Resistência dos Materiais

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ÍNDICE
CONCEITOS BÁSICOS DE ELASTICIDADE E PROPRIEDADES MECÂ-
NICAS DOS MATERIAIS
Propriedades Básicas de um Corpo ........................................................... 4
1.1. Momento de Inércia (Tensor de Inércia) .........................................................4
1.2. Teorema de Steiner (Teorema dos eixos paralelos) ..............................4
1.3. Centroide ...............................................................................................................................5
1.4. Momento Estático (Q) ...................................................................................................5
1.5. Momento de Polar de Inércia (J) ..........................................................................6
1.6. Coeficiente de Poisson ...............................................................................................6
Tensão ...................................................................................................................... 7
2.1. Tensão Normal ..................................................................................................................7
2.2. Tensão de Cisalhamento ..........................................................................................7
2.3. Tensão devido à Flexão .............................................................................................8
2.4. Tensão de Cisalhamento devido ao Torque...............................................9
2.5. Tensão de Protensão ................................................................................................. 10
Barras Submetidas à Forças Axiais ............................................................11
Lei de Hooke .........................................................................................................12
4.1. Lei de Hooke aplicada à Materiais ................................................................... 12
Deformação de Elementos sob Carregamento Axial ........................13
5.1. Deformações devido a Forças Externas ...................................................... 13
5.2. Deformações devido à Mudança de Temperatura............................. 13
5.3. Caso existam Restrições de Alongamento............................................... 14
5.4. Problemas Estaticamente Indeterminados .............................................. 14
Torção ......................................................................................................................16
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4
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6.1. Torque .................................................................................................................................... 16
6.2. Ângulo de Torção no Regime Elástico ......................................................... 16
6.3. Problemas Estaticamente Indeterminados.............................................. 17
Análise de Tensões e Deformações .......................................................... 18
7.1. Círculo de Mohr ...............................................................................................................18
7.2. Convenção de Sinais ..................................................................................................19
7.3. Observações da Análise Tridimensional ......................................................20
Paredes Finas ...................................................................................................... 21
8.1. Vasos Cilíndricos ............................................................................................................21
8.2. Vasos Esféricos ..............................................................................................................22
Indicações de Referências ............................................................................ 23
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d 
 
 
 
1. Propriedades Básicas de um Corpo 
 
1.1. Momento de Inércia (Tensor de Inércia) 
O momento de inércia expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de 
movimento de um corpo em rotação. Quanto maior for o momento de inércia de 
um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. 
 
Em torno do eixo x: Ix = ∫ y2 dA [m4] 
Em torno do eixo y: Iy = ∫ x2 dA [m4] 
Para uma seção retangular: I = bh
3
12 [m
4] 
Para uma seção triangular: I = bh
3
36 [m
4] 
Para uma seção circular: I = πD
4
64 [m
4] 
 
1.2. Teorema de Steiner (Teorema dos eixos paralelos) 
Este teorema nos permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido 
relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando é conhecido o 
momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro 
de massa do sólido e a distância entre os eixos. 
Iz = Icr + M. d2 
 
 
1.2. Teorema de Steiner (Teorema dos eixos paralelos)
1.1. Momento de Inércia (Tensor de Inércia)
1. Propriedades Bási-
cas de um Corpo1 PROPRIEDADES BÁSICAS DE UM CORPO
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d 
 
Em torno do eixo x: I′x = Ix + A(dy)2 
Em torno do eixo y: I′y = Iy + A(dx)2 
Raio de giração (𝐢𝐢𝐫𝐫): iry = √
Iy
A ; irx = √
Ix
A [m] 
Módulo de resistência (W): Wx =
Ix
y ; Wy =
Iy
x [m
3] 
 
1.3. Centroide 
É o ponto associado a uma forma geométrica também conhecida como centro 
geométrico. 
 
● Caso a forma geométrica represente uma seção homogênea de um corpo, 
então o centroide coincide com o centro de massa; e 
● Caso o corpo além de ser homogêneo for submetido a um campo gravitacional 
constante, então esse ponto coincide com o centro de gravidade. 
 
 
xCG = ∫
xdA
∫dA
= ∑xdA∑dA yCG =
∫ydA
∫dA
= ∑ydA∑dA 
 
 
1.4. Momento Estático (Q) 
É o somatório do produto das áreas acima do ponto de cisalhamento adotado pela 
distância do CG dessas áreas até a Linha Neutra. 
1.3. Centroide
1.4. Momento Estático (Q)
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d 
 
 
 
 
1.5. Momento de Polar de Inércia (J) 
É a resistência de um eixo ou viga de ser distorcido por torção, em função de sua 
forma. A rigidez vem apenas da área transversal do objeto e não depende da 
composição do material ou módulo de cisalhamento. Quanto maior a magnitude 
do momento polar de inércia, maior a resistência à torção do objeto. 
 
Para uma seção retangular: J = ∬𝜌𝜌2𝑑𝑑𝑑𝑑 [m4] 
Para uma seção circular: J = ∫ ∫ 𝜌𝜌2𝜌𝜌𝑑𝑑𝜌𝜌𝑑𝑑𝜌𝜌𝑟𝑟0
2𝜋𝜋
0 =
𝜋𝜋𝑟𝑟4
2 [m
4] 
 
1.6. Coeficiente de Poisson 
𝜐𝜐 = −
𝜀𝜀𝑦𝑦
𝜀𝜀𝑥𝑥
= − 𝜀𝜀𝑧𝑧𝜀𝜀𝑥𝑥 
 
 
onde: 
𝜀𝜀𝑧𝑧 = deformação específica lateral 
𝜀𝜀𝑥𝑥 = deformação específica axial 
 
1.5. Momento de Polar de Inércia (J)
1.6. Coeficiente de Poisson
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d 
 
 
 
2. Tensão 
 
 
2.1. Tensão Normal 
É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age 
perpendicularmente à área. 
σN =
P
A 
 
● Se a força normal ou tensão tracionar o elemento de área A, ela será 
denominada tensão de tração; 
● Se a força normal ou tensão comprimir o elemento de área A, ela será 
denominada tensão de compressão; 
 
2.2. Tensão de Cisalhamento 
É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente à área. 
 
𝜏𝜏𝑣𝑣 =
𝑉𝑉.𝑄𝑄
𝐼𝐼. 𝑡𝑡 
 
τv= tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado a uma distância y do 
eixo neutro [kN/cm²] 
V = força de cisalhamento interno resultante (quegeralmente é a força cortante) 
[kN] 
2. Tensão2 TENSÃO
2.2. Tensão de Cisalhamento
2.1. Tensão Normal
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d 
 
Q = momento estático [cm3] 
I = momento de inércia da área da seção transversal interna [cm4] 
t = largura da área da seção transversal cisalhada [cm] 
 
2.3. Tensão devido à Flexão 
Quando o momento fletor causa flexão nos elementos estruturais, nas seções 
transversais desses elementos surgem tensões normais (perpendiculares à 
seção). 
 
 
 
Flexão normal (simples ou composta) 
Quando o plano do carregamento ou da sua resultante é perpendicular à linha 
neutra. Ou seja, quando o plano contém um dos eixos principais de inércia da 
seção; nesse caso, em seções simétricas, o momento fletor atua no plano de 
simetria. 
 
 
2.3. Tensão devido à Flexão
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d 
 
Fórmula da flexão: 
σmáx =
Mc
I σ = ±
My
I 
onde: 
σ = tensão normal no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção 
transversal afastado do eixo neutro [kN/cm²] 
M = momento interno resultante [kNcm] 
y = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto afastado do eixo neutro [cm] 
I = momento de inércia [cm4] 
 
Convenção p/ y: 
• y é positivo quando estiver abaixo da linha neutra 
• y é negativo quando estiver acima da linha neutra 
 
 
2.4. Tensão de Cisalhamento devido ao Torque 
 
 
τmáx =
T ∗ c
J τ = ±
T ∗ ρ
𝐽𝐽 
2.4. Tensão de Cisalhamento devido ao Torque
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d 
 
onde: 
𝜏𝜏 = tensão de cisalhamento no eixo [kN/cm²] 
𝑇𝑇 = torque interno resultante que atua na seção transversal [kNcm] 
𝑐𝑐 = raio externo do eixo [cm] 
𝜌𝜌 = raio medido a partir do centro do eixo [cm] 
𝐽𝐽 = momento polar de inércia [cm4] 
 
 
2.5. Tensão de Protensão 
Protensão é um artifício que consiste em introduzir numa estrutura um estado 
prévio de tensões capaz de melhorar sua resistência ou seu comportamento, sob 
diversas condições de carga (PFEIL, 1984). 
 
Σp =
P
AC
+
P. ep
W 
 
onde: 
σp = tensão de protensão [kN/cm²] 
P = força aplicada [kN] 
AC = área da seção [cm²] 
ep = excentricidade de aplicação da força de protensão em relação a LN da seção 
transversal [cm] 
W = módulo de resistência [cm³] 
 
 
 
 
2.5. Tensão de Protensão
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d 
 
 
 
3. Barras Submetidas à Forças Axiais 
 
 
Materiais dúcteis: são caracterizados pela sua capacidade de escoar na 
temperatura ambiente. Fases: deformação elástica, escoamento, encruamento, 
estricção e ruptura. 
• Deformação elástica: material segue a lei de Hooke e as deformações da barra 
são proporcionais ao carregamento aplicado. 
• Escoamento: tensão de transição entre o regime elástico e o plástico, 
caracterizado por um aumento de deformações sem que haja aumento de 
carregamento. 
• Encruamento: rearranjo das partículas do aço havendo um aumento da tensão 
e das deformações, porém não de forma linear. 
• Estricção: redução da área da seção transversal do elemento sujeito à tração, 
que ocorre a partir do limite de resistência. 
redução percentual de área = 100 × (A0 − AR)A0
 
 
A0 = Área inicial (cm2) 
AR = Área final após estricção (cm2) 
• Ruptura: máxima tensão que o material consegue suportar antes de romper. 
 
Materiais frágeis: são caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem 
nenhuma mudança prévia notável na taxa de alongamento. Não apresenta 
diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. Rompe por tensões 
normais. 
3. Barras Submetidas à 
Forças Axiais3 BARRASSUBMETIDAS ÀFORÇAS AXIAIS
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d 
 
 
4. Lei de Hooke 
 
 
É a lei da física relacionada à elasticidade de corpos, que serve para calcular a 
deformação causada pela força exercida sobre um corpo, tal que a força é igual 
ao deslocamento da massa a partir do seu ponto de equilíbrio vezes a constante 
da mola. 
 
F = k ∗ x 
onde: 
F = força [N] 
k = constante da mola [N/m] 
x = deslocamento da mola [m] 
 
4.1. Lei de Hooke aplicada à Materiais 
 
σ = E ∗ ε = E ∗ δL 
onde: 
σ = tensão [kN/m2] 
E = módulo de Young, parâmetro mecânico que proporciona uma medida da 
rigidez de um material [kN/m2] 
ε = deformação específica normal, deformação por unidade de comprimento de 
uma barra sob carregamento axial [adimensional] 
𝛿𝛿 = deformação [m] 
L = comprimento inicial [m] 
4. Lei de Hooke4 LEI DE HOOKE
4.1. Lei de Hooke aplicada à Materiais
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5. Deformação de Ele-
mentos sob Carrega-
mento Axial
 
 
d 
 
 
 
5. Deformação de Elementos sob Carregamento Axial 
 
 
 
5.1. Deformações devido a forças externas 
 
Condições: 
• Barras homogêneas 
• Área da seção transversal uniforme 
• Forças aplicadas nas extremidades 
 
σ = E ∙ ε ⇒ ε = σE ⇒ δ =
PL
AE 
(quando não se ultrapassa o limite de proporcionalidade do material) 
 
Para seções transversais variáveis: 
δ = ∫ PdxAE
L
0
= ∑ PLAE 
 
5.2. Deformações devido à Mudança de Temperatura 
 
δtemp = α ∙ ∆T ∙ L ⇒ εtemp = α ∙ ∆T 
(Deformação específica térmica) 
5 DEFORMAÇÃO DE ELEMENTOS SOB CARREGAMENTO 
5.1. Deformações devido a Forças Externas
5.2. Deformações devido à Mudança de Temperatura
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d 
 
 
5.3. Caso existam Restrições de Alongamento 
 
δ = δtemp + δP ⇒ α ∙ ∆T ∙ L +
PL
AE = 0 
 
5.4. Problemas Estaticamente Indeterminados 
 
 
1. FB + FA – P = 0 (equilíbrio de forças) 
2. *δA/B = 0 (condição de compatibilidade) 
 
 
FA ∙ LAC
AE −
FB ∙ LBC
AE = 0 
(“0” porque os apoios não se deslocam ou afastam, quando ocorrer, substitui-se 
pelo valor do deslocamento) 
5.3. Caso existam Restrições de Alongamento
5.4. Problemas Estaticamente Indeterminados
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d 
 
1 e 2 ⇒
{ 
 
 FA =
P ∙ LCB
L 
FB =
P ∙ LAC
L
 
 
*deslocamento relativo: 
δB/A = δB − δA =
PL
EA 
{ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇çã𝑜𝑜:𝑃𝑃𝑜𝑜𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇 (+)𝐶𝐶𝑜𝑜𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃ã𝑜𝑜:𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇 (−) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Torção
 
 
d 
 
 
6. Torção 
 
 
6.1. Torque 
É um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. 
OBS: as seções transversais de uma barra circular permanecem planas e 
indeformadas porque uma barra circular é axissimétrica, isto é, sua aparência 
permanece a mesma quando ela é vista de uma posição fixa e rotacionada em 
torno de seu próprio eixo por um ângulo arbitrário. 
 
6.2. Ângulo de Torção no Regime Elástico 
 
 
φ = T∙LG∙It S = R ∙ φ 
 
onde: 
φ = [rad] 
L = comprimento [m] 
T = torque interno [Nm] 
It = momento de inércia à torção [m4] 
G = módulo de elasticidade transversal [N/m2] 
6 TORÇÃO
6.1. Torque
6.2. Ângulo de Torção no Regime Elástico
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d 
 
 
 
6.3. Problemas Estaticamente Indeterminados 
 
1. ∑Mx = 0 ⇒ −T + TA + TB = 0 
2. δA/B = 0 ⇒ 
TA∙LAC
G∙It
− TB∙LBCG∙It = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3. Problemas Estaticamente Indeterminados
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7. Análise de Tensões e 
Deformações
 
 
d7. Análise de Tensões e Deformações 
 
 
7.1. Círculo de Mohr 
O Círculo de Mohr é um artifício visual introduzido pelo Eng. Otto Mohr com o 
intuito de auxiliar na dedução de fórmulas básicas relacionadas a análise das 
transformações de tensões no estado plano ou tridimensional. 
 
Tensão Média (CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA) 
𝜎𝜎𝑀𝑀É𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 =
𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦
2 
 
Tensão Cisalhante Máxima (RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA) 
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = √(
𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦
2 )
2
+ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 
 
Coordenadas 
{𝑥𝑥 =
(𝜎𝜎𝑥𝑥 ,−𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦)
𝑦𝑦 = (𝜎𝜎𝑦𝑦 , +𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦)
 
 
Tensões Principais 
{𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎𝑀𝑀Á𝑋𝑋 = 𝜎𝜎𝑀𝑀É𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝑅𝑅𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎𝑀𝑀Í𝑁𝑁 = 𝜎𝜎𝑀𝑀É𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑅𝑅 
7 ANÁLISE DETENSÕES EDEFORMAÇÕES
7.1. Círculo de Mohr
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d 
 
 
Orientação 
𝑡𝑡𝑡𝑡(2𝜃𝜃𝑝𝑝) =
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥
(𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑥𝑥)
2⁄
 
 
 
7.2. Convenção de Sinais 
• Quando a tensão de cisalhamento em determinada face tende a rodar o 
elemento no sentido horário, o ponto do círculo de mohr correspondente 
àquela face está localizado acima do eixo σ; 
• Quando a tensão de cisalhamento em determinada face tende a rodar o 
elemento no sentido anti-horário, o ponto do círculo de mohr 
correspondente àquela face está localizado abaixo do eixo σ; 
• Para as tensões normais: 
o σ> 0 (tração) = saindo da face 
o σ< 0 (compressão) = entrando na face 
 
7.2. Convenção de Sinais
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d 
 
7.3. Observações da Análise Tridimensional 
Se A e B estiverem localizados em lados opostos de O, a tensão de cisalhamento 
máxima será igual à tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões; 
Se A e B estiverem localizados no mesmo lado de O, a tensão de cisalhamento 
máxima será diferente da tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões; 
Se σA>σB> 0, a tensão de cisalhamento máxima será igual a 
1
2 σA e corresponderá 
a uma rotação fora do plano das tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3. Observações da Análise Tridimensional
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8. Paredes Finas
 
 
d 
 
 
 
8. Paredes Finas 
 
 
Os vasos de pressão são ótimos exemplos de aplicação da análise do estado 
plano de tensão. Como as suas paredes oferecem pouca resistência à flexão, 
pode-se supor que os esforços internos que atuam em determinada parte da 
parede sejam tangentes à superfície do vaso. Desse modo, as tensões em um 
elemento da parede estarão contidas em um plano tangente à superfície do vaso. 
 
 
 
8.1. Vasos Cilíndricos 
Esforços analisados: 
σ1 = tensãotangencialoucircunferencial 
σ2 = tensãolongitudinal 
ρ = pressão manométrica do flúido 
τ = tensão de cisalhamento 
 
8 PAREDES FINAS
8.1. Vasos Cilíndricos
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d 
 
Fórmulas: 
σ1 =
pr
t
σ2 =
pr
2t
⟩ σ1 = 2σ2 
 
τmáx (plano) =
1
2σ2 =
pr
4t 
τmáx (fora do plano) = σ2 =
pr
2t 
 
 
8.2. Vasos Esféricos 
Esforços analisados: 
σ1 = tensãotangencialoucircunferencial 
σ2 = tensãolongitudinal 
ρ = pressão manométrica do flúido 
τ = tensão de cisalhamento 
 
 
Fórmulas: 
σ1 = σ2 =
pr
2t 
τmáx (foradoplano) =
1
2σ1 =
pr
4t 
 
8.2. Vasos Esféricos
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d 
 
 
9. Indicações de Referências 
 
Para uma melhor compreensão e aprofundamento do assunto, e um bom 
treinamento na resolução de questões, indicamos as referências utilizadas na 
elaboração desse resumo: 
 
• [Hibbeler] Mecânica Estática; 
• [Hibbeler] Resistência dos Materiais; 
• [Beer] Mecânica dos Materiais; 
 
 
9. Indicações de Referências
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