema formado pelas equações (I) e (II) basta somar membro a membro, obtendo 1,5.x = 6, logo x = 4.
Critérios de correção da Questão 2 (resolvida em sala de aula)
Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira:
1,0 ponto para a determinação da equação x + y = 12 (I);
2,0 pontos para a determinação da equação 0,5.x – y = – 6 (II);
2,0 pontos pela resolução correta do sistema 2 x 2, obtendo x = 4.
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