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CCE0330	– Resistência	dos	Materiais	II
Aula	10	– Colunas
Flambagem
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HIBBELER,	R.	C.	Resistência	dos	materiais.	7.	ed.	São	Paulo:	
Pearson	Prentice	Hall,	2010.	
BEER,	F.	P.; JOHNSTON	Jr.,	R.	Mecânica	dos	Materiais.	7.	ed.	
Mc	Graw-Hill, 2015.	
Material	didático	e	Bibliografia
Propriedades	geométricas	de	superfícies	planas;
- momento	estático	(ou	de	1ª	ordem);
- translação	de	eixos	para	momentos	estáticos;
- determinação	do	baricentro;
- significado	do	momento	do	momento	estático;
- momentos	de	inércia;
- momento	de	inércia	(ou	de	2ª	ordem);	
- momento	polar	de	inércia;
- produto	de	inércia;
- translação	de	eixos	para	momentos	de	inércia;
- rotação	dos	eixos	de	inércia;
- eixos	e	momentos	principais	de	inércia.
Torção
- momento	torsor
- hipóteses	básicas
- Formula	de	torção	para	seções	circulares	ou	tubulares
- Dimensionamento	de	barras	sujeitas	a	torção
- ângulo	de	torção
- Tensões	de	cisalhamento	em	regime	inelástico
- Barras	de	seção	não	circular	maciças
- Barras	de	paredes	esbeltas
CCE0330	– Resistência	dos	Materiais	II
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Flexão	
- tipos	de	flexão;
- equações	de	equilíbrio	entre	momentos	e	cortantes;
- flexão	pura	reta;
- distribuição	de	tensões	em	função	da	curvatura;
- posição	da	linha	neutra;
- distribuição	de	tensões	em	função	do	momento;
- determinação	de	tensões	máximas	e	mínimas,
- módulo	de	resistência;
- material	elasto-plástico	perfeito;
- momento	elástico	máximo;
- momento	último;
Cisalhamento	na	flexão
- tensões	de	cisalhamento	obtidas	pela	variação	de	
momento;
- fluxo	de	cisalhamento;	
- distribuição	de	tensões	de	cisalhamento	para	vigas	
com	seções	simples
- limitações	para	a	formulação	de	cisalhamento	
- distribuição	de	tensões	de	cisalhamento	para	vigas	
seções	com	seções	compostas
- centro	de	cisalhamento
Colunas
- estabilidade	do	equilíbrio
- formula	de	Euler	para	diferentes	condições	de	
extremidade
- Determinação	de	carga	crítica	de	colunas
Colunas
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• Vigas,	barras	ou	colunas	esbeltas	sofrendo	carga	axial	
de	compressão	podem	ficar	instáveis.
• Esta	instabilidade	ocorre	como	uma	deflexão	lateral	
destes	elementos	e	é	conhecida	como	flambagem.
• Deve-se	prever	qual	a	carga	máxima	de	compressão	
que	pode	ser	aplicada	em	uma	estrutura	para	que	não	
ocorra	este	efeito.
• Esta	carga	é	chamada	de	carga	crítica	Pcr.	
• A	estrutura	fica	instável e	pode	ocorrer	colapso.
𝑃 > 𝑃#$
Flambagem	- Colunas
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• É	o	fenômeno	de	instabilidade	ligado	a	
elementos	comprimidos	e	provoca	
deslocamentos	laterais	acentuados	que	
comprometem	a	segurança	do	elemento.
• Como	este	fenômeno	pode	reduzir a	
capacidade	de	carga	de	compressão,	torna-se	
fundamental	seu	estudo.	
• Os	elementos	comprimidos	mais	comuns	são	
barras	de	treliça,	estroncas	e	colunas	(pilares).
Estabilidade	de	estruturas	- Coluna
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• No	projeto	de	colunas	a	área	transversal	é	
selecionada	de	modo	que	a	tensão	admissível	
não	seja	ultrapassada:
• Após	estes	cálculos,	pode	descobrir	que	a	
coluna	é	instável sob	carregamento	e	que	de	
repente	se	torna	acentuadamente	curva	ou	
flamba.
• Deformação	fica	dentro	das	especificações:
M
ec
ân
ica
	d
os
	M
at
er
ia
is,
	B
ee
r&
	Jo
hn
st
on
	e
t	a
l. 𝜎 = 𝑃𝐴 ≤ 𝜎)*+
𝛿 = 𝑃𝐿𝐸𝐴 ≤ 𝛿/01/2í452)
Fórmula	de	Euler	para	Colunas	Biarticuladas
Condições	de	análise:
• Coluna	ideal;
• Carga	aplicada	no	centroide	da	
seção	transversal;
• Vínculos	que	permitem	rotação;
• Considerar	flambagem	no	plano	
de	menor	inércia.
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Fórmula	de	Euler	para	Colunas	Biarticuladas
• Uma	coluna	axialmente	carregada	depois	de	uma	
pequena	perturbação,	o	sistema	atinge	uma	
configuração	de	equilíbrio	de	tal	forma	que:
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• Solução	da	equação	diferencial,	para	as	
condições	de	contorno	quando	x = 0 e	x = L:
𝑀 = 𝐸𝐼	 𝑑:𝑣𝑑𝑥: 𝑀 = −𝑃𝑣𝑀 = −𝑃𝑣 = 𝐸𝐼	 𝑑:𝑣𝑑𝑥: 𝑑:𝑣𝑑𝑥: + 𝑃𝐸𝐼 𝑣 = 0
𝑣 = 𝐶A	𝑠𝑒𝑛	 𝑃𝐸𝐼	� 	𝑥 +	𝐶:	𝑐𝑜𝑠	 𝑃𝐸𝐼	� 	𝑥 𝑥 = 𝐿 → 𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝑳𝟐 𝑬𝑰
𝑥 = 0 → 𝐶: = 0 𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝑳𝟐 𝑬𝑰Carga	crítica:
Fórmula	de	Euler	para	Colunas	Biarticuladas
• A	esbeltez do	elemento	é	o	fator	que	determina	o	
risco	de	flambagem	de	um	elemento	comprimido.	
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• A	esbeltez é	uma	relação	entre	o	comprimento	do	
elemento	e	uma	grandeza	associada	à	seção	do	
elemento,	denominada	raio	de	giração.	Uma	peça	
esbelta	possui	maior	risco	de	flambagem.
I = 𝑟:𝐴• Momento	de	Inércia	(raio	de	giração):
• Índice	de	esbeltez: l= 𝑳𝒆𝒓
• Tensão	crítica: 𝑃2T = 𝜋:𝐿/: 𝐸𝐼 𝑃2T𝐴 = 𝜋:l: 𝐸𝐼 𝝈𝒄𝒓 = 𝝅𝟐l𝟐 𝑬
𝑟: = 𝐼 𝐴⁄• Raio	de	giração:
Tensão	crítica:
Flambagem	- Comprimento	efetivo	𝐿/ = 𝑘. 𝐿
Ajuste	no	comprimento	efetivo	para	outros	vínculos:
• Bi	rotulada:	k = 1,0
• Engastada	e	rotulada:	k = 0,7
• Bi	engastada:	k = 0,5
• Engastada	e	livre:	k = 2
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𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝑳𝒆𝟐 𝑬𝑰 𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝒌𝑳 𝟐 𝑬𝑰𝝈𝒄𝒓 = 𝝅𝟐l𝟐 𝑬l= 𝑳𝒆𝒓
Comprimento	efetivo,	Carga	e	Tensão	admissível
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𝑷𝒂𝒅𝒎 = 𝑷𝒄𝒓𝑭𝑺
𝝈𝒂𝒅𝒎 = 𝝈𝒄𝒓𝑭𝑺Tensão	admissível:
Carga	admissível:
𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝑳𝒆𝟐 𝑬𝑰
Carga	crítica:
𝝈𝒄𝒓 = 𝝅𝟐l𝟐 𝑬Tensão	crítica:
Exemplo	01
A	coluna	uniforme	consiste	de	uma	seção	de	2,4	m	
de	tubos	estruturais	com	a	seção	transversal	
mostrada.	Considere	E=200	Gpa.
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Usando	a	fórmula	de	Euler	e	um	fator	de	
segurança	de	2,	determinar	a	carga	centrada	
admissível para	a	coluna	e	a	tensão	normal	
admissível.𝐴 = 2284	𝑚𝑚:𝐼 = 3,3×10l	𝑚𝑚m𝑟 = 38	𝑚𝑚𝑐 = 50	𝑚𝑚
Exemplo	01	– solução
Comprimento	efetivo	➪ viga	engastada	e	livre:
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𝐴 = 2284	𝑚𝑚:𝐼 = 3,3×10l	𝑚𝑚m𝑟 = 38	𝑚𝑚𝑐 = 50	𝑚𝑚
𝐿/ = 2. 𝐿 = 2× 2,4 = 4,8𝑚 = 4800𝑚𝑚
𝑃2T = 𝜋:𝐿/: 𝐸𝐼
𝐸 = 200	𝐺𝑃𝑎 = 200×10q𝑃𝑎 = 200×10r	𝑁/𝑚𝑚: 1	 𝑁 = 10ur[𝑘𝑁]1	[𝑃𝑎] = 1 𝑁𝑚:1 x+y 	= 10ur x++yCarga	crítica:
𝑃2T = 𝜋:×(200×10r)×(3,3×10l)4800: = 282723,04	𝑁 = 282,72	𝑘𝑁𝑃)*+ = 𝑃2T𝐹𝑆 = 282,722 = 141,36	𝑘𝑁
Tensão	crítica: 𝜎2T = 𝜋:l: 𝐸l= €T𝜎2T = 𝜋:×(200×10r)480038 : = 123,71	𝑘𝑁 𝜎)*+ = 𝜎2T𝐹𝑆 = 123,712 = 61,85	𝑘𝑁
Carregamento	Excêntrico	e	Fórmula	da	Secante
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• Flexão	ocorre	para	qualquer	excentricidade	diferente	de	
zero.	Questão	de	flambagem	é	se	a	deflexão	resultante	
é	excessiva.
• A	deflexão se	torna	infinita	quando	P	=	Pcr
• Tensão	máxima:
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝑷𝑨 𝟏 + 	𝒆	𝒄		𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒄	 𝑳𝒆𝟐𝒓 𝑷𝑬𝑨� 	
𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝒆 𝒔𝒆𝒄 𝝅𝟐 𝑷𝑷𝒄𝒓� − 𝟏
𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝑷𝑨 𝟏 + 	𝒆	𝒄		𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒄	 𝝅𝟐 𝑷𝑷𝒄𝒓� 	 𝑷𝒄𝒓 = 𝝅𝟐𝑳𝒆𝟐 𝑬𝑰
Exemplo	02
A	coluna	do	exemplo	01.
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Supondo	que	a	carga	admissível,	encontrada	
anteriormente,	é	aplicada	em	um	ponto	
distante	de	19	mm	do	eixo	geométrico	da	
coluna,	determinar	a	deflexão	horizontal	do	
topo	da	coluna	e	a	tensão	normal	máxima	na	
coluna.
𝐴 = 2284	𝑚𝑚:𝐼 = 3,3×10l	𝑚𝑚m𝑟 = 38	𝑚𝑚𝑐 = 50	𝑚𝑚
Exemplo	02
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• P	=	Padm:
𝑦+)ˆ = 19× 𝑠𝑒𝑐 𝜋2 141,36282,72� − 1
𝑃)*+ = 𝑃 = 141,36	𝑘𝑁𝑃2T = 282,72	𝑘𝑁
• Deflexão	final:
• Tensão	normal:
𝑦+)ˆ = 𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝜋2 𝑃𝑃2T� − 1𝑦+)ˆ = 23,97	𝑚𝑚
𝜎+)ˆ = 𝑃𝐴 1 + 	𝑒	𝑐		𝑟: 𝑠𝑒𝑐	 𝜋2 𝑃𝑃2T�
𝜎+)ˆ = 141,362284 1 + 	19×	50		38: 𝑠𝑒𝑐	 𝜋2 141,36282,72� 	𝜎+)ˆ = 0,153 𝑘𝑁𝑚𝑚:1 𝑘𝑁𝑚𝑚: 	= 10r 𝑀𝑃𝑎 𝜎+)ˆ = 153	𝑀𝑃𝑎
𝐴 = 2284	𝑚𝑚:𝐼 = 3,3×10l	𝑚𝑚m𝑟 = 38	𝑚𝑚𝑐 = 50	𝑚𝑚