Estatistica Aplicada e Probabilidade Para Engenheiros

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© Tânia F Bogutchi – PUC Minas - 2009 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Introdução 
 
Primeiramente quero dar as boas vindas a todos vocês que estão se propondo a estudar a disciplina 
Probabilidade e Estatística I, ofertada principalmente para os alunos do curso de Engenharia Elétrica do 
IPUC com extensão às demais ênfases da Engenharia. 
Gosto iniciar com a citação da frase de Herbert George Wells (1866-1946), escritor inglês de A 
Máquina do Tempo, A Ilha do Dr. Moreau, O Homem Invisível, dentre outros: 
 
 “Raciocinar estatisticamente será um dia tão necessário quanto a habilidade de ler e escrever” 
 
O momento de entrar em contato com esse tipo de raciocínio começa agora com a seguinte 
pergunta: porque um engenheiro precisa estudar Estatística? Em primeiro lugar, porque um engenheiro é 
um profissional que resolve problemas de interesse da sociedade por meio de aplicações de técnicas 
científicas, que por sua vez, são baseadas em evidências. As evidências são obtidas por meio de dados, quer 
sejam em pesquisas acadêmicas quer sejam em situações observadas no cotidiano de muitas modalidades, 
ou tipos, de trabalhos na Engenharia. Por outro lado, os dados podem gerar modelos que suportam 
resoluções de problemas similares. 
A pergunta então é porque a Estatística e não a Matemática? A Matemática está presente em todas 
as situações em que se podem aplicar os modelos determinísticos – aqueles que são regidos por leis físicas 
ou gerais: lei de Ohm; lei de gás ideal; leis gravitacionais, dentre outras… Mas, e as situações que envolvam 
variabilidade? A variabilidade exige técnicas especiais de tratamento, e essas técnicas são produtos da 
Estatística, que por sua vez estão fundamentadas na Matemática. Os modelos estatísticos, portanto, são 
modelos probabilísticos – ou não-determinísticos. Daí a importância de iniciarmos esse curso com o estudo 
de Probabilidade. 
Outro lado importante da Estatística é que ela propicia o tratamento de um pequeno conjunto de 
dados, uma amostra, provenientes de uma população de interesse. O estudo de uma população, na grande 
maioria das vezes, é oneroso – tempo e dinheiro, mas a Estatística contempla com suas técnicas o estudo de 
uma pequena parte da população e os valores ali estimados são inferidos (ou concluídos) para a população 
em geral. Essa é chamada de Estatística Inferencial. 
Por sua vez, todas as observações que são transformadas em dados precisam de tratamento 
especial e pretende-se aqui, dar uma noção dessas possibilidades de apresentação e descrição dos mesmos. 
Dessa maneira, vocês terão maiores possibilidades na composição com os outros vários saberes da 
Engenharia, no processo que será finalizado como profissionais bem sucedidos. 
 
Algumas informações e dicas 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Nesse curso vocês receberão alguns textos com anotações de aula que servirão como leitura 
complementar ao livro texto que iremos utilizar: Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros, 4ª. edição. Douglas C. Montgomery e George C. Runger., 2009. 
Editora LTC. 
A sugestão é que vocês sempre leiam o texto do livro e tentem resolver seus exercícios ou 
exemplos. 
 Algumas dicas para obter sucesso nesse curso: 
 
a) Reserve tempo semanal para o estudo. A proposta de Atividades Semanais tem como um de 
seus objetivos, facilitar esse desafio; 
b) Tente fazer as Atividades dentro do período de tempo proposto – se você iniciar o estudo logo 
no principio de sua proposição terá tempo de gerar dúvidas e buscar ajuda por meio do correio 
acadêmico. 
c) Faça uso das facilidades que a PUC Virtual oferece: tais como o Centro de Recursos – local em 
que o professor publica material adicional, por exemplo, exercícios resolvidos, resolução e/ou 
comentário das Atividades propostas; e o correio acadêmico – principal canal de comunicação 
diária com o professor. 
d) Participem dos Encontros on line – e quando existirem, dos plantões presenciais. 
 
Em síntese: Não deixem de criar o hábito de estudar diariamente, não só essa disciplina, como as 
demais presenciais que certamente estarão fazendo. Não incorram no erro da fala: “estou fazendo a 
disciplina virtual porque trabalho… não tenho tempo…” Essa frase é FALSA!!. Você está fazendo uma 
disciplina virtual porque ela facilita a LIBERAÇÃO em sua carga horária semanal…. Mas, por outro lado ela 
cobra um preço: você precisará ser rigoroso na reserva de tempo para estudá-la. 
Enfim… 
Espero que vocês aproveitem ao máximo o curso de Probabilidade e Estatística I. 
Eu estarei sempre pronta a atendê-los e ajudá-los nesse processo de construção que ora vocês 
iniciam. 
Sejam bem vindos e tenham muito sucesso! 
 
 
 
 
 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Essa Unidade está nos capítulos 1 e 2 do livro texto do Montgomery. 
Podem acessar cópias desses capítulos por meio da Pasta do Professor 
Não deixem de ler! 
 
Algumas notas de aulas: 
 
1) Modelos matemáticos 
a) Determinístico 
 Condições que DETERMINAM o resultado do experimento: 
i) Leis de Kepler – comportamento dos planetas; 
ii) Leis gravitacionais; 
iii) Velocidade como função do tempo e do espaço; 
iv) etc. 
 
Considerações físicas para prever o resultado! 
 
b) Probabilístico ou não-determínistico 
Exemplos: 
i) Material radiotivo que emita partículas alfa e um dispositivo de contagem que registre o no. de 
partículas emitidas num determinado período de tempo. 
(1) Não é possível precisar exatamente o no. de partículas emitidas mesmo conhecendo sua 
composição química e a massa do objeto 
ii) Número de bactérias num certo volume d’água do Rio Arrudas... 
iii) Precipitação de chuva. Os instrumentos meteorológicos podem nos fornecer informações tais 
como: 
(1) pressão barométrica, 
(2) variações de velocidade do vento, 
(3) origem e direção da tempestade, etc. 
Informações preciosas, mas que não torna possível dizer QUANTA chuva cairá!!! 
 
Considerações para especificar uma distribuição de probabilidades! 
 
2) Probabilidade 
Conceitos básicos: 
a) Experimento (E) “não-determinístico” ou “aleatório”: é a observação de um fenômeno de 
interesse (processo de coleta de dados). 
 Exemplo: 
(1) lançamento de uma moeda ou de um dado; 
(2) germinação de sementes de alguns tipos de plantas; etc. 
b) Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento E. 
 Exemplo: 
(1) E: lançamento de uma moeda → S = { cara, coroa} 
(2) E: lançamento de um dado com 6 faces → S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(3) E: sementes de 4 tipos de plantas → S = {Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3, Tipo 4} 
c) Evento: é o conjunto de resultados de interesse do pesquisador, ou seja, é um subconjunto de S. 
Notação: letras maiúsculas (A, B, C,…) 
No exemplo (3) do item anterior, podemos definir o evento A: germinação das sementes do tipo 1 e 
do tipo 4 → A = { Tipo1, Tipo4} 
Um evento é simples quando for composto por apenas um resultado. No exemplo (2) do item 
anterior, os eventos: A={1}, B={5}, C={3}, são simples. 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
3) Relações entre dois eventos A e B 
 
a) Evento União ou Reunião é composto pelos resultados da ocorrência de pelo menos um dos eventos 
A ou B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam 
 E: lançamento de um dado com 6 faces; 
 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, o espaço amostral associado;Os eventos, A: a face é par = {2, 4, 6} e B: a face é 4 ou 5 = {4, 5} 
 O evento União, BA ∪ = {2, 4, 5, 6} 
 
 
b) Evento Interseção é composto pela ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior, 
 O evento Interseção, BA ∩ = {4 } 
 
 
c) Evento Negação ou Complementar do evento A é composto por todos os elementos que não 
ocorreram em A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No exemplo anterior, a negação ou o complementar do evento A é: 
 A = {1, 3, 5} → as faces ímpares! 
 
 
 
 
 
Notação: BA ∪ 
 
O símbolo “∪ ” significa “ou” 
 
Notação: BA ∩ 
 
O símbolo “∩ ” significa “e” 
S
A A
S
A A
A B SA B S
A B SA B S
 
Notação: c Aou A 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
d) Os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos (excludentes) se não ocorrerem 
simultaneamente, ou seja, se φ=∩ BA (φ indica conjunto vazio: sem nenhum resultado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No exemplo anterior, os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 
 Não! Pois a interseção entre eles não é vazia... Por outro lado, A e A são mutuamente exclusivos. Nos 
eventos mutuamente exclusivos a ocorrência é de pelo menos um dos eventos, mas não os dois 
simultaneamente. 
 
 
4) Propriedades dos eventos 
 
Dentro de um contexto matemático observa-se que os eventos são similares aos conjuntos diferindo 
apenas no significado da representação dos símbolos. Devido a essa similaridade, as propriedades dos 
eventos são idênticas às dos conjuntos. 
Reprisando: 
 scomutativa 
 A B B A 2.
 A B B A .1
→



∩=∩
∪=∪
 
 asassociativ 
C) (B A CB) (A 4.
C)(B A C)B) (A .3
→



∩∩=∩∩
∪∪=∪∪
 
 vasdistributi 
C) (BC) A( CB) (A 6.
C)(BC) A( CB) (A .5
→



∪∩∪=∪∩
∩∪∩=∩∪
 
evento. próprio o é evento do negação da negação a A A 9.
 A8.
 A A 7.
→=
=∩
=∪
φφ
φ
 
 Morgan de Leis 
B A B A 11.
B A B A .10
→




∪=∩
∩=∪
 
 
Exemplo 4.1: (Meyer) Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. 
Admitiremos que o espaço amostral seja { t | t ≥ 0}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte 
maneira: 
A = {t | t < 100 }; B = {t | 50 ≤ t ≤ 200}; C = { t | t > 150}. 
Nesse exemplo, o espaço amostral é dito contínuo. 
Temos consequentemente que: 
BA ∪ = {t | t ≤ 200} ou numa forma mais rigorosa: { t | 0 ≤ t ≤ 200}; 
BA ∩ = {t | 50 ≤ t < 100}; 
CB ∪ = {t | t ≥ 50}; 
A = {t | t ≥ 100}; 
BA ∩ = {t | t < 50 ou t ≥ 100}; 
BA ∪ = {t | t > 200}. 
 
A B SA B S
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
5) Definições de probabilidade 
 
a) Definição clássica 
 
Pressupostos: 
i) Todos os eventos simples precisam necessariamente ter a mesma possibilidade de ocorrência 
(equiprováveis); 
ii) É imprescindível conhecer todos os resultados possíveis do espaço amostral. 
 Exemplo 5.1: 
 E: observar o lançamento de um dado “honesto” com 6 faces. 
 Obs.: o dado precisa ser “honesto” para que a possibilidade de cada face ocorrer seja a mesma 
(equiprovável). 
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Evento A: observar a ocorrência das faces 3 ou 5 = {3, 5} 
 
 
 
 
 Exemplo 5.2: 
E: observar o lançamento de dois dados equilibrados e com 6 faces cada. 
O espaço amostral será composto por pares de resultados, (x1 , x2), onde x1 = face do primeiro dado 
e x2 = face do segundo dado. 




















=
(6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1)
(5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1)
(4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1)
(3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1)
(2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1)
(1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)
S 
 
O espaço amostral possui 36 elementos (#361). 
 Sejam considerados os eventos: 
A = {(x1,x2) | x1+x2=10} = {(5,5), (4,6), (6,4)} 
B = {(x1,x2) | x1> x2} = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), 
(6,3), (6,4), (6,)} 
O evento A possui 3 elementos (#A=3) e o evento B possui 15 (#B=15). 
Temos então que P(A)=
12
1
36
3
= e P(B) = 
36
15
 
A definição clássica é limitada às situações em que os resultados são igualmente prováveis além de 
requerer o desenho prévio do espaço amostral o qual pode ser muito trabalhoso ou até mesmo 
impossível. Se no exemplo anterior fossem lançados 3 dados equilibrados, o espaço amostral 
associado seria composto por 63 = 216 elementos! 
 
b) Definição frequentista 
 
A freqüência relativa de um evento A (fA) em n repetições de um experimento é definida pela 
relacão entre o número de vezes que o evento A ocorreu (nA) e o número total de repetições do 
experimento (n), ou seja, 
n
n
f AA = . 
Exemplo 5.3. Sejam: 
E: lançar 1.000 vezes uma moeda 
 
1 O símbolo: # significa, nesse texto, “número de elementos”. 
6
2
oexperiment do adespossibilid de total número
 Aa favoráveis situações de número
)A(P ==
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Evento A: observar o resultado “cara” 
Utilizando a notação para representação dos resultados: C = cara e C = coroa, podemos obter a 
possível seqüência de resultados: 
 
 C, C , C , C, C, C , C, ..... 
 
A seqüência de freqüências relativas associadas a essa possível seqüência é: 
,.....
7
4
,
6
3
,
5
3
,
4
3
,
4
2
,
3
1
,
2
1
,
1
1
 
 
A Figura 5.1 apresenta as freqüências relativas do evento A, ou seja, as proporções de ocorrência de 
cara quando o experimento é repetido por 10, 20, 30, ...., até 500 vezes. 
E: lançamento de uma moeda n vezes
 A: observar cara
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500
no. de lançamentos
Pr
o
po
rç
ão
 
de
 
 
ca
ra
 
 Figura 5.1: Observação do evento cara em n lançamentos de uma moeda. 
 
Observe, no gráfico, que no princípio a freqüência relativa tem uma grande variação, mas é 
intuitivamente evidente, que após um grande número de repetições ela irá se estabilizar próxima do valor 
2
1
. Essa propriedade de estabilidade, ou de regularidade estatística, pode ser matematicamente mais 
precisa, num curso mais avançado de Estatística. 
 
No exemplo 5.3, verificamos que a freqüência relativa de A, fA “converge” em um certo sentido de 
probabilidade, para o valor 0,5. Esse valor é assumido então, como a probabilidade de ocorrência do evento 
A, e denotado por P(A) e sua definição freqüentista é: 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5.4: Seja a distribuição de 2.377 estudantes de certa faculdade pesquisados sobre 
preferência por refrigerante dada pela tabela: 
 
oexperiment do repetições de total número
 Ade socorrência de número
)A(P =
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Preferência Refrigerante 
Freqüência Freq. relativa 
Coca Cola 82 0,034 
Coca Cola Light 231 0,097 
Pepsi Cola 254 0,107 
Fanta 690 0,290 
Sprite 1.120 0,471 
Total 2.377 1,000 
 Fonte: Adaptado de Anderson et al. 2007, pág 23 
 
Considerando que temos um grande número de estudantes, podemos associar as freqüências 
relativas da preferência por cada refrigerante como sua probabilidade paraum estudante pesquisado 
aleatoriamente. Isto é, por exemplo, equivalente à pergunta: qual a probabilidade de um aluno dessa 
faculdade preferir Pepsi Cola,? Na tabela de distribuição, temos que P(Pepsi Cola) = 0,107 





377.2
254
. 
6) Propriedades da probabilidade 
A probabilidade de um evento satisfaz as seguintes propriedades: 
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 
ii) P(S) = 1 
iii) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (disjuntos) então 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
Como conseqüência dessas propriedades tem-se as seguintes regras: 
iv) P(φ) = 0 → o evento A não ocorre em nenhuma das repetições do experimento (A é um evento 
impossível). 
v) P( A ) = 1 – P(A) 
Verificação: Observando o diagrama de Venn no subitem (c) do item (3), verifica-se claramente 
que os eventos A e A são mutuamente exclusivos e o espaço amostral pode ser representado 
da seguinte maneira: 
S = A ∪ A 
Pela propriedade (iii) tem-se: P(S) = P(A) + P( A ) e pela propriedade (ii), obtém-se: 
P(A) + P( A ) = 1 o que conclui a conseqüência expressa em (v). 
 
vi) Se A e B forem dois eventos quaisquer então 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
A verificação dessa regra é facilmente entendível utilizando o diagrama de Venn, em que pode ser 
verificado que a porção A ∩ B é computada duas vezes! 
Essa regra é conhecida como a da ADIÇÃO de probabilidades. 
 
 A probabilidade é uma proporção, ou seja, assume qualquer valore entre 0 e 1. Se essa proporção 
for multiplicada por 100, a probabilidade fica expressa em termos de percentuais. A tabela de distribuição do 
exemplo 5.4 ficaria assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde, P(Pepsi Cola)= 10,7%. 
 Exemplo 6.1: Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. 
Temos ainda, que 500 alunos são do curso de Matemática diurno, 700 de Matemática noturno, 100 são 
esportistas e de Matemática diurno e 200 são esportistas e de Matemática noturno. Um aluno é escolhido ao 
acaso. Pergunta-se qual a probabilidade de ele: 
a) Ser esportista 
b) Ser esportista e aluno de Matemática diurno 
c) Não ser do curso de Matemática 
d) Ser esportista ou aluno de Matemática noturno 
e) Não ser esportista nem aluno de Matemática 
 
Esse exemplo apresenta duas características dos alunos dessa universidade: curso e prática de esportes. 
Podemos sistematizar essas informações por meio de uma tabela de dupla classificação, ou seja, as linhas 
informarão o curso matriculado e as colunas se o aluno pratica ou não esportes. 
 
Para facilitar, vamos denominar os seguintes eventos: M = Matemática; Mn = Matemática noturno; Md = 
Matemática diurno; M = outros cursos (não Matemática); E = esportista e E = não esportista. Temos 
então, 
 
Curso E E Total 
Md 100 400 500 
Mn 300 900 1.200 
M 3.700 5.100 8.800 
Total 4.000 6.000 10.000 
 
O cálculo das probabilidades ficou bastante facilitado pela leitura dos valores diretamente da tabela: 
a) %0,4040,0
000.10
000.4)E(P === 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
Preferência Refrigerante 
Freqüência Freq. relativa Percentual 
Coca Cola 82 0,034 3,4% 
Coca Cola Light 231 0,097 9,7% 
Pepsi Cola 254 0,107 10,7% 
Fanta 690 0,290 29,0% 
Sprite 1.120 0,471 47,1% 
Total 2.377 1,0 100,0% 
%0,1010,0
000.10
100)MdE(P ===∩
%0,8888,0
000.10
800.8)M(P ===
%0,4545,0
000.10
500.4
000.10
300
000.10
200.1
000.10
000.4)MnE(P)Mn(P)E(P)MnE(P ===−+=∩−+=∪
%0,51510,0
000.10
100.5)ME(P ===∩
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 Considere as seguintes situações: 
 (1) Sabe-se que o aluno sorteado é do curso de Matemática diurno, qual a probabilidade de ele ser 
esportista? 
 Solução: como já é fato conhecido que o aluno é do curso de Matemática diurno, podemos 
considerar apenas os 500 alunos que são do curso de Matemática diurno, ou seja, a informação dessa linha, 
donde se observa que 100 são esportistas. Obtém-se então a probabilidade de 
500
100 
 (2) Sabendo-se que o aluno sorteado é esportista, qual a probabilidade dele ser do curso de 
Matemática noturno? 
Solução: a informação que dispomos agora é obtida pela coluna do ser esportista, ou seja, dos 
4.000 alunos que são esportistas, observa-se que 300 são esportistas. Dessa maneira tem-se: 
000.4
300
 
 Nessas duas situações observa-se uma redução do espaço amostral e o condicionamento da 
ocorrência de um segundo evento considerando os resultados de um primeiro que já realizado. A 
probabilidade desses eventos é denominada de Probabilidade condicional: 
 
7) Probabilidade condicional 
 
Seja o evento B, não-vazio, tal que P(B>0), a probabilidade condicional do evento A, sabendo-se 
que o evento B já ocorreu é definida por: 
 
 
 
Em que o símbolo “| “é lido por: “ A dado B” ou “A sabendo-se que B ocorreu” 
 
Na situação (1) acima temos: 
 
 
 
E na situação (2): 
 
 
 Reescrevendo a fórmula de cálculo da probabilidade condicional, temos: 
 
 
 
 
 
que é conhecida como a Regra da MULTIPLICAÇÃO. 
 
Lembrete: 
 
Símbolo Significado Operação 
∪ Ou Adição (+) 
∩ E Multiplicação (.) 
 
 
8) Eventos independentes 
 
Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não interferir na ocorrência do 
outro. 
Exemplo 8.1: (Soares) Seja o lançamento de dois dados equilibrados (honestos) e com 6 faces cada e 
sejam definidos os eventos 
A: { a face do 1º. dado é par} 
)B(P
)BA(P
)B|A(P
∩
=
500
100
000.10
500
000.10
100
)Md(P
)MdE(P)Md|E(P ==∩=
000.4
300
000.10
000.4
000.10
300
)E(P
)EMn(P)E|Mn(P ==∩=
)B|A(P)B(P)BA(P 
)B(P
)BA(P
)B|A(P =∩⇒
∩
=
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
B: { a face do 2º. dado é 3 ou 6}. 
Intuitivamente podemos perceber que o fato do evento A ter ocorrido não nos é fornecida nenhuma 
informação sobre a ocorrência, ou não, do evento B. Isso significa que os eventos A e B não estão 
relacionados. 
Matematicamente podemos efetuar os seguintes cálculos: 
2
1
36
18
)( ==AP , 
3
1
36
12
)( ==BP , 
6
1
36
6
)( ==∩BAP e 
(i) )(
2
1
1
3
.
6
1
3
1
6
1
)(
)(
)|( AP
BP
BAP
BAP ====
∩
= 
Esse resultado nos informa que o conhecimento do resultado ocorrido em B não interferiu no resultado 
de A, pois ao se condicionar o resultado do evento A na já conhecida ocorrência do evento B, a 
probabilidade do evento A é a mesma de ele ter ocorrido sem esse conhecimento prévio. Essa é a 
informação dada por: P(A|B)=P(A) 
(ii) )(
3
1
1
2
.
6
1
2
1
6
1
)(
)(
)|( BP
AP
BAP
ABP ====
∩
= 
Similarmente, temos a mesma situação quando condicionamos o evento B à ocorrência do evento A: 
P(B|A)=P(B). 
Pode-se verificar também que: )()(
3
1
.
2
1
6
1
)( BPAPBAP ===∩ 
 
 
Dessa maneira, desde que P(A) > 0 e P(B) > 0, os eventos A e B são definidos INDEPENDENTES se 
 



==∩
==∩
)()()|()()(
)()()|()()(
APBPBAPBPBAP
BPAPABPAPBAP
, 
 
ou seja, se P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B). 
 
 
 
Exemplo 8.2: Reescrevendo a tabela do exemplo 6.2 somente com os dados dos alunos do curso de 
Matemática e os Outros cursos temos: 
 
 Tabela 8.1: Tabela com os dados observados para cada evento 
Curso E E Total 
M 300 900 1.200 
M 3.700 5.100 8.800 
Total 4.000 6.000 10.000 
 
 
A tabela com as probabilidades em cada casela ou célula: 
 
 Tabela 8.2: Tabela com as probabilidades de ocorrência de cada evento 
Curso E ETotal 
M 0,03 0,09 0,12 
M 0,37 0,51 0,88 
Total 0,40 0,60 1,00 
 
 
 
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12
 
Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Temos então que a probabilidade de um aluno dessa universidade, sorteado aleatoriamente ser do 
curso de Matemática e esportista simultaneamente é: 
03.0
10000
300)EM(P ==∩ 
Em resumo, as probabilidades da tabela acima expressam as probabilidades dos eventos: 
 
 Tabela 8.3: Identificação dos eventos 
Curso E E Total 
M )EM(P ∩ )EM(P ∩ P(M) 
M )EM(P ∩ )EM(P ∩ )M(P 
Total P(E) )E(P P(S) 
 
 
Das tabelas 8.2 e 8.3 obtemos as informações sobre o sorteio de um aluno dessa população: 
Probabilidade de ele ser esportista: P(E) = 0,40 
Probabilidade de ele ser do curso de Matemática: P(M) = 0,12 
Probabilidade de ele ser do curso de Matemática e esportista: )EM(P ∩ =0,03 
Por definição, sabemos que a probabilidade dele ser esportista sabendo-se que o aluno é do curso de 
Matemática é: 40,0)E(P25,0
12,0
03,0
)M(P
)EM(P)M|E(P =≠==∩= . Ou seja, os eventos “ser do curso de 
Matemática” e “ser esportista” NÃO são eventos independentes, mas sim, eventos que estão 
relacionados entre si. 
Podemos verificar também que: 048,0)40,0)(12,0()E(P)M(P03,0)EM(P ==≠=∩ !!!! 
 
9) Associação entre eventos 
 
Como conseqüência da definição da independência entre dois eventos, dizemos que se dois eventos 
estão relacionados então deve existir alguma associação entre eles. Uma maneira prática para se verificar a 
existência de independência entre dois eventos é por meio da tabela das probabilidades (Tab. 8.2). 
Uma tabela de dupla classificação entre duas situações de interesse é chamada de tabela de 
contingência. Quando existem apenas duas categorias para cada uma das situações, dizemos que a tabela é 
2 x 2 (dois por dois), ou seja, ela possui duas linhas e duas colunas. 
Vamos supor que queiramos saber se existe alguma associação entre as situações: lesão na cabeça em 
acidentes motociclísticos e hábito de usar capacete. Como em cada uma dessas situações temos apenas 
duas possibilidades para cada uma delas, temos então uma tabela 2 x 2, considerando as pessoas que 
participaram de uma pesquisa desse tipo. 
Dizer que essas duas situações não estão relacionadas é equivalente a dizer que elas são 
INDEPENDENTES. 
 
Exemplo 9.1: Seja a classificação de 793 estudantes de certo município em relação à lesão na cabeça 
em acidentes motociclísticos e ao hábito de usar capacete: 
 
 Tabela 9.1: Distribuição conjunta dos estudantes por uso do capacete e lesão na cabeça 
Lesão na cabeça Uso do capacete 
Sim Não 
Total 
Sim 17 130 147 
Não 218 428 646 
Total 235 558 793 
 
 
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13
 
Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Cálculo das probabilidades: 
 
 Tabela 9.2: Distribuição das probabilidades observadas 
Lesão na cabeça 
Uso do capacete 
Sim (L) Não ( L ) 
Total 
Sim (C) 0,021 0,164 0,185 
Não ( C ) 0,275 0,540 0,815 
Total 0,296 0,704 1,000 
 
 
Se os eventos fossem independentes deveríamos ter: 
P(C ∩ L) = 0,021 = P(C) P(L), 
 
Mas, P(C)P(L)= (0,185)(0,296)=0,055 ≠ P(C ∩ L)! 
 
Como essas probabilidades não preservam a igualdade podemos concluir que os eventos NÃO são 
INDEPENDENTES, ou seja, existe uma relação entre eles ou equivalentemente, eles estão associados. 
 
A tabela de probabilidades observadas acima é chamada de distribuição de probabilidade conjunta e ela 
apresenta a distribuição de probabilidades das variáveis: Capacete e Lesão. As probabilidades da linha e da 
coluna “Total” são chamadas de probabilidades marginais. Se as variáveis: Capacete e Lesão fossem 
independentes, então as probabilidades das caselas (das interseções) seriam o produto de suas respectivas 
probabilidades marginais (total da linha e total da coluna). 
Considerando independência a tabela de probabilidades seria: 
 
 Tabela 9.3: Distribuindo das probabilidades considerando independência entre os eventos 
Lesão na cabeça 
Uso do capacete 
Sim (L) Não ( L ) 
Total 
Sim (C) 0,055 0,130 0,185 
Não ( C ) 0,241 0,573 0,815 
Total 0,296 0,704 1,000 
 
 
 
 
 
Fazendo a comparação entre as tabelas 9.2 e 9.3, observa-se que as probabilidades de todas as 
caselas são diferentes!! – conclui-se então que os eventos estão associados. 
 Resta saber se essa associação é estatisticamente significativa, a qual pode ser medida por meio do 
teste qui-quadrado de Pearson: 
 
 
 
 
 
 
0,055=(0,296)(0,185) 0,573=(0,704)(0,815) 
 
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Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
10) Teste Qui-quadrado ( 2χ ) 
 
A tabela 10.1 apresenta dados genéricos de uma situação envolvendo a comparação de dois grupos em 
que a resposta de interesse é dicotômica: a ocorrência ou não de um evento. 
 
Tabela 10.1: Classificação do sucesso ou fracasso para a variável resposta de interesse 
Grupo Resposta Total 
 Sucesso Fracasso 
Grupo I a b n1= a+b 
Grupo II c d n2=c+d 
Total m1=a+c m2=b+d N 
 
 
Se não existir nenhuma diferença entre as proporções de “Sucesso” nos dois grupos, então 
a
n
c
n1 2
= 
 
Se as igualdades acima forem verdadeiras, então também valem: 
 
a
n
c
n
a c
n n
m
N1 2 1 2
1
= =
+
+
= , ou seja: a
m x n
N
m x n
N
= =
1 1 1 2 
 e c
 
 (1) 
 
e analogamente, b
m x n
N
m x n
N
= =
2 1 2 2 
 e c
 
 (2) 
 
Obtemos, portanto, dois conjuntos de valores: os observados (Oij), que são denotados por a, b, c e 
d na tabela 10.1 e os esperados (Eij), calculados sob a hipótese de igualdade das proporções de sucesso 
entre os grupos e obtidos pelas expressões (1) e (2). 
Vamos voltar ao exemplo 9.1. Os dados da tabela 9.1 são os valores observados na pesquisa. 
Calculando os valores que seriam esperados, caso não haja diferença entre os dois grupos (uso ou não do 
capacete) obtemos: 
 
Tabela 10.1: Valores esperados para os dados da tabela 9.1. 
Lesão na cabeça Uso do capacete 
Sim (L) Não ( L ) 
Total 
Sim (C) 43,56 103,44 147 
Não ( C ) 191,44 454,56 646 
Total 235 558 793 
 
Em que, para a primeira casela os cálculos foram: 
793
)147)(235(56,43 = . As demais foram obtidas 
analogamente. 
 
Se as proporções de sucesso são iguais nos dois grupos, então a discrepância entre os dois 
conjuntos de números acima não deve ser grande. Pearson, importante estatístico do início do século, 
propôs medir a discrepância entre os valores observados e esperados por meio da expressão: 
 
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
∑∑
= =
−
=
2
1i
2
1j ij
2
ijij2
E
)EO(
X ≅2 
N ad bc
m m n n
( )− 2
1 2 1 2
 (3) 
 
 
Em nosso exemplo, entre os estudantes que usavam capacete a proporção que teve lesão na cabeça 
foi 17/147 = 0,116 e entre os que não faziam uso do capacete de 218/646 = 0,337. A diferença entre essas 
proporções, 0,221, parece indicar que a lesão na cabeça é mais freqüente entre os estudantes que não 
faziam uso do capacete. Mas será que este resultado não ocorreu por mero acaso? 
 
Utilizando a expressão (3) acima podemos efetuando os cálculos obtemos: 
 
X2 = 
( ) ( ) ( ) ( )
56,454
256,454428
44,103
244,103130
54,191
254,191218
56,43
256,43172 −+−+−+−=X 
X2 = 16,197 + 3,686 +6,821 + 1,552 ≅ 28,26 
 
 Precisamos decidir então se este é ou não um valor “grande”. Devido ao efeito amostral, mesmo se 
na realidade as proporções forem iguais, é possível obter qualquer valor para X2. Entretanto valendoa 
hipótese de igualdade entre as duas proporções, valores “grandes” ocorrerão pouco frequentemente, ou 
seja, para se tomar uma decisão sobre a igualdade ou não de duas proporções, é preciso conhecer o 
comportamento - distribuição estatística3 - dos valores de X2, quando as proporções são iguais. Esta 
distribuição foi obtida e recebeu o nome de Distribuição do χ 12 (qui-quadrado com 1 grau de liberdade), 
hoje sintetizada em tabelas de fácil utilização. Rejeita-se a hipótese de igualdade entre as proporções, a um 
determinado nível de significância, α , se o valor observado de X2 for maior que χ 12, o percentil de ordem 
(1 - α ) da distribuição do Qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Considerando α= 5%, o ponto crítico 
desta distribuição, o percentil de ordem 0,95, é 3,84, ou seja, P (χ 12 ≥ 3,84) = 0,05. 
 
Nesse exemplo, a probabilidade de encontrar valores maiores que 28,26, isto é, 
P (χ 12 ≥ 28,26) sendo verdadeira a hipótese de igualdade das proporções, é aproximadamente zero. 
Podemos, portanto, dizer com uma confiança de 95%, que existe evidência de associação entre o uso de 
capacete e lesão na cabeça. 
 Ma pergunta pertinente é quantas vezes a lesão na cabeça é mais freqüente nos que não usam 
capacete em relação aos que usam? Esse cálculo pode ser efetuado por meio da razão das chances: 
 
11) Razão das Chances (OR) 
 
A chance de um evento é definida pelo quociente entre a probabilidade de ocorrência ( p ) e a 
probabilidade de não ocorrência (1 - p ). Nesse exemplo: 
A chance dos que fazem uso do capacete ter lesão na cabeça é: 1308,0
130
17
= 
A chance dos que não fazem uso do capacete ter lesão na cabeça é: 5093,0
428
218
= 
 
A Razão das Chances (OR) é definida pelo quociente entre as chances dos dois eventos. Nesse exemplo, 
vamos verificar a chance de ter lesão na cabeça entre o grupo que não fazia uso do capacete em relação ao 
grupo que o usava. ou seja, 
 9,3
1308,0
5093,0
≅=OR 
 
2 Somente para tabelas 2 x 2 
3 As distribuições de probabilidade serão abordadas e estudadas na próxima unidade. 
 
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16
 
Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Isso significa que a chance de ter lesão na cabeça entre os estudantes que não usam capacete é 
aproximadamente quatro vezes mais freqüente em relação aos que usam capacete. 
 
Observação importante: 
As chances são muito utilizadas em cassinos, loterias e corridas de cavalo, por apresentarem 
facilidade nas transferências de dinheiro. São comumente expressas na forma “a:b” – a para b – em que, os 
valores a e b são primos entre si. Em termos de probabilidade de um evento A, a chance “a favor” é definida 
por: 
)(
)(
AP
AP
; e a chance “contra” por: )(
)(
AP
AP
. 
Suponha, por exemplo, que a probabilidade de um evento A seja, 
5
2)( =AP , logo 
5
3)( =AP . Então a 
chance “a favor” é “ 2:3” – dois para três e a chance “contra” é de “ 3:2” – três para dois. 
Nas apostas, a chance contra um evento representa a razão do ganho líquido para a quantia 
apostada. 
Quando a chance não é especificada, ela é sempre “contra” a ocorrência do evento, ou seja, numa 
aposta 50:1, significa R$50,00 para cada R$1,00 apostado! 
 
 
 
12) Regra ou Teorema de Bayes 
 
 
Seja um espaço amostral, S, particionado por eventos mutuamente exclusivos, Bi´s, tal que 
 
 ou seja, 
 
 
Seja considerado o evento A desse espaço amostral o qual poderá ser escrito por: 
 
 
 
mesmo que algumas das interseções iBA ∩ seja vazia, esse fato não irá interferir no cálculo de sua 
probabilidade. 
 Podemos representar esse espaço amostral, as partições Bi´s e o evento A pela figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade do evento A é obtida por: 
 
 
 
Observe que: 
1) se 0)( =∩⇒=∩ iBAPiBA φ , não afetando, portanto, o resultado da P(A); 
2) . 
 - é chamada de PROBABILIDADE TOTAL. 
A
B1
B2
B3
B4
B5
Bn
..
..
..
..
B6 A
B1
B2
B3
B4
B5
Bn
..
..
..
..
B6
ji ; 0 ≠∀/=∩ jBiB U
n
i
iBS
1=
=
( )nBABABAA ∩∪∪∩∪∩= ....)2()1(
( )nBAPBAPBAPAP ∩++∩+∩= ....)2()1()(










=
U
n
i
iBP
1
 
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Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
O teorema de Bayes é uma generalização da probabilidade condicional definida no item 7. Essa 
regra calcula a probabilidade de uma partição Bi condicionada à ocorrência do evento A, ou seja, 
 
 
 
 
 
 Exemplo 12.1: (Morettin) Num mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 
30% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e 
2% respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é futuro 
em dólares. Qual a probabilidade de ele ter sido negociado pela corretora A? 
Solução: 
Considere os eventos: 
 A, B e C: Corretoras 
 F: contrato futuro em dólares 
 
Deseja-se saber: P(A | F). 
 
Por definição: , precisamos então calcular a P(F). 
 
O evento F pode ser escrito como: 
Dessa maneira, 
 
O problema nos fornece as informações: 
 P(A)=0,2; P(F|A)=0,2 
 P(B)=0,5; P(F|B) = 0,05 
 P(C)=0,3; P(F|C) = 0,02 
 
Para facilitar, podemos utilizar um esquema em árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
A probabilidade de o contrato ter sido negociado pela corretora A é de 56,3% 
 
O teorema de Bayes pode ser ilustrado para esse problema em especial pela figura: 
 
 
 
 
)|()(...)2|()2()1|()1(
)|()(
)(
)()|(
nBAPnBPBAPBPBAPBP
iBAPiBP
AP
iBAPAiBP
+++
=
∩
=
)(
)()|(
FP
FAPFAP ∩=
( )FCFBFAF ∩∪∩∪∩= )()(
( )FCPFBPFAPFP ∩+∩+∩= )()()(
F
F
F
F
F
F
A
B
C
040 ,
0250 ,
0060 ,
20 ,
50 ,
30 ,
20 ,
050 ,
020 ,
)FA(P ∩
)FB(P ∩
)FC(P ∩
+
0710 ,)F(P =
)A|F(P
F
F
F
F
F
F
A
B
C
040 ,
0250 ,
0060 ,
20 ,
50 ,
30 ,
20 ,
050 ,
020 ,
)FA(P ∩
)FB(P ∩
)FC(P ∩
+
0710 ,)F(P =
)A|F(P )A|F(P
563,0
071,0
04,0
)(
)()|( ==∩=
FP
FAPFAP
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
3B 
2A 
 
I 
4B 
2A 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
13) Resolução de alguns exercícios de Probabilidade 
 
Exercício 13.1 – Uma urna contém três bolas brancas e duas amarelas. Uma segunda urna contém 
quatro bolas brancas e duas amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, 
uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
Solução: 
Sejam os eventos: A: bola amarela 
 B: Bola branca 
 I: primeira urna 
 II: segunda urna 
 
O evento B: sair bola branca pode ser escrito por: ( ) ( )BIIBIB ∩∪∩= 
Os eventos I e II são mutuamente exclusivos, logo (I ∩ B) e (II ∩ B) também o serão. Então, 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
633,0333,030,0
6
4
2
1
5
3
2
1
=+=
=+=
=+=
=∩+∩=
xx
IIBPIIPIBPIP
BIIPBIPBP
 
( ) %3,63=BP 
 
Exercício 13.2 – Ricardo tem dois automóveis velhos. Nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de 
um deles não “pegar” e 30% de o outro não “pegar”. Qual a probabilidade de: 
a) Nenhum “pegar”? 
b) Apenas um “pegar”. 
B
A
C
FB
A
C
F
CBAS ∪∪=
( )FCFBFAF ∩∪∩∪∩= )()(
)|()()|()()|()(
)|()(
)(
)()|(
CFPCPBFPBPAFPAP
AFPAP
FP
FAPFAP
++
=
∩
=
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C1: carro 1 “pega” 
C2: carro 2 “ pega” 
E sua negação: 
1C : carro 1 não “pega” 
2C : carro 2 não “pega” 
Dados do problema: 
1) C1 e C2 são independentes 
2) ( ) 20,01 =CP e ( ) 30,02 =CP 
3) De (2) e pela propriedade de negação de evento: ( ) ( ) 80,0111 =−= CPCP e ( ) 70,02 =CP . 
Então, 
a) O evento: nenhum “pegar” = 21 CC ∩ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 06,030,020,02121 ===∩ CPCPCCP 
Logo, P(nenhum “pegar”) = 6,0% 
 
b) Apenas um “pegar” ⇒ ( ) ( )2121 CCCC ∩∪∩ 
Como C1 e C2 são independentes e ( )21 CC ∩ e 




 ∩ 21 CC são mutuamente exclusivos, tem-se que: 
P(apenas um “pegar”) é: 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 38,0)70,0)(20,0()30,0)(80,0(2()12)1(2121 =+=+=∩∪∩ CPCPCPCPCCCCP 
 
Logo, P(apenas um “pegar”) = 38,0% 
 
Exercício 13.3 – (Montgomery) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de 
equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. Considere que equipamentos falhem 
independentemente, sendo a probabilidade de falha de cada equipamento mostrada no figura. Qual a 
probabilidade de que o circuito opere? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,01 0,01
0,1 0,1
0,10,01 0,01
0,1 0,1
0,1
 
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20
 
Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Solução: 
Sejam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da esquerda para a direita e considerando a independência dos equipamentos: 
a) 1º circuito opera se: ( ) CBAI ∪∩= 
Logo, a probabilidade de I operar é: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]CBAPCPBAPIP ∩∩−+∩= 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 998,090,099,099,090,099,099,0 =−+=IP 
 
b) 2º circuito opera se: ( )EDII ∪= 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 99,090,090,090,090,0)()( =−+=∩−+= EDPEPDPIIP 
 
O circuito em paralelo irá operar se I e II operarem simultaneamente: III ∩ 
Dos resultados obtidos em (a) e (b) e considerando que I e II são independentes (pela independência dos 
equipamentos), a probabilidade de o circuito operar será: 
988,0)99,0)(998,0()()()( === IIPIPIIIP I 
Conclusão: A probabilidade de o circuito acima operar é de 98,8%. 
 
Exercício 13.4 – A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 40%; a de sua 
mulher é 65%. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
a) Ambos estejam vivos; 
b) Somente o homem esteja vivo; 
c) Somente a mulher esteja viva; 
d) Nenhum esteja vivo; 
e) Pelo menos um esteja vivo. 
Solução: 
 Sejam os eventos: H – homem está vivo daqui a 30 anos; 
 M – mulher está viva daqui a 30 anos 
a) Ambos estejam vivos? 
 
 
b) Somente o homem esteja vivo 
 
 
 
c) Somente a mulher esteja viva 
 
 
 
d) Nenhum esteja vivo 
 
26,0)65,0)(40,0()()()( ===∩ MPHPMHP
14,0)35,0)(40,0()65,01)(40,0()( ==−=∩ MHP
39,0)65,0)(60,0()65,0)(40,01()( ==−=∩ MHP
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
I II
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
I II
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
e) Pelo menos um esteja vivo: 
 
 
 
Exercício 13.5 - As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma 
locadora de vídeos, estão apresentados na próxima tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sorteando-se, ao acaso, uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de: 
a) O filme alugado ser uma comédia? 
b) Uma mulher ter alugado um filme policial? 
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance? 
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem? 
e) Os eventos: filme romance e sexo mulher são independentes? 
 Solução: 
Primeiramente precisamos calcular os totais marginais e o geral: 
 
Filme 
Sexo 
Comédia (C) Romance (R) Policial (P) 
Total 
Homens (H) 136 92 248 476 
Mulheres (M) 102 195 62 359 
Total 238 287 310 835 
 
a) O filme alugado ser uma comédia: 
 
 
b) Uma mulher ter alugado um filme policial: 
 
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance: 
 
 
 
 
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem: 
 
 
e) Os eventos: filme romance e sexo mulher são independentes? 
 
Os eventos: filme romance e sexo mulher NÃO são independentes, pois 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
21,0)35,0)(60,0()65,01)(40,01()( ==−−=∩ MHP
79,026,065,040,0)( =−+=∪ MHP
62195102Mulheres (M)
24892136Homens (H)
Policial (P)Romance (R) Comédia (C)
Filme
Sexo
62195102Mulheres (M)
24892136Homens (H)
Policial (P)Romance (R) Comédia (C)
Filme
Sexo
0743,0
835
62)( ==∩ PMP
2850,0
835
238)( ==CP
8036,0
835
92
835
287
835
476)()()()( =−+=∩−+=∪ RHPRPHPRHP
5210,0
476
248)|( ==HPP
)(5432,0
359
195)|(
3437,0
835
287)(
RPMRP
RP
≠==
==
1959,0)5701,0)(3437,0()()(2335,0
835
195)( ==≠==∩ HPRPMRP
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Exercício 13.6 - Uma companhia que fabrica caixas de papelão percebe que: 
• A probabilidade de se produzir uma caixa com um furo é de 0,05; 
• A probabilidade de uma caixa ter um canto esmagado é de 0,08; 
• A probabilidade de uma caixa ter um furo e um canto esmagado é de 0,004. 
a) Os eventos “selecionar uma caixa com furo” e “selecionar uma caixa com o canto esmagado” são 
mutuamente exclusivos? Explique. 
b) Se um inspetor de qualidade escolher ao acaso uma caixa determine a probabilidade de a caixa 
ter um furo ou um canto esmagado. 
Solução: 
a) Os eventos “selecionar uma caixa com furo” e “selecionar uma caixa com o canto esmagado” NÃO são 
mutuamente exclusivos, pois o evento interseção entre eles é não vazio (probabilidade maior que zero) 
 
b) Sejam os eventos: 
A : a caixa tem um furo 
B: a caixa tem um canto esmagado. 
Do enunciado tem-se: 
Queremos: 
Pela regra geral: 
Logo, 
 
Exercício 13.7 - Em um banco, a experiência indica que há uma probabilidade de 85% de um 
funcionário novo, que tenha feito um curso prévio de treinamento, cumprir sua quota de tarefas; e que essa 
probabilidade, para um novato que não tenha feito o curso prévio, é de 40%. Se 80% de todos os operários 
novos freqüentaram o curso prévio de treinamento, qual a probabilidade de um funcionário novo cumprir 
sua quota de tarefas? 
Solução: 
Sejam os eventos: 
Q: o funcionário novo cumpre sua quota de tarefas 
C : o funcionário novo fez o curso prévio de treinamento 
Tem-se que: P(C) = 0,80; P(Q|C) = 0,85 e 
 
 
 
 
 
Ou, pelo diagrama em árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 13.8 - Um time de futebol ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não 
chove. Em setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O time de futebol ganhou uma partida em 
setembro, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? . 
Solução: 
Sejam os eventos: 
G: time de futebol ganha 
A : chuva em setembro 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
(12,6%) 126,0004,008,005,0)( =−+=∪ BAP
(76,0%) 76,008,068,0)40,0)(20,0()85,0)(80,0()(
)|()()|()()(
)()(
=+=+=
+=
∩∪∩=
QP
CQPCPCQPCPQP
QCQCQ
Q
Q
Q
Q
C
68,0
08,0
80,0
20,0
85,0
40,0
)QC(P ∩
)QC(P ∩
+ 76,0)Q(P =
C
novo .Func
)C|Q(P
Q
Q
Q
Q
C
68,0
08,0
80,0
20,0
85,0
40,0
)QC(P ∩
)QC(P ∩
+ 76,0)Q(P =
C
novo .Func
)C|Q(P )C|Q(P
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Queremos: P(A|G) 
Temos: 
 
 
 
 
 
Por definição de probabilidade condicional temos que: 
 
Precisamos então calcular P(G).Utilizando o diagrama em árvore, para um dia de setembro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a definição, temos: 
 
 
 
Conclusão: Se o time de futebol ganhou a partida, a probabilidade de ter chovido nesse dia é de 27,3%. 
 
 
 
Exercício 13.9 - A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora 
é historicamente estimada em 6%. A produção da montadora vem de três fabricas distintas, da matriz A e 
das filiais B e C, nas seguintes proporções: 60%, 30% e 10%, respectivamente. Sabe-se que a proporção de 
defeitos da matriz A é o dobro da filial B e, da filial B é o quádruplo da filial C. Determinar a porcentagem de 
defeito de cada fábrica. 
Solução: 
Seja o evento, D: carros com defeitos; 
P(D) = 6% = 0,06 
P(A) = 60% = 0,60 e P(D|A) = 2 P(D|B) 
P(B) = 30%= 0,30 e P(D|B) = 4 P(D|C) 
P(C) = 10% = 0,10 e P(D|C) 
 
Podemos escrever o evento D como: 
D = (A e D) ou (B e D) ou (C e D) 
Então, 
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) 
P(D) = 8 P(A)P(D|C) + 4 P(B)P(D|C) + P(C)P(D|C) 
0,06 = (8)(0,60)P(D|C) + (4)(0,30)P(D|C)+0,10P(D|C) 
0,06 = 6,1 P(D|C) => P(D|C)= 0,00984 (0,98%) 
⇒ P(D|B)=0,0393 (3,93%) 
⇒ e P(D|A)= 0,0787 (7,87%) 
 
 
 
3,0)(
8,0)|(
7,0)|(
=
=
=
AP
AGP
AGP
)(
)()|(
GP
GAPGAP ∩=
A
A
G
G
G
G
GA ∩
GA ∩
21,0)7,0)(3,0( =
56,0)8,0)(7,0( =8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+ 77,0)G(P =
A
A
G
G
G
G
GA ∩
GA ∩
21,0)7,0)(3,0( =
56,0)8,0)(7,0( =8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+ 77,0)G(P =
(27,3%) 273,0
77,0
21,0
)(
)()|( ==∩=
GP
GAPGAP
 
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Probabilidade e Estatística I 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Referências bibliográficas: 
 
1. BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. rev. São Paulo: Saraiva, 2003. 
2. MONTGOMERY, D.C, RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. 
3. MORETTIN, P.A. Estatística básica – Probabilidade. 7ª. ed. São Paulo: Makron Books, 2000, vol. 1. 
4. MEYER, Paul L. Introdução à probabilidade – aplicações à Estatística. RJ: LTC, 2ª. ed, 1995. 
5. SOARES, José Francisco, FARIAS, Alfredo A., CESAR, Cibele Comini. Introdução à Estatística. RJ: LTC, 
2003. 
6. TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.