Matemática Financeira

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Matemática Financeira 
Desconto: 
Chamamos de valor nominal ou de face e indicamos por (N ), o valor do 
título a ser descontado. Seja (n ) o prazo de vencimento do título e d a taxa 
de desconto utilizada na operação ( em porcentagem por período). O 
desconto comercial ou bancário (D) é dado por: 
 
A diferença N – D é chamada de valor descontado ou valor atual comercial 
ou ainda, valor líquido do título; vamos indicar esta diferença por Vd isto é: 
 
Problemas: 
1) Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco dois 
meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 
2,5% a.m. 
a) Obtenha o valor do desconto 
b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa. 
c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. 
Calcule também a taxa efetiva de juros da operação. 
Resolução 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
O banco adiantou $ 17.100,00 por uma duplicata de $ 18.000,00 
 
 
 
 
No regime de juros simples, tal taxa é equivalente a 
 
 
 . É 
importante notar que a taxa de juros simples mensal é diferente da taxa mensal de 
17.000 
18.000 
0 
desconto. Isto porque a taxa de juros incide no valor inicial 17.100,00 para dar os 
900,00, ao passo que a taxa de desconto incide no valor final 18.000,00 para dar o 
resultado 900,00. 
2) Uma nota promissória de 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias 
antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. 
a) Qual o desconto 
b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco 
cobrou uma taxa de serviços de 0,5% do valor da promissória, pago no 
dia em que a empresa a descontou? 
c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de 
desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples se os 
prazos de vencimentos fore,: 
a) Um mês 
b) Dois meses 
Resolução: como o valor da duplicata não foi fornecido, consideraremos um valor 
arbitrário 100,00 exercício 3 e 4 
4) Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um 
banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de 
desconto mensal deverá cobrar. 
Sendo Vd o valor descontado 
 
 
 
 
 
 
Portanto o desconto é igual a $ 100,00 – 94,34 = 5,66; Consideraremos 
agora a formula do desconto D=Ddn , e queremos a taxa d em termos 
mensais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples: 
Vimos nos exemplos anteriores , como calcular a taxa de juros dada a taxa de 
desconto e vice versa, usando o fluxo de caixa da operação. Vejamos, a seguir, 
como estabelecer uma relação entre ambas. Consideraremos que a taxa de 
desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja 
n o prazo de vencimento do título ( expresso na mesma unidade de tempo e seja n 
o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i ) 
Sendo N o valor nominal do título e D o desconto, o fluxo de caixa da operação de 
desconto, do ponto de vista do banco, é dado 
 
 
 
 
Portanto: 
dn
d
i
dn
dn
in
dnN
Ndn
in
NdnN
Ndn
in
DN
D
in
DN
DNN
in
DN
N
in
















1
1
)1(
)(
1
 
4)Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m. e o prazo de vencimento 
de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da 
operação. 
5)Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em 
um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% 
 
Taxas Equivalentes: 
Na fórmula dos juros simples sabemos que o prazo deve ser expresso na 
mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, 
N - D 
0 
N 
n 
Por meio desta última relação podemos 
achar o valor de i dado o valor de d e vice 
versa. 
ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto 
devemos saber converter taxas de um período para outro. 
 
Seja i a taxa anual procurada, C o capital aplicado e um ano o prazo. 
Devemos ter: 
%1212,012)01,0(
12)01,0(2


i
CCi
 
Portanto a taxa de 1% ao mês equivalente ao ano é 12% 
Assim: 
4% ab é proporcional a am 
6% a.t é proporcional am 
12%a.s. é proporcional am 
24% aa é proporcional am 
 
Juros composto 
 
Fórmula do montante: 
 
 
 
Pela calculadora 
 Montante = VF 
 Capital= (VP) Valor presente = Capital inicial 
n= tempo 
i= taxas 
 
Exercícios de equivalência de taxas a juros compostos 
Qual a taxa semestral equivalente 
0,24% a.d 2,7% a.b. 96% a.a. 
0,14% a.d. 4,1% a.t. 8% a.quadrimestre. 
 
Fórmula 
1) Um capital de 7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e 
meio, á taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período. 
2) Uma pessoa aplica hoje 4.000,00 e aplicará 12.000,00 daqui a três 
meses em um fundo que rende juros compostos á taxa de 2,6% am. Qual 
seu montante daqui a seis meses. 
3) Qual capital que, aplicado a juros de compostos durante nove anos, à 
taxa de 10% a.a. produz um montante de 175.000,00. 
4) Um CDB aplicou 15.000,00 em um CDB prefixado de 30 dia em uma 
instituição financeira. A taxa bruta da operação foi de 18% aa. Pede-se: 
a) Montante bruto de resgate 
b) O imposto de renda, a alíquota é 22,5% do juros 
c) O montante líquido 
d) A taxa líquida da operação no período considerado 
apid
Mc
IRb
Ma
liq
liq
%08,10108,01
000.15
46,161.15
)
46,161.1587,4633,208.15)
87,46)00,000.1533,208.15(225,0)
33,208.15)18,1(000.15) 360
30




 
5) Um investidor aplicou 12.000,00 em um RDB pós fixado de 120 dias, cuja 
remuneração era dada por CM + 15% a.a. Pede-se 
a) O montante bruto, sabendo-se que a taxa de correção monetária foi 
de 4% no período. 
b) O imposto de renda, sabendo-se que é igual a 22,5% do juro 
c) O montante líquido 
d) A taxa líquida no período da operação 
6) Um invetidor aplicou 8.000,00 em um CDB prefixado de 30 dias. 
Sabendo-se que a taxa bruta foi de 16% aa. Pede-se 
a) Montante bruto 
b) Imposto de renda 22,5% 
c) Montante líquido 
d) A taxa líquida do período 
7) Um ivestidor aplicou 25.000,00 em RDB pós-fixado de 120 dias. 
Sabendo-se que a remuneração é dada por CM + 12 % aa pede-se: 
a) O montante bruto de resgate, sabendo-se que a correção monetária 
foi de 3,5% no período 
b) O imposto de renda, sabendo-se que é 22,5% 
c) O montante liquido 
d) A taxa liquida 
Taxa Efetiva 
A taxa efetiva de juros é a taxa obtida para , todo o período n de im investimento, 
sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, a 
taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos. 
Quando se tratar de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre 
por juros proporcionais simples. Assim, a taxa de 36% aa, a taxa do período de 
capitalização será :
 
 
 
Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior 
àquela declarada para a operação acima. Então: 
 
 
 
 
Taxa Nominal 
Uma de juros é dita nominal geralmente quando o prazo de capitalização dos 
juros(período em que os juros são formados e incorporados (somados) ao capital 
não é o mesmo que o prazo definido para a referida taxa de juros. 
Taxa Over por dia. 
É uma taxa de juros nominal, com capitalização diária, porém válida somente para 
os dias úteis( dias de funcionamento do mercado financeiro). Essa taxa costuma 
ser expressa ao mês, obtida pela simples multiplicação da taxa ao dia por 30, sendo 
aplicada geralmente para operações de curto prazo. 
Ex.: Taxa 2,7% ao mês, sendo que existem 20 dias úteis no período. 
 
 
 
Sendo definido 20 dias úteis, a taxa efetiva apurada com capitalização composta é 
 
 
De uma forma geral 
 
 
 
 
A partir de 98 , no entanto o mercado passou a operar com taxas over anuais, 
determinadas com base de 252 dias úteis. 
 
 
 
Sendo de 20,4% aa a taxa efetiva de juros, determine: 
a) Taxa over nominal mensal 
b) Taxa over efetiva do mês, considerando 22 dias úteis: 
 
 
 
 
 
 
 
1) Um CDB prefixado de 30 dias paga uma taxa bruta de 20% ao ano. Qual a 
respectiva taxa over mensal supondo que haja 21 dias úteis no período. 
2) Se uma taxa over esta definida, em determinada data, em 3,20% a.m. Para 
um mês de 23 dias úteis, pede-se determinar a taxa over efetiva mensal. 
3) Admitindo uma taxa efetiva mensal de 5% a.m. converter em taxa over, 
sabendo que o mês existem 21 dias úteis.