Mat Fin CCA 2016 Aula 5 Taxas de Juros e Correção Monetária

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Taxa de Juros e Correção Monetária 
 
Como lidar com a inflação e a correção ou atualização monetária. 
 
 
Índice (ou Número-Índice): um quociente que expressa uma variação relativa. 
 
 
Construindo um índice: 
 
Suponha os seguintes valores para a inflação em meses sucessivos: 
 
Janeiro: i1 = 1,7% = 0,017 
Fevereiro: i2 = 2,39% = 0,0239 
Março: i3 = 1,81% = 0,0181 
Abril: i4 = 1,24% = 0,0124 
Maio: i5 = 0,35% = 0,0035 
Junho: i6 = 0,15% = 0,0015 
 
 
 
 
Tome como base para o primeiro mês*, atribuindo valor 100. 
 
*valor no início do mês ou valor no final do mês anterior* 
 
 
A partir daí, usa-se a fórmula Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑡 = Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑡−1(1 + 𝑖) 
 
A série de índices de inflação fica, então: 
 
Mês Índice 
Jan 100 x (1+0,017) = 101,7000 
Fev 101,7000 x (1+0,0239) = 104,1306 
Mar 104,1306 x (1+0,0181) = 106,0154 
Abr 106,0154 x (1+0,0124) = 107,3300 
Mai 107,3300 x (1+0,0035) = 107,7056 
Jun 107,7056 x (1+0,015) = 107,8672 
 
 
Inflação: variação dos preços de uma data para outra; medido considerando-se o preço 
de uma cesta de produtos. 
 
Cálculo a partir dos preços: considere uma cesta de produtos cujo valor apurado foi de 
R$ 2.500 e R$ 2.542,50 em, respectivamente, janeiro e fevereiro. A inflação é nada mais 
que a variação percentual: 
 
𝑖 = 
2.542,50
2.500
− 1 = 0,0170 𝑜𝑢 1,70% 
ou 
𝑖 = 
(2.542,50 − 2.500)
2.500
= 0,0170 𝑜𝑢 1,70% 
 
 
A inflação de janeiro foi, então, de 1,70%. 
 
 
HP: f FIN f 6 66.2 CHS PV 67.8 FV 1 n i 
 
 
 
 
Cálculo a partir do índice 
 
Variação percentual do número-índice: 
 
101,7000 
101,7000
100
− 1 = 0,017 ou 1,7% 
104,1306 
104,1306
101,700
− 1 = 0,0239 ou 2,39% 
106,0154 
106,0154
104,1306
− 1 = 0,0181 ou 1,81% 
107,3300 
107,3300
106,0154
− 1 = 0,0124 ou 1,24% 
107,7056 
107,7056
107,3300
− 1 = 0,0035 ou 0,35% 
107,8672 
107,8672
107,7056
− 1 = 0,0015 ou 0,15% 
 
 
 
 
Taxa Acumulada: é a taxa de variação composta. 
 
Considerando n períodos, a taxa acumulada pode ser obtida calculando-se 
 
𝑖𝑎 = [(1 + 𝑖1) × (1 + 𝑖2) × (1 + 𝑖3) × … × (1 + 𝑖𝑛)] − 1 
 
Em que 𝑖𝑘 é a taxa de variação no período k. 
 
 
Exemplo: usando os dados acima, a inflação acumulada no semestre foi de: 
 
 
𝑖𝑎
𝑠𝑒𝑚 = [
(1 + 0,017) × (1 + 0,0239) × (1 + 0,0181) ×
(1 + 0,0124) × (1 + 0,0035) × (1 + 0,0015)
] − 1 = 0,078672 𝑜𝑢 7,8672% 
 
 
Por trimestre, tem-se 
 
𝑖𝑎
1º 𝑡𝑟𝑖𝑚 = [(1 + 0,017) × (1 + 0,0239) × (1 + 0,0181)] − 1 = 0,060154 𝑜𝑢 6,0154% 
 
𝑖𝑎
2º 𝑡𝑟𝑖𝑚 = [(1 + 0,017) × (1 + 0,0239) × (1 + 0,0181)] − 1 = 0,017467 𝑜𝑢 1,7467% 
 
Alternativamente, a variação acumulada pode ser obtida pela razão de dois índices: 
 
 
No semestre: 𝑖𝑎
𝑠𝑒𝑚 =
107,8672
100
− 1 = 0,078672 𝑜𝑢 7,8672% 
 
No 1º trimestre: 𝑖𝑎
1º 𝑡𝑟𝑖𝑚 =
106,0154
100
− 1 = 0,060154 𝑜𝑢 6,0154% 
 
No 2º trimestre: 𝑖𝑎
2º =
107,8672
106,0154
− 1 = 0,017467 𝑜𝑢 1,7467% 
 
 
 
Taxa Média: é a taxa equivalente por fração do período 
 
Taxa média mensal: é a taxa equivalente mensal que, ao ser composta, gera a mesma 
taxa anual. 
 
 
Exemplo: Sabe-se que a taxa de inflação acumulada no semestre foi de 7,8672%. A taxa 
média mensal equivalente é: 
 
 
 
𝑖𝑒 = [(1 + 𝑖𝑎
𝑠𝑒𝑚)
𝑛𝑑
𝑛𝑐 ] − 1 = [(1 + 0,078672)
1
6] − 1 = 0,012702 𝑜𝑢 1,2702% 
 
 
 
 
f FIN f 6 100 CHS PV 100 ENTER 7.867199 + FV 6 n i 
 
 
 
Separação de uma Taxa da Taxa Acumulada 
 
Uma empresa concedeu reajustes salariais de 2% nos três primeiros trimestres do ano. 
Sabendo que a inflação anual foi de 11,24%, qual deve ser o reajuste para zerar a 
inflação anual: 
 
ia = 11,24% = 0,1124 
i1 = i2 = i3 = 2% = 0,02 
 
𝑖𝑎 = [(1 + 0,02) × (1 + 0,02) × (1 + 0,02) × (1 + 𝑖4)] − 1 = 0,1124 
 
𝑖4 =
1 + 0,1124
(1 + 0,02) × (1 + 0,02) × (1 + 0,02)
− 1 = 0,04824 𝑜𝑢 4,824% 
 
 
A fórmula geral para separar a kth taxa é: 
 
𝑖𝑘 =
1 + 𝑖𝑎
(1 + 𝑖1) × (1 + 𝑖2) × … × (1 + 𝑖𝑘−1) × (1 + 𝑖𝑘+1) × … × (1 + 𝑖𝑛)
− 1 
 
 
 
Correção Monetária: é o nome que atribuído para a atualização monetária de um valor, 
que pode ser feito com índice ou com taxa de correção. 
 
Fórmula básica: 
𝐹𝑉𝑡 = 𝑃𝑉 ×
𝐼𝑡
𝐼0
 (sem juros) 
 
 
Exemplo: 
O valor de $ 1.890 emprestado em janeiro deve ser atualizado pela Taxa Referencial. 
 
Taxa Referencial 
Mês Taxa mensal (em %) Índice 
Jan 0,1320 100,1320 
Fev 0,0957 100,2278 
Mar 0,2168 100,4451 
Abr 0,1304 100,5761 
Mai 0,1533 100,7303 
Jun 0,2043 100,9361 
Jul 0,1621 101,0997 
Ago 0,2545 101,3570 
 
 
𝐹𝑉8 = 1.890 ×
101,3570
100
= 1.915,65 
Correção Monetária, com Juros 
 
Fórmula básica: 
𝐹𝑉𝑡 = 𝑃𝑉 ×
𝐼𝑡
𝐼0
× (1 + 𝑖)𝑛 
(com juros) 
 
 
Exemplo: 
Sobre o valor de $ 1.890 emprestado em janeiro, além da atualização monetária pela TR, 
incide juros de 0,5% a.m. 
 
Taxa Referencial 
Mês Taxa mensal (em %) Índice 
Jan 0,1320 100,1320 
Fev 0,0957 100,2278 
Mar 0,2168 100,4451 
Abr 0,1304 100,5761 
Mai 0,1533 100,7303 
Jun 0,2043 100,9361 
Jul 0,1621 101,0997 
Ago 0,2545 101,3570 
 
𝐹𝑉8 = 1.890 ×
101,3570
100
× (1 + 0,005)8 = 1.993,63 
 
 
Exemplo: (Cálculo do Valor Atual, sem juros) 
 
Que valor, aplicado em janeiro, corrigido pela TR (ver exemplo anterior), sem ganho real, 
formou, em agosto, o montante de $ 2.100? 
 
𝑃𝑉 = 2.100 ×
100
101,3570
= 2.071,89 
 
 
Exemplo: (Cálculo do Valor Atual, com juros) 
 
Que valor, aplicado em janeiro a juros mensais de 0,5% a.m., corrigido pela TR (ver 
exemplo anterior), formou, em agosto, o montante de $ 2.420? 
 
𝑃𝑉 =
2.420 ×
100
101,3570
(1 + 0,005)8
= 2.294,21 
 
 
 
 
Taxa junto com Correção Monetária 
 
Cálculo da taxa de juros quando apresentada num problema, além da correção 
monetária. 
 
Taxa de Juros 
 
Nos casos de aplicações que tem juros e correção monetária, pode-se encontrar a taxa 
de juros, independentemente se a correção estiver apresentada em índice de correção 
ou por taxa de correção. 
 
Com índice de Correção 
 
O valor de $ 12.000 foi aplicado, em janeiro, a juros compostos, mais a variação da TR 
(ver dados anteriores). Qual a taxa de juros se em outubro o saldo era $ 13.379,36. 
 
PV = $ 12.000,00 
FV = $ 13.379,36 
i = ? 
n = 8 períodos de capitalização (meses) 
Índice inicial: I0 = 100 
Índice final: I8 = 101,3570 
 
Por radiciação: 
 
𝑖 =
√
𝐹𝑉 ×
𝐼0
𝐼𝑓
𝑃𝑉
𝑛
 − 1 => 
=> 𝑖 = √
13.379,36×
100
101,3570
12.000
8
 − 1 = √1,100019
8 − 1 = 1,011987 − 1 = 1,1987% ao mês 
 
Por logaritmo: 
 
𝑖 = 𝑒
𝑙𝑛(
𝐹𝑉×
𝐼0
𝐼𝑓
𝑃𝑉 )
𝑛 − 1 => 
 
=> 𝑖 = 𝑒
𝑙𝑛(
13.379,36×
100
101,3570
12.000 )
8 − 1 = 𝑒
𝑙𝑛(1,100019)
8 − 1 = 𝑒
0,095328
8 − 1 = 𝑒0,011916 − 1 = 1,011987 − 1 = 1,1987% ao mês 
 
 
Na fórmula se considera como valor futuro os R$ 13.379,36 depois de descontada a correção 
monetária (13.379,36 × 100
101,3570
). 
 
HP: 
Com Taxa de Correção 
 
O valor de $ 12.000 foi aplicado, em janeiro, a juros compostos, mais de correção de 
1,357% no período. Ao final de 8 meses, o saldo era $ 13.379,36. Qual foi a taxa de juros 
mensal no período: 
 
PV = $ 12.000,00 
FV = $ 13.379,36 
n = 8 períodos de capitalização (meses) 
ic = 1,3570% = 0,01357 (taxa de correção) 
 
 
Por radiciação: 
 
𝑖 = √
𝐹𝑉
(1+𝑖𝑐)
𝑃𝑉⁄
𝑛
 − 1 => 
=> 𝑖 = √
13.379,36
(1+0,01357)
12.000⁄
8
 − 1 = √1,100019
8 − 1 = 1,011987 − 1 = 1,1987%ao mês 
 
Por logaritmo: 
 
𝑖 = 𝑒
𝑙𝑛(
𝐹𝑉
𝑃𝑉×(1+𝑖𝑐)
)
𝑛 − 1 => 
=> 𝑖 = 𝑒
𝑙𝑛(
13.379,36
12.000×(1+0,01357))
8 − 1 = 𝑒
𝑙𝑛(1,100019)
8 − 1 = 𝑒
0,095328
8 − 1 = 𝑒0,011916 − 1 = 1,011987 − 1 = 1,1987% ao mês 
 
HP: 
Taxa Unificada com Taxa de Correção 
 
Quanto renderá a caderneta de poupança no mês que a correção monetária for 0,22% e 
os juros são de 0,5% a.m.. 
 
i = 0,5% a.m. = 0,005 a.m. 
ic = 0,22% no mês = 0,0022 no mês 
iu = ? 
 
 
 
𝑖𝑢 = [(1 + 𝑖) × (1 + 𝑖𝑐)] − 1 
 
𝑖𝑢 = [(1 + 0,005) × (1 + 0,0022)] − 1 = 0,7211% 
 
 
 
A taxa unificada ou o rendimento da caderneta de poupança é 0,7211% no mês. 
 
 
 
 
 
Taxa Unificada com Índice 
 
Qual é o rendimento de uma aplicação financeira, nos quatro primeiros meses do ano, 
que paga juros de 0,9% a.m., mais a variação do índice de correção abaixo. 
 
Dez Jan Fev Mar Abr 
105,12 105,96 106,60 106,28 106,81 
 
i = 0,9% a.m. = 0,009 a.m. 
n = 4 
Índice inicial: I0 = 105,12 
Índice final: If = 106,81 iu = ? 
 
Primeiramente calcula-se a taxa de correção: 
 
𝑖𝑐 = (
𝐼𝑓
𝐼0
) − 1 => 𝑖𝑐 = (
106,81
105,12
) − 1 = 1,01606% 
 
Sabendo a taxa de juros e a taxa de correção podemos calcular a taxa unificada: 
 
𝑖𝑢 = [(1 + 𝑖)
𝑛 × (1 + 𝑖𝑐)] − 1 => 𝑖𝑢 = [(1 + 0,009)
4 × (1 + 0,0101606)] = 0,04702 𝑜𝑢 4,702% 
 
Alternativamente, pode-se fazer o cálculo diretamente: 
 
𝑖𝑢 = [(1 + 𝑖)
𝑛 × (
𝐼𝑓
𝐼0
)] − 1 => 𝑖𝑢 = [(1 + 0,009)
4 × (
106,81
105,12
)] − 1 = 0,04702 
 
Separar a Taxa de Juros da Taxa Unificada 
 
Em determinado mês a caderneta de poupança rendeu 0,9013%. Sabendo que a 
correção daquele mês foi de 0,3993%, qual foi a taxa de juros? 
 
iu = 0,9013% no mês = 0,009013 no mês 
ic = 0,3993% no mês = 0,003993 no mês => i = ? 
 
 
𝑖 =
1 + 𝑖𝑢
1 + 𝑖𝑐
− 1 => 𝑖 =
1 + 0,009013
1 + 0,003993
− 1 = 0,005 𝑜𝑢 0,5% 
 
 
 
Separar a Taxa de Correção da Taxa Unificada 
 
Num determinado mês a caderneta de poupança rendeu 1,2233%. Sabendo que os juros 
são 0,5% a.m., qual a taxa de correção naquele mês? 
i = 0,5% a.m. = 0,005 a.m. 
iu = 1,2233% no mês = 0,012233 no mês => ic = ? 
 
𝑖𝑐 =
1 + 𝑖𝑢
1 + 𝑖
− 1 => 𝑖 =
1 + 0,010144
1 + 0,005
− 1 = 0,007197 𝑜𝑢 0,7197%